Nâng cao kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ . Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được những dạng phương trình lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự giải quyết tốt khi gặp các phương trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải phương trình lượng giác là một việc làm cần thiết. Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác” PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận của vấn đề a) Phương trình lượng giác cơ bản: +) sinx= m ⇔ +−= += παπ πα 2 2 kx kx ).( zk ∈ Với m 1≤ và sin α =m (có thể lấy = α arcsinm). +) cosx= m πα 2kx +±=⇔ ).( zk ∈ Với m ≤ 1 và cos α =m (có thể lấy = α arccosm). +) tanx= m ⇔ x= πα k + , với tan α =m ( có thể lấy α =arctanm) ).( zk ∈ +) cotx= m ⇔ x= πα k + , với cot α = m ( có thể lấy = α arccotm) ).( zk ∈ b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản. +) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x) ( f(x) là một biểu thức lượng giác nào đó). Đặt ẩn phụ: t= f(x) +)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx+ bcosx= c (a 2 +b 2 ≠ 0) Biến đổi vế trái về dạng: Csin(x+ α ) hoặc Ccos(x+ β ) +) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. asin 2 x+ bsinxcosx+ ccos 2 x= 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0) Chia hai vế cho cos 2 x( với cosx ≠ 0), hoặc chia hai vế cho sin 2 x( với sinx ≠ 0) +) Phương trình dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ ccos 2 x= d. (a 2 +b 2 +c 2 0≠ ). Viết: d= d(sin 2 x+ cos 2 x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. +) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0 Đặt: t= sinx+ cosx= ) 4 cos(2) 4 sin(2 ππ −=+ xx (đk: t 2≤ ) 1 2 1 cossin 2 − =⇒ t xx ⇒ phương trình bậc hai ẩn t. +) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= 0 Đặt: t= sinx- cosx= ) 4 cos(2) 4 sin(2 ππ +−=− xx (đk: t 2≤ ). 2 1 cossin 2 t xx − =⇒ ⇒ phương trình bậc hai ẩn t. Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau 2. Thực trạng vấn đề . Khi gặp bài toán giải lượng giác ở phức tạp, học sinh rất lúng túng trong cách giải quyết.Tuy nhiên khi nắm bắt được quy luật của một số dạng toán thì khó khăn sẽ được giải quyết. 3. Giải pháp và tổ chức thực hiện Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 4 phương pháp. Mỗi phương pháp tôi đưa ra một số các ví dụ và các bài tập áp dụng, các ví dụ này chủ yếu trong 2 Phương pháp giải phương trình lượng giác Phương pháp giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích Phương pháp giải phương trình không mẫu mực Phương pháp giải phương trình lượng giác: Đại số hóa bằng cách đặt ẩn phụ Biến đổi tổng thành tích Biến đổi tích thành tổng Phương trình bậc 1 đối với sinx và cosx Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx Phương trình đối xứng đôí vơí sinx, cosx Phương trình bậc 1, bậc 2 đối với các hàm số lượng giác Phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp giải phương trình đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi các năm gần đây và một số bài tập tương tự. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình lượng giác 1.Phương pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng các công thức lượng giác như các công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải. Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) .Giải phương trình (sin 2 x +cos 2 x ) 2 + 3 cosx =2 (1a) Giải: Phương trình (1a) tương đương với : 2 sin 2 cos 22 xx + +2sin 2 x cos 2 x + 3 cosx =2 ⇔ 1+ sinx + 3 cosx ⇔ 2 1 sinx + 2 3 cosx = 2 1 ⇔ cos(x- 6 π ) = 2 1 ⇔ +−=− +=− π ππ π ππ 2 36 2 36 kx kx ⇔ +−= += π π π π 2 6 2 2 kx kx (k ∈ z) Vậy nghiệm của phương trình là : x= 2 π +k2 π , x= - 6 π +k2 π (k )z∈ . Ví dụ 2 . Giải phương trình : sin2xcosx + 3 cos3x =2- cos2xsinx (3a) Giải: Phương trình (3a) tương đương với : 2 1 (sin3x +sinx ) + 3 cos3x = 2- 2 1 (sin3x - sinx) ⇔ sin3x + 3 cos3x= 2 ⇔ 2 1 sin3x + 2 3 cos3x = 1 ⇔ cos( x3 6 − π )= 1 ⇔ x3 6 − π = k2 π ⇔ x = 18 π - 3 2 π k (k ∈ z) Vậy phương trình có nghiệm là: x= 18 π - 3 2 π k (k ∈ z) Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005). Giải phương trình: cos 2 3xcos2x - cos 2 x = 0 (4a) 3 Giải Phương trình (4a) tương đương với : (1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = 0 ⇔ cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = 0 ⇔ cos6x cos2x -1= 0 ⇔ 2 1 (cos4x + cos8x )- 1= 0 ⇔ cos8x+ cos4x- 2= 0 ⇔ 2cos 2 4x + cos4x - 3 = 0 ⇔ 14cos 14cos 2 3 4cos =⇒ = −= x x x . +) cos4x = 1 ⇔ 4x = k2 π ⇔ x = 2 π k (k ∈ z). Vậy phương trình có nghiệm là: x= 2 π k (k ∈ z). Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003). Giải phương trình: 1 1cos2 ) 42 (sin2cos)32( 2 = − −−− x x x π (5a) Giải Đk: cosx 2 1 ≠ (*) Phương trình (5a) tương đương với: (2- 3 )cosx - [1- cos(x- 2 π )] = 2cosx- 1 ⇔ (2- 3 )cosx - 1+ cos(x- 2 π ) = 2cosx - 1 ⇔ (2- 3 )cosx - 1+ sinx = 2 cosx 1 ⇔ 2 cosx - 1- 3 cosx + sinx = 2 cosx - 1 ⇔ sinx = 3 cosx ⇔ tanx = 3 ⇔ x= 3 π + k π ( k z∈ ). Kết hợp với điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x= 3 π +(2k ’ + 1) π ( k ’ ∈ z). Ví dụ 5 (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình : cos( 2x+ ) 4 π + cos( 2x- 4 π )+ 4sinx = 2+ 2 (1- sinx) (6a) 4 Giải: Phương trình (6a) tương đương với : 2 cos2x.cos 4 π + 4 sinx + 2 sinx - 2 - 2 = 0 ⇔ 2 cos2x + ( 4 - 2 )sinx - 2 - 2 = 0 ⇔ 2 2 sin 2 x - (4 + 2 ) sinx + 2 = 0 (*) ⇔ += += ⇔=⇔ = = π π π π 2 6 5 2 6 2 1 sin 2sin 2 1 sin kx kx x x x (k ∈ z). Vậy phương trình có nghiệm là: x= π π 2 6 k+ , x= π π 2 6 5 k+ (k ∈ z). Ví dụ 6:(HSG-2011) Giải phương trình. (1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0. (7a) Giải. Phương trình(7a) tương đương với: 1- sinx-2sin 2 x+ 2cosx+ 2sin2x= 0 ⇔ cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx ⇔ xxxx cos 5 2 sin 5 1 2sin 5 2 2cos 5 1 −=+ Đặt: , 5 1 sin = α 5 2 cos = α ⇒ sin α cos2x+ cos α sin2x= sin α sin2x- cos α cosx )cos()2sin( xx +−=+⇔ αα ) 2 sin()2sin( π αα −+=+⇔ xx ⇔ ++−−=+ +−+=+ π π απα π π αα 2 2 2 2 2 2 kxx kxx ⇔ +−= +−= 3 2 3 2 3 2 2 παπ π π k x kx (k )z∈ Vậy phương trình có nghiệm là: x=- π π 2 2 k+ hoặc x= 3 2 3 2 3 παπ k +− (k )z∈ *Một số bài tập tương tự Giải các phương trình sau : 1.(Đại học khối B- 2004). 5 sinx- 2 = 3( 1 - sinx ) tan 2 x 5 2.( Đại học khối B- 2003 ) . cotx - tanx + 4 sin2x = x2sin 2 3. (Đại học khối A - 2009). )sin1)(sin21( cos)sin21( xx xx −+ − = 3 4.(Đại học khối D- 2009). 3 cos5x - 2 sin3x cos2x -sinx= 0 5.(Đại học khối A - 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 π ) của phương trình : 5( sinx + ) 2sin21 3sin3cos x xx + + = cos2x +3 6.(Đại học khối D - 2005) . cos 4 x +sin 4 x +cos(x- ) 4 π .sin(3x- ) 4 π - 2 3 = 0 7. 4sin 2 2 x - 3 cos2x = 1 + cos 2 ( x- 4 3 π ) 8.(Đại học khối B- 2009) . sinx + cosx.sin2x + 3 cos3x= 2 ( cos4x + sin 3 x) 9. tanx= cotx+ x x 2sin 4cos2 . 2. Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ. Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương trình đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x); t= sinu(x)+ cosu(x) ( Chú ý đk ẩn phụ). Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như: t= 3 2x , t= 26 x + π ). Ví dụ 1. Giải phương trình : 3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b). Giải. Phương trình ( 2b) tương đương với: 3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0 (2b / ) Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ 2 ) ⇒ sinx.cosx = 2 1 2 −t Phương trình ( 2b / ) trở thành: 3t + 2t 2 - 2+3 = 0 ⇔ 2t 2 +3t+ 1 = 0 ⇔ )/( 2 1 1 mt t t −= −= +) Với t= -1 ⇒ sinx + cosx = -1 ⇔ 2 sin( x + 4 π ) = - 1 6 ⇔ sin(x + ) 4 π = - 2 1 = sin(- ) 4 π ⇔ += +−= ππ π π 2 2 2 kx kx (k ∈ z) +)Với t = - 2 1 ⇒ sinx + cosx = - 2 1 ⇔ 2 sin( x + ) 4 π = - 2 1 ⇔ sin( x + 4 π ) = - 22 1 ⇔ +−−= +−+ − = π π π π 2) 22 1 arcsin( 4 3 2) 22 1 arcsin( 4 kx kx Vậy phương trình có các nghiệm là: x=- 2 π +k2 π , x= π +k2 π , x= + − 4 π arcsin(- 22 1 )+k2 π , x= 4 3 π +arcsin(- 22 1 ) (k )z∈ Ví dụ 2 . Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= 3 ( 3b) Giải: ĐK: cosx 0≠ Đặt tanx= t ⇒ sin2x= 2 1 2 t t + . Phương trình (3b) trở thành: 2 1 2 t t − + 2t= 3 ⇔ 2t 3 - 3t 2 + 4t- 3= 0 ⇔ t= 1. +) Với t= 1 ⇔ tanx= 1 π π kx +=⇔ 4 (k )z∈ Vậy phương trình có nghiệm là: x= π π k+ 4 (k )z∈ Ví dụ 3: Giải phương trình: 3cosx+ 4sinx+ 6 1sin4cos3 6 = ++ xx (4b) Giải. Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t ⇒ 3cosx+ 4sinx= t- 1( ).ot ≠ Phương trình (4b) trở thành: t- 1+ 6 6 = t ⇔ t 2 - t+ 6= 6t ⇔ t 2 -7t+ 6= 0 = = ⇔ 1 6 t t +) Với t= 6 ⇒ 4sinx+ 3cosx+ 1= 6 ⇔ 4sinx+ 3cosx= 5 7 ⇔ 1sin 5 4 cos 5 3 =+ xx ⇔ sin 1sincoscos =+ xx αα (sin 5 3 = α , cos 5 4 = α ) ⇔ sin(x+ ) α = 1 π π α 2 2 kx +=+⇔ ⇔ x= - π π α 2 2 k++ (k )z∈ +)Vớit=1 ⇒ 3cosx+4sinx=0 0sin 5 4 cos 5 3 =+⇔ xx 0)sin( =+⇔ α x (sin 5 3 = α , cos 5 4 = α ) πα kx =+⇒ πα kx +−=⇒ (k )z∈ . Vậy phương trình có nghiệm là: x=- π π α 2 2 k++ , x=- πα k + (k )z∈ Ví dụ4: Giải phương trình: sin 3 x - 6 sin 2 xcosx + 11sinxcos 2 x - 6 cos 3 x =0 (4b) Giải: +) Nếu cosx = 0 ⇒ x= 2 π +k π (k ∈ z) Phương trình trở thành : ± 1 = 0 vô lý . Vậy cosx ≠ 0 . Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos 3 x ≠ 0 khi đó phương trình (4b) trở thành: tan 3 x- 6tan 2 x+11tanx-6=0 (4b / ) Đặt: tanx=t. (4b / ) ⇔ t 3 - 6t 2 +11t - 6 = 0 ⇔ ( t- 1)( t 2 - 5t +6) =0 ⇔ (t- 1) (t-2) ( t- 3) = 0 ⇔ = = = 3 2 1 t t t +)Với t=1 ⇒ tanx =1 ⇒ x= 4 π +k π (k ∈ z) +)Với t =2 ⇒ tanx = 2 ⇒ x= α + l π (l ∈ z , tan α =2) +)Với t= 3 ⇒ tanx= 3 ⇒ x= β +m π (m ∈ z ,tan β = 3) Vậy nghiệm của phương trình là: x= 4 π +k π , x= α +l π , x= β +m π ( k, l, m ∈ z ; tan α =2 ;tan β =3). Ví dụ5 . Giải phương trình: sin(2x+ 1) 6 cos() 6 −−= ππ x Giải. Đặt: x- 2 2 6 2 6 πππ +=+⇒= txt 8 +±= += ⇒ = = ⇔ =−⇔−=+ π π π π π kt kt t t ttt 3 2 2 1 cos 0cos 0cotcos21cos) 2 2sin( 2 +) t= π π π ππ π π kxkxk +=⇒+=−⇒+ 3 2 262 +) t= π π π ππ π π 2 2 2 36 2 3 kxkxk +=⇔+=−⇒+ (k )z∈ +) t=- π π π ππ π π 2 6 2 36 2 3 kxkxk + − =⇔+−=−⇒+ Vậy các nghiệm của phương trình là: ).(2 6 ,2 2 , 3 2 zkkxkxkx ∈+ − =+=+= π π π π π π Ví dụ6 (HSGT-2009) Giải phương trình: ) 4 sin(.2sin) 4 3sin( ππ +=− xxx Giải. Đặt: 4 π += xt .Phương trình đã cho trở thành: 242 02sin 0cos.sin 1sin 0sin 0sinsin sin2cos3sinsin) 2 2sin()3sin( 2 3 πππ π π kxktt tt t t tt tttttt +−=⇒=⇔=⇔ =⇔ = = ⇔=−⇔ −=−⇔−=− Vậy các nghiệm của phương trình là: ).( 24 zkkx ∈+−= ππ . (*) Một số bài tập tương tự: Bài 1: Giải các phương trình sau: 9 1. (HVQHQT- 2000) . cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 2 3 2. ( Đại học dự bị khối B- 2004). 4(sin 3 x + cos 3 x) = cosx + 3sinx 3. (ĐHGTVT - 2001) . sin 4 x + sin 4 ( x+ 4 π ) + sin 4 (x - 4 π ) = 8 9 . 4. (ĐHQGNH - 2000) . 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 5. 2sin 3 x + 4 cos 3 x = 3sinx 6. 8 cos 3 ( x+ 3 π ) = cos3x 7. 4cos 3 x +3 2 sin2x = 8 cosx 8. 2 sin3 2 x cos( 22 3 x + π ) + 2 sin3 2 x cos 2 x =sin 2 x cos 2 2 x +sin 2 ( 22 π + x )cos 2 x Bài 2: Cho phương trình: cos 6 x + sin 6 x = msin2x a) Giải phương trình khi m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Cho phương trình : (2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos 2 x a) Giải phương trình khi m=1 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả mãn: 0 π ≤≤ x Bài 4: Cho phương trình . m(sinx+ cosx) +1+ 2 1 (tanx +cotx+ xsin 1 + xcos 1 ) =0 a) Giải phương trình khi m= 2 1 b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 2 π ). 3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích. Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong các đề thi đại học mấy năm gần đây. Phương pháp này không phức tạp về tính toán, về thủ thuật biến đổi nhưng đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác để tạo các biến thức chung. Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả: 10 [...]... (sin2x + cos2x) cosx + 2 cos2x -sinx = 0 14 4 Phương pháp 4 : Phương pháp đánh giá Xét phương trình: f(x)= g(x) (c) f ( x) = A g ( x) = A Trong đó f(x) ≥ A; g(x) ≤ A , suy ra (c) ⇔ +)Chú ý một số bất đẳng thức cơ bản: -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ sinnx ≤ sin2x -1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ cosnx ≤ cos2x Ví dụ 1 Giải phương trình sau: cos2x + cos (n ≥ 2) 3x -2=0 4 (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với: cos2x + cos Do:... của phương trình là: Ví dụ 2 Giải phương trình sau: sinx.cos4x = 1 Giải ⇔ x=k8 π (k ∈ z) x=k8 π (k∈ z) sinx.cos4x = 1 ⇔ sin 5 x − sin 3 x = 2 Do: -1 ≤ sin5x ≤ 1, -1 ≤ - sin3x ≤ 1 nên sin5x-sin3x ≤ 2 Phuwowng trình đã cho tương đương với: π k 2π x= + sin 5 x = 1 π 10 5 ⇔ ⇒ x = + t 2π 2 sin 3 x = −1 x = − π + k 2π 6 3 Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ 3 π 2 + t 2π (k∈ z) Giải phương. .. ≤ cos2x + sin2 x = 1 Phương trình (4a) dẫn tới hệ: cos x = 0 cos 2 x(1 − cos 3 x) = 0 cos x + sin x = 1 2 sin x = 1 3 ⇔ sin x (1 − sin x) = 0 ⇔ cos 2 x + sin 2 x = 2 cox = 1 cos 2 x + sin 2 x = 2 cos 2 x + sin 2 x = 2 5 5 Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 5 Giải phương trình: cos3x + 2 − cos 2 3x =2 (1+sin22x) (4b) Giải: 16 Ta có: 2(1+... được như sau: Lớp Sĩ số Điểm < 5 Điểm ∈[5; 8) Điểm ≥ 8 Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 9 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 2 4,2% PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy và sáng tạo cái mới và hướng dẫn học sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương... 2 cos x(1 − cos 2010 x) = 0 cos 2 x = 0 2010 x =1 cos Vậy nghiệm của phương trình là : x =k sin x = 0 π cos x = 0 ⇔ x = k 2 (k∈ z) π (k∈ z) 2 Qua ví dụ 3, ta có bài toán tổng quát: Giải phương trình : sinnx + cosnx = 1 ( n ≥ 2, n∈ z) Ví dụ 4 Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = 1 + 2 Giải Ta có: cos2x + sin2x = 2 sin( 2x + π )≤ 4 (4a) 2 cos2x( 1- cos3x ) ≥ 0 (vì -1... giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh Qua đề tài này tôi thu được một số bài học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau - Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ , cô đọng Trên đây là một. .. sinxcosx +sin2x = 0 ⇔ 1 - π + k π (k∈ z) 4 1 sin2x + sin2x = 0 2 ⇔ 2 - sin2x + (1 - cos2x) = 0 ⇔ sin2x + cos2x = 3 (vô nghiệm) Vậy nghiệm của phương trình là: x= π + kπ 4 (k∈ z) Ví dụ 4: (ĐHQG HN-99) Giải phương trình cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x) (3d) 12 Giải Phương trình (3d) tương đương với: 2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 0 ⇔ cos6x ( 2 cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = 0 ⇔ cos6x cos2x - sin6x cos2x... 1 - sin2x.cos2x) = 0 ⇔ cos22x (1 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2x = 1 sin22x) = 0 4 π π π +k π ⇔ x= + k ( k∈ z) 2 4 2 Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ5 (Đại học khối A- 2011) π π + k (k∈ z) 4 2 Giải phương trình: 1 + sin 2 x + cos 2 x = 2 sin x sin 2 x 1 + cot 2 x (3e) Giải ĐK: x ≠ k π ( k ∈ z) Phương trình (3e) tương đương với: sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) = 2 sinxsin2x ⇔ sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2 2 sinxcosx... Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) dẫn tới hệ sau: 2(1 + sin 2 2 x) = 2 cos 3x + 2 − cos 2 3x = 2 ⇔ π x = k 2 sin 2 x = 0 ⇔ ⇔ x = l 2π cos 3x = 1 sin 2 x = 0 cos 3x = 2 − cos 2 3 x (k,l ∈ z) ⇔ x=2n π (n∈ z) 3 Vậy nghiệm của phương trình là: x= 2n π ( n∈ z) Ví dụ 6: (ĐH Y Thái Bình) Giải phương trình: sin2x + sin 2 3x (cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x 3 sin 4 x Giải: ... 3 4 Kiểm nghiệm Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượng tương đương là lớp 11M và 11N Trong đó lớp 11N chưa được rèn 18 luyện kỹ về các phương pháp này, sau đó cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi như nhau ĐỀ KIỂM TRA(45 phút) Giải các phương trình lượng giác sau: 1 (2đ) 5sinx - 2 = 3(1- sinx) tan2x 2 (2đ) 3 (2đ) sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 tan x + 3 . lượng giác Phương trình lượng giác cơ ba n Phương pháp giải phương trình đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi các năm gần đây và một. khi gặp các phương trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải phương trình lượng giác là một việc làm cần thi t. Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Rèn luyện. VẤN ĐỀ . Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi đại học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được những dạng phương trình lượng giác