Hướng dẫn học sinh lớp 8a giải các bài toán cực trị của trường THCS mậu lâm như thanh

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Qua thời gian dạy học toán bậc trung học sở, nhận thấy khái niệm cực trị không xây dựng thành hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà hình thành bước cho học sinh qua số tập sách giáo khoa Nhưng vấn đề cực trị lại thường gặp kỳ thi, đợt kiểm tra, kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi vào THPT Do việc hình thành khái niệm cực trị cách hệ thống cho học sinh vấn đề cần thiết Xuất phát từ kinh nghiệm có thân qua thực tế giảng dạy, từ kiến thức trình học tập tìm hiểu thêm tài liệu tham khảo tơi định chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh lớp 8A giải toán cực trị trường THCS Mậu Lâm Như Thanh " Qua đề tài, mong thân tìm hiểu sâu sắc vấn đề này, tự phân loại số toán cực trị, nêu lên số phương pháp giải cho tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc nắm kiến thức dạng tốn Tơi hy vọng giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố tập, góp phần nhỏ nâng cao hiệu học tập học sinh 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đề biện pháp sư phạm giúp cho nhóm học sinh có lực giải tốn cực tri chương trình đại số 8, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tốn nói riêng Tốn THCS nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 8A qua thực tiễn giảng dạy trường THCS Mậu Lâm 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có nội dung liên quan đến bồi dưỡng lực giải Tốn Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích số liệu từ tài liệu để sử dụng đề tài Sau tổng hợp số liệu 2 Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng lực giải Tốn học sinh lớp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Bài toán cực trị nội dung khó chương trình tốn THCS, đòi hỏi tư logic cao, việc nắm vững phương pháp giải giúp học sinh học tốt mơn tốn nói riêng mà cịn có khả tư logic với môn học khác Vấn đề đặt cho giáo viên giúp học sinh học tốt mơn tốn nói chung giải tốn cực trị nói riêng Trong q trình dạy tốn qua kinh nghiệm giảng dạy tìm tịi tài liệu, thân tơi hệ thống số phương pháp tìm cực trị Tơi thiết nghĩ giáo viên cần trang bị cho học sinh phương pháp giải bản, từ góp phần rèn kỹ giải phát triển tư toán học nói chung 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a Thuận lợi nhà trường Trường THCS Mậu Lâm đóng địa bàn trung tâm xã, có nhiều thuận lợi mặt giao thơng Có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, Ban giám hiệu quân tâm Các tổ chức, đoàn thể xã tạo điều kiện b Khó khăn nhà trường Trường thuộc xã đặc biệt khó khăn nên đời sống nhân dân nhiều thiếu thốn, đa số phụ huynh học sinh làm ăn xa nhà không quan tâm đến việc học tập em Tình trạng học mơn tốn học sinh nói chung học sinh trường THCS Mậu Lâm nói riêng cịn Bài tốn cực trị loại tốn khó, nhiều học sinh giải loại tốn phải đâu phương pháp giải Thực tế cho thấy toán tìm cực trị có nhiều chương trình tốn trung học sở, kỳ thi vào lớp 10, vào trường chuyên, lớp chọn đặc biệt thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, khu vực Đối với giáo viên thiếu kinh nghiệm giảng dạy việc nắm vững phương pháp giải bổ sung kho kiến thức cho họ Đối với học sinh khắc phục hạn chế trước đây, giúp học sinh tự tin việc học tập mơn tốn Trong năm học 2020-2021 tơi kiểm tra 36 học sinh lớp 8A chưa áp dụng sáng kiến thu kết qủa sau Tổng số học sinh số học sinh làm số học sinh không làm Số lượng % Số lượng % 36 em 0 100 Từ thực trạng trên, thân áp dụng sáng kiến với số giải pháp sau: 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp - Nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị - Thông qua nội dung, phương pháp tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết phát triển tư cho học sinh - Rèn kỹ tự học học sinh qua tập đề nghị Thơng qua q trình giảng dạy thực tế, qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp tổ chuyên môn - Thơng qua q trình tự học, tự nghiên cứu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, Thơng qua tài liệu toán tham khảo, nâng cao, Internet đề xuất số biện pháp tổ chức thực hiện: a Định nghĩa Xét hàm số n biến F(x,y,z, ) liên tục D + Nếu F(x,y,z, )  A  (x,y,z, .)  D A = const (hằng số) Đồng thời tồn (x0,y0,z0, )  D cho F(x0,y0,z0, ) = A, A gọi giá trị lớn hàm số F(x,y,z, ) D 4 + Kí hiệu: MaxF(x,y,z, ) = A Ngược lại: Xét hàm số n biến (x,y,z, ) liên tục + Nếu F(x,y,z, ) A  (x,y,z, .)  D A = const (hằng số) Đồng thời  (x0,y0,z0, )  D cho F(x0,y0,z0, ) = A, A gọi giá trị nhỏ hàm số F(x,y,z, ) D + Kí hiệu : Min F(x,y,z, ) = A b Các bước giải toán cực trị Với toán cực trị giải thông thường ta thường tiến hành theo hai bước: Bước 1: Chỉ rõ f(x,y,z, )  A ( F(x,y,z, )  A ) A đại lượng có giá trị khơng đổi Bước 2: Chỉ rõ số (x0,y0,z0, )  D mà F(x0,y0,z0, ) = A c Phân loại dạng cực trị cách giải 2.3.2 Cực trị hàm đa thức biến Phương pháp + Đưa dạng: f(x) = k  g2(x) với k = const (hắng số) + Nếu f(x) = k + g2(x) Minf(x) = k  g (x) = + Nếu f(x) = k - g2(x) Max f(x) = k  g(x) = Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x + 1)2 + ( x + 3)2 Giải: Ta có A = x2 + 2x + + x2 + 6x + = 2x2 + 8x + 10 = 2( x2 + 4x + ) + = 2(x+2)2 + Vậy A   Min A =  x + =  x = -2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = -x(x + 1) ( x + ) (x + 3) Giải: B = -x(x + 1) ( x + ) (x + ) = - (x2 + 3x ) ( x2 + 3x + 2) = - (x2 + 3x ) [ (x2 + 3x ) + 2] = -[ ( x2 + 3x)2 + 2( x2 + 3x ) ] = -[ (x2 + 3x)2 + 2( x2 + 3x ) + - ] = -(x2 + 3x + 1)2 +  B  1Vậy Max B =  x2 + 3x + =  x =   5 Một số nhận xét: Dựa vào tính biến thiên hàm số tam thức bậc 2, ta có kết tam thức bậc có cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) Trong trình giải với tốn đặt ẩn phụ, ta nên đưa thêm ẩn phụ vào để làm đơn giản hố tốn.Ví dụ: Trong ví dụ ta đặt ẩn phụ sau: + Đặt t = x2 + 3x + ( t   ) B = t2 + ví dụ ta đặt y = x + A = 2y2 + 2.3.3 Cực trị hàm đa thức nhiều biến Phương pháp tìm cực trị hàm đa thức nhiều biến tương tự giống với hàm đa thức biến Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ đa thức: A = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2024 Giải: A = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2002 = (x2 -2x +1) + (y2 - 2y +1 ) + xy - x - y + + 2021 = (x -1 )2 + (y -1)2 + (x - 1) (y - 1) + 2021 =[ (x-1) + y ] + (y - 1)2 + 2021  A  2021 Vậy, max A = 2021 đạt  (x-1) + y = y- =   x 1   y 1 Nhận xét: - Do không nắm vững kiến thức phần hiểu chưa sâu sắc mà sử dụng kiến thức học sinh dễ mắc sai lầm Ta trở lại ví dụ 1: Tìm Max A = (x + 1)2 + (x + 3)2; Học sinh dễ mắc sai lầm vội vàng kết luận MaxA = 0; Vì : (x + 1)2  (x + 3)2  Vậy, sai lầm đâu? sai lầm chỗ A = x = -1, x = -3 điều không xảy hai giá trị khác biến - Có thể dùng phương pháp đổi biến để giải tập dạng 6 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ P = x2 - 4xy + 5y2 +10x - 22y + 28 P = x2 - 4xy + 5y2 +10x - 22y + 28 Giải: = (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 2y + 1) + 27 + 10x - 20y = (x - 2y)2 + (y - 1)2 + 27 +10(x- 2y) Đặt: t = x - 2y  P = (t2 + 10t + 25) + + (y- 1)2 = (t + 5)2 + + (y- 1)2  P   t  0  x  y  0  x       y  0  y  0  y 1 Vậy P =   Bài tập vận dụng Tìm giá trị lớn nhất, bé (nếu có) biểu thức sau: A = - 4x - 5x2 , B = xy - x2- y2 + 4y + 5, C = x2 + y2 - 6x - 2y + 17 2.3.4 Cực trị phân thức đại số * Trường hợp 1: Xét trường hợp: A = cosnt (hằng số) Khi phân thức cịn mẫu thức B chứa biến nên việc tìm Max (hay Min) phân thức đại số lúc thực chất việc tìm Max ( hay Min) đa thức P= A B ; A = cosnt  PMax  BMin  PMin  BMax Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 2x  x2  Giải: Miền xác định P : R Ta có: B = 2x - x2 - = - (x2 -2x +1) -3 = -( x - 1)2 -3 -3  B đạt giá trị Max -3 x = Vậy: P = 1 1  = -  PMin = -  x = 2x  x  3 3 * Trường hợp 2: A, B hai đa thức chứa biến: 3x  8x  Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ P = (x  1) x  2x 1 Giải: Chia tử thức cho mẫu thức ta P=3-  P = - 2y + y2 = (y - 1)2 +  + ( x  1) ; Đặt: y = x x Vậy: Min P =  y =  = 1 x = x Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2  6x  x2  4x  ( x  1) 2 x2  6x  x2  4x   x2  2x  Giải: Ta có: P = = =1+ ( x  2)  x  4x  x2  4x  ( x  1) 0 x Do (x +1)   x (x + 2) +1   x Nên: ( x  2)  2 Vậy: Min P =  x + =  x = -1 Nhận xét: Trong trường hợp việc tìm Max (hoặc Min) tương đối đơn giản tương ứng với việc tìm Min (hoặc Max) mẫu thức Trong trường hợp việc tìm Max (Min) phức tạp nhiều địi hỏi cần phải có thêm số thủ thuật biến đổi cụ thể VD VD7 ta chia tử cho mẫu để từ đưa toán dạng quen thuộc biết (I) (II) Với phân thức đại số ngồi cách giải cịn cách giải dùng miền giá trị hàm số, cách giải xét phần sau 2.3.5 Cực trị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Để giải toán thuộc dạng thường người ta dùng hai cách sau: Cách 1: Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối để chia khoảng cho toán Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ H = x  2002 + x  2003 Giải: Nếu x < 2002 H = 2002 - x + 2003 - x = 4005 - 2x > + Nếu 2002  x  2003 H = x- 2002 + 2003 - x = + Nếu x >2003 H = x - 2002 + x - 2003 = 2x - 2005 > Vậy: Min H =  2002  x  2003 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 8 f (x) + g (x)  f ( x)  g ( x) ; Dấu "=" sẩy  f(x).g(x)  f (x) - g (x)  f ( x)  g ( x ) ; Dấu "=" sẩy  f(x).g(x)  Trở lại ví dụ ta có: H = x  2002 + x  2003 = x  2002 + 2003  x  x  2002  2003  x =  Min H =  (x - 2002)(2003 - x)   2002  x  2003 Ngoài hai cách giải ta cịn dùng cách giải sau: Giả sử: Max f(x) = A; Min f(x) = B với f(x) xác định khoảng (a,b)  Max f ( x)  Maxf ( x)  A + Nếu f(x) 0 thì:  Min f ( x)  M inf( x)  B Với x  (a , b)  + Nếu Maxf(x)  Minf(x)  (a , b )  Max f ( x)  Max( A; B ) Với x  (a , b) Min f ( x) 0  Thì:   Max f ( x)   M inf( x) + Nếu f(x)  thì:  Min f ( x)   Maxf ( x) Với x  (a , b)  Bài tập vận dụng Tìm Min (Max) (nếu có) biểu thức sau: a) f(x) = x  16 x  41 b) f(x) = x  3x  x  x  22 c) f(x) = x   x   3x  x  d) f(x) = e) f(x) = x   x   x  x  2x  Nhận xét: Với dạng tốn cực trị ta hồn tồn đưa dạng biết số phép biến đổi đơn giản Ngoài cách giải cách giải phương pháp dùng bất đẳng thức, cách giải ta xét phần sau 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân đồng nghiệp nhà trường Trước chưa có sáng kiến, gần học sinh khơng có hướng giải Khi có sáng kiến dựa phương pháp tốn cực trị học sinh dần có định hướng để khai thác phân loại dạng, loại cụ thể học sinh biết vận dụng toán cực trị đại số vào toán cực trị Sau áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy, thu kết sau: Tổng số học sinh số học sinh làm Số lượng % 36 em 27 75 Kết luận kiến nghị số học sinh không làm Số lượng % 25 Kết luận: Trên số dạng toán cực trị thường gặp đề thi vào lớp 10, vào trường chuyên, thi học sinh giỏi Trong sáng kiến này, cố gắng phân loại dạng toán cách cụ thể phần, dạng, nêu lên lời giải bản, kiến thức cần thiết Tôi hy vọng rằng, tài liệu tơi góp phần nhỏ giúp học sinh học tốt Ngoài việc dựa vào sáng kiến phương pháp cho việc nghiên cứu, tìm hiểu sâu tốn cực trị, mong thầy cô giáo em học sinh cần đọc thêm toàn cực trị đề thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi, sau thi vào đại học Bản thân giáo viên bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 nên mạnh dạn xây dựng sáng kiến Một lần nữa, muốn khẳng định viết sáng kiến cần thiết Kiến nghị: Để đảm bảo cho việc dạy học có hiệu chuyên đề: “Các phương pháp giải tốn cực trị” tơi xin có số kiến nghị với Phòng GD&ĐT Như Thanh Ban giám hiệu trường THCS Mậu lâm sau: Cần quan tâm đến việc đầu tư mua thêm tài liệu tham khảo có liên quan đến chuyên đề cực trị để giáo viên có thêm tư liệu sử dụng lên lớp 10 Trong sáng kiến này, có nhiều cố gắng, song sáng kiến chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp cấp lãnh đạo, bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận hiệu trưởng Mậu lâm, ngày 10 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Vũ Đình Tùng 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO STT TÊN SÁCH Báo toán học tuổi trẻ Báo toán tuổi thơ TÁC GIẢ Nhà xuất giáo dục Nhà xuất giáo dục Nâng cao phát triển toán Vũ Hữa Bình, 2008 Bài tập nâng cao phát triển toán Bùi Văn Tuyên, 2007 700 toán chọn lọc cực trị Hà Văn Chương, 1999 Sáng tạo bất đẳng thức Tuyển tập đề thi toán THCS Trần Hùng, 2005 Vũ Dương Thụy, 2008 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC HỌC SINH LỚP 8A GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA TRƯỜNG THCS MẬU LÂM NHƯ THANH Người thực hiện: Vũ Đình Tùng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường trung học sở Mậu Lâm - Như Thanh - Thanh Hoá SKKN thuộc vực (mơn): Tốn 13 THANH HĨA NĂM 2021 14 Mục lục Các phần đề tài Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: a Thuận lợi nhà trường b Khó khăn nhà trường 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Các giải pháp: 2.3.2 Cực trị hàm đa thức biến: 2.3.3 Cực trị hàm đa thức nhiều biến: Trang 1 1 2 2,3 5 2.3.4 Cực trị phân thức đại số: 2.3.5 Cực trị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân đồng nghiệp nhà trường Kết luận - Kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 9 9-10 ... thi toán THCS Trần Hùng, 2005 Vũ Dương Thụy, 2008 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC HỌC SINH LỚP 8A GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC... CỰC TRỊ CỦA TRƯỜNG THCS MẬU LÂM NHƯ THANH Người thực hiện: Vũ Đình Tùng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường trung học sở Mậu Lâm - Như Thanh - Thanh Hố SKKN thuộc vực (mơn): Tốn 13 THANH. .. sinh nói chung học sinh trường THCS Mậu Lâm nói riêng cịn Bài tốn cực trị loại tốn khó, nhiều học sinh giải loại tốn khơng biết phải đâu phương pháp giải Thực tế cho thấy tốn tìm cực trị có nhiều