Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi.. Đa số học sinh đã giải quyết được những dạng phương trình lượng giác cơ
Trang 1PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi Đa số học sinh đã giải quyết được những dạng phương trình lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự giải quyết tốt khi gặp các phương trình lượng giác trong đề thi Việc cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải phương trình lượng giác là một việc làm
cần thiết Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải
một số dạng phương trình lượng giác”
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận của vấn đề
a) Phương trình lượng giác cơ bản:
+) sinx= m
2
2
k x
k x
).
(k z
Với m 1và sin =m (có thể lấy arcsinm)
+) cosx= m x k2 (k z).
Với m 1 và cos =m (có thể lấy arccosm)
+) tanx= m x= k, với tan =m ( có thể lấy =arctanm) (k z).
+) cotx= m x= k, với cot = m ( có thể lấy arccotm) (k z).
b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
+) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x) ( f(x) là một biểu thức lượng giác nào đó) Đặt ẩn phụ: t= f(x)
+)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2 0) Biến đổi vế trái về dạng: Csin(x+ ) hoặc Ccos(x+ )
+) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= 0 ( a2+ b2+ c2 0)
Chia hai vế cho cos2x( với cosx 0), hoặc chia hai vế cho sin2x( với sinx 0) +) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d (a2+b2+c2 0 )
Viết: d= d(sin2x+ cos2x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
+) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
4 cos(
2 ) 4 sin(
2 x x (đk: t 2)
2
1 cos
sin
2
x
x phương trình bậc hai ẩn t
Trang 2+) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
4 cos(
2 ) 4 sin(
2 x x (đk: t 2)
2 1 cos sin 2 t x x phương trình bậc hai ẩn t Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau
2 Thực trạng vấn đề
Khi gặp bài toán giải lượng giác ở phức tạp, học sinh rất lúng túng trong cách giải quyết.Tuy nhiên khi nắm bắt được quy luật của một số dạng toán thì khó khăn sẽ được giải quyết
3 Giải pháp và tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 4 phương pháp Mỗi phương pháp tôi đưa ra một số các ví dụ và các bài tập áp dụng, các ví dụ này chủ yếu trong các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi các năm gần đây và một số bài tập tương
tự Sau đây là một số phương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải phương trình lượng giác
Phương pháp giải
phương trình lượng giác
đưa về phương trình tích
Phương pháp giải phương trình không mẫu mực
Phương pháp giải phương trình lượng giác: Đại số hóa bằng cách đặt ẩn phụ
Biến đổi
tổng
thành
tích
Biến đổi
tích thành tổng
Phương trình bậc 1 đối với sinx
và cosx
Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx
và cosx
Phương trình đối xứng đôí vơí sinx, cosx
Phương trình bậc 1, bậc 2 đối với các hàm số lượng giác
Phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp giải phương trình đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải
Trang 31.Phương pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng các công thức lượng giác như các công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải
Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) Giải phương trình
(sin 2x +cos2x )2 + 3cosx =2 (1a)
Giải:
Phương trình (1a) tương đương với :
sin 2
2
cos 2 x 2 x
+2sin2x cos 2x + 3cosx =2
1+ sinx + 3cosx
2
1
sinx +
2
3 cosx =
2
1
cos(x-6
) =
2 1
2 3 6
2 3 6
k x
k x
2 6
2 2
k x
k x
(kz)
Vậy nghiệm của phương trình là : x= 2 +k2, x= -6 +k2 (kz)
Ví dụ 2 Giải phương trình :
sin2xcosx + 3cos3x =2- cos2xsinx (3a)
Giải:
Phương trình (3a) tương đương với :
12 (sin3x +sinx ) + 3cos3x = 2- 21 (sin3x - sinx)
sin3x + 3cos3x= 2
2
1
sin3x +
2
3 cos3x = 1
cos( 3x
6
)= 1 3x
6
= k2 x =18 - k23 (kz) Vậy phương trình có nghiệm là: x= 18 -k23 (kz)
Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005) Giải phương trình:
cos23xcos2x - cos2x = 0 (4a)
Giải
Phương trình (4a) tương đương với :
(1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = 0
Trang 4 cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = 0
cos6x cos2x -1= 0
2
1
(cos4x + cos8x )- 1= 0
cos8x+ cos4x- 2= 0
2cos24x + cos4x - 3 = 0 cos 4 1
1 4 cos
2
3 4
cos
x x
x
+) cos4x = 1 4x = k2 x = k2 (kz)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
2
k
(kz)
Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003)
1 cos 2
) 4 2 ( sin 2 cos ) 3 2
x
x
(5a) Giải
Đk: cosx21 (*)
Phương trình (5a) tương đương với:
(2- 3)cosx - [1- cos(x-2 )] = 2cosx- 1
(2- 3)cosx - 1+ cos(x-2 ) = 2cosx - 1
(2- 3)cosx - 1+ sinx = 2 cosx 1
2 cosx - 1- 3cosx + sinx = 2 cosx - 1
sinx = 3cosx tanx = 3 x=
3
+ k ( k z)
Kết hợp với điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x= 3 +(2k’+ 1) ( k’z)
Ví dụ 5 (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình :
cos( 2x+ )
4
+ cos( 2x- 4 )+ 4sinx = 2+ 2(1- sinx) (6a)
Giải:
Phương trình (6a) tương đương với :
2 cos2x.cos
4
+ 4 sinx + 2sinx - 2 - 2 = 0 2 cos2x + ( 4 - 2)sinx - 2 - 2= 0
2 2 sin2x - (4 + 2) sinx + 2 = 0 (*)
Trang 5
2 6 5
2 6 2
1 sin 2
sin
2
1 sin
k x
k x
x x
x
(kz)
Vậy phương trình có nghiệm là: x= 2
6 k , x= 2
6
5
k
(kz)
Ví dụ 6:(HSG-2011) Giải phương trình.
(1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0 (7a) Giải
Phương trình(7a) tương đương với:
1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= 0
cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx
5
2 sin 5
1 2 sin 5
2 2 cos
5
1
Đặt: ,
5
1 sin
5
2 cos sin cos2x+ cos sin2x= sin sin2x- cos cosx
sin( 2x ) cos( x) )
2 sin(
) 2
2 2 2
2 2 2
k x
x
k x
x
3
2 3
2 3
2 2
k x
k x
(kz)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=- 2
2 k hoặc x=
3
2 3
2 3
k
(kz)
*Một số bài tập tương tự
Giải các phương trình sau :
1.(Đại học khối B- 2004) 5 sinx- 2 = 3( 1 - sinx ) tan2x
2.( Đại học khối B- 2003 ) cotx - tanx + 4 sin2x =sin22x
3 (Đại học khối A - 2009) (1(12sin2sinx)(x1)cossinx x)
= 3
4.(Đại học khối D- 2009) 3cos5x - 2 sin3x cos2x -sinx= 0
5.(Đại học khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình : 5( sinx + )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos
x
x x
= cos2x +3 6.(Đại học khối D - 2005) cos4x +sin4x +cos(x- )
4
sin(3x- )
4
- 23 = 0
Trang 67 4sin2 2
x
- 3cos2x = 1 + cos 2( x- 4
3 ) 8.(Đại học khối B- 2009) sinx + cosx.sin2x + 3 cos3x= 2 ( cos4x + sin3x)
9 tanx= cotx+ 2sincos24x x
2 Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương trình đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x);
t= sinu(x)+ cosu(x) ( Chú ý đk ẩn phụ) Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như: t=
3
2x
, t=
2 6
x
)
Ví dụ 1 Giải phương trình :
3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b)
Giải.
Phương trình ( 2b) tương đương với:
3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0 (2b/ )
Đặt sinx + cosx = t ( t 2 ) sinx.cosx =
2
1 2
t
Phương trình ( 2b/ ) trở thành:
3t + 2t2 - 2+3 = 0 2t2 +3t+ 1 = 0 ( / )
2 1
1
m t t
t
+) Với t= -1 sinx + cosx = -1 2sin( x +
4
) = - 1
sin(x + )
4
= - 12 = sin(- )
4
2
2 2
k x
k x
(kz) +)Với t = - 21 sinx + cosx = -21 2sin( x + )
4
= -12
sin( x + 4 ) = -212
2 ) 2 2
1 arcsin(
4 3
2 ) 2 2
1 arcsin(
4
k x
k x
Vậy phương trình có các nghiệm là:
x=-2 +k2 , x= +k2 , x=
4
arcsin(-212 )+k2 , x=34 +arcsin(-212 ) (kz)
Trang 7Ví dụ 2 Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= 3 ( 3b)
Giải:
ĐK: cosx 0
Đặt tanx= t sin2x=1 2
2
t
t
Phương trình (3b) trở thành:
1 2
2
t
t
+ 2t= 3 2t3- 3t2+ 4t- 3= 0 t= 1
+) Với t= 1 tanx= 1 x k
4 (kz)
Vậy phương trình có nghiệm là: x= k
4 (kz)
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3cosx+ 4sinx+ 6
1 sin 4 cos 3
6
x (4b) Giải
Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t 3cosx+ 4sinx= t- 1(t o).
Phương trình (4b) trở thành: t- 1+ 6 6
t t2- t+ 6= 6t t2 -7t+ 6= 0
1
6
t t
+) Với t= 6 4sinx+ 3cosx+ 1= 6 4sinx+ 3cosx= 5
5
4 cos
5
3
x sin cosx cos sinx 1 (sin 53, cos 54 )
sin(x+ )= 1 2
x
2k
5
4 cos 5
3
(sin 53 , cos 54) x k x k (kz)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=- 2
2k
, x=- k (kz)
Ví dụ4: Giải phương trình:
sin3x - 6 sin2xcosx + 11sinxcos2x - 6 cos3x =0 (4b)
Giải:
+) Nếu cosx = 0 x=2 +k (kz)
Phương trình trở thành : 1 = 0 vô lý Vậy cosx 0
Trang 8Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos3x 0
khi đó phương trình (4b) trở thành:
tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0 (4b/)
Đặt: tanx=t
(4b/) t3 - 6t2 +11t - 6 = 0 ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0
(t- 1) (t-2) ( t- 3) = 0
3 2 1
t t t
+)Với t=1 tanx =1 x= 4 +k (k z)
+)Với t =2 tanx = 2 x= + l (lz , tan =2)
+)Với t= 3 tanx= 3 x= +m (mz ,tan = 3)
Vậy nghiệm của phương trình là: x= 4 +k , x= +l , x= +m
( k, l, m z ; tan =2 ;tan =3)
Ví dụ5 Giải phương trình: sin(2x+ ) 1
6 cos(
)
x
Giải.
6
2 6
k t
k t
t t
t t
t
3
2 2
1 cos
0 cos
0 cot cos
2 1
cos )
2 2
+) t= k x k x k
3
2 2
6 2
2
2 3 6
2
3 k x k x k (kz)
6
2 3 6
2
Vậy các nghiệm của phương trình là:
).
( 2 6 , 2 2
,
3
x
Ví dụ6 (HSGT-2009)
4 sin(
2 sin ) 4 3
Giải
Đặt: t x4.Phương trình đã cho trở thành:
Trang 92 4
2 0
2
sin
0 cos
sin 1
sin
0 sin
0 sin
sin
sin 2
cos 3
sin sin
) 2 2
sin(
) 3
sin(
2 3
k x
k t t
t t
t
t t
t
t t
t t
t t
Vậy các nghiệm của phương trình là: ( ).
2
x
(*) Một số bài tập tương tự:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1 (HVQHQT- 2000) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =23
2 ( Đại học dự bị khối B- 2004) 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
3 (ĐHGTVT - 2001) sin4x + sin4( x+ 4 ) + sin4(x -4 ) = 89
4 (ĐHQGNH - 2000) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
5 2sin3x + 4 cos3x = 3sinx
6 8 cos3( x+3 ) = cos3x
7 4cos3x +3 2sin2x = 8 cosx
8 3sin2 2xcos(32 2x
) + 3sin2 2x cos 2x =sin2x cos2 2
x
+sin2(2x 2
)cos2x
Bài 2: Cho phương trình:
cos6x + sin6x = msin2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3: Cho phương trình :
(2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả mãn: 0x
Bài 4: Cho phương trình
m(sinx+ cosx) +1+ 21 (tanx +cotx+sin1x +cos1 x) =0
a) Giải phương trình khi m=21
b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 2 )
Trang 103.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích.
Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong các đề thi đại học mấy năm gần đây Phương pháp này không phức tạp về tính toán, về thủ thuật biến đổi nhưng đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác để tạo các biến thức chung
Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả:
+) cos2x = 1 -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx)
+) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx)
+) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx)
+) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2
+) 1- sin2x = 1- 2 sinxcosx =(sinx-cosx)2
Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008) Giải phương trình :
2sinx( 1 + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a)
Giải.
Phương trình (3a) tương đương với:
2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx
4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ 2 cosx
2 sinxcosx ( 1+ 2cosx) = 1 + 2cosx
(1 + 2 cosx) (2 sinxcosx - 1) = 0
0 1 cos sin
2
0 1 cos
2
x x
x
1 2 sin
2
1 cos
x
x
k x
k x
k x
4
2 3 2
2 3 2
(kz)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x=23 +k2 , x=-23 +k2 , x=4 +k ( kz)
Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình:
sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (3b)
Giải.
Phương trình (3b) tương đương với:
sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x
2
6 cos
+ 1cos212x =1 cos2 10x + 1cos2 8x
Trang 11 cos12x - cos6x = cos8x - cos10x
- 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx
2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0
x x
x
3 sin sin
0 9
sin
2 3
2 3 9
k x x
k x x
k x
2 2 9
k x
k x
k x
(kz)
Vậy các nghiệm của phương trình là: x = k9 , x = k2 (kz)
Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ) Giải phương trình
cotx -1 = 1costan2x x
+sin2x - 21 sin2x (3c)
Giải.
Điều kiện xác định:
0
s in
0 cos
1 tan
x x
(*) Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với:
cossinx x - 1 =
x
x x
tan 1
sin
+ sin2x - 21 2sinxcosx
x
x x
sin
sin
cos
x x
x x
x x
x
sin cos
) sin )(cos
sin (cos
cos
- sinx(cosx- sinx)
cos sinx xsinx = cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx)
(cosx - sinx) ( 1 -sinxcosx + sin2x) = 0
0 sin cos
sin
1
0 sin cos
2 x x
x
x x
+) cosx -sinx = 0 tanx = 1 x= 4 + k (kz)
+) 1 - sinxcosx +sin2x = 0 1 - 21 sin2x + sin2x = 0
2 - sin2x + (1 - cos2x) = 0 sin2x + cos2x = 3 (vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là: x= 4 + k (kz)
Ví dụ 4: (ĐHQG HN-99) Giải phương trình.
cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x) (3d)
Giải
Phương trình (3d) tương đương với:
Trang 122cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 0
cos6x ( 2 cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = 0
cos6x cos2x - sin6x cos2x = 0
cos2x ( cos6x - sin6x ) = 0
cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0
cos22x ( 1 - sin2x.cos2x) = 0 cos22x (1 - 41 sin22x) = 0
cos2x = 0 2x = 2 +k x= 4 + k2 ( kz)
Vậy phương trình có nghiệm là: x =4 + k2 (kz)
Ví dụ5 (Đại học khối A- 2011) Giải phương trình:
x
x
x 2sin sin2
cot 1
2 cos 2
sin 1
(3e)
Giải.
ĐK: x k ( k z)
Phương trình (3e) tương đương với:
sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) = 2sinxsin2x
sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2 2sinxcosx
2 sin
cos
0 cos
x x
x
1 ) 4 sin(
2
x
k x
m x
k x
2 4
4 (m, k z)
Vậy phương trình có nghiệm là: x = k
4 , x = 2m
4 (m, k z)
Ví dụ 6 (Đại học khối B- 2011) Giải phương trình:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
Giải:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx
sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0
cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= 0
(cos2x+ cosx)(sinx-1) = 0
2 2
3
2 3 1
sin
cos 2
cos
k x
k x
x
x x