Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG THỊ LAN HƢƠNG VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC MỘT BIẾN THÀNH NHÂN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG THỊ LAN HƢƠNG VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC MỘT BIẾN THÀNH NHÂN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Đoàn Trung Cƣờng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Danh sách ký hiệu iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phân tích bất khả quy đa thức 1.2 Thuật toán chia đa thức Chương Thu gọn mod p đa thức bất khả quy 11 2.1 Thu gọn mod p đa thức bất khả quy 11 2.2 Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein 16 2.3 Trường hợp đa thức thu gọn P(X) khơng có nghiệm F p 24 2.4 Bài tập đề nghị 26 Chương Một số thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử 28 3.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 28 3.2 Thuật tốn Yun phân tích khơng bình phương 32 3.2.1 Phân tích khơng bình phương 32 3.2.2 Thuật toán Yun 35 Phân tích nhân tử đa thức trường hữu hạn F p 38 3.3.1 Thuật toán tổng quát 38 3.3.2 Phân tích tách bậc 40 3.3.3 Phân tích đồng bậc 42 Phân tích bất khả quy Z[X] 44 3.3 3.4 ii 3.4.1 Chặn cho hệ số ước vành đa thức nguyên 44 3.4.2 Phân tích bất khả quy mod pe 48 3.4.3 Thuật toán Zassenhaus 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 iii Danh sách ký hiệu Z vành số nguyên Q trường số hữu tỷ Fp trường có p phần tử K[X] vành đa thức với hệ số trường K P(X) đa thức biến X deg P(X) bậc đa thức P(X) mod p modulo p a |b a không ước b gcd(P(X), Q(X)) ước chung lớn hai đa thức P(X) Q(X) Mở đầu Đa thức khái niệm sở toán học Một mặt đa thức đối tượng nghiên cứu đại số, mặt chúng xuất tất lĩnh vực toán học nhiều lĩnh vực khoa học khác Các toán đa thức xuất tốn phổ thơng tốn cao cấp Trong tốn phổ thơng, tốn đa thức thường tốn khó, hay xuất kỳ thi học sinh giỏi, kể kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia Olympic Toán Quốc tế Khi xét đa thức, vấn đề người ta quan tâm tính bất khả quy rộng phân tích đa thức thành tích đa thức bất khả quy Tính chất tương tự số nguyên tính chất nguyên tố phân tích thành tích số nguyên tố Các câu hỏi tính bất khả quy phân tích bất khả quy đa thức nói chung khó trả lời nhiều Do vậy, việc hệ thống lại số tiêu chuẩn đa thức bất khả quy nghiên cứu số thuật toán phân tích đa thức biến (với hệ số nguyên) thành nhân tử cần thiết Với lý vậy, chọn đề tài “Về số thuật tốn phân tích đa thức biến thành nhân tử” Khác với số nguyên, thuật toán để phân tích đa thức nguyên thành tích đa thức nguyên bất khả quy không hiển nhiên Nếu xét đa thức với hệ số trường hữu hạn việc phân tích khả thi hơn, có hữu hạn đa thức có bậc nhỏ bậc đa thức cho trước Với đa thức hệ số ngun, thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà hiệu (về mặt tính tốn) đưa đa thức xét trường hữu hạn, sau nâng phân tích tìm lên lại vành số ngun Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số thuật tốn phân tích đa thức thành tích nhân tử bất khả quy, xét trường hợp đa thức nguyên, đa thức có hệ số trường hữu hạn F p Nội dung luận văn trình bày chi tiết kết chọn lọc số tài liệu tiêu chuẩn đa thức bất khả quy thông qua thu gọn mod p (reduction mod p) thuật tốn phân tích đa thức biến thành nhân tử bất khả quy thuật toán Kronecker, thuật toán Yun, thuật toán Zassenhaus Nội dung luận văn trình bày ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở chuẩn bị cho chương sau định lý phân tích đa thức thành nhân tử, bổ đề Gauss, thuật toán chia đa thức thuật tốn tìm ước chung lớn hai đa thức Chương Thu gọn mod p đa thức bất khả quy Chúng tơi trình bày việc xét tính chất bất khả quy đa thức nguyên thông qua thu gọn mod p với p số nguyên tố Kết trình bày tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein mở rộng Các tiêu chuẩn trình bày ngắn gọn thông qua thu gọn mod p Chương Một số thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương chúng tơi trình bày thuật tốn Kronecker để phân tích đa thức nguyên thành nhân tử Đây thuật tốn để phân tích đa thức nguyên, nhiên có ý nghĩa lý thuyết mặt tính tốn khơng hiệu Tiếp theo chúng tơi trình bày thuật tốn Yun để phân tích đa thức thành ước khơng chứa bình phương Thuật tốn chúng tơi trình bày phân tích đa thức với hệ số trường hữu hạn thành nhân tử Ý tưởng thuật tốn sử dụng thuật tốn Zassenhaus, trình bày phần cuối Chương 3, để phân tích đa thức nguyên thành tích đa thức nguyên bất khả quy Ý tưởng thuật toán chuyển việc xét đa thức nguyên xét trường F p , sau sử dụng thuật tốn trước để phân tích đa thức thành tích đa thức bất khả quy F p Cuối cùng, sử dụng dạng Bổ đề Hensel để nâng phân tích lên Z Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn TS Đồn Trung Cường (Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể Lớp B, cao học Tốn khóa (2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Lê Hồng Phong, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Tác giả Dương Thị Lan Hương Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình bày kết chương sau Nội dung chương nhắc lại số định lí đa thức bất khả quy phân tích bất khả quy, thuật tốn chia đa thức, thuật tốn tìm ước chung lớn hai đa thức Hầu hết kết chương trình bày dựa theo tài liệu [2] 1.1 Phân tích bất khả quy đa thức Trong tiết này, nhắc lại số kết đa thức bất khả quy tồn phân tích bất khả quy Nhắc lại, đa thức khác với hệ số trường bất khả quy khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ Ví dụ, đa thức bậc aX + b, với a = 0, bất khả quy Tính chất bất khả quy đa thức phụ thuộc vào trường hệ số xét Ví dụ, đa thức P(X) = X + đa thức bất khả quy R[X] đa thức khả quy C[X] P(X) = (X − i)(X + i) Để xét tính chất bất khả quy đa thức, ta hay dùng bổ đề đơn giản sau để biến đổi đa thức dạng mà ta áp dụng số tiêu chuẩn bất khả quy biết Bổ đề 1.1.1 Cho đa thức P(X) với hệ số trường K Với a ∈ K, đa thức P(X) bất khả quy đa thức P(X + a) bất khả quy Chứng minh Trước hết nhận xét deg P(X) = deg P(X + a) Ngồi ra, phân tích P(X) = H(X)K(X) tương đương với phân tích P(X + a) = H(X + a)K(X + a) Vì P(X) khả quy P(X + a) khả quy Hai đa thức P(X), Q(X) gọi liên hợp P(X) = λ Q(X) với số λ = Định lí 1.1.2 (Phân tích thành nhân tử) Giả sử K trường Khi đa thức P(X) ∈ K[X] khác có phân tích P(X) = P1α1 Prαr với Pi ∈ K[X] đa thức bất khả quy đôi không liên hợp, α1 , , αr > Hơn phân tích sai khác thứ tự ước bất khả quy Với đa thức nguyên, ta định nghĩa đa thức nguyên khác bất khả quy khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ Với định nghĩa đa thức ngun bất khả quy khơng phần tử bất khả quy vành Z[X] định nghĩa thơng thường Ví dụ, đa thức ngun 2X + = 2(X + 2) đa thức bất khả quy theo định nghĩa Trong toàn luận văn ta sử dụng định nghĩa đa thức nguyên bất khả quy Một đa thức nguyên đa thức hữu tỷ (có hệ số trường số hữu tỷ Q) Liên hệ tính chất bất khả quy Z Q thể định lý tiếng sau, thường gọi Bổ đề Gauss Định lí 1.1.3 (Bổ đề Gauss) Cho đa thức nguyên P(X) khác Giả sử có phân tích P(X) = G(X)F(X) với G(X), F(X) đa thức có hệ số hữu tỷ Khi tồn đa thức nguyên G∗ (X), F∗ (X) cho deg G(X) = deg G∗ (X), deg F(X) = deg F∗ (X) P(X) = G∗ (X)F∗ (X) Nói riêng, P(X) khả quy Q phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên có bậc thấp 41 • Nếu d + ≤ 12 e, đặt d := d + 1, Y := Y p mod Q Bước Đặt Pd := gcd(Y − X, Q) Nếu Pd = đặt Q := Q , Pd Y := Y mod Q quay lại Bước Định lí 3.3.3 Thuật tốn cho ta phân tích tách bậc đa thức P(X) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d Lặp lại bước thuật tốn sau: • d = Nếu = d + > 12 e nghĩa e ∈ {0, 1} ta dừng (do deg P(X) = e) Nếu = d + ≤ 21 e nghĩa e ≥ ta đặt d := d + = 1, Y =Yp mod P(X) Đặt P1 := gcd(Y − X, Q) = gcd(X p − X, P(X)), P1 tích ước bất khả quy bậc (không liên hợp P(X)) (theo Mệnh đề 3.3.2) Ta có nhận xét: Xét d > 0, sau bước d, Q(X) khơng có ước bất khả quy bậc 1, 2, , d Ta chứng minh Pd+1 tích ước bất khả quy bậc d + P(X) • Nếu d + > 12 e Vì Q(X) khơng có ước bất khả quy bậc 1, 2, , d nên Q(X) bất khả quy Thật vậy, Q(X) = Q1 Q2 với deg Qi ≥ (với i = 1, 2) deg Qi ≥ d + 1, với i = 1, Nhưng deg(Q1 Q2 ) ≥ 2(d + 1) > e = deg Q 42 Suy Q = Q1 Q2 Điều mâu thuẫn Do thuật tốn dừng, đặt Pe = Q, Pi = với i > d, i = e • Nếu d + ≤ 21 e Ta có Y := X p d+1 mod Q(X) Đặt Pd+1 := gcd(Y − X, Q(X)) = gcd X p d+1 − X, Q(X) Chú ý Q(X) khơng có ước bất khả quy bậc 1, 2, , d Do Pd+1 tích ước bất khả quy bậc d + Q(X) ước P(X) (do Mệnh đề 3.3.2) Định lý chứng minh Hệ 3.3.4 Cho đa thức P(X) ∈ F p [X] có bậc deg P(X) = d > Đa thức P(X) d bất khả quy P(X) | X p − X với ước nguyên tố q d, ta có d/q gcd P(X), X p − X = 3.3.3 Phân tích đồng bậc Cho đa thức P(X) ∈ F p [X] tích đa thức bất khả quy có bậc d đơi khơng liên hợp Mục đích bước tìm phân tích bất khả quy P(X) Bổ đề sau suy dễ dàng Bổ đề 3.3.5 Ta có deg P(X) = dr với r số ước bất khả quy đôi không liên hợp P(X) Nói riêng, P(X) bất khả quy deg P(X) = d Mệnh đề 3.3.6 Cho p số nguyên tố lẻ P(X) đa thức Với đa thức Q(X) ∈ F p [X] ta có P(X) = gcd(P, Q) gcd P, Q pd −1 + gcd P, Q pd −1 −1 43 d Chứng minh Do P(X) có đủ nghiệm (đều nghiệm đơn) F pd Q p − Q d nhận tất phần từ F pd nghiệm nên P(X) | Q p − Q P(X) Ngoài ta có d d −1 Y p −Y = Y Y p =Y Y pd −1 −1 Y pd +1 pd +1 +1 +1 −1 với Y, Y pd −1 − 1, Y đôi nguyên tố nhau, nên từ d P(X) | Q p − Q = Q Q pd +1 +1 − gcd P, Q pd +1 pd −1 −1 Q ta suy P(X) = gcd(P, Q) gcd P, Q pd −1 +1 Phép chứng minh kết thúc d Nhận xét 3.3.7 Ta có nhận xét đa thức X p − X có pd nghiệm khác F pd Do xác suất để P(X) đa thức X pd −1 − có nghiệm chung F pd , hay nói cách khác có ước chung khơng tầm thường F p [X], xấp xỉ 12 Do Q(X) ∈ F p [X] đa thức monic chuẩn ngẫu nhiên có bậc nhỏ 2d − xác suất để P(X) Q pd −1 − có ước chung khơng tầm thường xấp xỉ 12 Từ Nhận xét 3.3.7 ta có thuật tốn tách Cantor-Zassenhaus sau Mục đích thuật tốn đưa phân tích bất khả quy đa thức P(X) biết trước P(X) tích đa thức bất khả quy có bậc d đơi khơng liên hợp Thuật tốn gồm ba bước Thuật tốn Cantor-Zassenhaus (phân tích đồng bậc) 44 Bước Đặt r = deg P d Nếu r = cho P1 = P dừng Bước Chọn Q(X) ∈ F p [X] ngẫu nhiên monic với deg Q(X) ≤ 2d − Đặt B = gcd P, Q pd −1 −1 Nếu deg B = deg B = deg P quay lại Bước Nếu < deg B < deg P đặt P := BP Bước Lặp lại phân tích P B Chú ý trường hợp p = ta có thuật tốn tương tự Ở ta khơng nhắc tới p lẻ đủ ta xét phân tích bất khả quy Z 3.4 Phân tích bất khả quy Z[X] Trong phần đầu chương ta xét thuật tốn Kronecker tìm phân tích bất khả quy đa thức nguyên Tuy nhiên thuật tốn khơng hiệu số lượng tính tốn q lớn Trong tiết xét thuật toán hiệu 3.4.1 Chặn cho hệ số ước vành đa thức nguyên Cho đa thức nguyên P(X) = a0 +a1 X +a2 X + .+an X n với (a1 , a2 , , an ) = Ta có khẳng định thú vị sau cho chặn cho hệ số ước nguyên P(X) Đặt |P(X)| = |a0 |2 + |a1 |2 + + |an |2 Định lí 3.4.1 Cho đa thức nguyên m n P(X) = ∑ X i ∈ Z[X] Q(X) = ∑ bi X i ∈ Z[X] i=0 i=0 Giả sử Q(X) | P(X) Z[X] Khi j−1 j |an | |P(X)| +Cm−1 |b j | ≤ Cm−1 45 Chọn B số lớn số j−1 j |an | |P(X)| +Cm−1 Cm−1 Ta suy hệ số b j đa thức Q(X) nằm [−B, B] Để chứng minh Định lí 3.4.1 ta cần kết sau Ta trình bày kết dạng bổ đề hệ chúng Bổ đề 3.4.2 Cho x1 , x2 , , xm ≥ số thực Đặt ∑ σm,k = xi1 xik với < k ≤ m, 1≤i1 < 21 deg P Nếu Q | ℓ(P)P Z[X] đặt F lũy thừa cao Q P0 (X) Khi • Đặt P := FP • Bỏ Pi1 , Pi2 , , Pid khỏi phân tích mod pe • Đặt r :=   r − d  d d ≤ 12 r d > 12 r dừng lại 53 Bước Đặt d := d + Nếu d ≤ 21 r quay Bước Nếu d > 12 r dừng thuật toán Thu F lũy thừa Q(X) P0 (X) 54 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết sau: Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein số mở rộng, có minh họa ví dụ Thuật tốn Kronecker phân tích đa thức ngun thành nhân tử bất khả quy Phân tích khơng bình phương thuật tốn Yun Thuật tốn phân tích bất khả quy trường hữu hạn F p Thuật tốn phân tích bất khả quy vành đa thức nguyên Z[X] 55 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đoàn Trung Cường (2014), Thu gọn mod p đa thức bất khả quy Tiền ấn phẩm [2] Lê Thị Thanh Nhàn (2015), Giáo trình Lý thuyết đa thức (Giáo trình Sau đại học), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] H Cohen (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 138, Springer-Verlag Berlin New York [4] M Filaseta (1998), The theory of irreducible polynomials, Math788F Course Note, University of South Carolina [5] Factorization of polynomials, wikipedia.org ... Chương Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương chúng tơi trình bày thuật tốn Kronecker để phân tích đa thức nguyên thành nhân tử Đây thuật toán để phân tích đa thức nguyên,... lại số tiêu chuẩn đa thức bất khả quy nghiên cứu số thuật tốn phân tích đa thức biến (với hệ số nguyên) thành nhân tử cần thiết Với lý vậy, chọn đề tài ? ?Về số thuật tốn phân tích đa thức biến thành. .. hữu hạn đa thức có bậc nhỏ bậc đa thức cho trước Với đa thức hệ số nguyên, thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà hiệu (về mặt tính tốn) đưa đa thức xét trường hữu hạn, sau nâng phân tích