(Sáng kiến kinh nghiệm) HƯỚNG dẫn học SINH lớp 8 GIẢI DẠNG TOÁN tìm NGHIỆM hữu tỷ của đa THỨC một BIẾN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP GIẢI DẠNG TỐN: TÌM NGHIỆM HỮU TỶ CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN Lĩnh vực : Toán học Cấp học: Trung học sở Tài liệu kèm theo: Đĩa CD minh họa cho SKKN NĂM HỌC 2016- 2017 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 1/ Lí chọn đề tài Trang 2/ Mục đích nghiên cứu Trang 3/ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trang 4/ Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 5/ Phương pháp nghiên cứu Trang PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trang II TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THỰC TRẠNG Trang III GIẢI PHÁP Trang PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trang 17 I KẾT QUẢ Trang 17 II CÁC VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Trang 17 Tài lệu tham khảo Trang 19 1/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài: Trong chương trình Toán THCS, toán đa thức chiếm số lượng nhiều Trong việc tìm nghiệm ngun nghiệm hữu tỷ đa thức có ý nghĩa thực tiễn lớn mang lại nhiều điều thú vị Tuy nhiên, lí khung chương trình nên thời lượng kiến thức đưa vào chương trình sách giáo khoa nghiệm đa thức tương đối hạn chế Vấn đề tìm nghiệm đa thức trình bày gọn (Bài 9: Nghiệm đa thức biến), nội dung toàn chủ yếu tập trung vào định nghĩa mà không sâu phân tích , hướng dẫn phương pháp tìm nghiệm Do em học sinh gặp tốn liên quan đến tìm nghiệm đa thức biến đa số cịn lúng túng, chưa định hướng cách giải toán Như vậy, giảng dạy bồi dưỡng mơn Tốn cho học sinh địi hỏi giáo viên phải có phương pháp phù hợp nhằm giúp em tháo gỡ vướng mắc nêu trên.Hơn góp phần hướng dẫn cho em khả tự học, để tiến tới đáp ứng nhu cầu mơn Tốn mơn học khác xu hướng học tập Qua thực tế giảng dạy học tập, thân tơi tích luỹ số kiến thức phương pháp hướng dẫn học sinh tìm nghiệm đa thức tương đối hiệu Vì tơi chọn trình bày đề tài "Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến" Mục đích nghiên cứu: Đề tài trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn cho em giúp em có cách suy nghĩ đắn để giải tốn tìm nghiệm đa thức biến mà cịn nhằm góp thêm phương pháp bồi dưỡng kiến thức tốn cho học sinh THCS nói chung Khi em thành thạo việc tìm nghiêm đa thức việc giải dạng liên quan dễ dàng hơn, tránh sai lầm thường mắc phải Từ em vững vàng tự tin làm toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình tốn THCS hành, khái niệm nghiệm đa thức đưa vào chương III phần Đại số lớp Các vấn đề khác đa thức tiếp nối lớp tiếp tục vận dụng lớp Vì tốn tìm nghiêm đa thức xem xét chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 7, 8( học sinh giỏi) Nhiệm vụ nghiên cứu: 2/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Đề tài tập trung nghiên cứu kiến thức liên quan đến nghiệm đa thức biến đồng thời tìm hiểu phương pháp tìm nghiệm đa thức biến mối liên hệ dạng toán với số dạng toán khác Mặt khác đề tài sâu tìm hiểu thực tế khả giải dạng tốn tìm nghiệm đa thức biến học sinh, từ phân tích tìm chọn hướng phù hợp đối tượng học sinh mà giảng dạy thử nghiệm để rút thành công , thất bại tổng hợp kinh nghiệm trình giảng dạy bồi dưỡng toán cho học sinh THCS nhằm lựa chọn đường dẫn dắt học sinh học tập dạng toán nêu cho đạt hiệu cao Phương pháp nghiên cứu: Đề tài hoàn thành thơng qua phương pháp nghiên cứu lý luận(tìm hiểu, nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng, sách tham khảo ) để xác định nội dung kiến thức cần thiết phục vụ cho đề tài Ngoài ra, đề tài sử dụng phương pháp thực nghiệm sư phạm tổng kết kinh nhgiệm lớp trước để áp dụng tốt cho lớp sau, khoá sau 3/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình tốn 7, khái niệm Nghiệm đa thức biến phát biểu sau: Nếu x = a, đa thức P(x)có giả trị ta nói a(hoặc x =a) nghiệm đa thức Như vậy, mặt lý luận, để tìm nghiệm đa thức P(x) cần tìm giá trị x cho P(x) = 0.Tuy nhiên để tìm nghiệm đa thức P(x) có nhiều cách khác tuỳ thuộc vào toán cụ thể Từ toán tìm nghiệm đa thức ta áp dụng để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình đa thức II TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THỰC TRẠNG Trong thực tế giảng dạy nhiều năm thấy phần lớn giáo viên dạy nghiệm đa thức biến dừng lại phạm vi nội dung kiến thức sách giáo khoa, số giáo viên có cung cấp cho học sinh cách tìm nghiệm số đa thức cụ thể chưa khái quát thành phương pháp Một số khác quan tâm đến cung cấp phương pháp giải cho HS song trình học tập không thường xuyên sử dụng nên học sinh mau qn phương pháp có nhờ GV cung cấp tự em khám phá được.Cũng em không hứng thú khám phá kiến thức, phương pháp nên khó kích thích lịng hăng say với mơn em Về phía học sinh gặp loại tốn mà đa thức biến có bậc lớn gặp khó khăn lúng túng Học sinh lớp 8, học phân tích đa thức thành nhân tử song gặp khơng khó khăn việc phân tích thành nhân tử để tìm nghiệm, hầu hết em cịn mị mẫm máy móc Khi chưa hướng dẫn phương pháp đề tài này, phần lớn HS mà trực tiếp bồi dưỡng nhiều năm học khác tìm nghiệm đa thức có tính chất đặc biệt dễ nhận thấy dễ nhẩm nghiệm(Đa thức có nghiệm ±1;0 ; đa thức có hệ số cao 1, hệ số tự bé ), cịn đối tốn tìm nghiệm đa thức có hệ số cao khác 1, đa thức mà hệ số tự có nhiều ước số, đa thức hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ đặc biệt đa thức hệ số hữu tỷ có nghiệm hữu tỷ tốn khó đòi hỏi HS phải nắm vững phương pháp giải thành cơng Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi cố gắng tìm kiếm sưu tầm tài liệu song tài liệu hướng dẫn HS giải loại tốn "Tìm nghiệm hữu tỷ đa thức" thấy Một số tài liệu đề cập đến định lý hệ 4/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến liên quan mà không vào hướng dẫn phương pháp tìm dạng đa thức hay yêu cầu cụ thể nghiệm Trước thực trạng đó, tơi tìm tịi, suy nghĩ, phân tích phương pháp hướng dẫn học sinh tháo gỡ vướng mắc nêu tiến hành thử nghiệm thực tế học sinh giỏi trường Sau nhiều lần rút kinh nghiệm chọn giải pháp hiệu sau: III GIẢI PHÁP Xác định kiến thức liên quan 1.1.Định nghĩa: Nếu x = c đa thức f(x)có giả trị ta nói c (hoặc x =c) nghiệm đa thức 1.2 Một đa thức (khác đa thức khơng ) có nhiều nghiệm khơng có nghiệm 1.3 Một đa thức bậc n có nhiều n nghiệm phân biệt Đa thức bậc khơng có nghiệm Đa thức khơng (khơng có bậc) có vơ số nghiệm 1.4 Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số x = nghiệm Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số luỹ thừa chẵn tổng luỹ thừa lẻ x = - nghiệm * Từ định nghĩa ta thấy f(c) = f(x) M(x - c) * Định lý Bêzu: Dư phép chia đa thức f(x) cho x -c giá trị f(c) Bổ sung: 1.5 Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1 x + a0 ( hệ số nguyên) p Nếu phân số q (tối giản) nghiệm f(x) p ước a0; q ước an 1.6 Mọi nghiệm nguyên (nếu có) đa thức với hệ số nguyên phải ước số hạng tự 1.7 Mọi nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên hệ số cao nghiệm nguyên 1.8 Nếu α ≠ ±1 nghiệm nguyên đa thức f(x) với hệ số nguyên f (1) 1− α f (−1) phải số nguyên 1+ α 1.9 Sơ đồ Hoocne: Giả sử f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 Chia f(x) cho x - c ta thương q(x) có bậc n - là: q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + + b2x + b1 dư số r Khi ta có sơ đồ sau gọi sơ đồ Hoocne: an c an-1 bn= an Nhân bn-1 Cộng ak= bk bk-1 a1 b1 a0 r Quy tắc sơ đồ: Mỗi phần tử dịng tích c với phần tử đứng trước cộng với phần tử tương ứng dòng Những giải pháp tiến hành 5/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Trên sở xác định rõ phạm vi kiến thức liên quan mà giáo viên nắm bắt Đầu tiên cần giúp em nắm vững kiến thức theo quy trình phù hợp với mức độ nhận thức từ thấp đến cao em.Cụ thể tiến hành sau: 2.1 Giáo viên (GV) cho học sinh (HS) củng cố kiến thức hiểu biết nghiệm đa thức học qua sách giáo khoa(SGK) Trước hết GV cho HS vận dụng kiến thức để giải tốn cụ thể Chẳng hạn: Bài tốn 1: Tìm nghiệm đa thức sau: a 5x - b (x - 3)(2+x) c x2 - d x2 + e x2 + 2x Đa số HS hiểu vận dụng kiến thức vào giải tập cho.Những tập giúp HS củng cố lại kiến thức học nội dung khố Đáp số toán 1: a x = b x = x = -2 c x = ±2 d.vô nghiệm e x = x = -2 Trong tập dạng đơn giản trên, HS dễ dàng dùng kiến thức học SGK để giải Nhưng gặp tốn sau: Tìm nghiệm đa thức f(x) = 8x2 - 6x - Nếu khơng bổ sung thêm kiến thức HS gặp khó khăn Do bước tiếp theo: 2.2 GV hướng dẫn HS bổ sung kiến thức khác liên quan cần thiết đến nghiệm đa thức Chẳng hạn tiểu mục 1.4 GV cung cấp cho HS Tuy nhiên, dạy Tốn đáng q làm cách để HS tự rút nhận xét, kết luận cần thiết nhằm hình thành dần em khả khái quát hoá vấn đề, tổng hợp hố kiến thức Như khơng dừng lại việc giải tốn cụ thể mà em cịn có ý thức tìm tịi phương pháp giải cho toán loại từ toán cụ thể xem xét tốn tổng qt Vì GV cần giúp HS hình thành, phát kiến thức có liên quan từ tốn mang tính chất tình : 6/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Bài toán 2: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c; Chứng tỏ rằng: a Nếu a + b + c = đa thức f(x) có nghiệm x = Áp dụng để tìm nghiệm đa thức f(x) = 8x2 - 6x - b Nếu a - b + c = đa thức f(x) có nghiệm x = -1 Áp dụng để tìm nghiệm đa thức f(x) = 7x2 + 11x + Lược giải: a Với x = ta có: f(1) = a + b + c; mà a + b + c = nên f(1) = Điều chứng tỏ x= nghiệm đa thức f(x) Áp dụng: Ta có 8+(-6) + (-2) = nên đa thức f(x) = 8x - 6x - có nghiệm x = b Với x = -1 ta có: f(-1) = a - b + c; mà a - b + c = nên f(-1) = Điều chứng tỏ x= -1 nghiệm đa thức f(x) Áp dụng: Ta có - (+11) + = nên đa thức f(x) = 7x2 + 11x + có nghiệm x = -1 Qua việc giải tập GV cho HS nêu bước mà em tiến hành giải để rút phương pháp: - Tính f(1); f(-1) theo a, b, c - Căn vào đề để suy f(1) =0 ; f(-1) =0 - Dựa vào định nghĩa nghiệm đa thức để kết luận x = 1; x = -1 nghiệm đa thức f(x) Như vậy, sau rút phương pháp giải HS hồn tồn tự lực hồn thành tốt tập sau: Bài tốn 2.1: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.Chứng tỏ rằng: a Nếu a + b + c + d = đa thức f(x) có nghiệm x = b Nếu - a + b - c + d = đa thức f(x) có nghiệm x = -1 Đến đây, GV yêu cầu HS phát biểu toán tổng quát HS hồn tồn thực tốt u cầu này: Bài toán 2.2: Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 Chứng tỏ rằng: a Nếu tổng hệ số hạng tử đa thức x = nghiệm f(x) b.Nếu tổng hệ số hạng tử luỹ thừa chẵn tổng hệ số hạng tử luỹ thừa lẻ x = - nghiệm f(x) Với đối tượng HS GV yêu cầu HS giải toán tổng quát vừa nêu 2.3 HS áp dụng kiến thức vào tập đơn giản: GV cho HS rèn luyện kỹ thông qua hệ thống tập để HS nắm nhớ lâu vấn đề học Bài tập áp dụng : Tìm nghiệm đa thức sau: a f(x) = x3 - x2 + x - 1; b g(x) = 11x3 + 5x2 + 4x +10; c h(x) = -17x3 + 8x2 - 3x + 12 Trong số sau: 1; -1; 5; -5 số nghiệm đa thức 7/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến f(x) = x4 + 2x3 - 2x2 -6x + 3.Cho đa thức: a f(x) = x4 + 5x3 + 3x2 + 2x + 3; b g(x) = 3x4 + x3 + x2 -7x - 10; c h(x) = 4x3 + 2x2 - x + Nghiệm lại x = -1 nghiệm đa thức cho Trong thực hành tìm nghiệm đa thức HS không gặp đa thức có tính chất đặc biệt u cầu tốn khơng dừng lại việc kiểm tra số cho trước có phải nghiệm hay khơng cần tìm nghiệm đa thức.Chẳng hạn tốn: Tìm nghiệm đa thức: f(x) = x5 - 3x4 - 5x3 +15x2 + 4x - 12 Rõ ràng, với kiến thức nắm HS gặp vướng mắc việc tìm phương pháp giải Với học sinh lớp 8, sau nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử em thêm bớt hay tách hạng tử đưa tích đa thức có bậc thấp để tìm nghiệm Song khơng phải dễ dàng Vì vậy, GV cần phải bổ sung thêm kiến thức mới, phương pháp để HS giải tốn nêu cách nhẹ nhàng 2.4 GV hướng dẫn HS bổ sung vận dụng kiến thức nâng cao liên quan cần thiết đến nghiệm đa thức Cũng với cách làm trên, GV hướng dẫn HS bổ sung kiến thức Bài toán Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (Hệ số nguyên) p Giả sử phân số tối giản q nghiệm f(x) p ước a 0; q ước an GV hướng dẫn HS giải toán: p GV(?) Theo định nghĩa nghiệm đa thức, phân số tối giản q nghiệm f(x) suy điều gì? p HS: Theo định nghĩa nghiệm đa thức, phân số tối giản q nghiệm p pn p n −1 p f(x) ta có: f( q ) = an n + an-1 n −1 + + a1 q + a0 = (*) q q GV(?) Quy đồng mẫu số suy điều gì? HS: Ta có (*) ⇔ a q n + a1pq n −1 + a p 2q n −2 + + a n p n = (1) GV(?) Từ (1) chứng tỏ p ước a0; q ước an? HS: Từ (1) suy ra: 8/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến a q n = −(a1pq n −1 + a p q n − + + a n p n ) ⇒ a 0q n = − p(a1q n −1 + a pq n − + + a n p n −1 ) ⇒ a 0q n Mp Mà ( p, q ) = ⇒ q n Mp ⇒ a Mp hay p ước a0 Tương tự từ (1) suy ra: a n p n = −(a 0q n + a 1pq n −1 + + a n −1p n −1q) ⇒ a n p n = −q(a q n −1 + a1pq n −2 + + a n −1p n −1 ) ⇒ a n p n Mq Mà ( p, q ) = ⇒ p n Mq ⇒ a n Mq hay q ước an Sau giải toán HS dễ dàng rút kết luận tiểu mục 1.5 là: Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1 x + a0 ( hệ số nguyên) p Nếu phân số q (tối giản) nghiệm f(x) p ước a0; q ước an Kết luận cơng cụ hữu ích giúp HS tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên Ngoài ra, từ kết luận trên, GV hướng dẫn HS đặc biệt hoá toán để rút nhận xét mới: GV(?) Trong toán 3, hệ số cao suy điều gì? HS: (Xem xét trường hợp an = 1) Khi ta có đa thức là: g(x) = xn + an-1xn-1 + + a1 x + a0 ( hệ số p nguyên) Nếu q (tối giản) nghiệm f(x) theo kết luận ta có p ước p a0 q ước Vì q = ±1 nên q số nguyên Đến đây, HS hoàn toàn tự rút kết luận 1.6 1.7 là: 1.6 Mọi nghiệm nguyên (nếu có) đa thức với hệ số nguyên phải ước số hạng tự 1.7 Mọi nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên mà hệ số cao nghiệm nguyên Bây giờ, GV cho HS rèn luyện số toán để vừa áp dụng vừa củng cố kiến thức mà em khám phá Bài tốn 4: Tìm nghiệm đa thức: f(x) = x3 - x2 -4x + Bài tập GV yêu cầu HS tìm cách khác để giải Lược giải: Cách 1: Dễ thấy đa thức cho có tổng hệ số nên nhận x = làm nghiệm.Chia f(x) cho x - ta thu đa thức x - có nghiệm x = ±2 Như đa thức cho có nghiệm là: x = 1; x = ±2 9/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Cách 2: Ta có f(x) = x3 - x2 -4x + = (x3 - x2) - (4x - 4) = = x2 (x -1) - 4(x -1) = (x -1)(x2 - ) = (x -1)(x - )(x + 2) Vậy nghiệm f(x) x = 1; x = ±2 Cách 3: Đa thức cho có hệ số nguyên hệ số cao Do nghiệm (nếu có) f(x) ước hệ số tự Hay x ∈ Ư(4) tức x ∈ { ±1; ±2; ±4} Kiểm tra ta có: f(1) = nên x = nghiệm f(-1) = ≠ nên x = -1 không nghiệm f(-2) = nên x = -2 nghiệm f(2) = nên x = nghiệm f(-4) = - 60 ≠ nên x = - không nghiệm f(4) = 36 ≠ nên x = không nghiệm Các cách giải khác giúp học sinh có so sánh chọn lựa phương pháp cho nhanh gọn, dễ hiểu Tuy nhiên, với đa thức bậc cao cách cách không dễ thực Lúc nên dùng cách 3, song rõ ràng việc kiểm tra nghiệm khơng dễ hệ số cao có giá trị lớn Để việc kiểm tra giá trị ước số có phải nghiệm khơng trở nên đơn giản cần giúp HS tiếp cận với sơ đồ Hoocne Một thực tế cung cấp cho HS lược đồ mà không hướng dẫn em tự xây dựng em dễ qn khơng sử dụng thường xun, qn khơng biết cách tìm lại Như vậy, cơng việc GV hướng dẫn HS xây dựng sơ đồ Hoocne 10/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Bài tốn: Tìm dư phép chia đa thức f(x ) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 cho x -c GV ? Nếu gọi thương phép chia q(x) bậc đa thức q(x) dư phép chia nào? Từ biểu diễn đẳng thức liên hệ f(x); q(x) dư nào? HS: Nếu gọi thương phép chia q(x) bậc đa thức q(x) n - q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + + b2x + b1 dư số r Tức là: anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = (x - c)(bnxn-1 + bn-1xn-2 + + b2x + b1) + r (I) GV ? Áp dụng phương pháp hệ số bất định từ (I) ta lập hệ HS: Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có: an = bn an-1 = bn-1 - cbn an-2 = bn-2 - cbn-1 an = bn bn-1 = cbn + an-1 bn-2 = cbn-1+ an-2 Từ suy ra: ak = bk - cbk+1 bk = cbk+1+ ak a0 = r - cb1 r = cb1 + a0 Từ ta thành lập sơ đồ sau gọi sơ đồ Hoocne: c an an-1 Cộng bn= an bn-1 bk +1 a= k bk a1 a0 b1 r Nhân Với sơ đồ Hoocne, HS dễ dàng kiểm tra giá trị ước số hệ số tự có phải nghiệm không cách đơn giản đồng thời dễ dàng tìm đa thức thương số dư phép chia f(x) cho x - c Chẳng hạn với Bài tốn nêu ta làm sau: Đa thức cho có hệ số nguyên hệ số cao Do nghiệm (nếu có) f(x) ước hệ số tự Hay x ∈ Ư(4) tức x ∈ { ±1; ±2; ±4} 11/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Dùng sơ đồ Hoocne ta có: -1 -4 -1 -2 -2 1 -4 -2 -3 2 1 -2 -4 -5 16 -60 36 Từ sơ đồ ta có x = 1; x = ±2 nghiệm đa thức cho Mặc dù sơ đồ Hoocne công cụ kiểm tra nghiệm tương đối hiệu với đa thức có hệ số tự lớn có nhiều ước việc dùng sơ đồ chưa tối ưu Vì vậy, để tiếp tục bổ sung phương pháp GV cho HS làm tập sau: Bài toán: Cho đa thức f(x) = xn + an-1xn-1 + + a1 x + a0 ( hệ số nguyên) Gọi α ≠ ±1 nghiệm f(x) Chứng minh: f (1) f ( −1) ∈ Z; ∈Z 1− α 1+ α Hướng dẫn: GV: Do α ≠ ±1 nghiệm f(x) biểu diễn f(x) dạng tích hai đa thức nào? Từ biểu diễn q(x) dạng thương tiến hành chứng minh? HS: Do α ≠ ±1 nghiệm f(x) nên theo định lý Bêzu ta viết: f(x) = q(x)( x − α ) (1) Vì f(x) đa thức với hệ số nguyên, x − α đa thức hệ số nguyên nên q(x) đa thức hệ số nguyên Từ (1) ta có: q(x) = Khi x = q(1) = f (x) x −α f ( −1) f (1) ∈Z ∈ Z ; Khi x = -1 q(−1) = −(1 + α ) 1− α Như sau hoàn thành việc chứng minh tốn HS có thêm phương pháp thử nghiệm hiệu kết luận 1.8 nêu Bây GV cho HS áp dụng vào toán cụ thể để áp dụng kiến thức mà em vừa khám phá nhằm so sánh thấy lợi ích việc tìm tịi phương pháp giải toán từ toán khác giải Bài toán 5: Tìm nghiệm đa thức: f(x) = x5 - 8x4 + 20x3 - 20x2 + 19x -12 12/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Lược giải tốn 5: Đa thức cho có hệ số nguyên hệ số cao Do nghiệm (nếu có) f(x) ước hệ số tự Hay x ∈Ư(12) tức x ∈ { ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12} Xét thấy đa thức có tổng hệ số nên có nghiệm Dùng sơ đồ Hoocne ta suy được: f(x) = (x - 1)(x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12) Ta tìm x để g(x) = x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12 = Dễ thấy hạng tử bậc lẻ có hệ số âm với x g(x) khơng có nghiệm âm.Ta xét ước dương 12 Ta có: g(1) = 12 g(-1) = 40 A= g(1) g(−1) ;B= 1− α 1+ α 12 40 = −12 ∈ Z ; B = =∉ Z (loại) −1 Với α = A = - ∈ Z ; B = 10 ∈ Z Với α = A = - ∈ Z ; B = ∈ Z 12 ∉ Z (loại) Với α = A = −15 12 ∉ Z (loại) Với α = 12 A = −11 Vậy g(x) có nghiệm x ∈ { 3; 4} Dùng sơ đồ Hoocne thử nghiệm: Với α = A = -7 13 -7 12 -4 -4 -3 -3 Vậy g(x) có nghiệm x = 3; Suy f(x) có nghiệm x ∈ { 1;3; 4} Các tập để HS tự củng cố rèn luyện: Bài tập: Tìm nghiệm đa thức sau: a x3 - 6x2 + 15x - 14 c x5 - 7x3 - 12x2 + 6x + 36 b x4 - 2x3 - 8x2 + 13x - 24 Nhận xét: Với kiến thức học, HS vận dụng giải tập u cầu Sau GV đưa tình huống: Tìm nghiệm đa thức sau: f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - Với tình nhiều em cịn lúng lúng hệ số cao khác Do GV đặt câu hỏi gợi ý tìm phương pháp giải đa thức tổng quát sau: 13/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến GV? Với đa thức có hệ số cao khác tồn nghiệm hữu tỷ Vậy chuyển tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên tốn tìm nghiệm ngun đa thức tương ứng không? chuyển cách nào? Gợi ý: Chẳng hạn từ việc tìm nghiệm đa thức f(x ) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (hệ số nguyên) nghĩa tìm x để anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0.(*)Ta nhân hai vế (*) với a nn −1 ta có phương trình ? HS: Nhân hai vế (*) với a nn −1 ta có phương trình: (anx)n + an-1( a n x)n-1 + + a1 a nn −1 x + a0 a nn −1 = GV? Nếu đặt y = anx ta phương trình nào? HS: Nếu đặt y = anx ta phương trình: yn + an-1yn - + a1 ann-2y + a0 a nn −1 = (**) GV? Nhận xét phương trình (**) ? HS: Là phương trình mà vế trái đa thức có hệ số cao có nghiệm hữu tỷ nghiệm nghiệm nguyên Như , ta chuyển việc tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên việc tìm nghiệm nguyên đa thức tương ứng Đối với tốn tình nêu ta giúp HS giải sau: f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - GV?: Đa thức f(x) cho có hệ số cao 2.Hãy xác định số cần nhân vào (ann - 1) để đưa đa thức tương ứng với hệ số cao 1? HS xác định ann - = 22 = tiến hành thực hiện: Ta có: 2x3 + 3x2 + 6x - = ⇔ 23 x3 + 22 x2 + 22 x - 4.22 = ⇔ (2x)3 + 3.(2x)2 + 12.2x - 16 = Đặt y = 2x ta có: f(y) = y3 + 3y2 + 12y - 16 = Xét thấy tổng hệ số f(y) + + 12 - 16 = nên f(y) có nghiệm Do ta có: f(y) = (y - 1) (y2 + 4y + 16) = Suy y = y2 + 4y + 16 = (1) Do (1) vơ nghiệm (có ∆ ' = -12 < 0) nên f(y) có nghiệm y = Suy f(x) có nghiệm x = 14/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến 2.5 GV hướng dẫn HS tổng hợp kiến thức khái quát thành phương pháp Như thế, HS biết phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên qua toán, ví dụ Khi GV u cầu HS : Hãy tổng hợp thành bước tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên? HS nêu bước thực GV tổng kết thành phương pháp: Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên: Bước 1: Chuyển đa thức tương ứng có hệ số cao Từ đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (hệ số nguyên) cho chuyển tìm nghiệm đa thức: f(y) = yn + bn-1 yn - + +b1y + b0 = (nhân f(x) với ann - đặt y = anx) Bước 2: Tìm tất ước b0 Giả sử tập ước b0 M = { α1; α 2;α3 } Bước 3: Loại bớt ước b0 f (1) f (−1) ∈ Z B = ∈ Z (*) với giá trị α ∈ M 1− α 1+ α chọn ước α ∈ M thoả mãn (*); chẳng hạn P = { αi;α m;α n } Xét A= Bước 4: Kiểm tra nghiệm sơ đồ Hoocne Kiểm tra phần tử P sơđồ Hoocne để tìm nghiệm (của f(y)) Bước 5: Kết luận nghiệm f(x) y Từ y = anx ta có x = a n Mở rộng: Đối với HS giỏi GV nêu vấn đề tìm nghiệm đa thức có hệ số hữu tỷ để HS nghiên cứu nâng cao thêm p0 p1 p2 pn GV: Cho đa thức g(x) = q + q x + q x + + q x (pi; qi ∈ Z ; qi ≠ ) n Làm để tìm nghiệm hữu tỷ đa thức trên? Gợi ý: Suy nghĩ tìm cách đưa tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số nguyên không? pi n HS: Quy đồng mẫu số phân số q đưa dạng g(x) = f(x) f(x) B i đa thức có hệ số nguyên tiếp tục giải theo thuật toán để tìm nghiệm f(x) f(x) = g(x) = 15/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Khi ta có: Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số hữu tỷ: Trước hết: Quy đồng mẫu hệ số đưa tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số ngun Sau đó: Tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số nguyên 2.6 Một số tập cho HS tự giải: Tìm nghiệm đa thức sau: a 4x4 - 7x2 - 5x - b x + 7x4 + 163 + 8x2 - 16x - 16 3 −1 }) (ĐS; x ∈ {1; ±2; } ) (ĐS; x ∈ { ; c 6x2 - 7x - d x4 - x − x − x + 6x − 2.7 Khai thác số ứng dụng dạng toán: GV nên giúp HS phân tích số ứng dụng loại toán toán dạng khác chẳng hạn như: tốn giải phương trình đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Chỉ cần thay đổi chút yêu cầu đề ta chuyển tốn tìm nghiệm đa thức sang dạng khác Chẳng hạn thay : "Tìm nghiệm đa thức" a 4x4 - 7x2 - 5x - b x + 7x4 + 163 + 8x2 - 16x - 16 yêu cầu "phân tích đa thức cho thành nhân tử” 16/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I KẾT QUẢ Trong thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường, nhận thấy thực đề tài bước đầu đem lại kết tiến tương đối rõ • Các em tự tin trước tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến(trong kiểm tra, thi, thực hành giải toán gặp dạng toán em vận dụng tốt) • Trước tốn khác em ý đến việc chọn lựa kiến thức liên quan tìm cách giải tối ưu • Khả tự học sáng tạo toán học nâng lên rõ rệt Phương pháp học tập HS ý đến HS bước đầu biết cách tự nghiên cứu tài liệu để tìm hiểu chuyên đề Từ tốn mang tính tổng qt em biết tìm hiểu khai thác phương pháp giải cho dạng liên quan Từ kết tốn cụ thể em hình thành dần thói quen xem xét, phát biểu toán tổng quát tốn tương tự Đây thói quen tích cực cần thiết người học tốn • Ở khố học sinh mà tơi trực tiếp giảng dạy, ôn tập bồi dưỡng kỳ thi có nhiều HS đạt kết cao Hơn nữa, em học lên THPT học mơn Tốn tốt khố học sinh trường năm học 2014-2015, 2015-2016 • Thành cơng đề tài cịn thúc đẩy tơi mạnh dạn đem cách làm vào giảng dạy, khai thác dạng toán khác cho hiệu tốt • Đề tài góp thêm tài liệu, phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi để đồng nghiệp tham khảo, rút kinh nghiệm giảng dạy cho thân II CÁC VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI ♦ Tìm hiểu nắm vững khung chương trình Tốn THCS để từ đưa cho học sinh tập, ví dụ phù hợp đảm bảo khả tiếp thu đối tượng học sinh ♦ Không "rót" kiến thức phương pháp cho em khiến em thụ động, thiếu tìm tịi sáng tạo.Cần kiên trì tìm chọn cách xây dựng kiến thức phương pháp để em có hội tự khám phá ♦ Nắm vững khả thực tế học sinh vấn đề tư Từ có điều chỉnh nâng dần hợp lý mức độ khó tập phù hợp với trình phát triển tư học sinh nhằm mang lại hiệu cao ♦ Nếu điều kiện cho phép thực chuyên đề bồi dưỡng Toán cho học sinh 17/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Trên tơi trình bày phương pháp hướng dẫn HS lớp giải dạng tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Các chuyên đề khác hồn tồn làm tương tự Với kinh nghiệm ỏi cơng tác chun mơn nhiệt tình chất lượng học tập học sinh thân yêu, viết cách làm, hướng suy nghĩ thân tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong có nhiều đồng nghiệp cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề đồng thời góp ý bổ sung để tơi có hướng tốt cơng tác giảng dạy bồi dưỡng tốn cho học sinh Tơi xin chân thành cảm ơn! 18/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Vũ Hữu Bình - Nâng cao phát triển tốn 7,8 - NXB Giáo dục - 2003 2) Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - NXB Giáo dục - 2004 3) Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm - Toán nâng cao chuyên đề đại số - NXB Giáo dục 4) Sách giáo khoa toán - NXB Giáo dục - 2007 5) Vũ Hữu Bình - Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 7,8 - NXB Giáo dục - 2004 6) Hoàng Kỳ - Đại số sơ cấp - Nhà xuất giáo dục 2001 7) Các đề thi học sinh giỏi năm học 19/19 ... Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Khi ta có: Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số hữu tỷ: Trước hết: Quy đồng mẫu hệ số đưa tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa. .. Toán cho học sinh 17/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Trên tơi trình bày phương pháp hướng dẫn HS lớp giải dạng tốn tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến Các chun... 4/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ đa thức biến liên quan mà khơng vào hướng dẫn phương pháp tìm dạng đa thức hay yêu cầu cụ thể nghiệm Trước thực trạng đó, tơi tìm