SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TRONG PHẦN TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N - TOÁN 6 I) Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán 6, phần tính chất chia hết trong N là một trong những trọng tâm của chương trình. Trong chương có rất nhiều bài tập, phần bài tập nâng cao cũng rất đa dạng, phong phú. Kiến thức lý thuyết của chương đưa ra chỉ là những kiến thức cơ bản, cô đọng nhất. Nếu giáo viên không đi sâu hướng đến và phát hiện cho học sinh thì các em sẽ gặp khó khăn trong giải bài tập. Ví dụ: Điền số thích hợp vào dấu * để các số sau chia hết cho 2: 71 * ; 25 * 2 ; * 590 Học sinh thường chỉ đoán mò về kết quả chứ không hiểu được cách giả cụ thể. Hoặc: Hãy thêm vào bên trái số 1998 một chữ số và bên phải một chữ số sao cho số mới chia hết cho 45 (số mới là số có 6 chữ số) Học sinh không nắm được cách giải cơ thể nên chỉ thêm số chừng có thể là đúng nhưng cũng có thể không đúng. Như vậy chỉ nhờ may rủi chứ không biết chính xác cách giải nó nh thế nào. Kết quả thu được từ khi chưa áp dụng cách phương pháp giảng dạy này nh- sau: 1% biết cách giải sơ qua; 9% học sinh đoán mò kết quả; 90% chưa biết cách giải. Qua thực tế giảng dạy phần này ở trên lớp tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm như sau. II) Nội dung A) Lý thuyết Để học tốt và giải được bài tập trong chương, nhất thiết ở phần lý thuyết học sinh phải được nắm vững những vấn đề sau: - Nếu từng số hạng của một tổng (hoặc một hiệu) chia hết cho cùng một số thì tổng (hoặc hiệu) cũng chia hết cho số đó - Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích cũng chia hết cho số đó. - Nếu một tổng có hai hay nhiều số hạng mà một số hạng không chia hết cho m thì tổng đó không chia hết cho m. Lưu ý: ở tính chất này nếu có nhiều hơn một số hạng không chia hết cho m thì tính chất có thể không còn đúng. Khi muốn xét xem tổng có chia hết cho m hay không, ta phải xét xem tổng các số trong từng phép chia mỗi số hạng cho m có hai trường hợp: + Nếu tổng các số dư chia hết cho m thì khi đó tổng cũng chia hết cho m + Nếu tổng các số dư không chia hết cho m thì khi đó tổng cũng không chia hết cho m. Vì tính chất này không được nêu rõ ở sách giáo khoa. Vì vậy, trong khi giảng dạy giáo viên phải cung cấp vấn đề này cho học sinh, lấy các ví dụ cơ thể để minh hoạ giúp học sinh hiểu rõ vấn đề đó có thể áp dụng vào giải các bài tập khác trong chương. - Học sinh nắm vững các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 giới thiệu ở trong chương. - Có kĩ năng vận dụng linh hoạt các dấu hiệu và tính chất trong những bài tập phối hợp. B) Phần bài tập Phần bài tập trong chương được phân chia một cách tương đối thành bốn dạng nh sau: 1) Bài tập sử dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết Đây là loại bài tập tương đối dễ, học sinh có thể giải được ngay nếu nắm vững các dấu hiệu trong sách giáo khoa. Ví dụ a: Điền số thích hợp vào dấu * để các số sau chia hết cho 2: 71 * ; 25 * 2 ; * 590 Với bài tập này giáo viên nhấn mạnh vào dấu hiệu bản chất. Dấu hiệu chia hết cho 2 chỉ xét cho chữ số tận cùng của một số (đó là số 0, 2, 4, 6, 8). Còn các chữ số ở vị trí khác có thể nhận các giá trị tuỳ ý. 71 * ở đây * lấy một trong các số sau : 0, 2, 4, 6, 8 25 * 2 ở đây là các số n trong tập hợp {n Î N/0 £ n £ 9} * 590 ở đây * là các số n trong tập hợp {n Î N/0 £ n £ 9} Ví dụ b: Tìm 3 số tự nhiên có 5 chữ số đồng thời chia hết cho 3 và 5 Bài tập này giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy được các số đáp ứng yêu cầu của bài toán phải thoả mãn đồng thời một số điều kiện, cụ thể với bài toán trên là: Các số cần tìm phải: - Là số có 5 chữ số - Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 - Tổng các chữ số phải chia hết cho 3 Giáo viên còng nêu rõ để học sinh biết ta có thể tìm được nhiều bộ 3 các số thoả mãn yêu cầu của bài ra. Ví dụ c: Hãy thêm vào bên trái số 1998 một chữ số và bên phải một chữ số sao cho số mới chia hết cho 45 (số mới là số có 6 chữ số) Số mới có dạng : x 1998 y {1 £ x £ 9; 0 £ y £ 9}số mới chia hết cho 45 nên số mới phải đồng thời chia hết cho 5 và 9. Vì 5 x 9 = 45 và ¦CLN (5;9) = 1 Ta thấy số mới phải thoả mãn các yêu cầu cụ thể sau: - Tận cùng phải bằng 5 hoặc 0 (y = 0 hoặc y = 5) - Tổng các chữ số của số mới là bội của 9 - Số mới là số có 6 chữ số + Nếu y = 0 khi đó số mới là : x 19980 và vì 1 £ x £ 9 và số mới phải có 6 chữ số nên x = 9 + Nếu y = 5 khi đó số mới là x 19985 vì 1 £ x £ 9 và số mới có 6 chữ số nên x = 4 Vậy có 2 số thoả mãn bài ra là : 919980; 419985 2) Loại bài tập khi giải có sử dụng tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích Loại bài tập này có nhiều và bài tập cũng rất đa dạng, ta có thể sử dụng tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích để tìm các dấu hiệu chia hết cho 4; 8 tìm số dư trong phép chia ta cũng có thể sử dụng các tính chất trên để chứng minh một số hệ quả khác rất quan trọng mà hệ quả đó có thể sử dụng để giải các bài tập khác ở mức cao hơn. Ví dụ a: Chứng minh rằng nếu a và b có cùng số dư trong phép chia cho m thì (a-b) M m Ta có : a = qm + k (có cùng số dư m và 0 £ k £ m) b = pm + k Khi đó: a - b = (qm + k) - (pm + k) a - b = qm + k - pm + k a - b = qm - pm = m(q - p) a - b = m(q - p) Vậy (a - b) M m. Ta có thể sử dụng điều này để giải thích các bài tập khác. Ví dụ b: Tìm dấu hiệu chia hết cho 4 của 1 số tự nhiên + Ta để ý thấy 100 M 4; K x 100 M 4 ( " K Î N) Cho số 748 ta có: 748 = 7 x 100 + 48 M 4 749 = 7 x 100 + 49 M 4 13108 = 131 x 100 + 8 M 4; 13107 = 131 x 100 + 7 M 4 Qua 2 ví dô ta thấy rằng tính chất chia hết của một số tự nhiên cho 4 phụ thuộc vào số tạo thành bởi 2 chữ số tận cùng của nó. Vậy ta sử dụng tính chất chia hết của một tổng để tìm ra dấu hiệu này. Giả sử : M = a n a n-1 a 2 a 1 a 0 = a n a n-1 a 2 00 + a 1 a 0 = a n a n-1 a 2 . 100 + a 1 a 0 a n a n-1 a 0 M 4 Vậy tổng này chia hết cho 4. Khi và chỉ khi a 1 a 0 M 4 vËy dấu hiệu chia hết cho 4 sẽ được phát biểu nh sau: “Một số tự nhiên bất kì chia hết cho 4 khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4” * Với cách suy luận tương tự nh trên ta có thể hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ tìm ra dấu hiệu chia hết cho 25; 8; 125 * Từ cách chứng minh trên ta còn có thể dễ dàng giải được bài toán tìm số dư của một số bất kì trong phép chia đó cho 4; 25; 8; 125 * Số dư của một số tự nhiên bất kì trong phép chia cho 4 bằng số dư của phép chia số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của số đó cho 4 Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia 18722017 cho 8 Ta có: 18722017 = 18722000 + 017 = 18722 x 1000 + 17 18722 x 1000 M 8; 17 : 8 dư 1. Vậy 18722017 chia cho 8 dư 1 * Số dư của một số tự nhiên bất kì trong phép chia cho 8 bằng số dư của phép chia số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của số đó cho 8. Ví dụ 2: Biết a chia cho 9 dư 7; b chia cho 9 dư 4. Hỏi tích ab chia cho 9 dư mÂy? a = 9 x m + 7 ; b = 9 x n + 4 a x b = (9 x m + 7) (9 x n + 4) = 81 mn + 36m + 63 n + 28 (81 mn + 36m + 63 n) M 9. Vậy số dư của a x b phụ thuộc vào số dư của số còn lại là 28, Trong phép chia 28 cho 9 ta thấy 28 : 9 dư 1. Vậy tích a x b chia 9 dư 1. * Với bài toán này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ và giải trong dạng tổng quát. 3) Loại toán khi giải có sử dụng đến tính chất của 2 số nguyên tố cùng nhau Đây là loại toán thường gặp trong chương Tính chất chia hết trong N. Loại toán này thường yêu cầu chứng minh một số hay một biểu thức chia hết cho một số khác mà số này không có trong dấu hiệu chia hết cơ bản đã học. Khi đó ta phải chứng minh nó chia hết cho 1 tích hai hoặc ba các thừa số cùng nhau mà tích các số này bằng số chia mà bài toán yêu cầu. Chẳng hạn: Để chứng minh một biểu thức chia hết cho 6 ta chứng minh nó đồng thời chia hết cho 2 và 3 (ta có bài toán rất quen thuộc là chứng minh tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6). Vì 2 x 3 = 6 và ¦CLN (2; 3) = 1 hay để chứng minh nó đồng thời chia hết cho 2 x 3 x 5 vì 2 x 3 x 5 = 30 và ¦CLN (2; 3; 5) = 1. Đặc điểm của loại toán này là khi giải thường phối hợp với nhiều phương pháp khác và thường sử dụng 1 số biểu thức có tính chất đặc biệt. Vì vậy, trong khi giảng dạy hướng dẫn học sinh làm bài tập giáo viên phải lưu ý để học sinh ghi nhớ các biểu thức cần thiết. Ví dụ 1: *) a 2 - a = a (a - 1) với " a Î N. đây chính là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. *) a 2 - 1 = (a - 1) (a = 1) với " a Î N. đây chính là tích của 2 số chẵn liên tiếp hoặc hai số lẻ liên tiếp. *) a 3 - a = a(a 2 - 1) = a(a -1)(a + 1) chính là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ví dụ 2: Chứng minh: a 4 - a 2 M 12 ( " a Î N) Ta chứng minh biểu thức a 4 - a 2 đồng thời chia hết cho 3 và 4 vì 3 x 4 = 12 và ¦CLN (3; 4) = 1. Ta có: a 4 - a 2 = a 2 (a 2 -1) = a x a x (a - 1) (a + 1) Ta để ý thấy rằng a(a - 1) (a + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên: a x (a - 1) (a + 1) M 3 " a Î N => a x a x (a - 1) (a + 1) M 3 " a Î N (1) ta lại có: a(a - 1) M 2 (Vì tích của 2 số tự nhiên liên tiếp) a(a + 1) M 2 (Vì tích của 2 số tự nhiên liên tiếp) => a x a x (a + 1) (a - 1) M 4 " a Î N (2) a(a + 1) M 2 Từ (1) và (2) ta có: a 4 - a 2 chia hết cho 12 ( " a Î N) 4) Loại bài toán khi giải có sử dụng phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số Trong các dạng bài tập về tính chất chia hết có một loại bài tập mà khi giải ta phải sử dụng phương pháp tìm chữ số tận cùng. Loại bài tập này thường gặp khi biểu thức cần xét là luỹ thừa rất lớn của 1 số mà ta không tiện tính toán thành kết quả cụ thể. Ví dụ : Chứng minh rằng : A = 999993 1999 - 555557 1997 M 5 Để giải bài này nếu dùng các phương pháp trên thì đều gặp khó khăn. Vậy hướng suy nghĩ là phải tìm được chữ số tận cùng của hiệu thông qua việc xét chữ số tận cùng của từng hạng tư. *) Xét chữ số tận cùng của 999993 1999 . Ta có: 3 1999 = (3 4 ) 499 x 3 3 = 81 499 x 27 có chữ số tận cùng là 7. *) Xét chữ số tận cùng của 555557 19997 . Ta có: 7 1997 = (7 4 ) 499 x 7 = (2401) 499 x 7 có chữ số tận cùng là 7. hiệu của 2 số có chữ số tận cùng bằng nhau thì tận cùng của hiệu phải bằng 0. Những số có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5. Vậy, A = 999993 1999 - 555557 1997 M 5 Ví dụ b: Chứng minh rằng: B = (7 1978 ) 1970 - (3 68 ) 70 M 10 Ta có: (7 1978 ) 1970 - (3 68 ) 70 M 10 = 7 3896660 - 3 4760 = (7 4 ) 974165 - (3 4 ) 1190 = 2401 974165 - 81 1190 Cả số bị trị và số trị đều có tận cùng bằng 1. Vậy tận cùng của hiệu là 0. Một số có tận cùng là 0 thì chia hết cho 10. Vậy, B = (7 1978 ) 1970 - (3 68 ) 70 M 10 Tóm lại, để giải được các bài tập đa dạng trong chương “Tính chát chia hết trong N” học sinh phải nắm vững các kiến thức lý thuyết cơ bản về tính chất chia hết, biết nhận dạng loại bài tập, từ đó tìm phương pháp hợp lý nhất để giải. III) Bài học kinh nghiệm và các kết quả thu được Qua thực tế giảng dạy ở trên lớp, áp dụng khinh nghiệm và phân loại bài tập nh- trên, tôi thấy học sinh có thể dễ dàng tiếp thu được các kiến thức lý thuyết cơ bản về tính chất chia hết. Trong khi giải bài tập các em có hướng suy nghĩ đúng và có thể giải được rất nhiều bài tập khó trong toán nâng cao. Cụ thể các bài tập về tính chất chia hết ở trên lớp có khoảng 70% số học sinh có thể giải được, 10% số học sinh có thể giải được các bài tập nâng cao và một số bài tập khó về tính chất chia hết. Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân đã rót ra được qua thực tế giảng dạy hàng ngày ở trên lớp. Rất mong các cấp chuyên môn đóng góp và bổ sung thêm để quá trình giảng dạy ngày càng được nâng cao về chất lượng. . SÁNG KI N KINH NGHIỆM HƯỚNG D N HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TRONG PH N TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N - TO N 6 I) Lý do ch n đề tài Trong chương trình to n 6, ph n tính chất chia hết trong N. b n về tính chất chia hết. Trong khi giải bài tập các em có hướng suy nghĩ đúng và có thể giải được rất nhiều bài tập khó trong to n nâng cao. Cụ thể các bài tập về tính chất chia hết ở tr n. 3) Loại to n khi giải có sử dụng đ n tính chất của 2 số nguy n tố cùng nhau Đây là loại to n thường gặp trong chương Tính chất chia hết trong N. Loại to n này thường yêu cầu chứng minh một