SKKN rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán bằng phương pháp véc tơ image marked

Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ Người thực hiện: Hồng Thị Un Chức vụ: Phó Hiệu trưởng SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2016 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV: HS: HH: PPVT: SGK, SBT: THPT: PT: HPT: Giáo viên Học sinh Hình học Phương pháp véc tơ Sách giáo khoa, sách tập Trung học phổ thơng Phương trình Hệ phương trình Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ MỤC LỤC MỞ ĐẦU - Lý chọn đề tài .3 - Mục đích nghiên cứu đề tài - Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm .4 2.2.Thực trạng vấn đề sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề a Áp dụng quy trình bước dạy giải tập toán b Trước giải tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau c Hệ thống tậpvà phương pháp giải……………………………………… 11 Phần I: Dùng PPVT để giải toán himh học lớp 10: Phân làm dạng….11 Phần II: Dùng PPVT để giải pt hpt chứa thức…………………… 19 d Chỉ khó khăn sai lầm học sinh gặp phải giải tốn hình học phẳng PPVT 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm.…………………………………… 23 3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 24 - Kết luận - Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO .25 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Theo đường lối đổi giáo dục Đảng đổi bản, toàn diện giáo dục; ngành giáo dục nước ta đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ tốn học phổ thơng bản, đại, phù hợp với thực tiễn có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập môn khoa học khác Việc giải tập tốn hình thức tốt để củng cố, hệ thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ năng, hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào vấn đề mới, hình thức tốt để giáo viên kiểm tra lực, mức độ tiếp thu khả vận dụng kiến thức học học sinh Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ việc giải tốn, học sinh có thêm cơng cụ để diễn đạt, suy luận để giải toán, tránh ảnh hưởng khơng có lợi trực giác, từ cho thấy vấn đề xem xét giải quan điểm khoa học, với cách tiếp cận vấn đề khác đưa phương pháp khác đắn Đây dịp tốt để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp, từ giáo dục học sinh cách nhìn cởi mở khoa học môn học liên quan Đồng thời thấy việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên, lúng trúng giải sai tập (đặc biệt tập liên quan đến véc tơ, pt, hệ pt chứa giải thông thường không thuân lợi) làm học sinh gặp nhiều khó khăn, hạn chế tới kết học tập phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc tơ” để giải toán Với lí trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp véc tơ giải tập tốn theo hướng hình thành rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng kiến thức véc tơ để giải toán Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học tập hình học lớp 10 số tập đại số lớp10 theo phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Kỹ giải tập hình học lớp 10 tập giải pt, hệ pt phương pháp véc tơ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Từ toán cụ thể khái quát thành dạng, có cách giải tương ứng cho dạng tập Hoặc ngược lại từ cách giải chung dạng tốn áp dụng vào làm ví dụ minh họa có hệ thống tập áp dụng Cụ thể giải số tập hình học phẳng phương pháp véc tơ chương I+II SGK hình học 10 (theo chương trình nâng cao), giải số phương trình, hệ phương trình cách sử dụng tính chất, phép tốn véc tơ để giải Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin việc vận dụng véc tơ giải toán cuả học sinh lớp 10 mức độ nào, để có cách xử lý số liệu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán tập toán đặt thời điểm q trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn chứa chức khác Các chức là: Chức dạy học; Chức giáo dục; Chức phát triển; Chức kiểm tra Các chức hướng tới việc thực mục đích dạy học, cụ thể: - Chức dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học - Chức giáo dục: Bài tập tốn nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động - Chức phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tụê hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán, khả tiếp thu, vận dụng kiến thức trình độ phát triển học sinh Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ Hiệu việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm Trong tốn có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất tốn Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho toán Rèn luyện cho học sinh giải tập tốn khơng có nghĩa giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải toán Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm tòi lời giải cho toán Chúng ta thường hướng dẫn em tìm lời giải cho tốn tiến hành theo bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Để giải toán, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, tính sáng tạo cho học sinh giúp em tìm hiểu tốn cách tổng qt Tiếp theo phải phân tích tốn cho: - Đâu ẩn số, đâu kiện - Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) - Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phải phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề toán lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mò mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho Bước 3: Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận trình giải - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ loại toán - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) - Khai thác kết có toán - Đề xuất toán tương tự, tốn đặc biệt khái qt hóa tốn tổng quát Công việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, kết thúc toán lại mở đầu cho tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn đòi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” Cơ sở khoa học Xuất phát từ yêu cầu học sinh kiến thức kỹ chương I, II- SGK HH nâng cao là: - Về kiến thức bản: nắm khái niệm véctơ, hai véctơ nhau, hai véctơ đối nhau, véctơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, định nghĩa tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vơ hướng hai véctơ - Về kĩ bản: biết dựng véctơ véctơ cho trước, biết lập luận hai véctơ nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véctơ tổng giải số toán, biết xác định số thực k hai     véc tơ phương a, b cho b  ka , vận dụng tính chất tích vơ hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần đủ hai véctơ (khác véctơkhơng) vng góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức véctơ để nghiên cứu số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng ba điểm, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành, bất đẳng thức véc tơ,… 2.2 Thực trạng vấn đề sáng kiến kinh nghiệm Trong thực tế giảng dạy khóa học sinh cho thấy: lớp 10G, 10E khóa 2012-2015 có 50 đến 60% học sinh lớp 10G khóa 2015-2018 trường THPT Ba Đình- Nga Sơn có tới 80% học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức véc tơ vào giải tập, cụ thể do: học sinh vận dụng kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc véc tơ, không trở thành sở kỹ Khi gặp tốn có liên quan đến véc tơ hầu hết em học sinh ngại giải, có học sinh nản, khơng chịu suy nghĩ, tìm tòi cách giải tốn có Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ pt, hệ pt dùng pp giải thông thường phức tạp biết sử dụng phương pháp véc tơ giải gọn Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh học véctơ, phép tốn véctơ, tính chất tích vơ hướng ứng dụng chúng, đặc biệt hệ thức quan trọng tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin, cơng thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác học sinh phải biết tận dụng kiến thức nói để giải số tốn hình học tốn thực tế PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học đại số Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn khơng tránh khỏi sai lầm giải Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép tốn véctơ lại có số tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai sử dụng PPVT ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn Khó khăn giải pt, hệ pt có chứa thức việc qui độ dài véc tơ, chọn tọa độ véc tơ cho hợp lý với vế pt hay hệ pt Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải toán 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Đối với học sinh lớp 10, em học véc tơ, phép toán véc tơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vơ hướng hai véc tơ), sau trục, hệ trục toạ độ, toạ độ điểm, toạ độ véc tơ vài ứng dụng đơn giản phương pháp toạ độ Tuy học sinh học hai phương pháp: Véc tơ toạ độ, phương pháp chủ yếu phương pháp véc tơ Bởi vì, hệ thức lượng tam giác đường tròn xây dựng nhờ véc tơ phép toán, đặc biệt tích vơ hướng hai véc tơ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ định nghĩa theo đẳng thức véc tơ Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải tốn, tơi tiến hành giải pháp sau: a Áp dụng quy trình bước dạy giải tập tốn vào giải số dạng tốn hình học lớp 10 pt, hpt chứa thức phương pháp véc tơ: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải tốn PPVT Bước 1: Chọn véc tơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ phép tốn véctơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thơng thường (hoặc từ đại số) sang ngơn ngữ véctơ Bước 3: Giải toán véc tơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Giáo viên cần tận dụng hội để rèn luyện cho học sinh khả thực bốn bước giải toán hình học PPVT thơng qua tập, minh hoạ quy trình bốn bước ví dụ sau: Bài tốn: Cho góc xOy hai điểm di chuyển hai cạnh góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, luôn thoả mãn OM = 2ON Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải: Bước 1: Lấy điểm A  Ox, B Oy cho OA = OB, chọn hai véc tơ   OA, OB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ tốn phân tích (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ     Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên ON  kOB , OM  2kOA Điều phải chứng minh I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng    qua O) tương đương OI  pv , với v véc tơ cố định Bước 3: Do I trung điểm MN, nên ta có      OI  (OM  ON )  k (2OA  OB) 2      Đặt k  p, 2OA  OB  v , ta điều phải chứng minh   Bước 4: Nhận xét: Nếu lấy OA'  2OA    v  OA'  OB  đường thẳng cố định O A M x I qua trung điểm A’B B * Có thể tổng qt hố tốn theo hai cách: N y - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (m số) Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IM p  (p, q số dương) IN q thuộc đường thẳng cố định Trong q trình hướng dẫn học sinh giải tốn PPVT, giáo viên cần ý đến tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn véc tơ sở cho véc tơ tốn phân tích theo chúng thuận lợi Qua toán học sinh thấy việc chọn véc tơ sở Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ cách thành thạo Cách chuyển đổi ta thấy qua nhóm tốn trình bày Ở bước 3: Cần nắm vững phép tốn véc tơ Đồng thời, thơng qua tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ tính ưu việt PPVT Đặc biệt tập tìm tập hợp điểm, tập chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, dạng tốn có nhiều hội để làm rõ vấn đề b Trước giải tập theo hệ thống, nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau (vì tri thức phương pháp để giải tập sau này) A - Điều kiện cần đủ để hai véc tơ không phương Bài toán 1: (Bài 12-trang 17-SBT-HH10-nâng cao)   Chứng minh hai véc tơ a b phương có cặp số    m, n không đồng thời cho ma  mb  Suy điều kiện cần đủ để   a b phương có cặp số m, n khơng đồng thời cho    ma  mb  B-Tâm tỉ cự hệ điểm {A1, A2, An} ứng với hệ số { 1 ,  ,…  n } (n ≥ 2) Bài toán 2: Cho hai điểm A, B phân biệt hai số  ,  không đồng thời không Chứng minh rằng:    a) Nếu    = khơng tồn điểm M cho  MA   MB     b) Nếu     tồn điểm M cho  MA   MB  Bài toán 3: Cho hai điểm A, B hai số thực  ,  Chứng minh:    Nếu    = véc tơ v   MA   MB không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh kết tổng quát: Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ Cho điểm A, B, C thoả mãn điều kiện xác định Chứng minh A, B, C thẳng hàng Phương pháp:   - Hãy xác định véc tơ AB, AC - Chỉ hai véc tơ phương, nghĩa số thực k cho   AB  k AC Ví dụ: (Bài 19-tr8-SBT HH10 nâng cao) Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng mnp = (Định lý Mênêlauýt) Hướng dẫn giải: (Theo quy trình bước giải toán HH PPVT) Bước 1: GV chọn véc tơ sở   HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ xuất tốn phân tích theo hai véc tơ Bước 2: GV: Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) tương đương với đẳng thức véc tơ nào? N       HS: MA  mMB; NB  nNC ; PC  pPA A P M C B GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức véc tơ phải xảy ra?   HS: - Chỉ số thực k cho MP  k MN    - Với điểm O số thực ta có OM  tON  (1  t )OP Bước 3: Lấy điểm O đó, ta có        OA  mOB  OB  nOC  OC  pOA OM  ; ON  ; OP  1 m 1 n 1 p Để đơn giản tính tốn, ta chọn điểm O trùng với điểm C ta có:      CA  mCB  CB  pCA (1) CM  ; CN  ; CP  1 m 1 n 1 p Từ hai đẳng thức cuối (1) ta có:    p   CB  (1  n)CN ; CA  CP Và thay vào đẳng thức đầu (1) ta được: p 12 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ  CM  p   m(1  n)  CP  CN p (1  m) 1 m Từ Bài toán 7: Điều kiện cần đủ để điểm M, N, P thẳng hàng là: p 1 m(1  n)    p   pm(1  n)  p (1  m)  mnp  p (1  m) 1 n Bước 4: Vậy cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p M, N, P thẳng hàng khi: mnp=1 Lưu ý: Học sinh vận dụng cách chứng minh tốn vào giải toán sau: 1/ Bài 38-tr11-SBT- HH10-nâng cao Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh rằng:     a/ OA  OB  OC  OH     b/ HA  HB  HC  2OH 2/ Bài 39 - tr11 - SBT - HH10 - nâng cao Cho dây cung song song AA1, BB1, CC1 hình tròn (O) Chứng minh trực tâm tam giác ABC1, BCA1 ACB1 nằm đường thẳng 3/ Bài toán: Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D Gọi M, N trung điểm AD BC Chứng minh điểm M, N, I thẳng hàng Chứng minh có sử dụng kết tập sau: 4/Bài 37b - tr11- SBT HH10 - nâng cao Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I tâm     đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: aIA  bIB  cIC  * Bài tập Bài 1: Bài 26 - SBT HH10 - nâng cao Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điêm A, B cố định Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng d có số  cho:    OM   OA  (1   )OB Với điều kiện  M thuộc đoạn thẳng AB Bài 2: Trên cạnh tam giác ABC, lấy điểm M, N, P cho:    Hãy biểu thị AN qua AM AP , từ suy M, N, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D, I, N điểm xác định hệ thức:        3DB  DC  0, AN  NB, CI  2CN Chứng minh A, I, D thẳng hàng        MA  3MB  NB  NC  PC  PA  Bài 4: Bài 20a-tr8-SBT HH10-nâng cao 13 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ Cho tam giác ABC điểm A1, B1, C1 nằm đường thẳng BC, CA, AB Gọi A2, B2, C2 điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) Nếu điểm A1, B1, C1 thẳng hàng điểm A2, B2, C2 b) Trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O M tam giác ABC có hình chiếu xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng P, Q, R Gọi K trọng tâm tam giác PQR a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng b) Cho N điểm tùy ý BC Hạ NE, NF tương ứng vng góc với AC, AC Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J trung điểm EF Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Vận dụng kiến thức PPVT để giải toán quan hệ vng góc cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn,ta quy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc, hay từ định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ      ta suy ra: Nếu a, b hai véc tơ khác với a nằm đường thẳng a, b  nằm đường thẳng b a  b  a.b  Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A; M trung điểm BC, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH Chứng minh AE  BH Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Trước hết học sinh phải tìm hiểu toán cách tổng thể: Đây dạng tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân A, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH) - Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE  BH) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để chứng minh AE  BH, ta phải chứng minh ? (phải chứng   A minh đẳng thức véc tơ AE.BH  )   Để sử dụng giả thiết AM  BC (Hay AM BC  )   MH  AC (Hay MH AC  ) ta phải phân tích   véc tơ AE , BH theo véc tơ nào?   Khi AE.BH  ? Bước 3: Thực chương trình giải H B E M C 14 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ       AE.BH  ( AM  AH ).( BM  MH )   = AM MH  AH BM        = AM MH  ( AM  MH ).BM  AM MH  MH MC      = ( AM  MC ).MH  AC.MH   AE  BH Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải toán * Bài tập Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10-nâng cao)   Chứng minh điều kiện cần đủ để ∆ ABC vuông A BA.BC  AB Bài 2: Bài 11-tr40-SGK-HH10-nâng cao  = 600 Lấy điểm E tia MP đặt Tam giác MNP có MN=4, MP=8, M   ME  k MP Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP Bài 3: Cho ∆ABC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC H điểm   nằm đường thẳng BC Chứng minh AB2  AC2  BC.MH điều kiện cần đủ để AH  BC Bài 4: Cho ∆ABC vuông cân đỉnh A, cạnh AB, BC, CA ta lần AM BN CE Chứng minh rằng: AN  ME   MB NC EA   Bài 5: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thoả mãn: BM  BC ;     900 AN  AB gọi I giao điểm AM CN Chứng minh góc BIC lượt lấy điểm M, N, E cho Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh AC  BD  AB2 + CD2 = 4R2 Bài 7: Bài 32-tr43-SBT-HH10-nâng cao Bài 8: Bài 35-tr43-SBT-HH10-nâng cao Dạng 3: Chứng minh đẳng thức véc tơ Đẳng thức véc tơ đẳng thức mà hai vế biểu thức véc tơ Mỗi biểu thức chứa hạng tử véc tơ chúng nối với  dấu phép toán véc rơ hai vế đẳng thức Để chứng minh tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành để dựng véc tơ cho hai vế đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tính chất phép tốn, tính chất tích vơ hướng hai véc tơ để rút gọn hai vế Ví dụ: Chứng minh với điểm A, B, C, D ta có 15 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ       AB.CD  AC.DB  AB.BC  (*) Hướng dẫn giải:    Bước 1: Chọn véc tơ AB, AC , AD làm véc tơ sở Mọi véc tơ xuất toán phân tích qua véc tơ Bước 2: Bài tốn cho dạng ngơn ngữ véc tơ       Bước 3: AB.CD  AC.DB  AB.BC           = AB( AD  AC )  AC ( AB  AD)  AD( AC  AB)             = AB AD  AB AC  AC AB  AC AD  AD AC  AD AB             = ( AB AD  AD AB)  ( AC AB  AB AC )  ( AD AC  AC AD)  Bước 4: Nhận xét: Đẳng thức véc tơ (*) gọi hệ thức Ơle Có thể dùng hệ thức Ơle để chứng minh: Trong tam giác đường cao đồng quy Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng hệ thức Ơle cho điểm H, A, B, C ta có: Do       HA.BC  HB.CA  HC AB      HB  CA, HC  AB nên HB.CA  HC AB    từ HA.BC  tức HA  BC Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức       AB.CD  AC.DB  AD.BC  A, B, C, D nằm đường thẳng * Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC, G trọng tâm Chứng minh       MA.BC  MB.CA  MC AB  MA  MB2  MC2  3MG  GA  GB2  GC2 GA  GB2  GC2  a  b2  c2 , với a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) OG  R  (a  b2  c2 ) Nếu trọng tâm G tam giác ABC thoả mãn điều kiện tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H trực tâm, I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh:     aIA  bIB  cIC  (a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC)     tan AHA  tan BHB  tan C HC      Sa MA  Sb MB  Sc MC  , trongđó M điểm nằm tam giác     aGA  bGB  cGC  ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự diện tích tam giác MBC, MCA, MAB a.IA  b.IB2  c.IC2  abc Bài 3: cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hạ MD, ME, MF vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: 16 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ     MD  ME  MF  MO Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh rằng: AB2  BC2  CD2  DA  AC2  BD2  4IJ Dạng 4: Các tốn tìm tập hợp điểm Trong hình học phẳng thường đề cập đến tốn quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện Bằng phương pháp tổng hợp nghiên cứu tốn quỹ tích tốn quỹ tích Bằng phương pháp véc tơ nghiên cứu quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện (ta gọi tính chất  ) theo nguyên tắc chung phải thiết lập tính tương ứng tính chất  với điều kiện véc tơ có liên quan đến điểm M từ mơ tả hình H = {(M/M có tính chất  )} Do phạm vi nghiên cứu mở rộng nhiều cho lời giải dễ dàng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho   a) MA.MB  k (k  R) M   b) MB  MB.MC  a (a độ dài cạnh BC) Hướng dẫn giải: AA       MA.MB  k  ( MI  IA).( MI  IA)  k AB k  IM  IA  k  IM  * Nếu I, bán kính AB AB k 0 k  Tập hợp điểm M đường tròn tâm 4 AB k * Nếu k   * Nếu AB  IM   Tập hợp M điểm I AB AB k 0 k   tập hợp điểm M tập rỗng 4   * Nếu k = ta có MA.MB   tập hợp điểm M đường tròn đường kính AB      b) 2MB  MB.MC  a  MB.(2MB  MC )  a (1)       Chọn điểm K thoả mãn: KB  KC  K cố định  2MB  MC  3MK   a (1)  MB.MK  17 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ Gọi I trung điểm BK, biến đổi câu a) ta được: (1)  MI  BK a a  thấy BK  3 Do (1)  IM  13a a 13  IM  36 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I, bán kính a 13 Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả mãn   điều kiện: AB AM  k Hướng dẫn giải: Ta tiến hành biến đổi toán dạng quen thuộc Gọi H hình chiếu      M đường thẳng AB ta có: AB AM  k  AB.( AH  HM )  k    AB AH  k điều chứng tỏ H điểm cố định Vậy tập hợp điểm M đường thẳng vng góc với AH H Chú ý q trình lí luận, ta sử dụng phép biến đổi tương đương, phần thuận đảo chứng minh song song Giới hạn quỹ tích phần đảo Bài toán xem toán bản, Phần lớn toán phức tạp đưa toán qua số phép biến đổi tương đương * Bài tập: Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A, B số dương k ≠ Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: MA k MB Bài 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho:         a) MA  MB  MC  MA  2MB  3MC    b) ( MB  MC ).( MA  2MB  3MC )    c) MA.MB  ( MC  MA2  MB ) d) Cho tam giác ABC cạnh a tìm tập hợp điểm M cho:       5a MA.MB  MB.MC  MC.MA  MB2  MC2  2MA  Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a, tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2  MB  MC  3MD   a      b) ( MA  MB  MC ).( MC  MB)  3a 18 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ Bài 4: Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi cạnh AB, CD cho: AM CN  AB CD `Hệ thống tập với kỹ giải toán cần thiết như: Chuyển toán sang ngơn ngữ véc rơ, phân tích véc tơ thành tổ hợp véc tơ, kỹ biết cách ghép số véc tơ tổ hợp véc tơ giúp học sinh dễ nhận dạng tìm cách giải cho tốn cụ thể, giúp học sinh có hứng thú học tập mơn tốn, góp phần phát triển lực giải tốn Sự phân dạng tập tạo điều kiện cho học sinh tuỳ theo lực, trình độ chủ động, sáng tạo học tập, nghiên cứu chủ đề véc tơ chương trình HH 10 (Cả sách nâng cao) PHẦN 2: Dùng phương pháp véc tơ để giải phương trình, hệ phương trình chứa thức: Trước hết tơi cho học sinh nhắc lại bất đẳng thức véc tơ: Trong hệ trục tọa   độ Đề-Các vng góc Oxy, cho hai véc-tơ u  ( x1 ; y1 ) , v  ( x2 ; y ) Khi     u  v  uv    u v  u.v   Dấu đẳng thức xảy véc tơ u, v hướng Đặc biệt lưu ý học sinh cách đưa pt, hpt dạng độ dài véc tơ, sau kỹ chọn tọa độ véc tơ cho phù hợp với đề tốn Ví dụ 1: Giải phương trình: x  x   x  x  10  29 (1) Giải: Sử dụng phương pháp véc-tơ: (1)  ( x  1)  22  ( x  1)  32  22  52     Nếu chọn véc tơ: u  ( x  1; 2) v  ( x  1;3) u  v  (2 x;5) không thỏa       mãn BĐT: u  v  u  v nên phải chọn u  ( x  1; 2) v  ( x  1;3)       u  v  (2;5) áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta có dấu đẳng thức xảy   hai véc tơ hướng  u  kv (k>0 véc tơ  k    x   k (1  x)   khác ) Vậy pt có nghiệm x =  2  3k x   Ví dụ 2: Giải phương trình: x x    x  x2  Giải: Điều kiện: 1  x    Đặt u  ( x;1) , v  ( x  1;  x )    Theo BĐT véc-tơ: u v  u.v  x x    x  x  19 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ   Đẳng thức xảy hai véc tơ hướng  u  kv (k>0  hai véc tơ khác ) x  k x 1  1  k  x (*) k   Dễ thấy Với x  1 , rút k từ phương trình đầu k  (*) ta được: khơng thỏa mãn hệ (*) x , thay vào phương trình thứ hai x 1 x 3 x  (**) x 1 Với x   1;0 không nghiệm (**)(vì VP=1>0), Với x   0;3 hai vế (**) khơng âm, bình phương hai vế ta phương trình tương đương: x3  3x  x    ( x  1)( x  x  1)  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x  1; x    x  y  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  (I)  x   y     Giải: Điều kiện: x, y  Đặt u  ( 3x ; 7) , v  ( y ; 7)     Theo BĐT véc-tơ: u  v  u  v  x   y   ( x  y )  (2 7)  (Do 3x  y  )   Đẳng thức xảy hai véc tơ hướng  u  kv (k>0  véc tơ khác ) Suy x=y, vào phương trình đầu hệ ta x=y=3 Hệ phương trình có nghiệm nhất: (3;3)  x   y   Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  (I)  x   y     Giải: Điều kiện: x  1; y  Đặt: u  ( x  1; 5) , v  ( y  1; 5)     Theo BĐT véc-tơ: u  v  u  v  x   y   ( x   y  1)  (2 5)  x6  y4 6 Do x 1  y 1    Đẳng thức xảy hai véc tơ hướng  u  kv (k>0  x   y   y  x  , Thế vào phương trình véc tơ khác ) tức là: 20 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ đầu hệ ta được: x    x   y  thỏa mãn ĐK Hệ phương trình có nghiệm nhất: (3;5) RÚT RA CHÚ Ý: Thơng qua số ví dụ thấy việc sử dụng phương pháp véc-tơ để giải phương trình-Hệ phương trình cho ta lời giải "sáng", "đẹp", giảm nhẹ việc biến đổi tính tốn, nhanh chóng cho kết quả, thể linh hoạt-sáng tạo tư toán Đặc biệt tốn giải phương trình-hệ phương trình vơ tỉ phương pháp cơng cụ mạnh, ta cần ý sử dụng “phương pháp véc-tơ” gặp dạng tốn giải phương trình hệ pt chứa thức *Bài tập: Giải phương trình hệ: 1) x  x   x  x  13  2) x  x   x  3x   (  1)  3) x  x   x  x   290  x  y  10 4)   x  24  y  24  14  x  x  y   y  x  y   10 5)   x  y  (I) (Đại học An Ninh-Khối A-2000)  x  x  y   y  x  y   10 Đáp số: 1) x=1;   x  y  d Chỉ khó khăn sai lầm học sinh gặp phải giải tốn hình học phẳng PPVT: PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm lúng túng giải toán HH lớp 10 giải pt, hệ pt chứa thức Các em nhầm lẫn véc tơ đoạn thẳng, góc hai véc tơ góc hai đường thẳng,…     Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB Với toán trên, nhiều học sinh bị học sinh hiểu toán sau: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB Vì hiểu sai tốn, dẫn đến khó khăn q trình tìm lời giải tốn   Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB  3, AC  5, BC  Tính AB AC , tính góc A, góc hai đường thẳng AB AC Có học sinh giải toán sau: 21 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số tốn phương pháp VÉC TƠ Ta có     AB AC 1 AB.CD  3.5  15  cos A  AB AC nên số đo góc A 00 , góc hai đường thẳng AB, AC 00 15    15 2 2 1 Lời giải 2:Ta có AB AC  ( AB  AC  BC )  nên cos A  15 Do : góc A có số đo 120 độ Góc hai đường thẳng AB, AC 120 độ Bài học sinh giải sai chưa nắm vững kiến thức véc tơ, có nhầm lẫn véc tơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc hai véc tơ với góc hai đường thẳng (khơng hiểu, không học kỹ định nghĩa)   Lời giải sau: Ta có AB AC  ( AB  AC  BC )  15 nên 15   1200 cos A    Góc A , góc hai đường thẳng AB, AC 15   1800  1200  600 Khó khăn thứ hai sử dụng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 học sinh phải gần thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ, (ít vẽ hình minh họa khơng cần thiết), nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng     Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Đặt CA  a, CB  b Lấy điểm A’, B’ cho     CA '  ma, CB '  nb Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy biểu thị véc tơ    CI theo hai véc tơ a, b Học sinh giải toán sau:     Ta có CA '  ma, CB '  nb nên Tương tự: CA ' CA ' A ' A CA ' m m     CA CA ' m A' A  m BB '   n Gọi I chia đoạn AB’ theo tỷ số x , CB B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l Menêlẳyt ta có  m   CA  CB '  m  m AI m    m(1  n ) (1  n ) x 1 x  hay IA   IB '  CI  m 1 1 m m(1  n ) IB ' m(1  n ) 1 m(1  n ) m( n  1)  n(1  m )   CA  CB '  mn  mn Nhìn kết q trình làm lơgic hồn hảo Phân tích sai lầm: Trong q trình giải, ly khỏi hình vẽ nên HS 22 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm tam giác ABC.Mặc dù kết cuối đúng, lời giải chưa xác, “thu hẹp” điều kiện m, n là: m > 0, n > Mặt khác, HS xác “định” nhầm: từ tỉ số BB '   n , suy điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số  n , BC làm tương tự với điểm A’ - Lời giải tốn sau: Vì I thuộc A’B AB’ nên có số x y thỏa mãn :          CI  x.CA '  (1  x ).CB  y.CA  (1  y )CB ' hay xma  (1  x )b  ya  (1  y )nb    mx  y 1 n x  mn 1  x  (1  y )n  m( n  1)  n(1  m )  kết biết CI  CA  CB '  mn  mn Vì hai véc tơ a, b khơng phương nên :  Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ hình học véctơ ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải tốn Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Điểm K chia trung tuyến AD theo tỉ số AK  KD Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào? Nhận xét: Trong đề khơng có “bóng dáng” c ủ a k h i n i ệ m véctơ, học sinh lúng túng phải có tư chuyển tốn sang dạng véctơ khó xác định cách giải tập Vì giáo viên cần phải gợi ý cho em biết suy nghĩ lựa chọn cách chuyển toán sang ngơn ngữ véctơ (Ví dụ: để biết đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số cần phải tìm xem điểm F chia đoạn thẳng AC theo tỉ số nào, với F giao điểm BK AC) Phương pháp dùng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 có nhiều tiện lợi việc giải tập Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải toán: lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép toán véctơ lại có nhiều tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT 23 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến áp dụng q trình giảng dạy thân tơi chuyên đề “Sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn” cho khóa học sinh 2009-2012; 2012-2015 2015-2018 mà trực tiếp giảng dạy; đồng thời đồng nghiệp dùng vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh năm gần cho học sinh trường THPT Ba Đình Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp nghiên cứu tơi thấy kỹ giải tốn hình học giải pt, hệ pt phương pháp véc tơ em nâng lên rõ rệt (lớp 12E,12G khóa 2012-2015 lớp 10G khóa 2015-2018 có 50% vận dụng thành thạo PPVT, 30% học sinh biết vận dụng , 20% em lúng túng gặp dạng này, SKKN góp hần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung cho nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: Qua vấn đề trình bày t r ê n t ô i rút số kết luận sau: Để rèn luyện kỹ giải tốn, góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập đa dạng, hợp lí, xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng toán học vào thực tiễn S n g k i ế n hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải tốn theo bốn bước lược đồ Pơlya S n g k i ế n đề xuất số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tập PPVT với nội dung phong phú đề cập tới hầu hết tình điển hình mà học sinh hay gặp giải toán HH phẳng giải pt, hpt PPVT Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu học sinh, có tác dụng rèn luyện lực giải toán cho hs THPT Kết thu qua thử nghiệm chứng tỏ cho tính khả thi hiệu biện pháp mà s án g k iế n đề cập tới SKKN tiếp tục áp dụng trình giảng dạy đồng nghiệp tổ Tốn- Tin trường PT Ba Đình năm Sáng kiến góp phần việc nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Ba Đình Với kinh nghiệm chắn sáng kiến nhiều thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để sáng kiến đầy đủ có ý nghĩa thiết thực Đồng thời vấn đề mà tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm Kiến nghị: Đề nghị với Sở GD&ĐT Thanh Hóa tăng thêm mức thưởng cho SKKN đạt giải cấp tỉnh để kịp thời động viên khích lệ cán giáo 24 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ viên tiếp tục phát huy tính sáng tạo, đưa nhiều kinh nghiệm để ngày nâng cao chất lượng giáo dục tỉnh nhà TÀI LIỆU THAM KHẢO Tốn bồi dưỡng học sinh Hình Học 10, NXB Hà Nội: Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tôn, Đặng Quan Viễn (1996) Phương pháp dạy học mơn tốn trường THP, NXB Giáo Dục Hoàng Chúng (1997), Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phương pháp véc tơ chương trình hình học 10, chương I+II nâng cao, Luận văn thạc sỹ Lê Thị Thu Hà (2007) Kiểm tra đánh giá thường xuyên định kỳ mơn tốn lớp 10 (2008), NXB Giáo Dục Nguyễn hải Châu, Nguyễn Thế Thạch Nguyễn Phương Anh, Hoàng Xuân Vinh (2006), Luyện tập trắc nghiệm Hình Học 10, NXB Giáo Dục Sai lầm phổ biến giải toán, NXB Giáo Dục Nguyến Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Rèn luyện lực giải toán học sinh THPTcủa Bùi Mai Anh (2002) Luận Văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại Học Sư Phạm I Hà Nội, Hà Nội Sáng tạo toán học - G.Polya , NXB Giáo Dục – 1997 Tuyển chọn 400 tốn Hình Học 10, Hà Văn Chương (2006), NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 10 Tài liệu chuyên đề giải pt, hệ pt chứa thức, báo internet, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Tạp trí Giáo dục thời đại, SKKN đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hồng Thị Uyên 25 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ 26 ... phương hai véc tơ để giải toán     Véc tơ b phương với véc tơ a(a  0) có số k cho   b  ka Từ ứng dụng vào dạng toán: 11 Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ Cho điểm... theo phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Kỹ giải tập hình học lớp 10 tập giải pt, hệ pt phương pháp véc tơ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Từ toán. .. quan đến véc tơ hầu hết em học sinh ngại giải, có học sinh nản, khơng chịu suy nghĩ, tìm tòi cách giải tốn có Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số toán phương pháp VÉC TƠ pt, hệ pt dùng pp giải thông