Về phân tích đa thức hai biến thành nhân tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN ĐỨC HẢI VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC HAI BIẾN THÀNH NHÂN TỬ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Ngô Thị Ngoan THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức bất khả quy 1.2 Sơ đồ Newton đa diện Newton 3 Một số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức 2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas 2.2 Đa giác khơng phân tích ngun tính bất khả quy tuyệt đối đa thức hai biến 12 12 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử 3.1 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử 3.2 Một số ví dụ ứng dụng 20 20 29 Tài liệu tham khảo 37 16 ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Ngô Thị Ngoan Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K11B; Nhà trường phòng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Phát triển giáo dục Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K11B ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Nguyễn Đức Hải Mở đầu Các toán đa thức bất khả quy tốn phân tích đa thức thành nhân tử đưa vào giảng dạy chương trình tốn phổ thơng Việc phân tích đa thức thành nhân tử cho phép học sinh chuyển việc giải phương trình đại số giải phương trình có bậc thấp Các tiêu chuẩn để xét tính bất khả quy đa thức quan tâm lớn nhà toán học từ lâu Chúng ta biết tiêu chuẩn Eisenstein tiêu chuẩn hữu hiệu để kiểm tra đa thức cho bất khả quy Nhắc lại rằng, cho R vành nhân tử hóa f = f0 + f1 X + + fn X n ∈ R[X] đa thức có hệ tử f0 , f1 , , fn nguyên tố Nếu tồn phần tử nguyên tố p ∈ R cho trừ hạng tử cao fn hạng tử lại f chia hết cho p f0 không chia hết cho p2 , f bất khả quy R[X] Tiêu chuẩn cho ta điều kiện đơn giản để kiểm tra đa thức bất khả quy Những năm qua, nhiều nhà tốn học khơng ngừng mở rộng, tổng quát hóa tiêu chuẩn Đặc biệt việc sử dụng yếu tố hình học thông qua Sơ đồ Newton Đa giác Newton để đưa tiêu chuẩn hiệu cho việc kiểm tra tính bất khả quy đa thức Trong luận văn này, bắt đầu việc giới thiệu phương pháp sử dụng sơ đồ Newton đa thức Nó cho ta khẳng định tính bất khả quy lớp rộng đa thức dựa vào đặc điểm sơ đồ Newton chúng thể tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas ta thấy tiêu chuẩn Eisenstein quen thuộc trường hợp đặc biệt Sau đó, phương pháp sử dụng đa giác Newton, chúng tơi trình bày hai nội dung: (1) Xét tính bất khả quy đa thức hai biến qua đa giác Newton (2) Xét phân tích đa thức hai biến với hệ số nguyên thành nhân tử Chúng ta thu kết thú vị tính bất khả quy đa thức hai biến thơng qua đặc điểm khơng phân tích ngun đa giác Newton Thơng qua việc nhận diện đoạn thẳng khơng phân tích ngun được, tam giác khơng phân tích ngun cho ta số lớp đa thức hai biến bất khả quy trường tùy ý Cũng sử dụng công cụ đa giác Newton đa thức, ta thu thơng tin xác phân tích đa thức hai biến hệ số nguyên thành nhân tử Đó là, đa thức f (x, y) ∈ Z[x, y] có nhân tử đa thức không tầm thường dàn nút đa giác Newton f phủ siêu phủ phù hợp Từ cách chọn siêu phủ đa giác Newton, cho ta phân tích đa thức thành nhân tử Nội dung luận văn chia làm chương Chương số kiến thức chuẩn bị đa thức, đa thức bất khả quy, chương trình bày khái niệm sơ đồ Newton đa thức; số khái niệm tính chất tập lồi Rn ; đa diện ngun, đa diện ngun khơng phân tích ngun nhận diện số đa diện nguyên R2 (gọi đa giác) khơng phân tích ngun Nội dung luận văn nằm Chương Chương Chương tập trung trình bày số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức dựa vào sơ đồ Newton đa giác Newton đa thức Chương trình bày điều kiện cần đủ để đa thức hai biến với hệ số nguyên có nhân tử đa thức nguyên không tầm thường với số ví dụ áp dụng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị đa thức, sơ đồ Newton đa thức, đa diện Newton, đa giác Newton đa thức Tài liệu tham khảo chương [1], [2], [3], [5] [6] 1.1 Đa thức bất khả quy Định nghĩa 1.1.1 Cho V vành giao hốn có đơn vị Một đa thức biến với hệ số V viết dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , a0 , , an ∈ V x ký hiệu gọi biến (hay biến không xác định) Ta viết đa thức ∞ dạng f (x) = xi f (x) = xi , = với i=0 i > n Hai đa thức xi bi xi = bi với i Ký hiệu V [x] tập đa thức biến x với hệ số V Cho f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 ∈ V [x] Ta gọi a0 hệ số tự f (x) Nếu an = n gọi bậc f (x) ký hiệu degf (x) Trong trường hợp này, an gọi hệ số cao f (x) Nếu an = f (x) gọi đa thức dạng chuẩn Nếu f (x) = a ∈ V f (x) gọi đa thức Các đa thức bậc gọi đa thức tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức f (x) = V [x], định nghĩa f (x) + g(x) = (ai + bi )xi xi g(x) = bi xi ck xk , ck = f (x)g(x) = bj với k Khi V [x] vành giao hốn với phép cộng nhân đa thức Vành V [x] gọi vành đa thức biến x với hệ số V Phần tử không vành đa thức đa thức 0, phần tử đơn vị đa thức Mỗi n số nguyên không âm i = (i1 , , in ) ∈ Nn0 cho ta đơn thức xi11 xinn n biến x1 , , xn với bậc i1 + + in Chúng ta thường viết đơn thức dạng xi Với j = (j1 , , jn ) ∈ Nn0 , hai đơn thức xi xj i = j, tức ik = jk với k Một từ biểu thức có dạng axi với a ∈ V (được gọi hệ số từ) xi đơn thức gọi đơn thức từ Hai từ gọi đồng dạng hai đơn thức chúng Hai từ gọi chúng đồng dạng có hệ số Một đa thức tổng hữu hạn từ Định nghĩa 1.1.3 Ký hiệu V [x1 , , xn ] tập hợp đa thức n biến x1 , , x2 với hệ số V Với i, j ∈ Nn0 , i = (i1 , , in ) j = (j1 , , jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , , in + jn ) Khi V [x1 , , xn ] vành với phép cộng bi xi = xi + i∈Nn i∈Nn (ai + bi ) xi i∈Nn phép nhân x i i∈Nn bi xi = i∈Nn k∈Nn xi , với đa thức i∈Nn ck xk , ck = b j i+j=k bi xi ∈ V [x1 , , xn ] Vành V [x1 , , xn ] i∈Nn gọi vành đa thức n biến x1 , , xn với hệ số V Định nghĩa 1.1.4 Đa thức khác không, không khả nghịch thuộc V [x1 , , xn ] gọi đa thức bất khả quy khơng có ước thực vành V [x1 , , xn ], tức g ước f g khả nghịch f ước g Chú ý đa thức f (x) với hệ số trường F bất khả quy degf (x) > f (x) khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ Định nghĩa 1.1.5 Một đa thức trường F gọi bất khả quy tuyệt đối F bất khả quy mở rộng đại số F 1.2 Sơ đồ Newton đa diện Newton Cho R vành nhân tử hóa f = f0 + f1 X + + fn X n ∈ R[X] với f0 fn = Cho p ∈ R phần tử nguyên tố cho trước, ta biểu diễn hệ số khác f dạng fi = pαi phần tử R không chia hết cho p Với hạng tử khác không f , ta lấy điểm tương ứng mặt phẳng với tọa độ (i, αi ) Tập điểm cho ta sơ đồ Newton f ứng với phần tử nguyên tố p Hình 1.1 Đặt P0 = (0, α0 ) P1 = (i1 , αi1 ) i1 số ngun lớn cho khơng có điểm (i, αi ) nằm phía đường thẳng P0 P1 Sau đó, lấy P2 = (i2 , αi2 ) i2 số nguyên lớn cho khơng có điểm (i, αi ) nằm phía đường thẳng P1 P2 Cứ tiếp tục vậy, đoạn thẳng cuối ta nhận có dạng Pr−1 Pr Pr = (n, αn ) Nếu số đoạn đường gấp khúc P0 P1 Pr qua điểm có tọa độ nguyên, ta thêm vào tất điểm có tọa độ nguyên đường gấp khúc Q0 Q1 Qr+s Q0 = P0 , Qr+s = Pr Định nghĩa 1.2.1 Đường gấp khúc Q0 Q1 Qr+s xây dựng gọi Sơ đồ Newton f ứng với phần tử nguyên tố p Các đoạn Pl Pl+1 Qi Qi+1 tương ứng gọi cạnh đoạn −−−−→ sơ đồ vectơ Qi Qi+1 gọi vectơ đoạn sơ đồ Newton Trước trình bày khái niệm đa diện Newton đa thức ta trình bày số khái niệm tính chất tập lồi đa diện lồi Ta xét Rn không gian vectơ thực, không gian affine thực, khơng gian Eulid với tích vơ hướng x, y = ξ1 η1 + + ξn ηn với x = (ξ1 , , ξn ) , y = (η1 , , ηn ) , khoảng cách hai điểm x y xác định x−y = x − y, x − y Định nghĩa 1.2.2 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi với x, y ∈ C, x = y ta có đoạn thẳng [x, y] := {λx + (1 − λ)y | ≤ λ ≤ 1} chứa C Ta nói x tổ hợp lồi x1 , , xr ∈ Rn tồn λ1 , , λr ∈ R cho điều kiện sau thỏa mãn (1) x = λ1 x1 + + λr xr , (2) λ1 + + λr = 1, (3) λ1 ≥ 0, , λr ≥ Chú ý rằng, bỏ điều kiện (3) ta gọi x tổ hợp affine x1 , , xr , x, x1 , , xr gọi phụ thuộc affine Nếu x, x1 , , xr không phụ thuộc affine ta nói chúng độc lập affine Định nghĩa 1.2.3 Tập tất tổ hợp lồi phần tử tập S ⊆ Rn gọi bao lồi S , ký hiệu conv(S) t t λi xi | xi ∈ S, λi ≥ 0; conv(S) = i=1 λi = i=1 Khi S = {x1 , , xk } tập hữu hạn, ta gọi conv(S) đa diện sử dụng ký hiệu conv(x1 , , xk ) Một điểm x đa diện gọi đỉnh khơng thuộc đoạn tạo hai điểm phân biệt khác x đa diện Ta có đa diện ln bao lồi đỉnh ngược lại đỉnh bao lồi conv(x1 , , xk ) số x1 , , xk Chú ý 1.2.4 Với tập lồi C Rn , ta gọi số chiều bao affine aff(C) số chiều C ký hiệu dimC Rõ ràng {x1 , , xr } độc lập affine dim(conv(x1 , , xr )) = r − Cho C tập lồi Rn a0 ∈ C Một siêu phẳng H = {x ∈ Rn | α · x − β = 0} , α ∈ Rn , β ∈ R qua a0 , gọi siêu phẳng tựa C a0 với α ∈ C ta có α · a − β ≤ Khi ta nói cách ngắn gọn H siêu phẳng tựa C Cho P đa diện Rn , mặt P định nghĩa giao P với siêu phẳng tựa P Một đỉnh P mặt có chiều 0, mặt có chiều đoạn thẳng mà ta gọi cạnh P Định nghĩa 1.2.5 Cho A B hai tập Rn , tập hợp A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} gọi tổng Minkowski A B Ta thấy tổng Minkowski hai tập lồi tập lồi Ta có bổ đề sau Bổ đề 1.2.6 Giả sử A = conv(a1 , , an ), B = conv(b1 , , bm ), ta có A + B = conv ({ai + bj | ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m}) Chứng minh Ta cần chứng minh bao hàm “ ⊆ ” Lấy phần tử v = n v1 +v2 ∈ A+B , v1 = m µj bj , λi , µj ≥ với i, j λi , v2 = i=1 j=1 23 đa thức pi (x, y), i = 1, , l viết tương ứng với xếp đỉnh Với nút Ac nút chung s đa giác, hệ số đơn thức ứng với nút Ac tách thành tổng s thành phần, thành phần thuộc pi (x, y) tương ứng với đa giác có chung nút Ac Bằng cách đó, hệ số p1 (x, y), , pl (x, y) thỏa mãn c1,1 : c1,2 : : c1,k = = cl,1 : cl,2 : : cl,k pi (x, y) = ci,1 xαi,1 y βi,1 + + ci,k xαi,k y βi,k , điều thỏa mãn với nút chung, ta nói siêu phủ siêu phủ phù hợp Từ Định lý 2.2.2 phân tích đa giác Newton đa thức xác định hoàn toàn đỉnh nó, đa giác khơng phân tích đa thức bất khả quy Hơn nữa, đa thức có số hạng khác khơng bất khả quy tuyệt đối trường Đa thức bất khả quy ta thêm đơn thức tương ứng với vectơ lũy thừa nằm đa giác Nói cách khác, đa giác Newton đa thức không mang nguyên vẹn thông tin tồn nhân tử đa thức Khi phân tích đa thức, điều quan trọng phải ý xác định đỉnh đa giác Newton, điểm bị bỏ qua nút điểm nguyên nằm đa giác Chú ý 3.1.5 Ta xét nhân tử đa thức đa thức không chia hết cho x y , nên khơng có nhân tử đa thức tầm thường Chẳng hạn, ta nhân thêm x y tức cạnh đa giác Newton tịnh tiến theo vectơ (1, 0) (0, 1) Vì vậy, kiểm tra nhân tử đa thức không tầm thường đa thức chia hết cho x, y hai, trước hết ta đặt nhân tử tầm thường xα , y β xα y β xét nhân tử đa thức đa thức lại Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để đa thức hai biến hệ số ngun phân tích thành nhân tử không tầm thường Định lý 3.1.6 Cho f (x, y) đa thức hai biến khác không Z Đa thức f (x, y) có nhân tử đa thức nguyên không tầm thường dàn nút f (x, y) mở rộng số điểm nguyên đa giác Newton f (x, y) có siêu phủ phù hợp 24 Chứng minh (⇒) Giả sử f (x, y) có nhân tử ngun khơng tầm thường, tức tồn đa thức nguyên g(x, y) h(x, y), có hai đơn thức với số hạng khác không cho f (x, y) = g(x, y)h(x, y) Đặt h(x, y) = c1 xα1 y β1 + + ck xαk y βk , với c1 = 0, với hai i, i = 1, , k Đặt cp = cq = Rõ ràng (αp , βp ) = (0, 0) (αq , βq ) = (0, 0) Vì vậy, ta viết lại đa thức h(x, y) sau h(x, y) = cp xαp y βp + cq xαq y βq + ci xαi y βi , i∈I I ⊂ {1, , k} \ {p, q}, tập hợp tất số khác p q , cho i ∈ I, ci = Rõ ràng, đa thức h(x, y) số α hạng khác khơng trừ cp xαp y βp cx q y βq tập hợp I tập rỗng Ta viết lại đa thức f (x, y) sau f (x, y) = g(x, y) cp xαp y βp + cq xαq y βq + ci xαi y βi i∈I Tức ta có ci xαi y βi f (x, y) = g(x, y)cp xαp y βp + g(x, y)cq xαq y βq + g(x, y) i∈I Ta gọi đa giác Newton đa thức g(x, y) f (x, y) Pg Pf Ta có, phép nhân đa thức g(x, y) với đơn thức c.xα y β cho ta đa thức có đa giác Newton đa giác tương đẳng với Pg , có từ Pg phép tịnh tiến theo vectơ (α, β) Như vậy, đa giác Newton f (x, y) bao lồi đa giác Pg tịnh tiến theo vectơ (αp , βp ), (αq , βq ) (αi , βi ), i ∈ I Nói cách khác, dàn nút phủ đa giác tương đẳng với Pg Vì vậy, ta thu siêu phủ dàn nút Từ biểu diễn đa thức f (x, y), ta thấy đơn thức f xuất nhiều lần đa thức g(x, y)cp xαp y βp , g(x, y)cq xαq y βq , g(x, y)ci xαi y βi Cuối cùng, hệ số tương ứng đa thức thành phần tỷ lệ với theo tỷ số cp : cq : Vậy ta có siêu phủ phù hợp cho Pf (⇐) Giả sử dàn nút f (x, y), mở rộng số điểm nguyên đa giác Newton đa thức f (x, y), có siêu phủ 25 phù hợp với hệ số f (x, y) Hơn nữa, ta giả sử siêu phủ ứng với l đa giác tương đẳng G1 , G2 , , Gl Ta nhóm đơn thức đa thức f (x, y) theo cách xác định đa giác G1 , G2 , , Gl , (l ≥ 2) Ta tách đơn thức vào đa thức thành phần tương ứng với nút chung cho hai đa giác để đạt tỷ lệ hệ số đa thức nhân tử Điều thực theo giả thiết siêu phủ phù hợp với hệ số f (x, y) Sự phân tích đơn thức đa thức xác định nhân tử đa thức nguyên không tầm thường đa thức f (x, y) Chú ý 3.1.7 Kết định lý với đa thức có hệ số hữu tỷ Ví dụ 3.1.8 Xét đa thức f (x, y) Z, f (x, y) = x2 + 2xy + y ∈ Z[x, y] Hình 3.2 Dàn nút f (x, y) Hình 3.2, đỉnh đa giác có tọa độ (0, 2) (2, 0), điểm (1, 1) bị bỏ qua cộng tuyến với hai đỉnh liên tiếp Cách để có siêu phủ dàn bao hai đoạn thẳng conv((2, 0), (1, 1)) conv((1, 1), (0, 2)) với nút chung (1, 1) Siêu phủ phù hợp hệ số đơn thức ứng với nút chung (1, 1) tách thích hợp, tức ta phải tách xy cho tỷ lệ hệ tử phù hợp với hệ số đa thức sinh siêu phủ f (x, y) = (x2 + axy) + ((2 − a)xy + y ) 26 Đoạn thẳng conv((1, 1), (0, 2)) có từ đoạn conv((2, 0), (1, 1)) phép tịnh tiến theo vectơ (−1, 1) Nếu ta gọi phép tịnh tiến τ , ta có τ ((2, 0)) = (1, 1) τ ((1, 1)) = (0, 2) Trong ngoặc thứ nhất, theo thứ tự đơn thức, trước tiên ta liệt kê đơn thức tương ứng với vectơ lũy thừa (2, 0), thứ hai đơn thức tương ứng với vectơ lũy thừa (1, 1) Trong ngoặc thứ hai, ta liệt kê đơn thức tương ứng với vectơ lũy thừa τ ((2, 0)) trước đến đơn thức tương ứng với vectơ lũy thừa τ ((1, 1)) Siêu phủ phù hợp ta có : a = (2 − a) : 1, tức a = Vậy ta có f (x, y) = x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(x + y) Ví dụ 3.1.9 Xét đa thức p(x, y) Z p(x, y) = y − x2 ∈ Z[x, y] Các vectơ lũy thừa ứng với số hạng khác không đa thức p(x, y) (0, 2) (2, 0) đa giác Newton đa thức p(x, y) đoạn thẳng có đầu mút hai điểm (0, 2) (2, 0) Ta khơng thể tìm nhân tử đa thức đa thức ta xét hai đỉnh đa giác Newton Tuy nhiên, đoạn thẳng chứa điểm nguyên (1, 1) ứng với đơn thức xy có hệ số Xét dàn mở rộng nút gồm đỉnh (0, 2) (2, 0) với điểm (1, 1) Hình 3.3 Ta siêu phủ dàn tương tự Ví dụ 3.1.8 Vì vậy, ta viết lại đa thức p(x, y) sau: p(x, y) = y + 0xy − x2 27 Siêu phủ phù hợp ta chọn cách thích hợp để biểu thị 0xy cho hệ số tỷ lệ đa thức p(x, y) = y + (−a + a)xy − x2 = (y − axy) + (axy − x2 ), a ∈ Z Vì : (−a) = a : (−1), tức a2 = 1, ta có siêu phủ phù hợp chọn a = a = −1 Chọn a = 1, ta p(x, y) = (y − xy) + (xy − x2 ) = (y − x)y + (y − x)x = (y − x)(y + x) Nếu chọn a = −1 ta nhân tử đa thức tương tự đa thức p(x, y) = (y + xy) + (−xy − x2 ) = (y + x)y − (y + x)x = (y + x)(y − x) Ví dụ 3.1.10 Xét đa thức p(x, y) Z p(x, y) = y − 2x2 = y + 0xy − 2x2 ∈ Z[x, y] Như Ví dụ 3.1.8 Ví dụ 3.1.9 dàn mở rộng nút gồm điểm (0, 2), (2, 0) (1, 1) ta làm giống ví dụ trước Siêu phủ phù hợp đơn thức 0xy phân tích phù hợp để có tỷ lệ hệ số, tức p(x, y) = y − axy + axy − 2x2 = (y − axy) + (axy − 2x2 ), a ∈ Z, với : (−a) = a : (−2), tức a2 = Khơng có a ∈ Z thỏa mãn a2 = Do đó, đa thức p(x, y) khơng có nhân tử đa thức ngun Vì √ a = ∈ R, p(x, y) có nhân tử đa thức trường số thực √ √ p(x, y) = (y − 2x)(y + 2x) Chú ý 3.1.11 Ta biết rằng, muốn phân tích đa thức hai biến, điều quan trọng phải xét đỉnh xác định đa giác Newton Tất điểm tương ứng với vectơ lũy thừa quan trọng để tìm nhân tử đa thức đa thức Trong ví dụ trước điểm nguyên không ứng với vectơ lũy thừa nằm bên đa giác Newton đa thức quan trọng cho việc tìm nhân tử đa thức 28 Chú ý 3.1.12 Ta kết luận tất điểm tương ứng với vectơ lũy thừa đa thức đỉnh đa giác Newton đa giác khơng có điểm ngun khác đa thức bất khả quy Nói cách khác, điểm bên đa giác Newton đóng vai trò quan trọng việc tìm kiếm yếu tố để tìm nhân tử đa thức, thiếu chúng khơng nói lên đa thức bất khả quy Điều minh họa ví dụ sau Ví dụ 3.1.13 Xét đa thức f (x, y) Z f (x, y) = xy + x + y + ∈ Z[x, y] Các số hạng đa thức f (x, y) với hệ số khác không tương ứng với vectơ lũy thừa sau: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0) Hình 3.4 Đa giác Newton f (x, y) hình vng có đỉnh ngun biểu diễn Hình 3.4 khơng có điểm nguyên khác bên đa giác Pf phân tích nguyên theo cách biểu diễn Hình 3.5, tức Pf = conv((1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)) = conv((0, 0), (1, 0)) + conv((0, 0), (0, 1)) Khi đa giác Newton đa thức f (x, y) phân tích ngun được, đa thức f (x, y) khả quy bất khả quy Ta phủ dàn nút hai đoạn thẳng tương đẳng conv((0, 0), (1, 0)) conv((0, 1), (1, 1)) 29 Hình 3.5 f (x, y) có phân tích tương ứng f (x, y) = (1 + x).1 + (1 + x).y = (1 + x)(1 + y), Lưu ý đa giác Newton f (x, y) khơng có điểm nguyên ngoại trừ đỉnh Tuy nhiên, f (x, y) có nhân tử đa thức nguyên Do khơng có điểm ngun bên trong, ta hiểu rằng, khơng có đơn thức f (x, y) nhận từ hai cách nhân nhân tử đa thức f (x, y) 3.2 Một số ví dụ ứng dụng Ví dụ 3.2.1 Xét đa thức r(x, y) Z r(x, y) = y − 4x2 ∈ Z[x, y] Với dàn nút (0, 2), (2, 0) ví dụ trước, tương tự ta có r(x, y) = y + 0xy − 4x2 = (y − axy) + (axy − 4x2 ), a ∈ Z, với : (a) = a : (4), tức a = a = −2 Chọn a = 2, ta r(x, y) = (y − 2xy) + (2xy − 4x2 ) = (y − 2x)y + (y − 2x)2x = (y − 2x)(y + 2x) 30 Ví dụ 3.2.2 Xét đa thức f (x, y) Z f (x, y) = x2 y + x2 + y + ∈ Z[x, y] Hình 3.6 Các số hạng đa thức f (x, y) có hệ số khác tương ứng với vectơ lũy thừa sau: (2, 2), (2, 0), (0, 2) (0, 0) Đa giác Newton đa thức f (x, y) hình vng có đỉnh ngun biểu diễn Hình 3.6 Ta phủ dàn nút f hai đoạn thẳng tương đẳng conv((0, 0), (2, 0)) conv((0, 2), (2, 2)) Đa thức f (x, y) có phân tích ngun tương ứng với siêu phủ sau f (x, y) = (1 + x2 ) + (1 + x2 )y = (1 + x2 )(1 + y ) Chú ý 3.2.3 Đa giác Newton đa thức f (x, y) có chứa điểm nguyên bên là: (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1) (1, 1) Những điểm khơng quan tâm tìm nhân tử đa thức siêu phủ tìm dàn không mở rộng nút f (x, y) Ví dụ 3.2.4 Xét đa thức hai biến sau Z f (x, y) = xy + x2 y + 3xy + y + x2 y + x + y ∈ Z[x, y], g(x, y) = xy + x2 y + 2xy + y + x2 y + x + y ∈ Z[x, y], h(x, y) = xy + x2 y + 5xy + y + x2 y + x + y ∈ Z[x, y] Vì đa thức có hạng tử khác khơng, nên dàn không mở rộng nút đa giác Newton giống nhau, tức Pf = Pg = Ph Đặt A = (1, 0), B = (0, 1), C = (1, 2), D = 31 (0, 3), E = (1, 4), F = (2, 1) G = (2, 3) Đa giác Pf biểu diễn Hình 3.7 Hình 3.7 Điểm từ dàn không mở rộng nút không đỉnh đa giác Newton C , đa thức f khả quy, đơn thức ứng với điểm C = (1, 2) (là 3xy ) có từ việc nhân đa thức nhân tử theo nhiều cách Hình 3.8 Vì hệ số f (x, y) tất hệ số khác 1, nên rõ ràng, để có siêu phủ phù hợp hệ số đa thức f (x, y), phải phủ dàn không mở rộng nút ba hình phù hợp, cho nút thuộc hình nhất, trừ nút C chung cho tất hình Phủ ba tam giác tương đẳng BAC, DCE CF G biểu diễn Hình 3.8 32 Để có nhân tử đa thức đa thức, ta nhóm đơn thức theo cách cho đỉnh tam giác tương ứng nằm dấu ngoặc xy xuất ba nhóm Điều thực 3xy = xy + xy + xy Ta có f (x, y) = (y + x + xy ) + (y + xy + xy ) + (xy + x2 y + x2 y ) DCE CF G thu từ tam giác BAC cách tịnh tiến theo vectơ (0, 2) (1, 1), ta nhóm từ ngoặc thứ hai y xy từ ngoặc thứ ba Vì tam giác f (x, y) = (y + x + xy ) + (y + x + xy )y + (y + x + xy )xy = (y + x + xy )(1 + y + xy) Do đa giác Newton đa thức + y + xy y + x + xy khơng có siêu phủ, nên ta kết luận đa thức khơng có nhân tử đa thức ngun Dễ chứng minh có siêu phủ phù hợp khác dàn nút hệ số đa thức f (x, y) (được biểu diễn Hình 3.9) dẫn đến kiểu phân tích f (x, y) thành nhân tử Hình 3.9 Tuy nhiên, siêu phủ dàn nút biểu diễn Hình 3.8 Hình 3.9 khơng phù hợp với hệ số g(x, y) Do hệ số xy 2, phủ phù hợp dàn phủ hai hình tương đẳng cho nút thuộc hình nhất, ngoại trừ nút (1, 2) điểm chung hai hình Phủ biểu thị Hình 3.10 33 Tương tự, ta có nhân tử đa thức nguyên g(x, y) tạo phủ g(x, y) = xy + x2 y + 2xy + y + x2 y + x + y = (y + x + x2 y + xy ) + (y + xy + x2 y + xy ) g(x, y) = (y + x + x2 y + xy ) + (y + x + x2 y + xy )y = (y + x + x2 y + xy )(1 + y ) Hình 3.10 Dễ chứng minh đa thức + y khơng có nhân tử đa thức nguyên Hơn nữa, ta phân tích đa thức x + y + xy + x2 y với dàn nút biểu diễn Hình 3.11 Hình 3.11 Ta phủ dàn hai đoạn thẳng nhau, Hình 3.12 Điều cho ta cách nhóm đơn thức sau: x + y + xy + x2 y = (y + x) + (xy + x2 y) 34 Vì : = : tỷ lệ hệ số hai nhóm Vì vậy, ta kết luận phủ siêu phủ phù hợp dàn nút đa thức y + x + xy + x2 y Khi đó, tương ứng với siêu phủ ta có y + x + xy + x2 y = (y + x) + (y + x)xy = (y + x)(1 + xy) Hình 3.12 Vì vậy, đa thức g(x, y) có nhân tử đa thức nguyên, g(x, y) = (y + x)(1 + xy)(1 + y ) Hình 3.13 Có siêu phủ phù hợp khác dàn nút liên quan đến hệ số đa thức g(x, y) biểu diễn Hình 3.13 dẫn đến nhân tử đa thức g(x, y) Cuối cùng, xét đa thức h(x, y) siêu phủ dàn nút biểu thị Hình 3.8 Ta nhóm đơn thức theo cách tương ứng với phủ h(x, y) = (y + x + axy ) + (y + bxy + xy ) 35 + (cxy + x2 y + x2 y ) ∈ Z[x, y], a + b + c = Phủ không phù hợp với hệ số đa thức h(x, y) vì: : : a = b : : = : c : 1, suy a = b = c = a + b + c = Hoàn toàn tương tự, siêu phủ có dàn nút h(x, y) không phù hợp với hệ số h(x, y), ta kết luận h(x, y) khơng có nhân tử đa thức ngun khơng tầm thường Ví dụ 3.2.5 Xét đa thức sau Z h(x, y) = 9xy + 6x2 y + 10xy + 6y + 2x2 y + x + 2y ∈ Z[x, y] Do đa thức có hạng tử khác khơng đa thức f (x, y) g(x, y) Ví dụ trước 3.2.4, nên dàn nút giống Siêu phủ dàn Hình 3.8 siêu phủ phù hợp hệ số đa thức h(x, y) h(x, y) viết dạng tổng ba đa thức BAC, DCE CF G, đơn thức 10xy phân tích để phù hợp tỉ lệ hệ số sau: xác định tam giác h(x, y) = 2y + x + 3xy + 6y + 3xy + 9xy + 4xy + 2x2 y + 6x2 y Ta có : : = : : = : : nên siêu phủ Hình 3.8 siêu phủ phù hợp Đồng thời ta có phân tích h(x, y) = (2y + x + 3xy ) + (2y + x + 3xy )3y + (2y + x + 3xy )2xy, tức h(x, y) = (2y + x + 3xy )(1 + 3y + 2xy) Dễ chứng minh hai đa giác Newton ứng với hai nhân tử đa thức h(x, y) khơng có siêu phủ 36 Kết luận luận văn Luận văn thu kết sau: • Trình bày tiêu chuẩn Dumas-Eisenstein tính bất khả quy đa thức miền nhân tử hóa, từ cho tiêu chuẩn bất khả quy đa thức hai biến trường • Trình bày tiêu chuẩn bất khả quy đa thức hai biến dựa vào công cụ đa giác Newton đa thức Từ đưa số lớp đa thức hai biến bất khả quy tuyệt đối trường • Trình bày điều kiện cần đủ để đa thức hai biến với hệ số ngun có nhân tử khơng tầm thường số ví dụ áp dụng Chúng tơi nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: − Tính bất khả quy đa thức nhiều biến trường − Sự phân tích đa thức nhiều biến thành nhân tử 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Thị Thanh Nhàn, (2015), Giáo trình Lý thuyết đa thức, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] S Crvenkovic and I Pavkov, (2013), “Factoring bivariate polynomials with integer coefficients via Newton polygons”, DOI 10.2298/FIL1302215C [3] S Gao, (2001), Absolute irreducibility of polynomials via Newton polytopes, Journal of Algebra 237, No.2 pp 501-520 [4] F Abu Salem, S Gao, A.G.B Lauder, (2004), Factoring polynomials via polytopes: extended version, Report PRG-RR-04-07, Oxford University Computing Laboratory [5] V.V Prasolov, (2004), Polynomials, Springer-Verlag [6] G Edwald, (1996), Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry, Springer-Verlag ... 2.2 Đa giác khơng phân tích ngun tính bất khả quy tuyệt đối đa thức hai biến 12 12 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử 3.1 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử ... nguyên phân tích thành tích đa thức nguyên không tầm thường với số áp dụng Tài liệu tham khảo chương báo [2] 3.1 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử Trong chương này, ta xét đa thức hai biến. .. nhân tử đa thức đa thức lại Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để đa thức hai biến hệ số ngun phân tích thành nhân tử không tầm thường Định lý 3.1.6 Cho f (x, y) đa thức hai biến khác khơng Z Đa