SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11SKKN Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG T.H.P.T ĐỨC HỢP SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY RỘNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 Lĩnh vực: Toán học Họ tên: LÊ THỊ HINH Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THPT Đức Hợp Năm học: 2015- 2016 MỤC LỤC NĂM HỌC 2015-2016 Nội dung Trang PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1 Lý chọn đề tài .1 Cơ sở thực tiễn Nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học đề tài Đóng góp đề tài Hướng phát triển đề tài…………………………… 10 Cấu trúc đề tài PHẦN II NỘI DUNG Kiến thức lý thuyết Các công thức lượng giác suy rộng toán áp dụng 2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có tốn áp dụng 2.2 Tìm cơng thức lượng giác phù hợp giải phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) toán áp dụng 12 Tổ chức thực nghiệm đối chứng 21 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 Kết luận 25 Kiến nghị 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 PHỤ LỤC 27 PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn vào nhiệm vụ mục tiêu giáo dục phổ thông nước ta thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, để thực điều người giáo viên phải tích cực đổi phương pháp dạy học từ PPDH theo lối “Truyền thụ chiều” sang dạy cách học, cách tiếp cận vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phải hình thành lực phẩm chất, từ dần thay đổi cách kiểm tra đánh giá từ kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra, đánh giá lực vận dụng kiến thức giải vấn đề để tác động kịp thời nhằm thúc đẩy học sinh ham học hỏi, khám phá rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nâng cao chất lượng hoạt động dạy học giáo dục Chương trình tốn THPT nay, cụ thể chương trình lượng giác Lớp 11 phương trình lượng giác đòi hỏi lực sáng tạo học sinh xuất không nhiều sách giáo khoa, sách tập Trong nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến tập nâng cao giải phương trình lượng giác tơi thấy có tốn vận dụng cơng thức lượng giác sẵn có SGK kỹ thêm bớt, kỹ phân tích nhân tử, tập dạng cần kỹ túy hướng học sinh vào tư đường mòn mà khơng đòi hỏi tính sáng tạo, tạo hứng thú nghiên cứu cho học sinh Hơn xu hướng dạy học đổi phương pháp dạy học nhằm mục đích phát huy lực cho học sinh, tạo cho người học hứng thú học tập, nghiên cứu khoa học áp dụng vào thực tiễn sống không túy học để thi Dựa tài liệu tham khảo thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy kinh nghiệm chọn tìm hiểu nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11” Tôi tập hợp tốn đòi hỏi lực sáng tạo suy rộng cơng thức lượng giác sẵn có tìm cơng thức lượng giác phù hợp để giải lớp phương trình từ cho học sinh tự rút học kinh nghiệm nhóm tự biên soạn tập vận dụng tượng tự nộp sản phẩm, thông qua tiết học tự chọn phân phối chương trình buổi hội thảo chuyên đề nâng cao ban chuyên môn nhà trường tổ chức Đồng thời tạo cho em có cách nhìn tổng quát sâu sắc vấn đề vừa học Bồi dưỡng lực tư sáng tạo, qui lạ quen, lực biến đổi lượng giác, lực nghiên cứu tổng hợp vấn đề cần nghiên cứu Tôi hi vọng đề tài em học sinh tích cực hợp tác đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ để giúp tơi bổ sung hoàn thiện tốt đề tài Cơ sở thực tiễn Nội dung liên quan đến “Giải phương trình lượng giác” thường quan tâm kỳ thi tuyển sinh vào trường ĐH trước kỳ thi THPT Quốc gia kỳ thi học sinh giỏi cấp Mặt khác phần kiến thức khó, học sinh học phần kiến thức thường học theo hình thức ghi nhớ cơng thức lượng giác, nghiên cứu tìm tòi sáng tạo Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm 15 cơng thức lượng giác suy rộng từ vận dụng vào giải nhanh phương trình lượng giác - Từ tập thực toán tổng quát, lớp toán vận dụng nhằm hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu - Kết thúc dạng tập nhóm đưa hệ thống tập tự luyện mở rộng dạng tập Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực chuyên môn phục vụ cho công tác dạy học - Bồi dưỡng cho học lực tư sáng tao, tư phân tích, tổng hợp từ dạng tốn, từ phát triển lực tư lơgic, khái qt hố vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phát triển lực hoạt động trí tuệ, rèn luyện đức tính cần cù, cẩn thận, góp phần hình thành phẩm chất đạo đức, lực làm việc cần thiết người công dân sau Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 5.1 Phạm vi nghiên cứu Học sinh học lớp 11, 12; học sinh dự thi học sinh giỏi Tỉnh, học sinh ôn thi THPT Quốc gia 5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để giải nhanh số dạng phương trình lượng giác 5.3 Vấn đề nghiên cứu đề tài: Sử dụng phương pháp dạy học để nâng cao lực tư sáng tạo học tập mơn tốn cho học sinh THPT phần Giải phương trình lượng giác Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết công thức lượng giác, phương pháp giải phương trình lượng giác chương trình SGK Đại số giải tích 11 - Nghiên cứu phương pháp dạy học đặc biệt phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh mơn tốn - Nghiên cứu thực tế giảng dạy mơn tốn trường THPT Đức Hợp, khảo sát học sinh, qua sách báo tài liệu tham khảo môn tốn, học hỏi tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp qua tiết dự Giả thuyết khoa học đề tài Trên sơ lý luận phương pháp dạy học mơn tốn thực tiễn dạy học phương trình lượng giác biết khai thác, vận dụng thành thạo công thức lượng giác sẵn có, biết phân tích đề bài, học sinh phát huy lực suy rộng, phát công thức lượng giác phù hợp để áp dụng vào giải số dạng phương trình lượng giác khó, đòi hỏi tính sáng tạo Từ học sinh rút cho thân học kinh nghiệm, hệ thống hóa dạng tốn, tích cực, chủ động, sáng tạo việc học tập nghiên cứu Đóng góp đề tài - Bồi dưỡng cho học sinh lực suy rộng công thức lượng giác sẵn có, tìm tòi sáng tạo cơng thức lượng giác phù hợp giải nhanh số dạng phương trình lượng giác hay khó phục vụ cho học sinh tham gia kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi cấp năm - Cung cấp cho học sinh sở lý thuyết phương trình lượng giác kỹ trình bày lời giải tốn giải phương trình lượng giác - Giúp cho em học sinh rèn kỹ giải tốn khơng thấy e ngại gặp tốn khó - Giúp cho giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm đổi phương pháp nâng cao chất lượng dạy học Hướng phát triển đề tài Vì thời gian có hạn đề tài Tôi dừng lại nội dung học sinh sử dụng công thức lượng giác vào giải dạng phương trình lượng giác, hướng đề tài Tôi hướng dẫn học sinh vận dụng cơng thức vào lớp tốn chứng minh bất đẳng thức lượng giác tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số lượng giác 10 Cấu trúc đề tài Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu Phần II: Nội dung Kiến thức lý thuyết Các công thức lượng giác suy rộng toán áp dụng cơng thức, sản phẩm nhóm học sinh tự tập tương tự Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng Phần III: Kết luận khuyến nghị PHẦN II NỘI DUNG Kiến thức lý thuyết Các phương trình lượng giác bản:  Phương trình: sin x =a (1) Nếu a > phương trình (1) vơ nghiệm  x = α + k 2π Nếu a ≤ đặt sin α = a phương trình (1) có nghiệm   x = π − α + k 2π (k ∈ Z) u ( x) = v( x) + k 2π Phương trình: sin u(x)=sinv(x) ⇔  u ( x) = π − v( x) + k 2π , (k ∈ Z) Phương trình: sin x = ⇔ x = kπ π sin x = ⇔ x = + k 2π π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π (k ∈ Z)  Phương trình: cosx =a (2) Nếu a > phương trình (2) vơ nghiệm  x = α + k 2π Nếu a ≤ đặt cos α = a phương trình (1) có nghiệm   x = −α + k 2π (k ∈ Z) u ( x) = v( x) + k 2π Phương trình: cos u(x)=cosv(x) ⇔  u ( x) = −v( x) + k 2π , (k ∈ Z) Phương trình: π + kπ cos x = ⇔ x = k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z) cos x = ⇔ x =  Phương trình: tanx =a Điều kiện xác định: x ≠ (3) π + kπ (k ∈ Z) Với giá trị thực a tan α =a phương trình (3) có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z) Phương trình: tanu(x)=tanv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với u ( x) ≠ π π + kπ , v( x) ≠ + kπ 2 Với x ≠ π + kπ , k ∈ Z ta có phương trình: tan x = ⇔ x = kπ π tan x = ⇔ x = + kπ −π tan x = −1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)  Phương trình: cotx =a (4) Điều kiện xác định: x ≠ π + kπ (k ∈ Z) Với giá trị thực a cot α =a phương trình (4) có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z) Phương trình: cotu(x)=cotv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với u ( x) ≠ kπ , v( x) ≠ kπ Với x ≠ π + kπ (k ∈ Z) ta có phương trình: π + kπ π cot x = ⇔ x = + kπ −π cot x = −1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z) cot x = ⇔ x = Các công thức lượng giác suy rộng tốn áp dụng 2.1 Các cơng thức lượng giác suy rộng từ cơng thức sẵn có tốn áp dụng Hướng dẫn nhóm học sinh công thức lượng giác suy rộng từ công thức lượng giác sẵn, phát phương pháp giải nhanh xác số dạng phương trình lượng giác Từ rút học kinh nghiệm cách tổng quát hóa dạng phương trình lượng chứa cung nx ( n ∈ N* )  Công thức gốc 1: sin 3a=3sina- 4sin3a Công thức suy rộng: Hoặc: sin 3a = − 4sin a (1.1) sin a ( 4sin a − ) = sin 3a (1.2) sin a sin 3a = + cos 2a (1.3) sin a Hoặc 4sin a = − (1.4) + cos 2a sin 3a sin a Vận dụng: VD1: Giải phương trình sau: cos3x=1+8sin2x.cos3x Lời giải: cos3x=1+8sin2x.cos3x (1) Vì x= kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (1) nên áp dụng cơng thức (1.1) ta có: (1) ⇔ cos 3x ( − 4sin x ) = ⇔ cos x sin 3x = ⇔ sin x = sin x sin x 2π  ( 2k ≠ 5m, k , m ∈ Z) x = k 6 x = x + k 2π ⇔ ⇔ 6 x = π − x + k 2π  x = π + k 2π ( 2k ≠ m − 1, k , m ∈ Z)  7 2 VD2: Giải phương trình ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = (2) Lời giải: Vì x= kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (2) nên áp dụng cơng thức (1.2) ta có: (2) ⇔ sin x ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = sin x ⇔ sin x ( − 4sin x ) = sin x π  x=k  9 x = x + k 2π ⇔ sin x = sin x ⇔  ⇔ 9 x = π − x + k 2π x = π + k π  10 (k ∈ Z) Bài học kinh nghiệm: 2 n Phương trình: ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = ⇔ sin(3n +1 x) = sin x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: 2 1) ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = 2 2) 2cos 9x ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = ( ⇔ sin 27 x = sin x ) ( ⇔ cos x.sin x = sin x ⇔ sin18 x = sin x ) 3) 4sin x 12sin x 36sin x 27 + + = −1 + cos x + cos x + cos18 x sin 27 x ( ⇔ sin x = áp dụng công thức 1.4)  Công thức gốc 2: cos 3x= 4cos3x- 3cosx Công thức suy rộng: cos x = cos x − (2.1) cos x ( cos x − 3) = cos 3x (2.2) cos x Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1+ sin3x = cos2x.sin3x Lời giải: 1+ sin3x = cos2x.sin3x (3) π Vì x= + kπ (k ∈ Z ) khơng nghiệm phương trình (3) nên áp dụng CT (2.1) ta có: (3) ⇔ 2sin 3x ( cos x − 3) = cos x π  = ⇔ sin x = cos x ⇔ sin x = sin  − x ÷ cos x 2  π 2π π   x = + k x = − x + k π   14 ⇔ ⇔ π π  x = + k π (k ∈ Z) 6 x = + x + k 2π   10 ⇔ 2sin 3x 2 Ví dụ 4: Giải phương trình ( cos x − 3) ( cos x − 3) = 2 Lời giải: ( cos x − 3) ( cos x − 3) = (4) π Vì x= + kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (4) nên áp dụng CT (2.2) ta có: (4) ⇔ cos x ( cos x − 3) ( cos x − 3) = cos x ⇔ cos x ( cos x − 3) = cos x π  x=k  9 x = x + k 2π ⇔ cos x = cos x ⇔  ⇔ 9 x = − x + k 2π 9 x = k π (k ∈ Z)  2 Ví dụ 5: Giải phương trình 2sin x ( cos x − 3) ( cos x − 3) = 2 Lời giải: 2sin x ( cos x − 3) ( cos x − 3) = (5) π Vì x= + kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (5) nên áp dụng CT (3.2)ta có: Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( cos 5a cos 5a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? cos a cos a Ta có: cos 5a = cos 5a + cos 3a − (cos 3a + cos a) + cos a =2cos4a.cosa-2cos2a.cosa+cosa =cosa.(2cos4a-2cos2a+1) cos 5a ⇔ = 2cos4a-2cos2a+1 cos a Học sinh chốt công thức : cos 5a = 2cos4a-2cos2a+1 cos a Hoặc công thức suy rộng: 2cos4a-2cos2a+1 = cos a cos 5a ( cosa ≠ 0) (10) ( cosa ≠ 0, cos5a ≠ 0) ( 11) Vận dụng công thức (10), với cos x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos x ≠ ta có : (16) ⇔ cos x − cos x + + cos8 x − cos x + + cos16 x − cos8 x + = π  x=k  16 x = x + k 2π ⇔ cos16x=cos2x ⇔  ⇔ 16 x = −2 x + k 2π x = k π  Bài học kinh nghiệm: (k ∈ Z) ( t/m) với cosx ≠ 0, cos 2x ≠ 0, cos 2n x ≠ ta có phương trình: cos x cos10 x cos 5.2n x + + + = n + ⇔ cos 4.2n x=cos2x (n ∈ N) n cos x cos x cos x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: cos x cos10 x cos 20 x cos 40 x + + + =4 cos x cos x cos x cos8 x ( ⇔ cos 32 x = cos x ) cos10 x cos 20 x cos 40 x cos80 x + + + =4 cos x cos x cos8 x cos16 x cos x + cos x = cos x cos x − cos x = cos x ( ⇔ cos 64 x = cos x ) ( cos x + = ) ( cos x − = ) 17 cos x − cos x + 1 = cos x cos x ( vận dụng công thức (11) với: cos x ≠ 0, cos x ≠ ta có: 1 = 1+ cos x cos x cos x − cos x + ⇔ cos x − cos x + + = 1+ cos x cos x   ⇔ ( cos x − cos x )  − 1÷ = )  cos x  (5) ⇔ cos x − cos x + + Ví dụ 17: Giải phương trình sau: sin x sin10 x sin 20 x + + = tan x + tan x + tan x (17) cos x cos x cos x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( sin 5a sin 5a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? cos a cos a Ta có: sin 5a = sin 5a + sin 3a − (sin 3a + sin a) + sin a =2sin4a.cosa-2sin2a.cosa+sina sin a =cosa.(2cos4a-2cos2a+ ) cos a sin 5a ⇔ = 2cos4a-2cos2a+tan a cos a Học sinh chốt công thức : sin 5a = 2cos4a-2cos2a+tana ( cosa ≠ 0) (12) cos a Vận dụng công thức (12) với cos x ≠ 0, cos x ≠ 0, cos x ≠ ta có : (17) ⇔ cos x − cos x + tan x + cos8 x − cos x + tan x + cos16 x − cos x + tan x = tan x + tan x + tan x π  x=k  16 x = x + k 2π ⇔ cos16x=cos2x ⇔  ⇔ 16 x = − x + k π π  x = k  Bài học kinh nghiệm: (k ∈ Z) ( t/m) với cosx ≠ 0, cos 2x ≠ 0, cos 2n x ≠ ta có phương trình: 18 sin x sin10 x sin 5.2 n x + + + = tan x + tan x + + tan n x ⇔ cos 4.2n x=cos2x (n ∈ N) cos x cos x cos 2n x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: sin x sin10 x sin 20 x sin 40 x + + + = tan x + tan x + tan x + tan x cos x cos x cos x cos8 x ( ⇔ cos 32 x = cos x ) cos10 x cos 20 x cos 40 x cos80 x + + + = tan x + tan x + tan x + tan16 x cos x cos x cos8 x cos16 x ( ⇔ cos 64 x = cos x ) sin x cos x − =4 sin x cos x sin x = cos x + cos x + 1, sin x ( áp dụng công thức cos x = cos x − cos x + cos x Ví dụ 18: Giải phương trình sau: ta cos x = ) sin x sin x sin x + + = (18) cos x cos x cos 27 x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( sin a sin a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? cos 3a cos 3a Ta có: sin a cos a.sin a 2sin 2a.sin a = = cos 3a cos a.cos 3a cos a.cos 3a cos 3a − cos a 1 =− = ( − ) cos a.cos 3a cos 3a cos a Học sinh chốt công thức : sin a 1 = ( − ) cos 3a cos 3a cos a Vận dụng công thức (13) với cos x ≠ ta có : 19 ( cos 3a ≠ 0) (13) 1 1 1 ( − + − + − ) =0 cos x cos x cos x cos x cos 27 x cos x  27 x = x + k 2π 1 ⇔ = ⇔ cos 27 x = cos x ⇔  cos 27 x cos x  27 x = − x + k 2π (19) ⇔ π  x = k  13 ⇔ x = k π  14 (k ∈ Z) Bài học kinh nghiệm: với cos 3n +1 x ≠ ta có phương trình: sin x sin x sin 3n x + + + = ⇔ cos 3n +1 x = cos x n +1 cos x cos x cos x (n ∈ N) Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: sin x sin x sin x sin 27 x sin 81x + + + + =0 cos x cos x cos 27 x cos81x cos 243 x sin x sin x sin 27 x + + =0 cos x cos 27 x cos 81x ( ⇔ cos 243x = cos x ) ( ⇔ cos81x = cos 3x ) sin x sin x 1 + + − =0 cos x cos x cos x Ví dụ 19: Giải phương trình sau: ( ⇔ cos x = 1) 4sin x 12sin x 36sin x 27 + + = − (19) + 2cos x + 2cos x + 2cos18 x sin 27 x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( 4sin a 4sin a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? + cos 2a + cos 2a Ta có: 4sin a 4sin a = 3sin a − sin 3a ⇔ = − sin a.sin 3a sin 3a sin a 4sin a 4sin a ⇔ = − ⇔ = − sin 3a sin 3a sin a + cos 2a sin 3a sin a sin a Học sinh chốt công thức : 4sin a = − + cos 2a sin 3a sin a Vận dụng công thức (14) , với sin 27 x ≠ ta có : 20 ( sin3a ≠ 0) (14) 27 27 − + − + − = −1 sin x sin x sin x sin x sin 27 x sin x sin 27 x π ⇔ sin x=1 ⇔ x= +k2π ( k ∈ Z) ( t / m) (19) ⇔ Bài học kinh nghiệm: với ta có phương trình: với sin 3n x ≠ ta có: 4sin x 12sin 3x 4.3n −1 sin 3n −1 x 3n + + + = −1 + cos x + cos x + cos(2.3n −1 x) sin 3n x ⇔ sin x = Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: 4sin x 12sin x 36sin x 108sin 27 x 81 + + + = −1 + 2cos x + 2cos x + 2cos18 x + cos54 x sin 81x ( ⇔ sin x = 1) 2cos x − cos x − 8cos18 x − 12 + + = 1− cos x cos x cos 27 x cos 27 x (⇔ cos x = 1) Ví dụ 20: Giải phương trình sau: sin x.cos x sin x.cos x sin x.cos18 x + + = (20) cos x cos x cos 27 x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( sin a.cos 2a sin a.cos 2a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? cos 3a cos 3a Ta có: sin a.cos 2a 2sin a.sin 2a.cos 2a = cos 3a cos 3a.cos a sin(3a − a ).sin(3a + a) = cos 3a.cos a (sin 3a cos a − cos3a sin a).(sin 3a cos a + cos 3a sin a) = cos 3a.cos a (sin 3a cos a − cos 3a sin a) = cos 3a.cos a = (tan 3a − tan a) Học sinh chốt công thức : 8sin a.cos a = tan 3a − tan a ( cos 3a ≠ ) (15) cos 3a Vận dụng công thức (15), với sin 27 x ≠ ta có : 21 (20) ⇔ tan x − tan x + tan x − tan x + tan 27 x − tan x = ⇔ tan 27 x = tan x  tan 27 x = tan x ⇔  ⇔  tan 27 x = tan(− x ) Bài học kinh nghiệm: π   x = k 26  x = k π  28 ( k ∈ Z) với ta có phương trình: với cos3n x ≠ ta có: sin x.cos x sin x.cos x sin 3n −1 x.cos 2.3n −1 x + + + =0 cos x cos x cos 3n x ⇔ tan 3n x = tan x Tổ chức thực nghiệm kết đối chứng 3.1: Hình thức tổ chức thực nghiệm: Để đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy với việc nắm vững kiến thức học sinh, trước hết theo dõi đánh giá hoạt động cá nhân học sinh nhóm học sinh tiến trình dạy học vào mục tiêu buổi học Kết hợp với cách đánh giá này, cho học sinh làm kiểm tra 60 phút Chúng tiến hành thực nghiệm sư phạm đối tượng học sinh lớp 11 trường THPT Đức Hợp Nhìn chung, trình độ học sinh lớp khảo sát thử nghiệm tương đương tư duy, khả tiếp thu kiến thức, đội tuyển học sinh giỏi trường chủ yếu lớp 11A1 - Lớp đối chứng là: 11A1 năm học 2015- 2016, sĩ số 45 - Lớp thực nghiệm là: 11A2, 11A3 năm học 2015- 2016, sĩ số 44, 38 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm lớp đối chứng giáo viên dạy Hình thức, nội dung giảng dạy : Lớp đối chứng 11A1: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập SGK, sách tập, sách tham khảo tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia với phương pháp dạy học truyền thống ( gợi mở vấn đáp) - Lớp thực nghiệm 11A2, 11A3: Giáo viên dạy theo nội dung tiến trình dạy tập sáng kiến kinh nghiệm theo định hướng đổi phương pháp dạy học nhằm phát huy lực học sinh ( Dạy học theo nhóm, dạy học dự án, kết hợp với PP gợi mở vấn đáp) 22 Khảo sát mức độ đáp ứng nội dung học sinh với tình tập mà giáo viên đưa ra, hứng thú hoạt động học sinh sau tiết học, kiểm tra lực học sinh thông qua sản phẩm vận dụng sáng tạo nhóm Tiến hành lấy phiếu thăm dò ý kiến học sinh, thực kiểm tra 45 phút ba lớp, giáo viên chấm để thu thập thơng tin, từ rút học kinh nghiệm tiếp tục điều chỉnh Đề kiểm tra (Phụ lục 1): Các tập đề kiểm tra soạn từ sách tham khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG Tỉnh năm vừa qua giáo viên tự biên soạn Thăm dò ý kiến học sinh( Phụ lục 2) : Lấy ý kiến góp ý từ kênh thơng tin học sinh phương pháp tổ chức hoạt động dạy học, tính mới, tính hấp dẫn đề tài Thời gian tiến hành thực nghiệm tuần 7, học kỳ I năm học 20152016 3.2 Xử lý kết thực nghiệm thống kê toán học : Để đánh giá so sánh chất lượng kiến thức học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng Tôi vận dụng kiến thức nội môn chương thống kê ( Đại số lớp 10 ): Bảng 1: Phân bố tần số kết kiểm tra Lớp Thực nghiệm Đối chứng Điểm số Số HS 10 Điểm TB 82 0 0 11 35 11 10 7,1 45 0 3 10 15 11 0 5,4 Bảng 2: Bảng phân số tần số, tần suất ghép lớp LỚP THỰC NGHIỆM CÁC LỚP ĐIỂM KIỂM TRA LỚP ĐỐI CHỨNG TẦN SỐ TẦN SUẤT TẦN SỐ TẦN SUẤT [ 0; ) 0% 9% [ 4;6 ) 14 17% 13 28% [ 6;8 ) 42 51% 26 58% 23 [ 8;9 ) 11 14% 5% [ 9;10] 15 18% 0% Từ bảng ta vẽ đường gấp khúc tần suất ghép lớp lớp thực nghiệm lớp đối chứng (Chú thích : Lớp 1: [ 0; ) , Lớp 2: [ 4;6 ) , Lớp 3: [ 6;8 ) , Lớp 4: [ 8;9 ) , Lớp 5: [ 9;10] ) Bảng 3: Các tham số phân tích Tham số Lớp Lớp TN (82) Lớp ĐC (45) X (Số TBC) S (Phương sai) 7,1 5,4 17,3 16,9 s ( Độ lệch chuẩn) 4,2 4,1 3.3 Đánh giá, phân tích kết - Điểm trung bình cộng lớp thực nghiệm (7,1) cao lớp đối chứng (5,4) - Đường gấp khúc tần suất ghép lớp lớp thực nghiệm với lớp điểm nhỏ nằm bên lớp đối chứng điều chứng tỏ lớp điểm mức trung bình lớp thực nghiệm lớp đối chứng Đường gấp khúc tần suất ghép lớp lớp thực nghiệm với lớp điểm lớn nhỏ nằm bên lớp đối chứng điều chứng tỏ lớp điểm mức lớp thực nghiệm lớp đối chứng Đường tần suất ghép lớp lớp thực nghiệm với lớp điểm lớn nằm bên lớp đối chứng điều chứng tỏ lớp điểm mức giỏi 24 lớp thực nghiệm nhiều lớp đối Lớp điểm [ 9;10] lớp đối chứng khơng có.Điều chứng tỏ lớp thực nghiệm giải toán mức vận dụng cao sáng tạo hơn, phân tích đề tìm cơng thức vận dụng giải phương trình lượng giác đòi hỏi có tư sáng tạo tốt lớp đối chứng Qua kết phân tích định tính định lượng, tơi thấy kết học tập học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng Như nói học sinh học chuyên đề có hiệu ! Kết luận: Sự khác X TN > X ĐC có ý nghĩa với xác suất sai lầm lớp thực nghiệm thực tốt lớp đối chứng Phương sai STN2 > S DC điều chứng tỏ độ phân tán điểm lớp thực nghiệm lớp đối chứng Kết khảo sát thăm dò ý kiến học sinh tính hấp dẫn, tính đề tài, phương pháp tổ chức hoạt động học tập giáo viên, lực đạt học sinh Qua kết thăm dò cho thấy: + Tất học sinh hào hứng với việc học tập thể tập trung suy nghĩ tìm tòi sáng tạo học, tích cực luyện tập, tích cực tự học, tự nghiên cứu, hoàn thành yêu cầu GV đưa + Đa số học sinh hiểu phát công thức vận dụng nhanh công thức giải kết tập thể bảng kết thực nghiệm + 100% học sinh thích học chuyên đề mong muốn thường xuyên học tập PP dạy học đề tài áp dụng +100% học sinh cho phương pháp tổ chức hoạt động học tập giáo viên phát huy tính sáng tạo học sinh 25 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số phương trình lượng giác chuyên đề toán mà học sinh thường gặp kỳ thi Đây chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12 học sinh ôn thi ĐH; CĐ; ôn thi học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi; Khá; Qua trình giảng dạy; nhận thấy: Sau đưa cách giải học sinh khơng lúng túng làm phần lớn tập đòi hỏi tính sáng tạo lớp tập vận dụng đề tài Với kết thực nghiệm hai lớp dạy 11A1; 11A2, 11A3 chứng tỏ đề tài giúp học sinh phần say mê, hứng thú sáng tạo học tập, nghiên cứu Điều làm cho em tiếp thu tốt khích lệ tinh thần học tập em Thông qua kinh nghiệm này, thân thực rút nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp hồn thành tốt cơng việc giảng dạy Trên kinh nghiệm dạy học chủ đề: “ Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ” Tơi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp; đồng chí hội đồng khoa học Sở Giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tơi thấy để đạt kết cao, cần lưu ý số điểm sau: a) Đối với giáo viên: - Cần tích cực đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh, sau tiết dạy cần có rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho tiết 26 nhằm giúp em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với Thày Cô hơn, hiểu hơn, tự học tự giác say mê nghiên cứu mơn tốn - Phải lựa chọn tập phát huy tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh Trước dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng kiến thức liên quan b) Đối với nhà trường: Cần có động viên nhiều phong trào đổi phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy lực học sinh, viết áp dụng SKKN c) Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Với sáng kiến kinh nghiệm hay, nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở GD ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác tham khảo áp dụng hiệu SKKN HĐKH ngành đánh giá xếp loại Cuối xin trân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành SKKN Đức Hợp, tháng năm 2016 Người viết Lê Thị Hinh 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các giảng phương trình lượng giác (Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)) [2] Đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố [3] SGK Đại số 11 (CT chuẩn, CT nâng cao), NXB GD, 2006 [4] Tuyển tập đề thi Olympic [5] Tài liệu tập huấn : DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH - Mơn 28 Tốn –Cấp trung học phổ thông Phụ lục ĐỀ KIỂM TRA Thời gian làm bài: 45 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu ( 7,0 điểm) Giải phương trình sau: a) ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = b) sin x sin x tan x − tan 2 x ) = ( tan x c) sin x ( cos x − 3) ( cos x − 3) = Câu (3,0 điểm) Tìm cơng thức vận dụng giải phương trình sau: cos x − cos x − 8cos18 x − + + = 1− sin x sin x sin 27 x sin 27 x Hết 29 Phụ lục Trường THPT Đức Hợp CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Tổ Tốn - Tin Độc lập – Tự – Hạnh phúc PHIẾU THĂM DỊ Ý KIẾN HỌC SINH Để khơng ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy, phong trào đổi PP dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh, đề nghị em học sinh với tinh thần trung thực, xây dựng cho ý kiến chủ đề “ Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11”, đề nghị em cung cấp thông tin cách đánh dấu x vào ô trống mà em lựa chọn Nội dung đánh giá Các mức độ đánh giá Em học chủ đề hiểu khơng? Em có thích học chủ đề khơng? Rất dễ hiểu Dễ hiểu Khó hiểu Rất khó hiểu Rất thích Thích Khơng thích Khơng thích Em thấy phương pháp tổ chức dạy học Cơ giáo có phát huy tính sáng tạo em không ? Các dạng tập vận dụng có phù hợp với khả tiếp thu em không? Em đọc nội dung chuyên đề đâu chưa? Phát huy tôt Phát huy tốt Không phát huy Rất phù hợp Phù hợp Chưa phù hợp Về nhà em có tự tập tương tự vận dụng cơng thức giải BT khơng? Em có thích học nâng cao chun đề tương tự khơng? Có làm đầy đủ Có chưa đầy đủ Làm it Khơng làm Rất thích Thích Khơng thích Khơng thích Em có hay đọc tài liệu tham khảo không ? Thường xuyên Thi thoảng Không đọc Chưa gặp bao Có phần nhỏ Có Khơng phát huy Chưa phù hợp Giống hoàn toàn Những kiến nghị em Cô giáo nhà trưởng -Xin cám ơn hợp tác em học sinh tham gia 30 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP Tổng điểm: …………………Xếp loại: ……………………… T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH -HIỆU TRƯỞNG (Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) 31 ... học sinh công thức lượng giác suy rộng từ công thức lượng giác sẵn, phát phương pháp giải nhanh xác số dạng phương trình lượng giác Từ rút học kinh nghiệm cách tổng qt hóa dạng phương trình lượng. .. giảng dạy Trên kinh nghiệm dạy học chủ đề: “ Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ” Tôi mong nhận đóng góp... lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số phương trình lượng giác chuyên đề toán mà học sinh thường gặp kỳ thi Đây chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12 học