Sau khi các em được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ít nhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều.. Để giải được các bài tập nâng ca
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU ……….……… … … 1
1.1 Lý do chọn đề tài……… …… 1
1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu……… ……….2
1.4 Phương pháp nghiên cứu… ……… …….2
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …… 3
2.1 Cơ sở lí luận ……… … 3
2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu……… ………… 4
2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… …… 4
2.4 Hiệu quả của sáng SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…… … ……… … 15
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……… … 17
3.1 Kết luận về vấn đề nghiên cứu 17
3.2 Kiến nghị……… …….… 17
Trang 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:
Phương pháp dạy học hiện nay nói chung và phương pháp dạy học toán trong nhà trường nói riêng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của người học và hướng tới phát triển các năng lực tư duy sáng tạo, nhận biết, khái quát hóa khả năng giải quyết các vấn đề độc lập
Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi người thầy phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc Là một giáo viên giảng dạy môn toán Bản thân tôi luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học sinh, trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh cũng gặp rất nhiều khó khăn vì các dạng toán rất phong phú, kiến thức học sinh có hạn Chính vì thế mà dạy và học như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức một cách có hệ thống
có chiều sâu mà các em còn hứng thú và say mê học toán
Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải thích hợp Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là học sinh lớp 6 Sau khi các em được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ít nhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều Để giải được các bài tập nâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản có trong chương trình, học sinh còn phải nắm bắt một số kiến thức bổ sung mở rộng Những kiến thức này không được phân phối trong trong các tiết học nên học sinh ít được vận dụng
và rèn luyện trừ khi gặp những bài toán khó Vì vậy khi gặp những bài tập khó này học sinh sẽ cảm thấy bế tắc, chán nản từ đó không còn thích thú học môn toán nữa
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp một số dạng toán này Tôi thấy rằng cần phải giúp các
em nắm được các kiến thức cơ bản, các dạng toán, các phương pháp giải Từ đó gây hứng thú cho các em đồng thời rèn cho các em kỹ năng giải thành thạo dạng toán
Vậy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán 6 và làm nguồn bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán 7, 8, 9 ở trường THCS Đông Cương tôi chọn
đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6”
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục đích đưa ra một số phương pháp tìm lũy thừa đối với học sinh khá giỏi lớp 6
Giúp học sinh vận dụng các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vào từng dạng bài cụ thể, nhằm giúp học sinh phân dạng bài nhanh, sử dụng phương pháp thuần thục, khoa học, ngắn gọn, xúc tích
Tìm ra phương pháp giải hợp lý với từng kiểu bài cụ thể
Giúp các đồng nghiệp tham khảo để có thể vận dụng tốt hơn trong công tác giảng dạy về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa
Trang 31.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài sẽ nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vào từng dạng bài khác nhau từ đấy rèn cho học sinh các kĩ năng tìm lũy thừa, so sánh lũy thừa vào các bài tập cụ thể và một số các bài tập nâng cao về lũy thừa trong đề thi khảo sát chất lượng học kì của TP Thanh Hóa
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu
- Phương pháp thực nghiệm
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
- Phát triển một số kiến thức nâng cao về phần lũy thừa mà sách giáo khoa không đề cập
- Đề tài được thông qua đồng nghiệp và được đồng nghiệp áp dụng vào dạy học đối với học sinh khối 6 trường THCS Đông Cương
Trang 42 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trên cơ sở “lũy thừa với số mũ tự nhiên” trong sách giáo khoa toán 6 và các tài liệu nâng cao toán 6 Qua nhiều năm dạy toán và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán Tôi nhận thấy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán thì giáo viên phải dạy học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về lũy thừa, từ đó
mở rộng nâng cao các kiến thức về lũy thừa và đưa ra các phương pháp giải bài toán về lũy thừa
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
2.2.1 Thực trạng.
Mặc dù học sinh đã được học và giải các bài toán về lũy thừa của một số
ở lớp 6, bài toán về lũy thừa của một số hay của một biểu thức Nhưng thực tế học sinh khá, giỏi toán ở trường THCS Đông Cương giải đúng và có kỹ năng giải chiếm tỉ lệ thấp, phần lớn học sinh chưa giải được các bài toán về lũy thừa của một số hay của một biểu thức hoặc chỉ giải đúng được một vài bước
Từ thực trạng trên, tôi đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm tòi và thử nghiệm phương pháp riêng của mình và bước đầu đã có những dấu hiệu khả quan
2.2.2 Kết quả của thực trạng.
Năm học 2017 - 2018 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 6 Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa thành thạo khi làm các dạng bài tập về lũy thừa, vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng giải các bài toán về lũy thừa
Khi nghiên cứu đề tài này, tôi đã khảo sát tình hình thực tế của 40 học sinh lớp 6A và 40 học sinh ở lớp 6C Trường THCS Đông Cương năm học
2017-2018 khi chưa áp dụng đề tài này Kết quả thu được như sau:
Lớp Số HS
Học sinh giải đúng
Học sinh giải được một vài bước đúng
Học sinh không giải được
Nguyên nhân dẫn đến việc tỉ lệ học sinh lớp 6 chưa giải được các bài toán
về về lũy thừa chiếm tỉ lệ cao thì có nhiều nguyên nhân, song theo quan điểm của tôi chỉ tập trung vào ba nguyên nhân chủ yếu sau đây:
Thứ nhất: Do phần lũy thừa là phần mới đối với học sinh;
Thứ hai: Do các em chưa nắm vững các phương pháp giải các bài toán về lũy thừa và chưa có kỹ năng giải các bài tập về phần lũy thừa;
Thứ ba: Do các em chưa đọc và giải nhiều bài tập ở sách nâng cao toán 6
về chủ đề lũy thừa
Trang 52.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1 Các giải pháp thực hiện.
1 Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các kiến thức nâng cao về lũy thừa
2 Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số bài tập
và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương năm học 2017–
2018
3 Luyện giải các các bài toán nâng cao về lũy thừa trong các đề thi khảo sát chất lượng học kì TP Thanh Hóa
4 Khắc phục những sai lầm một số học sinh trường THCS Đông Cương thường mắc phải khi giải bài toán về lũy thừa
2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực hiện.
1 Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các kiến thức nâng cao về lũy thừa.
1.1 Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên.
+ Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
n
n thua so
a =a a14 2 43 (n a ∈ N*)
+ Quy ước: a1 = a; a0 = 1(a ≠ 0)
1.2 Các phép toán về lũy thừa
*) Với a, b, m, n ∈ N ta có các phép tính:
+ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: am an = am+n; am an ap = am+n+p (p ∈ N) + Chia hai lũy thừa cùng cơ số: am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)
+ Lũy thừa của một tích: (a.b)m = am bm
+ Lũy thừa của một thương: (a : b)m = am : bm (b ≠ 0 )
+Lũy thừa của lũy thừa: (am)n = am.n
+ Lũy thừa tầng: m n ( )m n
*) Với x là phân số, n ∈ N; a, b ∈ Z
xn =
n thua so
x x x
14 2 43 ( x ∈ N*)
n
b
a b
a
=
1.3 Tính chất về thứ tự:
+ Nếu a = b thì an = bn
+ Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b (nếu n chẵn)
a = b (nếu n lẻ) + Nếu am = an thì m = n
+ Nếu 0 < a <1, m > n và m,n ∈ N * => am < an
+ Nếu a > b > 0 => am > bm (m ≠ 0)
+ Nếu m > n > 0, a > 1 => am > an
+ Nếu am > bn và bn > ck => am > ck
+ Chú ý: Với n ∈ N: (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1
Trang 62 Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số dạng bài tập và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương năm học 2017–2018
2.1 Dạng 1: Viết kết quả phép tính nhân chia dưới dạng một lũy thừa.
*Phương pháp: - Biến đổi đưa các lũy thừa về cùng cơ số
- Áp dụng công thức: am an = am + n;
am : an = am- n
an bn = (a.b)n (a : b)n = an : bn
* Ví dụ 1 Viết các tích, thương sau dưới dạng một lũy thừa.
a) A = 8 166 4
Giải:
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa có cơ số 4
3 14 17
8 16 (2.4) (4.4) 2 4 4 4 (2 ) 4
4 4 4
A
A
Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa có cơ số 2
6 4
8 16
A= ( ) ( )3 6 4 4
= =2 218 16 = 234
b)B =9 81 273 3 3
Giải:
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683
9 81 27
9.81.27 19683
Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 3
9 81 27
= =3 3 36 12 3 =36 12 3+ + = 321
c, C =25 :1256 3
Giải:
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683
25 :125
C = ( ) ( )2 6 3 3
= = 5 :512 9 =512 9− = 53
Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683
25 :125 25 : (25.5) 25 : (25 5 ) (25 : 25 ) : 5
25 : 5 (25 : 5) 5
C
C
Cách 3: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 125 rồi thực hiện phép nhân chia
( )3
(5 125 ) :125 5 (125 :125 ) 5
C
C
*Nhận xét: Đối với dạng bài tập này, có rất nhiều cách giải Tuy nhiên để thuận
tiện cho việc tính toán ta thường đưa về lũy thừa của cùng một số nguyên tố
` 2.2 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức.
2.2.1 Các biểu thức ở dạng biểu thức nguyên:
Trang 7* Phương pháp:
- Thực hiện theo thứ tự phép tính và sử dụng các phép tính của lũy thừa để tính
- Sử dụng các phép tính của lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Ví dụ 2 Tính giá trị của biểu thức:
a) A= 45 : 5 3 3 − 24 :12 6 6
+ Hướng dẫn: Các lũy thừa của 45 và 5 có cùng số mũ là 3 Lũy thừa của 24 và
12 có cùng số mũ là 6 Vậy ta chỉ cần thực hiện theo thứ tự phép tính: Nhân, chia đến cộng, trừ
Giải:
45 : 5 24 :12 (45 : 5) (24 :12)
3 6 2 3 6 6 6
9 3 (3 ) 3 3 3 0
Vậy A= 0
b) C =(824+8 : 223) 66
+Hướng dẫn: Đưa về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8, sau đó sử dụng tính chất phân
phối của phép cộng dể thực hiện
Giải:
Cách 1:
(824 823): 266
C = + ( 24 23) ( )3 22
= + =(824+823): 822 =8 : 824 22 +8 :823 22
C= + = 8 2 8 72 Vậy C=72
Cách 2:
( 24 23) 66 ( ) ( )3 24 3 23 66 ( 72 69) 66
2 2 1 : 2 (2 : 2 ).(8 1) 2 9 2 9 8.9 72
Vậy C= 72
2.2.2 Các biểu thức có dạng phân số:
+ Phương pháp: Viết tử và mẫu dưới dạng tích các lũy thừa Sau đó sử dụng
tính chất của phân số chia cả tử và mẫu cho cùng một lũy thừa khác không
Ví dụ 3 Tính giá trị biểu thức:
( )
2 2
3 35 25.7 3.5.7
+ Hướng dẫn: Đưa tử và mẫu về dạng tích của các lũy thừa có cơ số là các số
nguyên tố Sau đó ta chỉ việc viết gọn tử và mẫu bằng cách sử dụng nhân lũy thừa, tính lũy của lũy thừa, rồi rút gọn các lũy thừa giống nhau
Giải:
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
3 35 25.7 3 5.7 5 7
A
2 2 4
3 5.7.5 7
3 5 7
= 3 5 732 32 44
3 5 7
= = 3.5= 15 Vậy A= 15
Trang 88
9 13 3 52
3 258
+ Hướng dẫn: Biểu thức C có tử là một tổng vì vậy ta có thể biến đổi rồi sử
dụng tính chất phân phối viết tử thành tích các lũy thừa sau đó rút gọn
Giải:
9 13 3 52 3 13 3 52
8
3 2.13 5
3 3.86
+
9
3 26 25
3 86
+
= = 8651 Vậy C 51
86
=
2.2.3 Biểu thức có dạng tổng các lũy thừa viết theo quy luật.
* Phương pháp: Làm xuất hiện biểu thức khác là bội của biểu thức đó có chứa
các lũy thừa có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi cộng hoặc trừ hai biểu thức
Ví dụ 4 Thu gọn biểu thức sau:
+ Hướng dẫn:
- Biểu thức A là tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 2 (2 có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong A
có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp)
Giải:
1 2 2 2 2 2
2A= + + + + +2 2 2 2 2
2A A− = + + + + +(2 2 2 2 2 )− + + + + + +1 2 2 2 2 2
2019
A= −
Vậy A=22019 −1
Ví dụ 5 Thu gọn biểu thức:
B= + + + +1 53 56 5105
+ Hướng dẫn:
- Biểu thức B là tổng các lũy thừa của 5 với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 53(53có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong
B có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp)
Giải:
1 5 5 5
5 B = + +5 5 5 5+
125.B B− =(5 + +5 5 5 )+ − + + + + +1 5 5 5 5
108
124.B =5 − ⇒1 5108 1
124
Vậy
108
5 1 124
Trang 9Ví dụ 6 Thu gọn biểu thức: 1 12 13 199
+ Hướng dẫn: - Biểu thức C là tổng mỗi số hạng là phân số có tử là 1 mẫu là
lũy thừa của 3 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị Nhân cả hai vế của biểu thức với 3
Giải:
2 3 99
2 3 98
3 3 3 3
C C− = + + + + + − + + + +
99
1
3
99
2 2.3
C= −
2.3 Dạng 3 So sánh hai lũy thừa
2.3.1 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng cơ số.
- Sử dụng tính chất: Nếu m > n thì a m>a n ( a > 1 )
Ví dụ 1 So sánh các số sau: a)2711và 81 ; b) 1998 20 và 200315
a) + Hướng dẫn:
- Các cơ số 27 và 81 đều là lũy thừa của 3
- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 3 rồi so sánh
Giải:
Ta có 11 ( )3 11 33
27 = 3 = 3
( )8
8 4 32
81 = 3 = 3
Vì 3 33 > 3 32 ⇒ 27 11 > 81 8
Vậy 27 11 > 81 8
b) + Hướng dẫn: - Ta biến đổi đưa về so sánh qua lũy thừa của một số trung
gian
Giải:
Ta có: 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 52)20 = 260 540
201315 > 200015 = (16.125)15 = (24 53)15= 260.545
Vì 260 540 < 260.545 nên 19920 < 201315
2.3.2 So sánh hai lũy thừa cùng số mũ
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng số mũ lớn hơn 0.
- Sử dụng tính chất: Nếu a > b thì a m >b m ( m > 0 )
Ví dụ 2 So sánh: 32n và 2 3n với n N∈ g
+ Hướng dẫn: Ta thấy số mũ 2n và 3n đều có chung thừa số n nên ta viết hai
lũy thừa trên thành các lũy thừa có cùng số mũ là n, rồi so sánh cơ số
Giải:
Trang 10Ta có : 32n =( )32 n =9n; 2 3n =( )2 3 n = 8n
Với n N∈ gnên ta có 9n >8n ⇒32n >23n
Áp dụng So sánh:
a) 3200 và 2300
Ta có: 3200 = (32)100 = 9100; 2300 = (23) 100 = 8100
Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300
b) 1619 và 825
Ta có: 19 ( )4 19 76
25 ( )3 25 75
Vì 276 > 275 nên 1619 > 825
2.4 Dạng 4: Tìm số chưa biết trong lũy thừa
2.4.1 Tìm cơ số:
* Phương pháp:
- Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng số mũ
- Áp dụng tính chất: Nếu an = bn thì a = b hoặc a = - b (nếu n chẵn )
a = b (nếu n lẻ)
Ví dụ 1 Tìm số nguyên x, biết: ( )3
x+ = − + Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 3 nên ta viết
vế phải thành lũy thừa có số mũ là 3
Giải:
( )3
( )3 3
(x+1) = −3 ⇒ x + = − 1 3⇒ x= − −3 1⇒ x = −4
Vậy x= - 4
Ví dụ 2 Tìm số nguyên x, biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2
+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 2 cả hai lũy
thừa đều biết số mũ là 2, nhưng cơ số chưa biết Do đó ta sử dụng tính chất bình phương của hai lũy thừa bằng nhau khi cơ số của chúng bằng nhau hoặc đối nhau
Giải:
Ta có: (x - 5)2 = (1 – 3x)2
=> x – 5 = 1– 3x hoặc x – 5 = 3x – 1
Xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1:
x – 5 = 1– 3x
4x = 6
x = 6
4 3
2