Sáng kiến kinh nghiệm : Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số ppt

Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số a - đặt vấn đề I-Lời mở đầu : Trong trờng phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng Các kiến thức phơng pháp Toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời môn Toán giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả t tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh t tởng đạo đức thẩm mỹ ngời công dân tròng THCS, dạy học Toán: với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải toán có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm ph ơng pháp dạy học Toán trờng phổ thông Đối với học sinh THCS, coi việc giải toán hình thức chủ yếu việc học toán Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để học sinh vận dụng vào làm tập việc bồi dỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng ngành giáo dục nói chung bậc học THCS nói riêng Do việc hớng dẫn học sinh kĩ tìm tòi sáng tạo trình giải toán cần thiết thiếu đ ợc Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán tr ờng THCS sâu nghiên cứu nội dung ch ơng trình qua thực tế dạy học thấy: chơng trình Toán THCS "Các toán cực trị đại số" đa dạng, phong phú thú vị, có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học THPT để giải toán cực trị đại số ng ời ta thờng dùng đến "công cụ cao cấp" toán học là: đạo hàm hàm số ë THCS, Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số (hay nói xác không đ ợc phép dùng) "công cụ cao cấp" Toán học nói trên, nên ng ời ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết toán loại Chính vậy, toán cực trị đại số THCS không theo quy tắc khuôn mẫu cả, đòi hỏi ng ời học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 năm qua nhận thấy: phần "Các toán cực trị đại số" phần trọng tâm việc bồi d ìng häc sinh kh¸ giái ë tr êng THCS Thế nhng thực trạng học sinh tr ờng tr ờng đà dạy là: học sinh hứng thú với loại toán này, lẽ toán cực trị đại số tr ờng THCS không theo phơng pháp định nên em lúng túng làm toán cực trị, em không theo h ớng Hầu hết học sinh ngại gặp toán cực trị vận dụng để giải tập khác Thực trạng khiến băn khoăn suy nghĩ: "Làm để học sinh không thấy ngại có hứng thú với loại toán này" Với trách nhiệm ngời giáo viên thấy cần giúp em học tốt phần Tôi đà dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy thân số đồng nghiệp; qua tìm tòi thử nghiệm, đợc giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm tr ờng s phạm Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hớng dẫn học sinh THCS giải toán cực trị đại số" Với đề tài hi vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp toán cực trị đại số, giúp em học tốt §ång thêi Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số hình thành học sinh t tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiƠn, rÌn lun nÕp nghÜ khoa häc lu«n mong mn làm đ ợc việc đạt kết cao nhất, tốt II Thực trạng vấn đề nghiên cứu 1, Đối với học sinh : Thực trạng nhận chuyên môn phân công dạy toán tiết cảm thấy hụt hẩng tr ớc cách học học sinh Để Thống kê lực tiếp thu học sinh dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút t ợng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nh ng mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh đ a số ví dụ học sinh lúng túng chứng minh nh Trớc thực trạng đà điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kÕt qu¶ cho thÊy Líp SØ sè Giái SL 49 02 % Kh¸ SL % 06 TB Sl 31 % Ỹu- kÐm SL % 10 Sau kiĨm tra thấy học sinh hiểu làm mơ hồ, sô học sinh làm đợc nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, giải thích toán nh 2, Đối với giáo viên : Thực trạng đổ lỗi cho tất học sinh ng ời giáo viên ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, tuân theo SGK mà dạy toán đòi hỏi học sinh phải t tốt phải thâu tóm đợc kiến thức đà học để tận dụng vào làm tập Đôi giáo viên áp đặt gò bó em phải thê này, phải mà không đa thực tế để em nhìn nhận vÊn ®Ị Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Về phí học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng toán mà em đợc gặp lí mà ng ời thầy phải tìm PP phù hợp để học sinh có hứng học, b ớc đầu học sinh làm quen với dạng toán Toán Cực nên cảm thấy mơ hồ phân vân sai lại phải làm nh Nếu không biến đổi có tìm đ ợc kết không Từ băn khoăn học sinh giáo viên khẳng định không biến đổi nh không trả lời yêu cầu toán Sau xin ®a mét sè kinh nghiƯm h íng dÉn häc sinh giải toán cực trị đại số B- giải vấn đề I - giải ph¸p thùc hiƯn Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Khái niệm cực trÞ cđa mét biĨu thøc Cho biĨu thøc nhiỊu biÕn sè P(x, y, , z) víi x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x , y , z ) ∈ S mµ ta cã: P(x , y , z ) ≥ P(x, y, , z) hc P(x , y , z ) ≤ P(x, y, , z) th× ta nãi P(x, y, , z) lín nhÊt hc nhá nhÊt t¹i (x , y , z ) miền S P(x, y, , z) đạt giá trị lín nhÊt t¹i (x , y , z ) S gọi P đạt cực ®¹i t¹i (x , y , z ) P m a x (x , y , z ) T¬ng tù ta cã: P đạt giá trị nhỏ (x , y , z ) ∈ S cßn gäi P đạt cực tiểu (x , y , z ) hc P m i n t¹i (x , y , z ) Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là: *) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cÇn chøng minh hai b íc: - Chøng tá r»ng P ≥ k ( víi k lµ h»ng sè ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức *) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc: - Chøng tá r»ng P ≤ k ( víi k lµ số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức Chú ý không đợc thiếu bớc hai bớc Ví dụ : Cho biÓu thøc A = x + (x - 2) Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A nh sau: Ta cã x ≥ ; (x - 2) ≥ nªn A ≥ Hí ng d É n họ c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có không? Giải : Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A nhng cha đợc trờng hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy ra, có đồng thời: x = (x - 2) = Lời giải ®óng lµ: A = x + (x - 2) = x + x - 4x +4 = 2x - 4x + = 2(x -2x - +1) + = 2(x - 1) + Ta cã: (x - 1) ≥ , ∀x ⇒ 2(x - 1) + ⇒ A ≥ ≥ ∀x ∀x Do ®ã A = x = Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A b»ng víi x = Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: * a2 0, tổng quát: a k (k nguyên dơng) Xảy dấu đẳng thức a = * -a ≤ 0, tỉng qu¸t: -a k (k nguyên dơng) Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = a ≥0 ( X¶y dÊu đẳng thức * - a a a ( Xảy dấu đẳng thức * a = 0) a = 0) Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số * a + b a + b ( Xảy dấu đẳng thức ab ≥ 0) * a − b ≥ a−b ( Xảy dấu đẳng thức * a+ , a ∀a >0 ⇔ a ≥ b ≥ hc a vµ a + ≤ −2 , a ∀a ≤ b ≤ 0) 0 ⇒ 1 ≤ a b ( X¶y dấu đẳng thức a = b) II - biện pháp thực (Một số dạng toán cực trị đại số) Thông qua toán sách giáo khoa (sách tham khảo) tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS h ớng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng toán Sau số dạng thờng gặp: Dạng : toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A(x) = x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thùc bÊt kú H íng dÉn gi¶i : Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) ≥ k (k lµ h»ng sè) víi mäi gÝa trị biến trờng hợp xảy đẳng thức Lời giải : A(x) = x - 4x+1 = x - 2.2x+1 = (x - 2.2x+4)- = (x- 2) - Víi mäi giá trị x: (x - 2) nªn ta cã: A(x) = (x- 2) - -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số : A(x) n h ỏ n h Ê t = - víi x=2 VÝ dụ : Tìm giá trị lớn biểu thøc B(x) = -5x - 4x+1 Trong ®ã x biến số lấy giá trị thực H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đa B(x) dạng B(x) k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức Lời giải : B(x) = -5x – 4x+1 = -5 (x + x) +1 2  2 2 2  = -5 x + x +   −    + 5 5     Hí ng d É n hä c sinh lí p g i¶ i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số 4 = − 5 x +  −  +1 5 25       = -5  x +  2  + +1 5 2  = -5  x +  + 5  2 Víi mäi giá trị x: x + 5  2  ≥ nªn -5  x +  ≤ 5  9 ≤ suy ra: B(x)= -5  x +  + 5 Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)= Đáp số : B(x) l í n n h Ê t = , x = 5 víi x = 5 VÝ dơ : (Tỉng qu¸t) Cho tam thøc bËc hai P = ax +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < H ớng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A (x) + k Sau ®ã xÐt víi tõng tr ờng hợp a>0 a0 a x + P ≥ k 2a   b   +NÕu a0) 2a giá trị lớn k (nếu a -4 A = - 2x >3 ιx - 2ι = x - + Trong khoảng x x - 5ι = - (x - 5) = - x ⇒ A = x - + - x = + Trong khoảng x > x - 2ι = x - ιx - 5ι = x - ⇒ A = x - + x - = 2x - 12 Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Do x > nên 2x > 10 A = 2x – > So s¸nh c¸c gi¸ trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A x Đáp số: A m i n = vµ chØ ≤ x ≤ C¸ch : Ta cã thĨ sư dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A A = ιx - 2ι+ x −5 = ιx - 2ι+ − x Lêi gi¶i: Ta cã: ιx - 2ι + ι5 - xι ≥ ιx - + - xι = ιx - 2ι ≥  (x - 2) (5 - x) ≥ A=3 ι5 - xι ≥ 2 ≤ x ≤ Vậy giá trị nhỏ A x dạng : Bài toán Tìm gtnn, gtln phân thức cã tư lµ h»ng sè, mÉu lµ tam thøc bËc hai Ví dụ : Tìm giá trị lớn cña M = 4x - 4x + H ớng dẫn giải : Gợi ý : Sử dụng tÝnh chÊt a ≥ b, ab >0 ⇒ 1 a b theo quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu d ơng 13 Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i sè Lêi gi¶i: XÐt M = 3 = (2 x) − x + + = (2x - 1)2 + 4x - 4x + Ta thÊy (2x - 1) ≥ nªn (2x - 1) + ≥ 3 Do ®ã: (2x - 1)2 + ≤ Trả lời: Vậy M lớn Đáp số : M l í n n h Ê t = VÝ dô : 2x – = => x = víi x = Tìm giá trị nhỏ B = 2x - x - H ớng dẫn giải : Ta có: B = Vì =2x - x - 1 = - (x - 1)2 + x - 2x + (x - 1) ≥ => (x + 1) + ≥ 1 => (x - 1)2 + ≤ => - VËy B nhá nhÊt b»ng - 1 ≥ (x - 1) + 3 x – 1= => x =1 Đáp số : M n h n h Ê t = - víi x = Chú ý: Khi gặp dạng tập em th ờng xuyên lập luận M (hoặc B) có tử số nên M (hoặc B) lín nhÊt (nhá nhÊt) mÉu nhá nhÊt (lín nhất) Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức x 14 Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Mẫu thức x - có giá trị nhá nhÊt lµ -3 x = Nhng víi x = 1 = giá trị lớn x 3 phân thức 1 =1>x 3 Chẳng hạn với x = th× Nh vËy tõ -3 < kh«ng thĨ suy VËy tõ a < b chØ suy đ ợc 1 > 1 > a vµ b cïng dÊu a b dạng :Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức có mẫu bình ph ơng nhị thức x2 + x + Tìm giá trị nhỏ A = ( x + 1) Ví dụ Cách1 : Gợi ý: HÃy viÕt tư thøc d íi d¹ng lịy thõa cđa x + 1, đổi biến cách viết A dới dạng tổng biểu thức lũy thừa Từ tìm giá trị nhỏ A x +1 Lêi gi¶i : Ta cã: x + x + = (x + 2x + 1) - (x +1) + = (x + 1) - (x + 1) + Do Đặt y= Ta cã: 1 ( x + 1) ( x + 1) − + A= + ( x + 1) 2 = 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x +1 biểu thức A trở thành: x +1 A = - y + y = y – 2.y 15 A = - y + y2 1 + ( )2 + 2 Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng ® ¹ i sè 3 ≥ = y−  +   4 2  VËy giá trị nhỏ A y= vµ chØ khi: 1 1 =0⇒ y= ⇔ = 2 x +1 ⇔ x + = x = Đáp số : Anhá nhÊt = x = C¸ch : Gỵi ý : Ta cã thĨ viÕt A d íi d¹ng tỉng cđa mét sè víi mét biĨu thức không âm Từ tìm giá trị nhỏ cđa A Lêi gi¶i: A= x + x + x + x + 3x + x + + x − x + = = 2 ( x + 1) 4( x + 1) 4( x + 1) A= 3( x + 1) + ( x − 1) 4( x + 1) ( x − 1) A= + 4( x + 1)  x −1  A= +   2( x + 1)  A=  x −1  +  ≥  2( x + 1) Vậy giá trị nhỏ A Đáp số : A n h n h Ê t = 16 x-1=0 ⇒ x=1 x=1 Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số dạng : toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức đại số cách đ a dạng (hoặc A( x ) k2 A( x) ≤ 0) k2 VÝ dơ 10 : T×m giá trị lớn biểu thức: M (x) = x + x + 10 x2 + 2x + (Víi x thc tËp hỵp sè thùc) H ớng dẫn giải : Gợi ý : Từ M ( x ) M(x) = (?) x + x + 10 = ta cã: x + 2x + 3x + x + + 3( x + x + 3) + = x2 + 2x + x2 + 2x + Ta cã thĨ chia c¶ tư thøc vµ mÉu thøc cđa biĨu thøc cho x + 2x + đợc không? Vì sao? Trả lời : V× x + 2x + = x + 2x + + = (x+1) > với giá trị x nên sau chia tử mẫu cho x + 2x + ta đợc M(x) = + ( x + 1) + (?) Bài toán xuất điều mới? Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn biểu thức ( x + 2) + (?) H·y t×m giá trị lớn ( x +) + từ suy giá trị lớn M(x) Trả lời: Vì (x+1) Với x 17 Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ ¹ i sè Nªn (x+1) + ≥ víi mäi x Do ®ã ( x + 1) + ≤ Tõ ®ã ta cã: 1 M(x) = + ( x + 1) + ≤ + =3 2 Dấu = xảy x+1=0 hay x=-1 Vậy giá trị lớn M(x) = x=-1 Đáp số : M(x) L n n h Ê t =3 18 víi x = -1 Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng ® ¹ i sè C KÕt ln Thùc tiƠn khảo sát sau áp dụng Sauk hi áp dụngcác cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải toán không lúng túng nh trớc Kết đà thu đợc sau áp dụng đề tài đ ợc thể bảng sau: Lớp Sỉ sè 49 Giái SL % Kh¸ SL % TB Sl 05 10 34 % YÕu- kÐm SL % Kết quả: Sau thực giảng dạy phần Các toán cực trị đại số theo nội dung đề tài kết mà thu đ ợc khả quan Để giải toán cực trị đại số lớp em phải biến đổi đồng biểu thức đaị số, phải biến đổi sử dụng nhiều đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngoài liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh đẳng thức nói toán cực trị đại số tạo khả giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số, kĩ tính toán, khả t Đề tài giúp học sinh giải toán cực trị đại số có PP hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan kích thích đ ợc đam mê học toán nói chung say mê giải toán cực trị nói riêng Yêu cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả t tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thông qua hoạt động giải toán đà đợc học Về mặt t tởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thùc tÕ cđa ®êi sèng, rÌn lun nÕp nghØ khoa học mong muốn làm đợc công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Bài học kinh nghiƯm: 19 Hí ng d É n hä c sinh lớ p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Với đề tài H ớng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số Tôi đà cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong dạy có đa sở lí thuyết ví dụ ví dụ có gợi ý hớng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải đ ợc Các dạng tập đa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kiến thức giải toán cực trị đại số Bên cạnh đ a ví dụ toán tổng hợp kiến thức kĩ tính toán, khả t cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập môn Toán Tuy nhiên trình giảng dạy cã rÊt nhiỊu häc sinh cßn bì ngì qóa trình giải toán cực trị, lập luận cha có cứ, suy diễn ch a hợp logic đặc biệt số dạng cha phù hợp với học sinh trung bình, yếu Mặc dù có nhiều cố gắng nh ng thời gian không nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo hạn chế lại cha có kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên cách trình bày không tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận đ ợc giúp đỡ, góp ý thầy , cô và bạn đồng nghiệp để rút kinh nghiệm trình giảng dạy thời gian sau Thiệu Minh, ngày 08 tháng năm 2009 Ngời viết Nguyễn Thị Huyền Tài liệu tham khảo: 20 Hớ ng d É n hä c sinh lí p g i¶ i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân SBT Toán NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo dục- Nguyễn Văn Lộc 4.Toán bồi dỡng học sinh lớp Đại số-NXB Giáo dục Trần San Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên Các toán đại số hay khó NXB Giáo dục Nguyễn Đễ PP dạy học môn toán NXB Giáo dục Phạm Gia Đức 21 ... học kinh nghiệm: 19 Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Với đề tài H ớng dẫn học sinh lớp giải toán cực trị đại số Tôi đà cố gắng hệ thống số dạng toán cực. .. nghiên cứu đề tài: "Hớng dẫn học sinh THCS giải toán cực trị đại số" Với đề tài hi vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp toán cực trị đại số, giúp em học tốt Đồng thời Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả... yêu cầu toán Sau xin đa số kinh nghiệm h ớng dẫn học sinh giải toán cực trị đại số B- giải vấn đề I - giải pháp thực Hí ng d É n hä c sinh lí p g iả i cá c bà i to n cực t rị t ro ng đ i số Khái