SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản

SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

THCS: Trung học cơ sởHS: Học sinh

GV: Giáo viênSGK: Sách giáo khoaCNTT: Công nghệ thông tinBĐTD: Bản đồ tư duyPSTG: Phân số tối giảnĐN: Định nghĩa(a, b): ƯCLN(a;b)a\b : a là ước số của b hay b chia hết cho a

NXBGD: Nhà xuất bản giáo dục

1

-MỤC LỤC

Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu 4

Chương I Cơ sở lí luận, thực trạng vấn đề 6

Chương II Các giải pháp 7

2.2 Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan 102.3 Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác 12Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản 12

Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản hoặc 21Dạng 4: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước 23Dạng 5: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước 25

ĐẶT VẤN ĐỀ

2

-Lí do chọn đề tài

Qua nhiều năm học tập, nghiên cứu, giảng dạy bộ môn Toán ở trườngTHCS, tôi rất tâm đắc câu nói nổi tiếng của nhà toán học vĩ đại người Đức, Vua

toán CARL FRIEDRICH GAUSS: “Toán học là ông hoàng, số học là bà chúa”.

Thực ra, trong chương trình toán ở cấp THCS phần kiến thức phân môn sốhọc chiếm không nhiều, trong đó kiến thức được học về phân số tối giản (PSTG)lại càng khiêm tốn Vì vậy, đối với các em học sinh THCS, việc giải quyết các bàitoán số học có liên quan tới PSTG không phải là vấn đề dễ dàng nhất là với các

em học sinh lớp 6

Bài toán về PSTG là một trong những dạng toán có nhiều cách sử dụng câuhỏi khác nhau với cùng một yêu cầu Mặt khác trong thực tế, thường thì các em HSlớp 6 chỉ mới làm quen và dừng lại ở dạng toán đơn giản, tường minh về phân sốtối giản Vì thế khi bắt gặp những bài toán mà phân số cho dưới dạng tử và mẫu lànhững biểu thức chứa chữ (tham số) với yêu cầu chứng minh phân số đó là PSTGhoặc tìm giá trị thích hợp của tham số để phân số đã cho trở thành PSTG thì đa sốcác em gặp phải khó khăn, lúng túng do chưa nắm vững bản chất của dạng toán,thiếu kinh nghiệm trong việc huy động lượng kiến thức liên quan cũng như khảnăng ngôn ngữ hạn chế và chưa quen với việc sử dụng các lập luận có căn cứ

Trên thực tế, chương trình SGK hiện hành chỉ đưa ra khái niệm ban đầu vềPSTG trong một thời lượng hạn hẹp Sách bài tập và các nguồn sách tham khảo chỉđưa ra một số bài tập khác nhau và lời giải cụ thể cho mỗi bài mà chưa có sự kháiquát phân loại cũng như không định hướng cụ thể phạm vi kiến thức liên quan nêntrong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự coi trọng quan tâm khai thác,thiếu sự đầu tư nghiên cứu và cũng ít dành thời gian để rèn luyện dạng toán vềPSTG cho các em vì vậy đa số HS thấy thiếu tự tin khi gặp loại toán này

Song nếu chịu khó đầu tư quan tâm nghiên cứu và dành thời gian để rènluyện thì bài toán về phân số tối giản là một trong những dạng toán hay, thu hútngười dạy, người học và có nhiều ứng dụng, góp phần kích thích được tính tíchcực, kiên nhẫn tìm tòi, khả năng sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của ngườihọc

3

-Vì vậy “Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản ” là

đề tài mà tôi lựa chọn để nghiên cứu

Mục đích - nhiệm vụ - phương pháp - đối tượng - phạm vi nghiên cứu

* Đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm, nêu lên một vàikinh nghiệm nhỏ đã có hiệu quả trong việc hướng dẫn học lớp 6 giải các bàitoán liên quan đến phân số tối giản Cách làm này giúp các em hiểu rõ hơn bảnchất của bài toán, biết cách suy luận có logic từ đó biết xác định phạm vi kiếnthức và lựa chọn phương pháp phù hợp để giải quyết các bài toán cụ thể, đồngthời cũng góp phần rèn luyện khả năng tư duy và rèn luyện tính năng động, sángtạo trong giải toán, tính tích cực tìm tòi khai thác bài toán theo các hướng khácnhau từ bài toán cụ thể

* Nhiệm vụ của đề tài là đưa ra giải pháp thực hiện, dùng thực tế để minh họacách thức thực hiện, tổng kết hiệu quả đã đạt được từ cách làm đó và khái quátthành phương pháp luận để đồng nghiệp, học sinh cùng tham khảo, ứng dụng

* Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phươngpháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm

* Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán thuộc phạm vi chương trình lớp 6phù hợp với các đối tượng học sinh thuộc các khóa học khác nhau mà tôi trựctiếp giảng dạy trong khi học loại toán liên quan đến phân số tối giản thông quamột số bài toán điển hình tại các giờ học luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinhkhá giỏi

Đổi mới trong kết quả nghiên cứu

Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh lớp

6 thuộc các lớp tôi đã giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan bởi SKKN đã nêu

rõ các bước thực hiện giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt được các kiến thức cơbản và xâu chuỗi chúng trong mối quan hệ lẫn nhau dưới dạng bản đồ tư duynhằm làm cho các em thấy rõ một cách tổng quan những kiến thức có liên quantrực tiếp đến PSTG Từ đó định hướng phương pháp giải cũng như cách khai tháctoán dễ dàng hơn

4

-Những năm gần đây, đẩy mạnh ứng dụng CNTT và Bản đồ tư duy vào dạyhọc nên trong khi thực hiện đề tài tôi đã mạnh dạn phát huy lợi thế của công cụđắc lực đó ở một số bước thực hiện đem lại những hiệu quả nhất định đồng thờikích thích được lòng say mê và hứng thú của học sinh, được học sinh hưởng ứngnhiệt tình và cũng đã tạo được cho các em một lối tư duy sáng tạo, cách ghi chép,học tập hiệu quả, khả năng nhớ lâu kiến thức và rèn kỹ năng ôn tập sáng tạo chocác em

Việc cho học sinh tự mình khai thác phát hiện và tự đặt câu hỏi cho bài toáncũng là một điểm mới mà đề tài đã khai thác và thu được nhiều điều thú vị đángchia sẻ

NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I

5

-CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC

DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN HIỆN NAY 1.1 Cơ sở lí luận

Tất cả mọi dạng toán đều đòi hỏi HS nắm vững kiến thức cơ bản Phân tíchquan hệ giữa các kiến thức đó và vận dụng phù hợp, linh hoạt vào các tình huốnggiải toán cụ thể

Việc hướng dẫn HS đi từ ôn tập kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán cơbản sau đó nâng dần lên theo mức độ và khả năng tiếp thu của học sinh là hoàntoàn phù hợp với quá trình nhận thức (từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp,

từ cụ thể đến trừu tượng)

Trong học tập nói chung, học toán nói riêng nếu người học được tự mình xâydựng hệ thống kiến thức cho mỗi chủ đề và khai thác ứng dụng các kiến thức đóvào thực tế giải toán thì không chỉ giúp người học nhớ lâu tránh được lối tiếp thuthụ động mà còn tạo được thói quen làm việc năng động, tích cực, sáng tạo đồngthời góp phần hướng tới mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học nhằm tích cựchóa hoạt động học tập của HS

Đối tượng HS lớp 6 thuộc lứa tuổi thích khám phá, thích thể hiện khả năngsáng tạo tìm tòi của bản thân nên việc thực hiện đề tài cũng có nhiều thuận lợinhất định

1.2 Thực trạng

Trên thực tế, khi dạy về phân số tối giản, đa phần GV đã có sự định hướngcho HS về kiến thức cũng như phương pháp.Tuy nhiên, để đi sâu khai thác, phântích các dạng toán từ đó hình thành cho HS một “cái nhìn” tổng quan về kiếnthức và các dạng bài toán cũng như các hướng khai thác bài toán thì GV chưathật sự quan tâm đầu tư thích đáng Hơn nữa GV chưa thật chú trọng rèn luyệncho HS thói quen xem xét kết quả của một bài toán hay rèn luyện các cách phátbiểu khác nhau cho cùng một vấn đề hoặc sử dụng các tính chất đã học để khaithác bài toán

Mặt khác, đối với HS lớp 6, khả năng ngôn ngữ còn hạn chế, năng lực tưduy còn non nớt, thói quen lập luận có căn cứ chưa được rèn luyện do đó HS

6

-thường bị bối rối khi thay đổi các câu hỏi theo các cách khác nhau với cùng mộtyêu cầu của bài toán Khi ôn tập HS cũng chưa thật sự chú ý đến mối quan hệgiữa các kiến thức liên quan do đó HS chưa tìm ra được “sợi chỉ” xuyên suốt, xâuchuỗi các kiến thức đó với nhau.Vì vậy hầu như HS chưa phát huy được tính tíchcực khi học tập về PSTG.

Trên cơ sở nắm vững lý luận và nắm bắt rõ thực tế tôi đề xuất giải pháp thựchiện như sau:

Chương II CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN CÓ HIỆU QUẢ TRONG VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 GIẢI CÁC BÀI TOÁN

VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN 2.1 Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản

Trước hết GV giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số và PSTG:

 Phân số là số có dạng a( ,a b Z b; 0)

 Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa

 Phân số a( ,a b Z b; 0)

b   là phân số tối giản nếu ƯCLN(a;b) = 1

 Mọi phân số đều có thể đưa về dạng tối giản

 Dạng tối giản của một phân số là duy nhất

 Nếu phân số a

b là PSTG thì phân số b

a cũng là PSTG

 Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một PSTG

Đối với bước này, để giúp HS dễ nhớ, nhớ lâu và nhìn thấy sự liên kếtgiữa các khái niệm cũng như rèn khả năng diễn đạt một vấn đề theo các cáchkhác nhau để dễ dàng liên hệ đến thực tế giải toán thì việc vận dụng bản đồ

tư duy mang lại hiệu quả đáng kể

Bằng kinh nghiệm của bản thân tôi đã dẫn dắt HS xây dựng được sơ đồsau (Sơ đồ 1):

7

-PHÂN SỐ TỐI GIẢN

Dạng tối giản của một phân số là duy

Mọi phân số đều đưa được về dạng tối giản

Sơ đồ 1

Cần chú ý phân tích cho HS thấy rõ mối quan hệ qua lại của các kiến thứcliên quan được thể hiện bằng các mũi tên hai chiều trên sơ đồ

8

-Với vốn kiến thức cơ bản đó, HS dễ dàng nhận ra phân số cho dưới dạngtường minh là PSTG hay không là PSTG Đây là dạng bài cơ bản đầu tiên ở mức

độ nhận biết nên các em trả lời đúng và giải thích một cách rõ ràng

Chẳng hạn:

Trong các phân số sau phân số nào là PSTG, phân số nào không là PSTG?

8 9 11 8 6 17; ; ; ; ;

11 15  8 15 17 6Đối với ví dụ này GV cần đặt yêu cầu cao ở lời giải thích của HS nhằmgiúp các em quen với lập luận có căn cứ

Như vậy, về cơ bản HS đã nắm được cách kiểm tra một phân số là PSTGhay là phân số chưa tối giản.Trên cơ sở nền tảng đó GV giúp HS xác định rõ

9

-bản chất của bài toán về PSTG Chẳng hạn GV có thể nêu câu hỏi như sau:

“Muốn kiểm tra hay chứng minh một phân số nào đó có phải là PSTG hay không ta cần làm gì?”

HS dễ nhận ra “bản chất của bài toán là tìm ƯCLN của hai số”.

2.2 Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan đến dạng toán

về PSTG

Có nhiều cách làm khác nhau có thể giúp HS xây dựng được hệ thống cáckiến thức liên quan Song với tinh thần đổi mới phương pháp dạy học hiện naycũng như giúp HS nắm được “mạch” kiến thức một cách có lôgic, có sứcthuyết phục, dễ nhớ, dễ hiểu mà không tách rời với khoa học bộ môn đồngthời kích thích được tính sáng tạo ở HS thì GV có thể tiếp tục sử dụng bản đồ

tư duy đối với bước này(Sơ đồ 2)

10

ƯCLN

Kiểm tra phân số tối giản

PP xác định

Phản chứng

Trong đó:

1 Thuật toán Ơclit tìm ƯCLN(a;b):

11

-Ta tìm UCLN(a ;b) bằng cách dùng thuật toán Euclide như sau :

2 Chứng minh phản chứng: Giả sử ƯCLN (a;b) = d với d khác 1

Khi đó kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán dẫn đến một điều vô líhoặc trái giả thiết bài toán đã cho thì suy ra chỉ có thể ƯCLN(a;b) = 1

3 a b(mod m): a đồng dư với b theo môđun m nghĩa là a và b có cùng số dưtrong phép chia cho m

2.3 Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác

Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản

* Chọn một số bài tập điển hình hướng dẫn học sinh giải và khai thác

Mức áp dụng trực tiếp đối với học sinh trung bình:

-Bài 1.2: Chứng minh rằng phân số 2011

2012 là phân số tối giản

GV giúp học sinh nhận định rõ phương pháp và kiến thức cần sử dụng Rõràng đây là bài toán cần tìm trực tiếp ƯCLN ( 2011; 2012) Từ đó các em thấy đượccách làm là sử dụng thuật toán Euclide để xác định nhanh ƯCLN(2011;2012)

Giải: Áp dụng thuật toán Ơclit tìm ƯCLN của hai số ta có:

ƯCLN ( 2011; 2012) = ƯCLN( 2011; 1 ) = 1

Do đó phân số 2011

2012 là phân số tối giản

Sau khi HS giải quyết được bài toán 1.2, GV đặt vấn đề:

? Nếu có bài toán”Chứng minh rằng 2011 và 2012 là hai số nguyên tố cùng nhau” thì phải làm thế nào?

HS dễ dàng nhận ra thực ra cũng chính là bài toán trên nhưng chỉ thay đổicách nêu câu hỏi mà thôi

Lúc này GV có thể cho HS nêu các câu hỏi khác cho cùng yêu cầu trên,chẳng hạn HS có thể nêu:

- Tìm ƯCLN(2011;2012) Hay: - Chứng minh rằng ƯCLN(2011;2012)=1

Hoặc: - Chứng tỏ rằng phân số 2011

2012là phân số không rút gọn được nữa Hoặc: - Tử và mẫu của phân số 2011

2012 có thể cùng chia hết cho các số nào?

Với cách làm này, HS thấy được với cùng một bài toán nếu nắm được bảnchất có thể tự mình đặt các câu hỏi khác nhau, diễn đạt yêu cầu theo các cách khácnhau và các em thực sự rất hào hứng Sau đó GV tiếp tục nâng bài toán lên vớimức độ khó hơn và luôn đặt ra yêu cầu này để các em được rèn luyện về ngôn ngữcũng như nắm vững được bản chất của bài toán

Từ bài toán 1.1, áp dụng nhận xét “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với mộtPSTG là một PSTG” GV hướng dẫn HS cùng khai thác theo cách sau:

? Cộng (hoặc trừ) 1 đơn vị ở phân số trong bài toán 1.1 ta có phân số nào? (HS dễdàng làm được)

? Phân số thu được có phải là PSTG không? Vì sao?

13

-? Vậy ta có bài toán nào-? Nêu cách giải-?

Với phương pháp này HS thấy đã tự mình khám phá ra một bài toán mới khóhơn nên các em rất say sưa, hứng thú

+ Nâng bài toán lên dạng khái quát với tham số dành cho HS mức trung bình khá

do “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một PSTG là một PSTG”(Về thực chấtđây cũng là thuật toán Euclide)

b, Giải tương tự

Với bài toán này có nhiều hướng khai thác, tuy nhiên nhằm vừa khai thácvừa củng cố kiến thức thì đến đây GV có thể hướng dẫn HS tiếp tục khai thác theohướng sau:

? Nếu đổi tử cho mẫu ta có phân số nào? Hãy nêu bài toán mới?

Với sự hướng dẫn đó HS hoàn toàn tự tin nêu bài toán mới:

Bài 1.3’: Chứng minh rằng các phân sau là phân số tối giản

Bài toán này HS hoàn toàn tự giải quyết được với việc áp dụng nhận xét:

 Chứng minh rằng ƯCLN(n; n+1) = 1 với n  N*

 Chứng tỏ rằng n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau Với n  N*

 Tử và mẫu của phân số

Với đối tượng HS có khả năng tư duy tốt, GV có thể mạnh dạn khai thác sâuhơn bằng cách sau:

+Dành cho HS khá giỏi khai thác:

15

Ngoài ra, cũng cần để ý đến một số sai lầm mà các em hay mắc phải để giúpcác em tháo gỡ Chẳng hạn khi gặp bài toán sau:

Bài 1.6: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3 Phân số

Giải: Gọi ƯCLN (a; a+2) = d thì a  d và a +2  d do đó 2  d nên d = 1 hoặc d =

2 Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ nên d chỉ có thể bằng 1

16

đề bằng sơ đồ sau: (Sơ đồ 3)

17

Nghịch đảo của PSTG là PSTG

Tìm ƯCLN

Chứng minh ƯCLN

bằng 1 Chứng minh nguyên tố cùng nhau

* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố

Dạng 2: Tìm tham số n để phân số tối giản.

* Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn học sinh giải và khai thác

Trước hết GV nêu một bài toán đơn giản mà HS có thể tự giải được

Hoàn toàn có thể khai thác bài toán theo các bước đã làm đối với dạng 1 HS đãnêu được một số bài toán mới Chẳng hạn:

Bài 2.3: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.

19

Bài 2.4: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 3

2n 3 là phân số tối giản

Hãy giải và đề xuất cách khai thác bài toán mới?

Giải: Vì 3 là số nguyên tố nên 3

2n 3 là PSTG khi 2n + 3 không chia hết cho 3

Do 3 3 nên 2n  3 khi n 3 hay n 3k (k là số nguyên)

Sau khi giải HS đã đề xuất tốt các bài toán mà các em khai thác được Chẳnghạn:

Bài 2.5: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.

Lưu ý: Với các bài toán dạng 2, GV vẫn tiếp tục yêu cầu HS nêu các cách diễn đạtcâu hỏi khác nhau Chẳng hạn:

+ Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau

+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho là PSTG

+ Với những giá trị nào của số tự nhiên n thì phân số đã cho không rút gọn được nữa

20