Trong chương trình Toán 6, phần tính chất chia hết trong N là một trong những trọng tâm của chương trình. Trong chương có rất nhiều bài tập, phần bài tập nâng cao cũng rất đa dạng, phong phú. Kiến thức lý thuyết của chương đưa ra chỉ là những kiến thức cơ bản, cô đọng nhất. Nếu giáo viên không đi sâu hướng đến và phát hiện cho học sinh thì các em sẽ gặp khó khăn trong giải bài tập. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Hướng dẫn học sinh giải bài tập trong phần tính chất chia hết trong N - Toán 6”.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP TRONG PHẦN TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N - TOÁN I) Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn 6, phần tính chất chia hết N trọng tâm chương trình Trong chương có nhiều tập, phần tập nâng cao đa dạng, phong phú Kiến thức lý thuyết chương đưa kiến thức bản, cô đọng Nếu giáo viên không sâu hướng đến phát cho học sinh em gặp khó khăn giải tập Ví dụ: Điền số thích hợp vào dấu * để số sau chia hết cho 2: 71 * ; 25 * ; * 590 Học sinh thường đốn mị kết khơng hiểu cách giả cụ thể Hoặc: Hãy thêm vào bên trái số 1998 chữ số bên phải chữ số cho số chia hết cho 45 (số số có chữ số) Học sinh khơng nắm cách giải thể nên thêm số chừng khơng Như nhờ may rủi khơng biết xác cách giải nh Kết thu từ chưa áp dụng cách phương pháp giảng dạy nh- sau: 1% biết cách giải sơ qua; 9% học sinh đốn mị kết quả; 90% chưa biết cách giải Qua thực tế giảng dạy phần lớp đúc rút số kinh nghiệm sau II) Nội dung A) Lý thuyết Để học tốt giải tập chương, thiết phần lý thuyết học sinh phải nắm vững vấn đề sau: - Nếu số hạng tổng (hoặc hiệu) chia hết cho số tổng (hoặc hiệu) chia hết cho số - Nếu thừa số tích chia hết cho số tích chia hết cho số - Nếu tổng có hai hay nhiều số hạng mà số hạng không chia hết cho m tổng khơng chia hết cho m Lưu ý: tính chất có nhiều số hạng khơng chia hết cho m tính chất khơng cịn Khi muốn xét xem tổng có chia hết cho m hay khơng, ta phải xét xem tổng số phép chia số hạng cho m có hai trường hợp: + Nếu tổng số dư chia hết cho m tổng chia hết cho m + Nếu tổng số dư khơng chia hết cho m tổng khơng chia hết cho m Vì tính chất khơng nêu rõ sách giáo khoa Vì vậy, giảng dạy giáo viên phải cung cấp vấn đề cho học sinh, lấy ví dụ thể để minh hoạ giúp học sinh hiểu rõ vấn đề áp dụng vào giải tập khác chương - Học sinh nắm vững dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, giới thiệu chương - Có kĩ vận dụng linh hoạt dấu hiệu tính chất tập phối hợp B) Phần tập Phần tập chương phân chia cách tương đối thành bốn dạng nh sau: 1) Bài tập sử dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết Đây loại tập tương đối dễ, học sinh giải nắm vững dấu hiệu sách giáo khoa Ví dụ a: Điền số thích hợp vào dấu * để số sau chia hết cho 2: 71 * ; 25 * ; * 590 Với tập giáo viên nhấn mạnh vào dấu hiệu chất Dấu hiệu chia hết cho xét cho chữ số tận số (đó số 0, 2, 4, 6, 8) Còn chữ số vị trí khác nhận giá trị tuỳ ý 71 * * lấy số sau : 0, 2, 4, 6, 25 * số n tập hợp {nỴ N/0 £ n £ 9} * 590 * số n tập hợp {nỴ N/0 £ n £ 9} Ví dụ b: Tìm số tự nhiên có chữ số đồng thời chia hết cho Bài tập giáo viên phải cho học sinh thấy số đáp ứng yêu cầu toán phải thoả mãn đồng thời số điều kiện, cụ thể với toán là: Các số cần tìm phải: - Là số có chữ số - Chữ số tận - Tổng chữ số phải chia hết cho Giáo viên còng nêu rõ để học sinh biết ta tìm nhiều số thoả mãn yêu cầu Ví dụ c: Hãy thêm vào bên trái số 1998 chữ số bên phải chữ số cho số chia hết cho 45 (số số có chữ số) Số có dạng : x 1998 y {1 £ x £ 9; £ y £ 9}số chia hết cho 45 nên số phải đồng thời chia hết cho Vì x = 45 ¦CLN (5;9) = Ta thấy số phải thoả mãn yêu cầu cụ thể sau: - Tận phải (y = y = 5) - Tổng chữ số số bội - Số số có chữ số + Nếu y = số : x 19980 £ x £ số phải có chữ số nên x = + Nếu y = số x 19985 £ x £ số có chữ số nên x = Vậy có số thoả mãn : 919980; 419985 2) Loại tập giải có sử dụng tính chất chia hết tổng, hiệu, tích Loại tập có nhiều tập đa dạng, ta sử dụng tính chất chia hết tổng, hiệu, tích để tìm dấu hiệu chia hết cho 4; tìm số dư phép chia ta sử dụng tính chất để chứng minh số hệ khác quan trọng mà hệ sử dụng để giải tập khác mức cao Ví dụ a: Chứng minh a b có số dư phép chia cho m (a-b)Mm Ta có : a = qm + k (có số dư m £ k £ m) b = pm + k Khi đó: a - b = (qm + k) - (pm + k) a - b = qm + k - pm + k a - b = qm - pm = m(q - p) a - b = m(q - p) Vậy (a - b) M m Ta sử dụng điều để giải thích tập khác Ví dụ b: Tìm dấu hiệu chia hết cho số tự nhiên + Ta để ý thấy 100 M 4; K x 100 M ( " K Ỵ N) Cho số 748 ta có: 748 = x 100 + 48 M 749 = x 100 + 49 M 13108 = 131 x 100 + M 4; 13107 = 131 x 100 + M Qua ví dơ ta thấy tính chất chia hết số tự nhiên cho phụ thuộc vào số tạo thành chữ số tận Vậy ta sử dụng tính chất chia hết tổng để tìm dấu hiệu Giả sử : M = an an-1 a2 a1 a0 = an an-1 .a200 + a1 a0 = an an-1 a2 100 + a1a0an an-1 .a0 M Vậy tổng chia hết cho Khi a1 a0 M vËy dấu hiệu chia hết cho phát biểu nh sau: “Một số tự nhiên chia hết cho số tạo hai chữ số tận chia hết cho 4” * Với cách suy luận tương tự nh ta hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ tìm dấu hiệu chia hết cho 25; 8; 125 * Từ cách chứng minh ta cịn dễ dàng giải tốn tìm số dư số phép chia cho 4; 25; 8; 125 * Số dư số tự nhiên phép chia cho số dư phép chia số tạo chữ số tận số cho Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 18722017 cho Ta có: 18722017 = 18722000 + 017 = 18722 x 1000 + 17 18722 x 1000 M 8; 17 : dư Vậy 18722017 chia cho dư * Số dư số tự nhiên phép chia cho số dư phép chia số tạo chữ số tận số cho Ví dụ 2: Biết a chia cho dư 7; b chia cho dư Hỏi tích ab chia cho dư mÂy? a=9xm+7;b=9xn+4 a x b = (9 x m + 7) (9 x n + 4) = 81 mn + 36m + 63 n + 28 (81 mn + 36m + 63 n) M Vậy số dư a x b phụ thuộc vào số dư số lại 28, Trong phép chia 28 cho ta thấy 28 : dư Vậy tích a x b chia dư * Với toán giáo viên hướng dẫn học sinh suy nghĩ giải dạng tổng quát 3) Loại toán giải có sử dụng đến tính chất số nguyên tố Đây loại toán thường gặp chương Tính chất chia hết N Loại toán thường yêu cầu chứng minh số hay biểu thức chia hết cho số khác mà số khơng có dấu hiệu chia hết học Khi ta phải chứng minh chia hết cho tích hai ba thừa số mà tích số số chia mà toán yêu cầu Chẳng hạn: Để chứng minh biểu thức chia hết cho ta chứng minh đồng thời chia hết cho (ta có tốn quen thuộc chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6) Vì x = ¦CLN (2; 3) = hay để chứng minh đồng thời chia hết cho x x x x = 30 ¦CLN (2; 3; 5) = Đặc điểm loại toán giải thường phối hợp với nhiều phương pháp khác thường sử dụng số biểu thức có tính chất đặc biệt Vì vậy, giảng dạy hướng dẫn học sinh làm tập giáo viên phải lưu ý để học sinh ghi nhớ biểu thức cần thiết Ví dụ 1: *) a2 - a = a (a - 1) với " a Ỵ N tích số tự nhiên liên tiếp *) a2 - = (a - 1) (a = 1) với " a Ỵ N tích số chẵn liên tiếp hai số lẻ liên tiếp *) a3 - a = a(a2 - 1) = a(a -1)(a + 1) tích số tự nhiên liên tiếp Ví dụ 2: Chứng minh: a4 - a2 M 12 ( " a Ỵ N) Ta chứng minh biểu thức a4 - a2 đồng thời chia hết cho x = 12 ¦CLN (3; 4) = Ta có: a4 - a2 = a2 (a2 -1) = a x a x (a - 1) (a + 1) Ta để ý thấy a(a - 1) (a + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên: a x (a - 1) (a + 1) M "a Î N => a x a x (a - 1) (a + 1) M "a Ỵ N (1) ta lại có: a(a - 1) M (Vì tích số tự nhiên liên tiếp) a(a + 1) M (Vì tích số tự nhiên liên tiếp) => a x a x (a + 1) (a - 1) M "a ỴN (2) a(a + 1) M Từ (1) (2) ta có: a4 - a2 chia hết cho 12 ( " a Ỵ N) 4) Loại tốn giải có sử dụng phương pháp tìm chữ số tận số Trong dạng tập tính chất chia hết có loại tập mà giải ta phải sử dụng phương pháp tìm chữ số tận Loại tập thường gặp biểu thức cần xét luỹ thừa lớn số mà ta không tiện tính tốn thành kết cụ thể Ví dụ : Chứng minh : A = 9999931999 - 5555571997 M Để giải dùng phương pháp gặp khó khăn Vậy hướng suy nghĩ phải tìm chữ số tận hiệu thông qua việc xét chữ số tận hạng tư *) Xét chữ số tận 9999931999 Ta có: 31999 = (34)499 x 33 = 81499 x 27 có chữ số tận *) Xét chữ số tận 55555719997 Ta có: 71997 = (74)499 x = (2401)499 x có chữ số tận hiệu số có chữ số tận tận hiệu phải Những số có chữ số tận chia hết cho Vậy, A = 9999931999 - 5555571997 M Ví dụ b: Chứng minh rằng: B = (71978)1970 - (368)70 M 10 Ta có: (71978)1970 - (368)70 M 10 = 73896660 - 34760 = (74)974165 - (34)1190 = 2401974165 - 811190 Cả số bị trị số trị có tận Vậy tận hiệu Một số có tận chia hết cho 10 Vậy, B = (71978)1970 - (368)70 M 10 Tóm lại, để giải tập đa dạng chương “Tính chát chia hết N” học sinh phải nắm vững kiến thức lý thuyết tính chất chia hết, biết nhận dạng loại tập, từ tìm phương pháp hợp lý để giải III) Bài học kinh nghiệm kết thu Qua thực tế giảng dạy lớp, áp dụng khinh nghiệm phân loại tập nh- trên, thấy học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức lý thuyết tính chất chia hết Trong giải tập em có hướng suy nghĩ giải nhiều tập khó tốn nâng cao Cụ thể tập tính chất chia hết lớp có khoảng 70% số học sinh giải được, 10% số học sinh giải tập nâng cao số tập khó tính chất chia hết Trên số kinh nghiệm thân rót qua thực tế giảng dạy hàng ngày lớp Rất mong cấp chun mơn đóng góp bổ sung thêm để trình giảng dạy ngày nâng cao chất lượng ... thuyết tính chất chia hết Trong giải tập em có hướng suy nghĩ giải nhiều tập khó t? ?n nâng cao Cụ thể tập tính chất chia hết lớp có khoảng 70% số học sinh giải được, 10% số học sinh giải tập n? ?ng... Lý ch? ?n đề tài Trong chương trình t? ?n 6, ph? ?n tính chất chia hết N trọng tâm chương trình Trong chương có nhiều tập, ph? ?n tập n? ?ng cao đa dạng, phong phú Ki? ?n thức lý thuyết chương đưa ki? ?n thức... nghĩ giải dạng tổng quát 3) Loại to? ?n giải có sử dụng đ? ?n tính chất số ngun tố Đây loại to? ?n thường gặp chương Tính chất chia hết N Loại t? ?n thường yêu cầu chứng minh số hay biểu thức chia hết