Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học sinh khá, giỏi, bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán về lũy thừa và các phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng n
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung
và đổi mới để đáp ứng đòi hỏi của xã hội Vì vậy, mỗi người giáo viên dạy toán phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để thực hiện chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra
Chương trình Toán trung học cơ sở rất phong phú và đa dạng, các dạng toán cũng được đề cập đến tương đối nhiều Trong số đó, các bài toán về lũy thừa là một mảng kiến thức quan trọng Tuy nhiên ở sách giáo khoa chưa đề cập đến các bài toán khó vì thời lượng tiết dạy hạn hẹp và khó đối với các đối tượng học sinh trung bình, yếu Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học sinh khá, giỏi, bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán
về lũy thừa và các phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng nhằm bổ trợ và nâng cao kịp thời cho các em Ở phần mỗi bài toán về lũy thừa đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp với đặc điểm của từng bài toán Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học Do đó các bài toán về lũy thừa thường có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, các kì thi Violimpic Toán
Bên cạnh đó, các bài toán về lũy thừa là đề tài lí thú của phân môn Số học
và Đại số, là đối tượng nghiên cứu của Toán học Các bài toán về lũy thừa được
đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy vất vả nhất là học sinh lớp 6
và lớp 7 Với Trường THCS Phạm Văn Hinh, một trung tâm chất lượng cao bậc THCS huyện Thạch Thành công tác bồi dưỡng học sinh giỏi được đặt lên hàng đầu đó là nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường trong tất cả các năm học Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7 là nhiệm vụ quan trọng đặc biệt là các bài toán về luỹ thừa, đây là nền tảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp tiếp theo nhất là lớp 9 dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó Tôi đã tìm tòi nghiên cứu đề
tài “Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh” Nhằm tìm
ra các biện pháp hữu hiệu, để có những phương án thích hợp giúp học sinh tiếp cận với các bài toán lũy thừa một cách chủ động, sáng tạo, hứng thú trong quá trình học
Các bài toán về lũy thừa rất phong phú về dạng toán, nhưng trong nội dung sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và một số phương pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó
1.2 Mục đích nghiên cứu:
- Tìm ra các phương pháp giải các dạng toán về lũy thừa
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng thức cụ thể, đảm bảo tính chính xác, khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh
Trang 2- Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
- Để bản thân rút ra một số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp 6,7 khi giải các dạng toán về lũy thừa tốt hơn
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
“Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 6,7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh”
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấn đáp
- Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
So với sáng kiến kinh nghiệm đã viết năm học 2014-2015 các nội dung
được viết thêm:
- Phần kiến thức thêm nội dung các công thức mở rộng và các phép toán về thứ tự, cách tìm chữ số tận cùng
- Số lượng bài tập ở các dạng nhiều hơn và được nâng cao dần
Cụ thể :
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình
và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và
ký hiệu toán học
Môn Toán là môn học đòi hỏi phải có kĩ năng giải toán và ứng dụng của mỗi dạng toán, là môn khoa học đòi hỏi tư duy cao của người dạy và người học Thông qua việc giảng dạy môn Toán nhằm rèn luyện cho người học năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo nhằm hình thành nhân cách cho người lao động trong tương lai Học sinh muốn có kiến thức toán sâu thì phải luyện tập và thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức toán học của mình Đây cũng là vấn đề khó đối với người học, chính vì vậy thì đòi hỏi người dạy cần truyền đạt cho các em sự ham thích học toán bằng cách phân dạng các bài toán về lũy thừa một cách khoa học nhất
Trang 3Trong toán học, luỹ thừa là một phép toán được thực hiện trên hai số a, b, kí hiệu là ab, đọc là luỹ thừa bậc b của a, số a được gọi là cơ số, số b gọi là số mũ Trong trường hợp n là số nguyên dương, luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa
số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong các nhà trường THCS đang được quan tâm đặc biệt, đó là một trong những vấn đề đánh giá chất lượng của một nhà trường Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII yêu cầu của nhiệm vụ bồi dưỡng tạo dựng đội ngũ nhân tài cho tương lai phải xác định rõ hơn, kết quả học sinh giỏi cũng là kết quả của phong trào "hai tốt" ở các nhà trường, nó gắn liền với việc nâng cao chất lượng đại trà, giáo dục toàn diện đối với học sinh
Chính vì vậy, các nhà trường THCS cần xác định được mục tiêu đó là nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện cho các em các kĩ năng giải toán và ứng dụng vào thực tiễn, rèn luyện kĩ năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêu trên phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh các tư duy cần thiết
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
a.Thực trạng
Ưu điểm: Trường THCS Phạm Văn Hinh có truyền thống trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán một số học sinh có tư chất thông minh, có thiên hướng học các môn khoa học tự nhiên, nhiều em yêu thích môn toán
Nhược điểm:
Về học sinh:Không biết cách về giải các bài toán về luỹ thừa
Không biết cách trình bày
Không nắm được các dạng toán về luỹ thừa một cách cụ thể
Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết các dạng toán về luỹ thừa
Nhiều giáo viên không chú trọng đến mảng kiên thức này, chưa quan tâm đúng mức đến tất cả các dạng toán về luỹ thừa
Nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình còn ít + Sách giáo khoa chưa đưa ra những bài toán nâng cao về các dạng toán về luỹ thừa
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức bổ trợ nâng cao về luỹ thừa
Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rèn luyện nhiều
Trang 4+ Giáo viên chưa tìm ra được những giải pháp hữu hiệu khi dạy phần kiến thức
về luỹ thừa
Qua một số năm được phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết về nội dung này và tôi thấy việc cần thiết phải có những phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp học sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải các bài toán về lũy thừa Ở trường trung học cơ sở các dạng toán có liên quan đến lũy thừa xuất hiện nhiều ở lớp 6,7 đặc biệt là các đề học sinh giỏi
b Kết quả thực trạng
Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có biện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã đã tham khảo rất nhiều tài liệu, tham gia giải cùng học sinh các bài toán và tiến hành khảo sát các em trong đội tuyển 26
em mà tôi đảm nhận Cụ thể hai bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm x là số tự nhiên biết : 32x 27 = 2187 1
Bài toán 2: So sánh 5566 và 6655 2
Kết quả thu được sau khi các em làm 2 bài tập trên như sau:
Trên đây là bảng tổng hợp kết quả mà bản thân đã khảo sát trước khi thực
hiện với công việc phân loại các bài tập về lũy thừa
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
* Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản:
- Bằng cách cung cấp lý thuyết trong những tiết dạy lý thuyết
- Củng cố trong những tiết luyện tập
Vậy tại sao chúng ta phải cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ thừa?
Vì giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ thừa để từ đó vận dụng vào thực hành Với m, n N; x,y R ; x,y 0
+ xn = x.x x ( n thừa số x) (Định nghĩa về lũy thừa)
+ xn xm = xn + m (Nhân hai lũy thừa cùng cơ số)
+ xn : xm = xn - m (n >m ) (Chia hai lũy thừa cùng cơ số)
+ (xn)m = xn m (Lũy thừa của lũy thừa)
+ (x y)n = xn yn (Lũy thừa của một tích)
+ (x : y)n = xn : yn (Lũy thừa của một thương)
+ m n m n
x x ( Lũy thừa tầng)
* Qui ước: xo =1 ; x1 = x và x-1 = 1x
Nội dung kiến thức mở rộng và Các tính chất về thứ tự :
Trong trang này: Bài toán 1 tham khảo từ TLTK số 1 ; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số 2
Trang 5+ x-n = x n
1
(x ≠ 0)
+ Với a,b,c N* ta có: Nếu 1
b
a
thì
c b
c a b
a
b
a
thì
c b
c a b
a
+ Nếu a = b thì an = bn
+ Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b (nếu n chẵn), a = b ( nếu n lẻ)
+ Nếu am = an thì m = n
+ Nếu a > b > 0 => am > bm (m ≠ 0)
+Nếu 0< a < 1 thì a m a
+ Nếu m > n > 0 , a > 1 => am > an
+ Nếu am > bn và bn > ck => am > ck
+ Với n N: (-x)2n = x2n ; (-x)2n+1 = - x2n+1 5
Với các kiến thức trên tôi xin giới thiệu và phân thành các dạng bài tập như sau:
* Hướng dẫn vận dụng các phương pháp giải các dạng bài toán về luỹ thừa:
2.3.1 Dạng 1: Thực hiện phép tính, tính giá trị của biểu thức.
Bài toán 1: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa
a 420.830 b.415.530 c 2716: 910 d (0,125)3 256 e 920 : (0,375)40 1
Giải
a Ta có 420.830 = (22)20 (23)30 = 240.290 =2130
b Ta có 415.530 = 415.(52)15 = (4.25)15 =10015
c Ta có 2716: 910 = (33)16: (32)10 = 348: 320 =328
d Ta có (0,125)4 4096 = (0,53)4.212 = (0,5.2)12 =112 =1
e Ta có 910 : (0,375)20 = (32)10: (0,375)20 = (3 : 0,375)20 = 820
Đối với các bài tập trên việc giải là quá đơn giản vì chỉ cần vận dụng các công thức cơ bản về lũy thừa
Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
M = 57 64
189 12
54 126
N =
104 2
65 2 13 2 8
10 10
P = 104 1110
4 8
8 4
2
Giải
Ta có M = 57 64
189 12
54 126
4 3 7 2
) 7 3 (
) 3 2 (
) 3 2 (
) 7 3 2 (
= 71014 5 7184 612
7 3 3 2
3 2 7 3 2
= 1011 2623 67
7 3 2
7 3 2
= 2.27.7=378
Ta có N =
104 2
65 2 13 2 8
10 10
104 2
65 2 13 2 8
10 10
13 2 2
) 65 13 ( 2 3 8
10
=
13 2
78 2 11
10
=
13 2
13 3 2 11 11
= 3
Ta có P = 104 1110
4 8
8 4
= 1220 2230
2 2
2 2
= 2212((11 2210))
10 20
= 28 = 256 Đối với các bài tập trên thì ở câu M ta biến đổi các số về các số nguyên tố với số mũ của nó rồi từ đó rút gọn Đối với câu N ta vận dụng tích chất phân
Trang 6phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc trừ đó là ab ac = a (b c) rồi
biến
Trong trang này Phần hướng dẫn nắm vững kiến thức cơ bản và mở rộng tham khảo từ TLTK số 5 bài toán 1 tham khảo từ TLTK số
1 ; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số 2 .
đổi tử và mẫu về dạng tích sau đó rút gọn
Còn câu P ta phải vận dụng cả hai phương pháp trên để giải
2.3.2.Dạng 2:Tìm thành phần chưa biết (cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa).
Bài toán 3: Tìm x N biết: a 2x 8 = 256 b
16
1 2
1 3 1
x 3
Giải
a 2x 8 = 256 2x 23 = 28 2x = 28 : 23 2x = 25 x =5
b 213 1 161
4 1
3
2
1 2
1
Đối với các bài toán trên ta chỉ việc biến đổi về cùng cơ số và để tìm được x thì cho hai số mũ bằng nhau
Bài toán 4: Tìm x Z biết
a (2x – 3)3 = 729 b (2x – 1)2=49 c.(x - 7)2016 = (x- 7)2017 d.x2016 = x 1
Giải
a (2x – 3)3 = 729 (2x – 3)3 = 93 2x - 3 = 9 2x =12 x = 6
b.(2x –1)2= 49 (2x –1)2 =(7)2 2x -1=7 hoặc 2x -1= -7 2x=8 hoặc 2x =
-6
x = 4 hoặc x = -3
c (x - 7)2016 = (x- 7)2017 Ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Nếu x - 7 = 0 x = 7 (vì 02016 = 02017 = 0)
Trường hợp 2: Nếu x - 7 0 x 7 chia hai vế cho ( x - 7) ta được
2016
2017
7
7
x
x
= 1
hay x - 7 =1 x = 8
d x2016 = x Đối với bài toán này ta có 2 cách giải
Cách 1: x2016 = x x = 0 hoặc x = 1 (vì 02016 = 0 và 12016 =1)
Cách 2: x2016 = x x2016 - x = 0 x(x2015 - 1) = 0 x = 0 hoặc x2015 - 1 = 0
x = 0 hoặc x2015= 1 x = 0 hoặc x = 1
Trong hai câu a, b ta biến đổi 2 vế đẳng thức về cùng số mũ , để tìm giá trị của x hay đẳng thức xảy ra khi số mũ ở hai vế bằng nhau
Trong câu c, d ta sử dụng công thức 1n = 1; 0n = 0 ( với nN*) hoặc cũng có thể đưa về dạng tích như trong câu d Các bài toán trên mới đưa ra tìm một giá trị x từ các bài toán trên cũng có thể đưa ra bài toán tìm hai giá trị x, y
Bài toán 5: Tìm x,y biết
a (x + 6)2+(y - 4)2= 0 b.(x - 2 - y)2016 + x 6 y = 0 c 2y + 2x+3 = 272
1
Giải
a Vì (x + 6)2 0 với mọi x và (y - 4)2 0 với mọi y
Trang 7Như vậy để (x + 6)2 + (y - 4)2 = 0 thì
0 4
0 6
y
x
4
6
y
x
Vậy x = - 6; y = 4
b Ta có (x - 2 - y)2016 0 với mọi x,y và x 6 y 0 với mọi x,y
Trong trang này: Bài toán 3 tham khảo từ TLTK số 3 ; : Bài toán 4,5 tham khảo từ TLTK số 1
Để (x - 2 - y)2016 + x 6 y = 0
0 6
0 2
y x
y x
2
4
y
x
Vậy x = 4; y= 2
c 2y + 2x+3 = 272
Ta có 272 = 2.8+28 nên 2y + 2x+3 = 272
2
8 2 2
x
y
8
8 3
y
x
8
5
y
x
Vậy x = 5; y = 8
Ở câu a,b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên đẳng thức xảy ra khi các hạng tử đều bằng 0 Còn ở câu c thì phải biến đổi vế phải về dạng đặc trưng của vế trái từ đó đồng nhất hai vế để tìm ra kết quả
Bài toán 6: Tìm n N, biết:
a) 5n + 5n 2=650 b) 32n.16n = 1024 c) 3 1.3n +5.3n 1=162
11
Giải a) 5n + 5n 2=650 5n (1+52 ) = 650 5n 26 = 650 5n = 650:26 = 25
5n = 52 n=2
b) 32n.16n = 1024 (25)n.2 n = 210 2 n.2 n= 210 24 n 5 n=210 4n-5n = 10
-n = 10 n = -10
c) 3 1.3n +5.3n 1=162 3n 1+5.3n 1 = 162 3n 1(1+5) =162
3n 1 = 162 : 6 = 27 3n 1 = 33 n -1 = 3 n
=4
Cả 3 câu a,b,c trên ta đều đưa chúng về hai lũy thừa cùng cơ số để tìm thành phần chưa biết
Bài toán 7: Tìm m,n thuộc N biết : 2m+2n = 2m n 11
Giải
Ta có: 2m+2n = 2m n 2m+2n = 2m.2n 2m+2n - 2m.2n = 0
2m- (2m.2n - 2n ) = 0
2m - 2n (2m- 1) = 0 2m -1 - 2n (2m- 1) = - 1 (2m- 1)( 1- 2n ) = -1
(2m- 1)( 2n -1) = 1 vì 2m 1; 2n 1
Vậy để (2m- 1)( 2n -1) = 1 thì 2m- 1 = 1 hoặc 2n -1 = 1 2m =2 hoặc 2n =
2
Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc chuyển vế sau đó đưa vế phải bằng không Rồi bằng cách thêm bớt đưa về tích của hai biểu thức rồi lập luận để tìm
m và n
Bài toán 8: Tìm x, y thuộc N biết: a) 2x 1 3 y = 12x b) 10x:5 y = 20y
11
Giải
Trang 8a)2x 1 3y=12x 2x+1.3y = 4x.3x 2x+1 3y = 22x.3x 1
2 2
2 3
3
x x
y
3y-x = 2x-1 (*)
Vì (3;2) =1 nên (*) xảy ra khi và chỉ khi y-x = x-1= 0 2x =y+1
Vậy nếu 2 lũy thừa có cơ số không bằng nhau mà là hai số nguyên tố cùng nhau thì chúng bằng nhau và bằng 1
b) 10x = 20y 5y 10x= 400y 10x = 102y x = 2y Vậy có vô số cặp (x;y) thuộc N sao cho x = 2y
Ở câu a,b ta biến đổi 2 vế về lũy thừa của các số nguyên tố, để đẳng thức xảy ra Trong trang này: Bài toán 6,7,8 tham khảo từ TLTK số 11
khi số mũ của lũy thừa cùng cơ số hai vế bằng nhau Đồng thời triệt tiêu các số
mũ của lũy thừa không cùng số mũ
2.3.3 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa
+ Dạng 3.1: So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng cơ số
- Dạng 3.1.1 So sánh hai lũy thừa của các cơ số dương bằng cách đưa về cùng cơ số
Bài toán 9: So sánh a) 6255 và 1257 b) 17
9
1
27
1
2
Giải a) Ta có 6255 = (54)5 = 520 ; 1257 = (53)7 = 521 vì 520 < 521 nên 6255 < 1257
b) Ta có
17
9
1
=
34 17
2
3
1 3
1
và 271 12
=
36 12
3
3
1 3
1
Vì số mũ 34 < 36 và cơ số là
3
1 (0 <
3
1
3
1 3
1
9
1
>
12
27
1
Bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức với m, n N* và m > n, a0
+ Nếu a > 1 thì am > an ( câu a)
+ Nếu a = 0;a =1 thì am = an
+ Nếu 0 < a < 1 thì am < an (câu b)
- Dạng 3.1.2 So sánh hai lũy thừa của các cơ số âm bằng cách đưa về cùng
cơ số
Bài toán 10: So sánh a) (-5)30 và (- 3)50 b) (-32)9 và (-18)13
c) (16 1)100 và ( 21)500 5
Giải a) Ta có (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
(- 3)50 = 350 = (35)10 = 24310 vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (- 3)50
b) Do -18 < -16 (-18)13 < (-16)13 < (-32)9 Vậy (-18)13 < (-32)9
Trang 9c) Ta có: (16 1)100 = (161 )100 = (2 4
1
)100 = 4 100
100
) 2 (
1
= 2 400
1
và ( 21)500 = ( 21 )500 =
500
2
1
vì 2400 < 2500 nên 2 400
1
>2 500
1
hay ( 21)500 < (16 1)100 Bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức sau: Với m, n N* và m > n trong đó
m, n là số lẻ, a < 0 Ta có: - Nếu a < -1 thì am < an
- Nếu a = -1 thì am = an
- Nếu -1 < a < 0 thì am > an
Trong đó câu b là trường hợp số mũ lẻ Còn câu a, c là trường hợp số mũ chẵn áp dụng như khi đưa về hai lũy thừa cùng cơ số
Ngoài ra ta còn gặp một số bài toán về so sánh nhưng không thể đưa về cùng
cơ số hoắc số mũ mà phải đưa về so sánh với lũy thừa trung gian
Trong trang này: Bài toán 9 tham khảo từ TLTK số 2 ;bài toán 10 tham khảo từ TLTK số 5
+ Dạng 3.2 So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng số mũ.
Bài toán 11: So sánh a) 2300 và 3200 b) 202303 và 303202 c) 9920 và 999910 d)111979 và 31320 e) 199010 +19909 và 199110 f) 162510
và 7340
2
Giải a) Ta có 3200 = (32)100 = 9100 và 2300 = (23)100 = 8100
vì 9 >8 8100 < 9100 nên 3200 >2300
b) Ta có 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.1013)101
303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Do 8.1013 = 8.101.1012 > 9.1012 (8.1013) > (9.1012)101 202303 > 303202
c) Ta có 9920 = (992)10 Do đó 992 <99.101 = 9999
(992)10 <999910 hay 9920 < 999910
d)Ta có 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
371320 = (372)660 = 1369660 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy: 1331660 < 1369660 mà 111979 < 1331660 111979 < 111920
e) Ta có 199010 +19909 = 19909(1990+1) = 1991.19909
Ta thấy 1991.19909 <1991.19919 =199110 Nên 199010 +19909 < 199110
f) Ta có
10
25
16
=
20 10
2
5
4 5
4
v à 7340
=
20 20
2
49
9 7
3
Vì 54 499 nên 54 20 499 20
> 7340
Trong bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức sau Với m N* và a,b R, ta có:
+ Nếu a < b thì am < bm
+ Nếu a = b thì am = bm
+ Nếu a > b thì am > bm
+ Dạng 3.3: So sánh hai lũy thừa bằng cách dùng lũy thừa trung gian
Bài toán 12: So sánh a) 1612 và 637 b) 3111 và 1714
Trang 10c) 10750 và 7375 d) 291 và 535 2
Giải a) Ta có 637 < 647 < 648, mà 1612 = (42)12 = 424 = (43)8 = 648 Suy ra 637 < 162
b) Ta có 1714 > 1614 = (24)14 = 256 và 3111 < 3211 = (25)11 = 255
Do 256 > 255 nên 1714 > 3111
c) Ta có 10750<10850 = (4.27)50 = (22.33)50 = 2100.3150
7375 >7275 = (8.9)75 = (23.32)75 = 2225.3150
10750 > 2100.3150 < 2225.3150 < 7375
d)Ta có 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 =2518 vì 2518 < 3218 nên 535 < 291
Trong bài toán trên ta đã sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c (trong đó b là phần trung gian) Cụ thể: Ở câu a ta sử dụng 648 làm lũy thừa trung gian, còn ở câu b ta sử dụng 1614 và 3211, câu c sử dụng 10850 và 7275 ,
Trong trang này: Bài toán 11,12 dựa theo tài liệu tham khảo số 2
Câu d sử dụng 290 và 536 làm lũy thừa trung gian để so sánh
Bài toán 13 : Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 6
Giải
Ta có 527 = (53)9 = 1259 và 263 = (27)9 = 1289 nên 527 < 263 (1)
Ta lại có 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257 nên 263 < 528 (2)
Từ (1) và (2) ta được 527 < 263 < 528
Bài toán 14: So sánh 2100 và 1031 2
Giải
Ta có 2100 = 231.269 và 1031 = (2.5)31 = 231.531
Từ cách phân tích trên để so sánh 2100 và 1031 , chỉ cần so sánh 269 và 531
Thật vậy, ta có 531 = 53 528 = 53 (54)7 = 125 6257
269 = 26 263 = 26 (29)7 = 64 5127
Vì 125 > 64 và 6257 > 5127 nên 125 6257 > 64 5127 => 531 > 269
Do vậy 1031 > 2100
Ở bài toán trên ta đã phân tích 1031 thành tích của hai lũy thừa trong đó có một thừa số chứa 231, đồng thời cũng phân tích 2100 thành một lũy thừa chứa 231
Cụ thể so sánh 269 và 531
Bài toán 15: So sánh 5566 và 6655 2
Giải : Ta có 5566 = (5.11)66 = 566.1166 = (56)11.1166 = (15625)11 1166
6655 = (6.11)55 = 655.1155 = (65)11 1155 = (7776)11.1155
vì 1166 > 1155 và (15625)11 >(7776)11 Nên 5566 > 6655
Ở bài toán này, ta đưa về dạng tích, sau đó so sánh từng thành phần rồi ta chỉ việc so sánh hai tích
Hay nói cách khác trong bài toán trên đã sử dụng tính chất:
Với a, b, c, d N* Nếu a > b và c > d thì a.c > b.d
+Dạng 3.4 So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa
Bài toán 16: So sánh hai biểu thức sau biết: