Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6,7 ở trường THCS phạm văn hinh

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Trong q trình phát triển, xã hội ln đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng đòi hỏi xã hội Vì vậy, người giáo viên dạy tốn phải ln ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để thực chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Chương trình Tốn trung học sở phong phú đa dạng, dạng toán đề cập đến tương đối nhiều Trong số đó, tốn lũy thừa mảng kiến thức quan trọng Tuy nhiên sách giáo khoa chưa đề cập đến toán khó thời lượng tiết dạy hạn hẹp khó đối tượng học sinh trung bình, yếu Bởi muốn bồi dưỡng phát triển đối tượng học sinh khá, giỏi, thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tịi dạng tốn lũy thừa phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng nhằm bổ trợ nâng cao kịp thời cho em Ở phần tốn lũy thừa địi hỏi cách giải riêng phù hợp với đặc điểm tốn Điều có tác dụng rèn luyện tính tư tốn học linh hoạt sáng tạo người học Do tốn lũy thừa thường có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, kì thi Violimpic Tốn Bên cạnh đó, tốn lũy thừa đề tài lí thú phân môn Số học Đại số, đối tượng nghiên cứu Toán học Các toán lũy thừa đề cập sách giáo khoa từ đầu năm lớp đến lớp lớp có yêu cầu khác nên làm cho người học người dạy vất vả học sinh lớp lớp Với Trường THCS Phạm Văn Hinh, trung tâm chất lượng cao bậc THCS huyện Thạch Thành công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đặt lên hàng đầu nhiệm vụ trọng tâm nhà trường tất năm học Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7 nhiệm vụ quan trọng đặc biệt toán luỹ thừa, tảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp lớp dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh Từ yếu tố khách quan chủ quan Tơi tìm tịi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh giải dạng toán lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu trường THCS Phạm Văn Hinh” Nhằm tìm biện pháp hữu hiệu, để có phương án thích hợp giúp học sinh tiếp cận với toán lũy thừa cách chủ động, sáng tạo, hứng thú trình học Các tốn lũy thừa phong phú dạng toán, nội dung sáng kiến tơi nghiên cứu số dạng tốn điển hình số phương pháp giải cho dạng tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Tìm phương pháp giải dạng tốn lũy thừa - Xây dựng hệ thống tập theo dạng thức cụ thể, đảm bảo tính xác, khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh - Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán - Để thân rút số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp 6,7 giải dạng toán lũy thừa tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh giải dạng toán lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu trường THCS Phạm Văn Hinh” 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấn đáp - Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm So với sáng kiến kinh nghiệm viết năm học 2014-2015 nội dung viết thêm: - Phần kiến thức thêm nội dung công thức mở rộng phép tốn thứ tự, cách tìm chữ số tận - Số lượng tập dạng nhiều nâng cao dần Cụ thể : TT Các dạng Các thêm Dạng Thêm Dạng Thêm phần 3.4 tập 20 Dạng Thêm 22 Dạng Thêm 36 Dạng Thêm 41 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Tốn học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, khơng gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho mơn học "hình số." Theo quan điểm thống, mơn học nghiên cứu cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ tiên đề, cách sử dụng Luận lý học (lơgic) ký hiệu tốn học Mơn Tốn mơn học địi hỏi phải có kĩ giải toán ứng dụng dạng tốn, mơn khoa học địi hỏi tư cao người dạy người học Thông qua việc giảng dạy mơn Tốn nhằm rèn luyện cho người học lực phân tích, tổng hợp, tư linh hoạt, khả sáng tạo nhằm hình thành nhân cách cho người lao động tương lai Học sinh muốn có kiến thức tốn sâu phải luyện tập thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức tốn học Đây vấn đề khó người học, địi hỏi người dạy cần truyền đạt cho em ham thích học tốn cách phân dạng toán lũy thừa cách khoa học Trong toán học, luỹ thừa phép toán thực hai số a, b, kí hiệu a b , đọc luỹ thừa bậc b a, số a gọi số, số b gọi số mũ Trong trường hợp n số nguyên dương, luỹ thừa bậc n a tích n thừa số nhau, thừa số a: Hiện công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường THCS quan tâm đặc biệt, vấn đề đánh giá chất lượng nhà trường Nghị Trung Ương khóa VIII yêu cầu nhiệm vụ bồi dưỡng tạo dựng đội ngũ nhân tài cho tương lai phải xác định rõ hơn, kết học sinh giỏi kết phong trào "hai tốt" nhà trường, gắn liền với việc nâng cao chất lượng đại trà, giáo dục tồn diện học sinh Chính vậy, nhà trường THCS cần xác định mục tiêu nhằm cung cấp cho em học sinh kiến thức phổ thông thiết thực, hình thành rèn luyện cho em kĩ giải toán ứng dụng vào thực tiễn, rèn luyện kĩ suy luận hợp lí, sử dụng ngơn ngữ xác, bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêu phương pháp dạy học tích cực hoá hoạt động học sinh, rèn luyện khả tự học, tự giải vấn đề học sinh nhằm hình thành phát triển học sinh tư cần thiết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a.Thực trạng Ưu điểm: Trường THCS Phạm Văn Hinh có truyền thống việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán số học sinh có tư chất thơng minh, có thiên hướng học môn khoa học tự nhiên, nhiều em yêu thích mơn tốn Nhược điểm: Về học sinh:Khơng biết cách giải tốn luỹ thừa Khơng biết cách trình bày Khơng nắm dạng tốn luỹ thừa cách cụ thể Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết dạng toán luỹ thừa Nhiều giáo viên không trọng đến mảng kiên thức này, chưa quan tâm mức đến tất dạng toán luỹ thừa Nguyên nhân: - Nguyên nhân khách quan: +Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức theo phân phối chương trình cịn + Sách giáo khoa chưa đưa toán nâng cao dạng toán luỹ thừa - Nguyên nhân chủ quan: + Học sinh chưa nắm vững kiến thức bản, kiến thức bổ trợ nâng cao luỹ thừa Kĩ trình bày học sinh dạng toán chưa rèn luyện nhiều + Giáo viên chưa tìm giải pháp hữu hiệu dạy phần kiến thức luỹ thừa Qua số năm phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết nội dung tơi thấy việc cần thiết phải có phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp học sinh phần có sở để tìm tịi giải toán lũy thừa Ở trường trung học sở dạng tốn có liên quan đến lũy thừa xuất nhiều lớp 6,7 đặc biệt đề học sinh giỏi b Kết thực trạng Từ thực trạng với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá từ có biện pháp giảng dạy có hiệu tơi đã tham khảo nhiều tài liệu, tham gia giải học sinh toán tiến hành khảo sát em đội tuyển 26 em mà đảm nhận Cụ thể hai tốn sau: Bài tốn 1: Tìm x số tự nhiên biết : 32x 27 = 2187 [1] Bài toán 2: So sánh 5566 6655 [ 2] Kết thu sau em làm tập sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 30.8 34.6 26.9 7.7 Trên bảng tổng hợp kết mà thân khảo sát trước thực với công việc phân loại tập lũy thừa 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề * Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức bản: - Bằng cách cung cấp lý thuyết tiết dạy lý thuyết - Củng cố tiết luyện tập Vậy phải cho học sinh nắm vững kiến thức luỹ thừa? Vì giúp học sinh nắm vững kiến thức luỹ thừa để từ vận dụng vào thực hành Với m, n ∈ N; x,y ∈ R ; x,y ≠ + xn = x.x x ( n thừa số x) (Định nghĩa lũy thừa) n m n+m +x x =x (Nhân hai lũy thừa số) n m n-m +x :x =x (n >m ) (Chia hai lũy thừa số) n m n.m + (x ) = x (Lũy thừa lũy thừa) n n n + (x y) = x y (Lũy thừa tích) n n n + (x : y) = x : y (Lũy thừa thương) + x * Qui ước: xo =1 mn (m ) =x n ; x1 = x x-1 = ( Lũy thừa tầng) x Nội dung kiến thức mở rộng Các tính chất thứ tự : Trong trang này: Bài toán tham khảo từ TLTK số [1] ; toán tham khảo từ TLTK số [ 2] + x-n = (x ≠ 0) xn + Với a,b,c ∈ N* ta có: Nếu a a a+c < < ; b b b+c Nếu a a a+c > > b b b+c + Nếu a = b an = bn + Nếu an = bn a = b a = -b (nếu n chẵn), a = b ( n lẻ) + Nếu am = an m = n + Nếu a > b > => am > bm (m ≠ 0) +Nếu 0< a < a m < a + Nếu m > n > , a > => am > an + Nếu am > bn bn > ck => am > ck + Với n ∈ N: (-x)2n = x2n ; (-x)2n+1 = - x2n+1 [ 5] Với kiến thức xin giới thiệu phân thành dạng tập sau: * Hướng dẫn vận dụng phương pháp giải dạng toán luỹ thừa: 2.3.1 Dạng 1: Thực phép tính, tính giá trị biểu thức Bài toán 1: Viết kết sau dạng lũy thừa a 420.830 b.415.530 c 2716: 910 d (0,125)3 256 e 920 : (0,375)40 [1] Giải 20 30 20 30 40 90 a Ta có = (2 ) (2 ) = 2 =2130 b Ta có 415.530 = 415.(52)15 = (4.25)15 =10015 c Ta có 2716: 910 = (33)16: (32)10 = 348: 320 =328 d Ta có (0,125)4 4096 = (0,53)4.212 = (0,5.2)12 =112 =1 e Ta có 910 : (0,375)20 = (32)10: (0,375)20 = (3 : 0,375)20 = 820 Đối với tập việc giải đơn giản cần vận dụng cơng thức lũy thừa Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức sau M= 126 54 12 5.189 N= 210.13 + 210.65 8.104 Giải P= 410 − 810 − 411 [ 2] (2.3 7) ( 2.3 ) 126 54 314.7 7.2 4.312 211.3 26.7 Ta có M = = = 10 18 = 10 23 = 2.27.7=378 (2 2.3) (33.7) 12 5.189 3 7 10 10 10 10 10 13 + 65 13 + 65 (13 + 65) 210.78 211.3.13 Ta có N = = = = = =3 8.104 8.104 8.2 3.13 211.13 211.13 20 (1 − 210 ) 410 − 810 20 − 30 Ta có P = 11 = 12 22 = 12 = 28 = 256 (1 − 210 ) −4 −2 Đối với tập câu M ta biến đổi số số nguyên tố với số mũ từ rút gọn Đối với câu N ta vận dụng tích chất phân phối phép nhân phép cộng trừ ab ± ac = a (b ± c) biến Trong trang Phần hướng dẫn nắm vững kiến thức mở rộng tham khảo từ TLTK số ; toán tham khảo từ TLTK số [ 2] [ 5] toán tham khảo từ TLTK số [1] đổi tử mẫu dạng tích sau rút gọn Còn câu P ta phải vận dụng hai phương pháp để giải 2.3.2.Dạng 2:Tìm thành phần chưa biết (cơ số số mũ lũy thừa) Bài tốn 3: Tìm x ∈ N biết: x a = 256 1 b   2 x +1 = 16 [ 3] Giải a = 256 ⇒ 2 = ⇒ = 28 : 23 ⇒ 2x = 25 ⇒ x =5 x 1 b   2 x x +1 1 ⇒   = 16 2 3 x +1 x 1 =   ⇒ 3x + = ⇒ 3x = ⇒ x =1 2 Đối với toán ta việc biến đổi số để tìm x cho hai số mũ Bài tốn 4: Tìm x ∈ Z biết a (2x – 3)3 = 729 b (2x – 1)2=49 c.(x - 7)2016 = (x- 7)2017 d.x2016 = x [1] Giải 3 ⇒ ⇒ a (2x – 3) = 729 (2x – 3) = 2x - = ⇒ 2x =12 ⇒ x = b.(2x –1)2= 49 ⇒ (2x –1)2 =( ± 7)2 ⇒ 2x -1=7 2x -1= -7 ⇒ 2x=8 2x = - ⇒ x = x = -3 2016 2017 c (x - 7) = (x- 7) Ta xét trường hợp Trường hợp 1: Nếu x - = ⇒ x = (vì 02016 = 02017 = 0) Trường hợp 2: Nếu x - ≠ ⇒ x ≠ chia hai vế cho ( x - 7) ta ( x − ) 2017 =1 ( x − ) 2016 hay x - =1 ⇒ x = d x = x Đối với tốn ta có cách giải Cách 1: x2016 = x ⇒ x = x = (vì 02016 = 12016 =1) Cách 2: x2016 = x ⇒ x2016 - x = ⇒ x(x2015 - 1) = ⇒ x = x2015 - = ⇒ x = x2015= ⇒ x = x = Trong hai câu a, b ta biến đổi vế đẳng thức số mũ , để tìm giá trị x hay đẳng thức xảy số mũ hai vế Trong câu c, d ta sử dụng công thức n = 1; 0n = ( với n ∈ N*) đưa dạng tích câu d Các toán đưa tìm giá trị x từ tốn đưa tốn tìm hai giá trị x, y Bài tốn 5: Tìm x,y biết [1] a (x + 6)2+(y - 4)2= b.(x - - y)2016 + x − + y = c 2y + 2x+3 = 272 Giải ≥ a Vì (x + 6) với x (y - 4)2 ≥ với y 2016 x + =  x = −6 ⇔ Vậy x = - 6; y = y − =  y=4 ≥ với x,y x − + y ≥ với x,y Như để (x + 6)2 + (y - 4)2 =  b Ta có (x - - y)2016 Trong trang này: Bài toán tham khảo từ TLTK số [ 3] ;: Bài toán 4,5 tham khảo từ TLTK số [1] x − − y = x = ⇔ Vậy x = 4; y= x − + y = y = Để (x - - y)2016 + x − + y = ⇔  c 2y + 2x+3 = 272  y = 2.8 x + = x = ⇔ ⇔   x +3 2 =  y =8 y = Ta có 272 = 2.8+28 nên 2y + 2x+3 = 272 ⇒  Vậy x = 5; y = Ở câu a,b hạng tử lớn nên đẳng thức xảy hạng tử Cịn câu c phải biến đổi vế phải dạng đặc trưng vế trái từ đồng hai vế để tìm kết Bài tốn 6: Tìm n ∈ N, biết: [11] a) n + n+ =650 b) 32 − n 16 n = 1024 c) −1 n +5.3 n −1 =162 Giải n n+ n ⇔ ⇔ a) + =650 (1+5 ) = 650 n 26 = 650 ⇔ n = 650:26 = 25 ⇔ n = ⇒ n=2 b) 32 − n 16 n = 1024 ⇔ (2 ) − n n = 10 ⇔ −5n n = 10 ⇔ n−5n =2 10 ⇒ 4n-5n = 10 ⇒ -n = 10 ⇒ n = -10 −1 n n −1 c) 3 +5.3 =162 ⇔ n−1 +5.3 n −1 = 162 ⇔ n−1 (1+5) =162 ⇔ n −1 = 162 : = 27 ⇔ n −1 = 3 ⇒ n -1 = ⇒ n =4 Cả câu a,b,c ta đưa chúng hai lũy thừa số để tìm thành phần chưa biết [11] Bài tốn 7: Tìm m,n thuộc N biết : m +2 n = m+ n Giải m n m+ n ⇔ m n m Ta có: +2 = 2 +2 = 2 n ⇔ m +2 n - m n = ⇔ m - (2 m n - n ) = ⇔ m - n (2 m - 1) = ⇔ m -1 - n (2 m - 1) = - ⇔ (2 m - 1)( 1- n ) = -1 ⇔ (2 m - 1)( n -1) = m ≥ 1; n ≥ Vậy để (2 m - 1)( n -1) = m - = n -1 = ⇒ m =2 n = ⇒ m =1 n =1(thỏa mãn đề bài) Bài toán ta sử dụng quy tắc chuyển vế sau đưa vế phải khơng Rồi cách thêm bớt đưa tích hai biểu thức lập luận để tìm m n [11] Bài tốn 8: Tìm x, y thuộc N biết: a) x +1 y = 12 x b) 10 x :5 y = 20 y Giải 3y 22x a)2 x +1 y =12 x ⇔ 2x+1.3y = 4x.3x ⇔ 2x+1 3y = 22x.3x ⇔ x = x +1 ⇔ 3y-x = 2x-1 (*) Vì (3;2) =1 nên (*) xảy y-x = x-1= ⇔ 2x =y+1 Vậy lũy thừa có số khơng mà hai số nguyên tố chúng b) 10 x = 20 y y ⇔ 10 x = 400y ⇔ 10 x = 102y ⇔ x = 2y Vậy có vơ số cặp (x;y) thuộc N cho x = 2y Ở câu a,b ta biến đổi vế lũy thừa số nguyên tố, để đẳng thức xảy Trong trang này: Bài toán 6,7,8 tham khảo từ TLTK số [11] số mũ lũy thừa số hai vế Đồng thời triệt tiêu số mũ lũy thừa không số mũ 2.3.3 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa + Dạng 3.1: So sánh hai lũy thừa cách đưa số - Dạng 3.1.1 So sánh hai lũy thừa số dương cách đưa số Bài toán 9: So sánh a) 625 125 1 b)   9 17      27  12 [ 2] Giải a) Ta có 625 = (5 ) = ; 125 = (5 ) = 521 520 < 521 nên 6255 < 1257 5 20   1 b) Ta có   =   9   17    17 7 34 1 =   3       =    27    12 34 12    1 =   3 36 36 17 1 1 1 1   Vì số mũ 34 < 36 số (0 < < 1) nên   >   Do   >   3  3  3 9  27  * Bài toán ta sử dụng kiến thức với m, n ∈ N m > n, a ≥ 12 + Nếu a > am > an ( câu a) + Nếu a = 0;a =1 am = an + Nếu < a < am < an (câu b) - Dạng 3.1.2 So sánh hai lũy thừa số âm cách đưa số Bài toán 10: So sánh a) (-5)30 (- 3)50 b) (-32)9 (-18)13 c) ( − 100 −1 ) ( )500 16 [ 5] Giải 30 30 10 10 a) Ta có (-5) = = (5 ) = 125 (- 3)50 = 350 = (35)10 = 24310 12510 < 24310 nên (-5)30 < (- 3)50 b) Do -18 < -16 ⇒ (-18)13 < (-16)13 < (-32)9 Vậy (-18)13 < (-32)9 1100 − 100 100 100 −1 1 c) Ta có: ( ) = ( ) = ( ) = 100 = 400 ( )500 = ( )500 = 500 (2 ) 16 16 2 2 1 −1 −1 2400 < 2500 nên 400 > 500 hay ( )500 < ( )100 16 2 Bài toán ta sử dụng kiến thức sau: Với m, n ∈N* m > n m, n số lẻ, a < Ta có: - Nếu a < -1 am < an - Nếu a = -1 am = an - Nếu -1 < a < am > an Trong câu b trường hợp số mũ lẻ Còn câu a, c trường hợp số mũ chẵn áp dụng đưa hai lũy thừa số Ngồi ta cịn gặp số tốn so sánh khơng thể đưa số hoắc số mũ mà phải đưa so sánh với lũy thừa trung gian Trong trang này:Bài toán tham khảo từ TLTK số [ 2] ;bài toán 10 tham khảo từ TLTK số [ 5] + Dạng 3.2 So sánh hai lũy thừa cách đưa số mũ Bài toán 11: So sánh a) 2300 3200 b) 202303 303202 c) 9920 999910 10 d)11 1979 1320 10 e) 1990 +1990 1991 10  16  3 f)      25  7 40 [ 2] Giải a) Ta có = (3 ) = = (23)100 = 8100 >8 ⇒ 8100 < 9100 nên 3200 >2300 b) Ta có 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.1013)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Do 8.1013 = 8.101.1012 > 9.1012 ⇒ (8.1013) > (9.1012)101 ⇒ 202303 > 303202 c) Ta có 9920 = (992)10 Do 992    49   25  7 * Trong toán ta sử dụng kiến thức sau Với m ∈ N a,b ∈ R, ta có: + Nếu a < b am < bm + Nếu a = b a m = bm + Nếu a > b a m > bm + Dạng 3.3: So sánh hai lũy thừa cách dùng lũy thừa trung gian Bài toán 12: So sánh a) 1612 637 b) 3111 1714 [ 2] c) 10750 7375 d) 291 535 Giải 7 12 a) Ta có 63 < 64 < 64 , mà 16 = (42)12 = 424 = (43)8 = 648 Suy 637 < 162 b) Ta có 1714 > 1614 = (24)14 = 256 3111 < 3211 = (25)11 = 255 Do 256 > 255 nên 1714 > 3111 c) Ta có 107507275 = (8.9)75 = (23.32)75 = 2225.3150 ⇒ 10750 > 2100.3150 < 2225.3150 < 7375 d)Ta có 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 =2518 2518 < 3218 nên 535 < 291 Trong tốn ta sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu a > b b > c a > c (trong b phần trung gian) Cụ thể: Ở câu a ta sử dụng 64 làm lũy thừa trung gian, câu b ta sử dụng 1614 3211, câu c sử dụng 10850 7275 , Trong trang này: Bài toán 11,12 dựa theo tài liệu tham khảo số 90 36 [ 2] Câu d sử dụng làm lũy thừa trung gian để so sánh [ 6] Bài toán 13 : Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Giải 27 9 63 Ta có = (5 ) = 125 = (2 ) = 1289 nên 527 < 263 (1) Ta lại có 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 nên 263 < 528 (2) Từ (1) (2) ta 527 < 263 < 528 [ 2] Bài toán 14: So sánh 2100 1031 Giải 100 31 69 31 31 Ta có = 2 10 = (2.5) = 231.531 Từ cách phân tích để so sánh 2100 1031 , cần so sánh 269 531 Thật vậy, ta có 531 = 53 528 = 53 (54)7 = 125 6257 269 = 26 263 = 26 (29)7 = 64 5127 Vì 125 > 64 6257 > 5127 nên 125 6257 > 64 5127 => 531 > 269 Do 1031 > 2100 Ở tốn ta phân tích 10 31 thành tích hai lũy thừa có thừa số chứa 231, đồng thời phân tích 2100 thành lũy thừa chứa 231 Cụ thể so sánh 269 531 [ 2] Bài toán 15: So sánh 5566 6655 66 66 66 66 11 66 Giải : Ta có 55 = (5.11) = 11 = (5 ) 11 = (15625) 11 1166 6655 = (6.11)55 = 655.1155 = (65)11 1155 = (7776) 11 1155 1166 > 1155 (15625) 11 >(7776) 11 Nên 5566 > 6655 Ở toán này, ta đưa dạng tích, sau so sánh thành phần ta việc so sánh hai tích Hay nói cách khác tốn sử dụng tính chất: Với a, b, c, d∈ N* Nếu a > b c > d a.c > b.d +Dạng 3.4 So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa Bài toán 16: So sánh hai biểu thức sau biết: a) A= 2016 2016 + 2016 2015 + ; B= 2016 2017 + 2016 2016 + b) M= Giải 2017 2017 + 2017 2016 + ; N = 2017 2016 + 2017 2015 + [ 7] 2016 +1 2016 2016 + 2016 2016 + + 2015 ⇒ 1 > = 2017 2016 + 2017 2016 + 2017 2016 + + 2016 2017 2016 + 2017 2017.(2017 2016 + 1) 2017 2016 + = = =N 2017.(2017 2015 + 1) 2017 2015 + a a a+c Như ta sử dụng tính chất:Nếu > > với a,b,c ∈ N* b b b+c Ngồi ta làm theo cách so sánh 2017M với 2017N , từ so sánh M N 2017 − 2016 − Bài toán 17: So sánh E F biết: E = 2016 F = 2015 −1 −1 [11] Giải 1 2 −3 − 2017 − 2017 − − ⇒ E = = 2017 = 2017 = - 2017 2016 2016 2 2 −2 −1 −1 −2 −2 2016 2016 2016 2016 1 2 −3 −3 −3 − −1 ⇒ F = 2015 F = 2015 = 2016 = 2016 = - 2016 2 2 −2 −1 −1 −2 −2 1 1 ⇒ - 2017 22017 - > 22016 -2 nên 2017 < 2016 < - 2017 −2 −2 −2 −2 1 ⇒ E < F hay E < F 2 1 Bài toán ta không so sánh E với F trực tiếp mà so sánh E F sau 2 Ta có E = 2017 2017 so sánh E F Trường hợp bậc lũy thừa tử lớn hay bé bậc lũy thừa mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên so sánh phần tương ứng 100 69 + 100100 + A= B = 100 99 + 100 68 + Bài toán 18: So sánh A B biết: [11] Giải (100100 + 1)(100 68 + 1) 100100 + = (100 99 + 1)(100 68 + 1) 100 99 + (100 69 + 1)(100 99 + 1) 100 69 + B= = (100 68 + 1)(100 99 + 1) 100 68 + Quy đồng mẫu số A B ta có: A = Xét hiệu hai tử số A B sau quy đồng: (100100+1)(10068+1) - (10099+1)(10069+1) = 100168 +100100 +10068+1 - 100168 10099- 10069-1 = 100100 +10068 -10069 - 10099 = (100100 - 10099)- (10069- 10068) = 10099.(100 - 1) - 10068.(100 - 1)= 99.10099 - 99.10068 Trong trang này: Bài toán 17 ,18 tham khảo từ TLTK số [11] 11 = 99.(10099 - 10068) > 10099 - 10068 > Do A > B Đối với giải tốn so sánh A B ta thực việc quy đồng sau xét hiệu tử số sau quy đồng Bài tốn 19: Khơng quy đồng so sánh: A= −9 − 19 −9 − 19 + 2017 B = 2017 + 2016 2016 10 10 10 10 [10] Giải −9 − 19 −9 − 10 −9 −9 −9 − 10 + 2017 = 2016 + 2017 + 2017 = ( 2016 + 2017 ) + 2017 2016 10 10 10 10 10 10 10 10 −9 − 19 −9 − 10 −9 −9 −9 − 10 B = 2017 + 2016 = 2017 + 2016 + 2016 = ( 2016 + 2017 ) + 2016 10 10 10 10 10 10 10 10 1 − 10 − 10 Vì 102017 > 102016 ⇒ 2017 < 2016 ⇒ 2017 > 2016 10 10 10 10 Ta có A = Vậy A > B Bài toàn ta tách A B thành hai phần A, B có phần chung −9 −9 + 2017 2016 10 10 Như việc so sánh A B ta cần so sánh hai phần riêng A B sau tách + + + + Bài toán 20: So sánh C = ; + + + + + + + + D= + + + + [ 6] Giải + + + + + + + + Ta có: C = + (5 + + + ) + 5(1 + + + + ) = = + > (1) 8 + + + + + + + + + + + + + < (2) Tương tự D = + + + + 1 Từ (1) (2) ta có : C = + > > > +3 =D + + + + + + + + = Do C > D Với toán biểu thức C ta lại dùng phương pháp kết hợp từ đến 59 tử tách riêng số từ dùng tính chất phân phối phép nhân phép cộng đặt thực chia tử cho mẫu sau so sánh với Với biểu thức D làm tương tự ta kết , so sánh với từ rút kết C > D Trong trang này:Bài toán 19 tham khảo từ TLTK số [10] toán 20 tham khảo từ TLTK số [ 6] 2.3.4 Dạng 4: Tìm số tận 12 Dạng 4.1:Tìm chữ số tận Kiến thức cần nhớ + n = ; n = ; n = ; n = (với n ∈ N*) + 2n+1 = ; 2n = ;(n ∈ N*) + 2n = ; 2n+1 = (n ∈ N*) Bài tốn 21: Tìm chữ số tận số sau: [1] 20072008; 13582008; 23456; 5235; 204208; 9 ; ; 996; 81975 Giải 2008 1004 1004 Ta có 2007 = (2007 ) = A9 = 2008 1004 1004 1358 = (1358 ) = B = 3456 1728 1728 = (2 ) = = 5235 = 5232.523 = (522)16 C = D 16 C = E C = 204208 = (2042)104 = M 104 = 9 Nhận xét: 99 số lẻ ⇒ 9 có tận Nhận xét: Ta thấy số lẻ ⇒ = 996 = (92)48 = 81975 = 81974.8 = (82)987.8 = 2n+1.8 = = [1] Bài tốn 22: Tìm chữ số hàng đơn vị A = 172008 -112008 -32008 Giải 2008 2008 2008 1004 Ta có A = 17 -11 -3 = (17 ) - - (32)1004 = 1004 - - 1004 = - - = Vậy A có chữ số tận Bài tốn 23: Tìm chữ số tận : [1] a) 37101 b) 20162017 c) 359 d) 20032004 Giải 101 100 25 a) Ta có 37 = 37.37 = 37.(37 ) = 37 25 = 37 = b)Ta có 20162017=2016.20162016=2016 (20162)1008=2016 1008=2016 = c) 359 Ta có = 5.5.5 số lẻ Đặt = 2k+1 ⇒ 359 = 3592k+1 = 3592k 359 = (3592)k 359 = k 359 = 359 = 2005 2004 d) 2003 Ta có 2004 chia hết cho Đặt 20042005 = 4k ⇒ 20032004 = 20034k = (20034)k = k = Ở tập 16,17,18 chủ yếu ta vận dụng kiến thức số tận nêu phần kiến thức Dạng 4.2:Tìm chữ số tận Kiến thức + 01 n = 01 ; 25 n = 25 ; 76 n = 76 ; + Các số 410; 165; 184; 242; 684 ; 742 có tận 76 + Các số 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01 9 67 67 67 7 2014 2014 2005 2014 2014 2014 2005 2005 Trong trang này: Bài toán 21; 22; 23 phát triển từ TLTK số [1] Bài toán 24: Tìm hai chữ số tận 5151; 9999; 6666 ; 14101 16101 [1] 13 Giải 51 50 25 Ta có: 51 = 51 51 = (51 ) 51 = 01 25 51 = 01 51= 51 Ta có :9999 = 9998.99 = (992)49.99 = 01 49.99 = 01 99 = 99 Ta có: 6666 = 6665.6 = (65)123 = 76 = 56 14101 16101 = (14.16)101 = 224101 = 224100.224 = (2242)100.224 = 76 224 = 24 Bài tập vận dụng kiến thức hai chữ số tận nêu trên, việc vận dụng khơng khó mà cần học sinh nhớ thức thực đơn giản [8] Bài tốn 25: Tìm chữ số tận A = 5+52+53+54 + +594 +595+ 596 Giải 94 95 96 Ta có A = 5+5 +5 +5 + +5 +5 + nên 5A = 52+53+54 + +595+ 596+ 597 Do 5A - A = (52+53+54 + +595+ 596+ 597) - (5+52+53+54 + +594 +595+ 596) 97 − 97 97 = ⇒ - = - = Vậy A có chữ số tận ⇒ 4A = 597 - Suy A = Bài tốn phải tính giá trị A kết lũy thừa, từ lũy thừa tìm số tận 597- Từ tìm số tận A Bài tốn 26: Tìm chữ số tận của: a) 512k; 512k+1 (k∈ N * ) b) 992n ; 992n+1 ; 99 99 c) 65n ; 65n+1; 66 [1] Giải 2k k k a) Ta có 51 = (51 ) = 01 = 01 512k+1 = 512k.51 = 01 k 51 = 51 b) Ta có 992n = (992)n = 01 n = 01 992n+1 = 992n.99 = (992)n 99 = 01 n.99 = 99 9999 số lẻ ⇒ 99 99 số có dạng 992n+1 ⇒ 99 99 có tận 99 c) Ta có 65n = (65)n = 76 n = 76 65n+1 = 65n = (65)n = 76 n = 76 = 56 66 chia cho dư nên 66 số lẻ ⇒ 66 có dạng 65n+1 65n = (65)n = 76 n = 76 = 56 Cách làm tập tập 21, riêng tốn lũy thừa tầng nhận xét phần lũy thừa trước, phần lũy thừa chẵn hay lẻ sau vận dụng tập để số tận Bài toán 27: Tìm chữ số tận 22003 [1] Giải 20 10 10 Ta có = (2 ) = = 76 nên 22003 = 22000.23 = 22000.8 = (220)100.8 = 76 100 = 76 = 04 Vậy 22003 có hai chữ số tận 04 Trong toán tập yêu cầu tìm chữ số tận ta thay câu hỏi cách tìm chữ số hàng chục 2003 nội dung cách làm khơng thay đổi, lúc chữ số hàng chục chữ số 99 99 66 99 66 Trong trang này: Bài toán 24; 26; 27 dựa vào TLTK số 66 [1] ; toán 25 tham khảo từ TLTK số [8] Dạng 4.3: Tìm chữ số tận 14 n n Kiến thức bản: 376 n = 376 001 = 001 ; 625 = 625 ; Bài tốn 28: Tìm chữ số tận : a) 52000 ; b) 23n.47n c) 23n+3.47n+2 d) 2001n +23n.47n +252n [1] Giải a) Ta có : 52000 = (54)500 = 625500 = 625 b)Ta có : 23n.47n = (23)n.47n = 8n.47n = (8.47)n = 376n = 376 c) Ta có : 23n+3.47n+2 = 23(n+1) 47n+2 = 8n+1.47n+2 = 8n+1.47n+1.47 = (8.47)n+1.47 = 376n+1.47 = 376 47 = 672 d) Ta có 2001n = 001 ; 23n.47n = (23)n.47n = 8n.47n = (8.47)n = 376n = 376 252n = (252)n = 625n = 625 Do 2001n +23n.47n +252n = 001 + 376 + 625 = 002 Đối với toán ta sử dụng kiến thức nêu 2.3.5 Dạng 5: Vận dụng lũy thừa để chứng minh tốn chia hết, khơng chia hết [ 6] Bài tốn 29: Cho M = 1725 +244 -1321 Chứng tỏ M 10 Giải 25 24 12 Ta có 17 = 17 17 = (17 ) 17 = 17 = 244 = ; 1321 = 1320.13 = (132)10.13 = 13 = Suy M = + - = Do M có chữ số tận nên M 10 Bài toán 30: Chứng tỏ : a) 7777197 – 3333163 chia hết cho 10 b) 4n+ + số tự nhiên ( n ∈ N) [ 6] c) 175 + 244 – 1321 chia hết cho Giải a) Ta có 7777 =7777 7777= (77774)49 7777= 49 7777 = 7777 = 3333163 = 3333160.33333 = (33334)40 = 40 = = suy 7777197–3333163 = - = Vậy 7777197–3333163 chia hết cho 10 197 b) Để chứng minh 196 4n+ + số tự nhiên, ta chứng minh tử chia hết cho mẫu, nghĩa 24n+2 +1chia hết cho Thật vậy, ta có 24n+2 +1=24n.22 +1= (24)n.4+1=16n.4+1= +1= +1 = suy 24n+2 +1 chia hết cho Điều chứng tỏ 4n+ + số tự nhiên c) Ta có 175 + 244 – 1321 = 174.17 + (242)2 - (134)5.13 = 17 + - 13 .1 = + - = có tận nên 175 + 244 – 1321 chia hết cho Bài toán 31: Chứng tỏ : a) A = 2 -1 chia hết cho ( n ∈ N; n ≥ 2) b) B = +4 chia hết cho 10 ( n ∈ N; n ≥ 1) c) C = +375 chia hết cho 1000 ( n ∈ N*) n n n Trong trang này: Bài toán 28 dựa vào TLTK số [1] ; toán 29; 30,31 tham khảo từ TLTK số [ 6] [ 6] Giải 15 a) Ta có A = 2 -1 = ( ) - = 16 - = - = Vậy A chia hết cho b) Ta có B= +4 = ( ) +4 = 16 +4 = + = Vậy B chia hết cho 10 n n−2 n−2 n −1 n n −1 c) Ta có C = +375 = ( ) + 375 = 6254n-1 +375 = 625 +375 = 000 Vậy C chia hết cho 1000 Bài toán 32: Chứng minh A= 9999931999 - 5555571997 chia hết cho [ 5] Giải Để chứng minh A chia hết cho ta xét chữ số tận A cách xét chữ số tận số hạng Ta có: 31999=(34)499.33=81499.27 = 27= Nên 31999 có chữ số tận 71997 = (74)499.7 = 499 = = Nên 71997 có chữ số tận Vậy A có chữ số tận Do A chia hết cho Trong toán sử dụng cách tìm chữ số tận lũy thừa Đồng thời sử dụng dấu hiệu chia hết cho 10 Còn câu c ta phải tìm chữ số tận biểu thức C từ C chia hết cho 1000 nhờ có tận 000 Bài tốn 33: Cho biểu thức M = 405n + 2405 + m2 ( với m,n ∈ N; n ≠ 0) Chứng tỏ M không chia hết cho 10 [ 6] Giải n 405 101 101 Ta có 405 = ; = (2 ) = = = m2 có chữ số tận khác Suy M có chữ số tận khác Vậy M không chia hết cho 10 Đối với toán ta sử dụng cách tìm chữ số tận lũy thừa, nhận xét bình phương số tự nhiên khơng có tận Từ số M không chia hết cho 10 dựa vào chữ số tận Bài tốn 34: Tìm số tự nhiên n để n10 +1 chia hết cho 10 [ 6] Giải 10 10 ⇒ Để n +1 chia hết cho 10 n = (n5)2 có tận ⇒ n5 có tận Nên suy n có tận Bài toán 35: Chứng minh rằng: a) 76 + 75 – 74 chia hết cho 11 b) 10100 + 1099 + 1098 222 c) 2454 5424 210 chia hết cho 7263 d) 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 chia hết cho (n nguyên dương) [ 9] Giải 4 a) Ta có + – = (7 + – 1) = 74 (49 + – 1) = 74 55 = 74 11 11 b) Ta có 10100 + 1099 + 1098 = 1098(102 +10+1) = 1098 111 = 1097 2.5 = 5.1097.222 222 c) Ta có 7263 = (8.9)63 = (23.32)63 = 23.63 32.63 = 2189 3126 2454 = (3.8)54 = (3 23)54 = 354 23 54 = 354 2162 n n −1 Trong trang này: Bài toán 32 tham khảo từ TLTK số 24 24 24 24 [ 5] Bài toán 33; 34 dựa vào TLTK số [ 6] ; toán 35 tham khảo từ TLTK số [ 9] 54 = (2.27) = (2.3 ) = 33.24 = 224 372 Do đó: 2454 5424 210 = 354 2162 224 372 210 = 2162 + 24 + 10 354 + 72 = 2196 3126 16 = 27 (23)63 (32)63 = 27 (8.9)63 = 27 7263 7263 Vậy 2454 5424 210 7263 d) Ta có 3n + + 2n + +3n + + 2n + = (3n + + 3n + 1) + (2n + + 2n + ) = 3n + (32 + 1) + 2n + (2 + 1) = 3n+1 10 + 2n + = 3n.3.2.5 + 2n +1 2.3 = 3n + 2n +1 = (3n + 2n + 1) 6 Vậy (3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 ) 6 Bài toán 36: Cho M= + 32 + 33 + 34 + + 399 + 3100 Chứng tỏ M 40 [10] Giải 99 100 Ta có: M= 3+3 +3 +3 + +3 = (3 + 32 + 33 + 34) + (35+36 + 37+38)+ + (397 + 398 + 399 + 3100) = 3.(1+3+32 + 33) + 35.(1+3+32 + 33) + .+397 (1+3+32 +33 ) = 3.40 + 35 40 + 397 40 = (3+35+ +397) 40 40 Trong toán chia hết ta biến đổi tích để xuất thừa số cần chia hết Đồng thời sử dụng công thức lũy thừa, sử dụng tích chất chia hết tích 2.3.6 Dạng 6: Tìm số chữ số lũy thừa Bài tốn 37: Tìm chữ số số A, B, C sau: [ 6] a) A = 416 525 b) B = 163 155 c) C = 22017 143 251008 Giải 16 25 16 25 32 a)Ta có A = = (2 ) = 525 = 27 (225.525) = 128.1025 Số 128.1025gồm 128 theo sau 25 chữ số nên số A có 28 chữ số b) Ta có B = 163 155 = (24)3.(3.5)5 = 212 35 55 = 35.27.(25.55) = 243.128.105 = 31104.105 Số 31104.105 gồm 31104 theo sau chữ số nên B có 10 chữ số c) Ta có C = 22017 251008 143 = 22017 (52)1008.(2.7)3 = 22017.52016.23.73 = 24.73 (22016.52016) = 16.343 (2.5)2016 = 5488.102016 Số 5488.102016 gồm 5488 theo sau 2016 chữ số nên C có 2020 chữ số Bài tốn ta phân tích lũy thừa thành thừa số nguyên tố, nhóm để xuất số 10 Từ lập luận để xem số có chữ số vào số đứng trước kèm theo 10n ( n thuộc số tự nhiên) 2.3.7 Dạng 7: Sử dụng lũy thừa bất đẳng thức bất đẳng thức kẹp [ 2] Bài tốn 38: Tìm x ∈ N biết: a) 16x < 128 b) 5x 5x+1 5x+2 ≤ 1018: 218 Giải x x a) Ta có 16 =(2 ) 128 = (2 ) suy 16x < 128 ⇒ 24x (3 ) (n2)6 > 276 ⇒ n2 > 27 Do n nguyên nên n > (*) 12 4 ⇒ ⇔ Lại xét: n ≤ 20 (n ) ≤ (20 ) (n3)4 ≤ 4004 ⇒ n3 ≤ 400 Vì n nguyên nên n ≤ (**) Từ (*) (**) suy < n ≤ Vậy n = 6;7 b)Ta xét n24 > 332 ⇒ ( n3)8 > (34)2 ⇔ n3 > 34 ⇔ n3 > 81 Mà n nguyên nên n > (*) 24 36 ⇒ 12 12 ⇔ Tiếp tục xét n < (n ) < (5 ) (n2)12 < 12512 ⇔ n2 < 125 Do n nguyên nên -11 ≤ n ≤ 11 (**) Từ (*) (**) suy 4< n ≤ 11 Vậy n = 5;6;7;8;9;10;11 Trong toán biến đổi đưa lũy thừa số số mũ lập luận xét vế để tìm n bất đẳng thức kẹp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với hoạt động giáo dục : Học sinh nắm vững phương pháp giải dạng bài, giải em khơng cịn lúng túng, diễn đạt chặt chẽ Nhờ phương pháp giúp cho em sáng tạo học giải toán Biết cách định hướng giải toán cách ngắn gọn Học sinh phát huy trí lực thân có lúc em phát triển toán Đặc biệt số em bồi dưỡng từ chỗ em ngại gặp dạng toán đến số em ham muốn tìm tịi tốn giải tốn khó vận dụng linh hoạt giải Với thân: Tôi cảm thấy tự tin công tác giảng dạy, công bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi luỹ thừa Có thể mở rộng sang phần kiến thức khác toán học Trong trang này: Bài toán 39; 40; 41 tham khảo từ TLTK số [ 2] Với nhà trường: Chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ngày nâng lên Kết kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện đạt kết cao Các toán luỹ thừa học sinh đạt điểm tối đa [1] Ví dụ 1: Tìm số tận tổng sau: 2014 2015 2016 18 [ 2] Ví dụ 2: So sánh 259 1017 Ví dụ 3: Cho S = 1+ 3+3 +3 + +330 [10] Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phương ? Kết cụ thể em mà bồi dưỡng sau thời gian tơi nhận thấy : Giỏi Khá Trung bình Yếu SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 12 46.2 11 42.3 11.5 0 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Bài toán lũy thừa dạng tốn thường gặp chương trình tốn 6,7 bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải toán liên quan đến lũy thừa thân giáo viên phải phân dạng toán liên quan đến lũy thừa biết cách giải cụ thể dạng tốn Tóm tắt nội dung, giải pháp vận dụng để nâng cao chất lượng: Thực phép tính, tìm thành phần chưa biết, so sánh hai lũy thừa, tìm số tận cùng, vận dụng lũy thừa để chứng minh tốn chia hết, khơng chia hết, tìm số chữ số lũy thừa, sử dụng lũy thừa bất đẳng thức bất đẳng thức kẹp Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức, nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngồi cịn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt q trình dạy học Đề tài cịn giúp giáo viên học sinh phân dạng tốn lũy thừa từ có kết cao giảng dạy học tập Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác ôn tuyển sinh bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo Trong q trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng nội dung “Hướng dẫn học sinh giải dạng toán lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu trường THCS Phạm Văn Hinh” làm Trong trang ví dụ tham khảo từ TLTK số [1] ví dụ tham khảo từ TLTK số [ 2] ví dụ tham khảo từ TLTK số [10] kinh nghiệm để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải toán lũy thừa cho học sinh 19 Trong q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi sai sót, hạn chế mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị Đối với nhà trường: Nên thường xuyên tổ chức chuyên đề nhóm luỹ thừa, để trao đổi kiến thức chuyên môn, để thống phương pháp giảng dạy, cách thức tổ chức bồi dưỡng, tìm thêm tốn hay luỹ thừa Đối với phòng giáo dục: Trong năm học thường xuyên tổ chức chuyên đề, hội thảo, chuyên đề, hội thảo sâu vào chủ đề kiến thức trọng tâm chương trình hiệu cao hơn, tổ chức liên trường để tập trung phát huy trí tuệ, kinh nghiệm nhiều người Đối với sở giáo dục: -Với sáng kiến có chất lượng cao đóng thành tập san gửi phòng giáo dục, để triển khai tới nhà trường -Với đề đáp án thi học sinh giỏi cấp tỉnh nên gửi phòng giáo dục để sử dụng làm tài liệu học tập Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thạch Thành, ngày tháng năm 2017 CAM KẾT KHÔNG COPY Tác giả Lê Thị Mai 20 ... lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán - Để thân rút số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp 6,7 giải dạng toán lũy thừa tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu ? ?Hướng dẫn học sinh giải dạng toán lũy. .. rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng nội dung ? ?Hướng dẫn học sinh giải dạng toán lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu trường THCS Phạm Văn Hinh? ?? làm Trong trang ví dụ tham khảo từ TLTK... phương pháp giải thích hợp giúp học sinh phần có sở để tìm tịi giải toán lũy thừa Ở trường trung học sở dạng tốn có liên quan đến lũy thừa xuất nhiều lớp 6,7 đặc biệt đề học sinh giỏi b Kết thực