Phân tích đa thức thành các đa thức bất khả quy để xây dựng các mã cyclic trên trường hữu hạn

-„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY„N THÀ H„ PH„N T„CH -A THŸC TH„NH C„C -A THŸC B„T KH„ QUY -„ X„Y D‹NG C„C M„ CYCLIC TR„N TR ÕNG H⁄U H„N LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC TH„I NGUY„N, 8/2020 -„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY„N THÀ H„ PH„N T„CH -A THŸC TH„NH C„C -A THŸC B„T KH„ QUY -„ X„Y D‹NG C„C M„ CYCLIC TR„N TR ÕNG H⁄U H„N LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC Chuy¶n ng nh: Phẽng phĂp ToĂn cĐp M sậ: 46 01 13 NG ÕI H ŒNG D„N KHOA HÅC: TS NGUY„N TRNG BC ThĂi Nguyản, 8/2020 Mc lc Mẻt sậ kián thc chuân b 1.1 Trèng hu hÔn 1.2 V nh a thc trản trèng hu hÔn 1.3 -a th˘c b§t kh£ quy 13 PhƠn tẵch a thc th nh cĂc a thc bĐt khÊ quy xƠy dáng cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn 18 2.1 PhƠn t½ch a th˘c xn th nh c¡c a th˘c bĐt khÊ quy trản trèng hu hÔn 18 n 2.1.1 PhƠn tẵch a th˘c x tr¶n Fq (n; q) = 18 2.1.2 PhƠn tẵch a th˘c xn tr¶n Fq (n; q) 6= 23 2.2 M¢ cyclic 25 2.3 XƠy dáng m cyclic trản trèng hu hÔn 32 2.3.1 XƠy dáng m cyclic trản trèng hu hÔn (n; q) = 2.3.2 XƠy dáng m cyclic trản trèng hu hÔn (n; q) 6= 32 36 LÕI NÂI -„U L˛ thuyát m xuĐt hiằn lƯn Ưu tiản v o nôm 1948 b i mẻt cấng trẳnh ca C E Shannon và l thuyát toĂn hc cho lắnh vác truyÃn thấng T án nay, l thuyát n y  v ang ng gp giÊi quyát nhiÃu vĐn à quan trng thấng tin liản lÔc N ềc ng dng nhiÃu cĂc lắnh vác nh: thấng tin iằn t, thu phĂt thanh, bÊo mêt L thuyát m l mỴt ng nh cıa to¡n hÂc v khoa hÂc iằn toĂn nhơm giÊi quyát tẳnh trÔng lẩi xÊy quĂ trẳnh truyÃn thấng sậ liằu trản cĂc kảnh truyÃn c ẻ nhiạu cao, dng nhng phẽng phĂp tinh xÊo khián phƯn lển cĂc lẩi xÊy c th ềc chnh sa L thuyát m cÃn x l nhng c tẵnh ca m v vêy ph hềp vểi nhng ng dng c th L thuyát m l mẻt nhng lắnh vác quan trng ca toĂn hc, c Ênh h ng án rĐt nhiÃu lắnh vác khoa hc-cấng nghằ v kinh tá-x hẻi Thác tá cho thĐy l thuyát m  vấ cng quan trng t xa xa Thèi nay, vểi sá phĂt trin rĐt nhanh ca cấng nghằ thấng tin, v mÔng internet thẳ m¢ h‚a thÊng tin c ng ‚ng vai tr· quan trng M l mẻt phẽng phĂp bÊo vằ thấng tin, bơng cĂch chuyn i thấng tin t dÔng r (thÊng tin c‚ thº d¹ d ng Âc hiºu ˜Ịc) sang dÔng mè (thấng tin  b che i, nản khÊng thº Âc hiºu ˜Ịc, º Âc ˜Ịc ta c¦n ph£i gi£i m¢ n‚) N‚ giÛp ta c‚ thº b£o v» thÊng tin, º nh˙ng k´ ¡nh cp thÊng tin, dÚ c‚ ˜Òc thÊng tin cıa chÛng ta, cÙng khÊng th hiu ềc nẻi dung ca n M s mang lÔi tẵnh an to n cao hẽn cho thấng tin, c biằt l thèi Ôi internet ng y nay, m thấng tin phÊi i qua nhiÃu trÔm trung chuyn trểc án ềc ẵch Sau Ơy, chng tÊi ch¿ mỴt v i ˘ng dˆng cıa mỴt sË m¢ cˆ thº M¢ ISBN (International Standard Book Number) l m sậ tiảu chuân quậc tá c tẵnh chĐt thẽng mÔi nhĐt xĂc nh ềc cĂc thấng tin và mẻt quyn sĂch bĐt k (ngấn ng ca cuận sĂch, quậc gia xuĐt bÊn, lắnh vác ca cuËn s¡ch, ) M¢ BCH (Bose „ Chaudhuri „ Hocquenghem codes) l mẻt loÔi m cyclic v l loÔi m s˚a lÈi quan trÂng, c‚ kh£ n«ng s˚a ˜Ịc nhi·u lẩi v ềc ng dng rẻng rÂi Lểp m BCH c lểp l m BCH nh phƠn v m BCH khấng nh phƠn Trong sậ nhng m BCH khấng nh phƠn n y, lểp quan trng nhĐt l m¢ Reed - Solomon M¢ Reed - Solomon ˜Ịc Reed v Solomon giểi thiằu lƯn Ưu tiản v o nôm 1960, l mẻt m sa sai thuẻc loÔi m tuyán tẵnh M Reed - Solomon ềc s dng sa c¡c lÈi nhi·u h» thËng thÊng tin sË v l˜u tr˙, bao gÁm: C¡c thi¸t b‡ l˜u tr˙ (bông t, ắa CD, VCD, ), thấng tin di ẻng hay khấng dƠy (iằn thoÔi di ẻng, cĂc èng truyÃn Viba), thÊng tin v» tinh, truy·n h¼nh sË DVB, c¡c modem tậc ẻ cao nh: ADSL, VDSL M Reed - Solomon °c bi»t quan trÂng vi»c s˚a c¡c bit lẩi xÊy gƯn M BCH ềc dng cho c¡c c¥y ATM, h» thËng giao d‡ch cıa cĂc ngƠn h ng, M Hadamard ềc dng vi»c truy·n thÊng tin v h¼nh £nh t¯ c¡c t u vÙ trˆ, c¡c v» tinh v· Tr¡i -§t Trong mấi trèng nhiạu loÔn khấng khẵ lển thẳ thấng tin v h¼nh £nh s³ b‡ b‚p m²o, thay Íi ềc truyÃn mấi trèng nhiạu loÔn khấng khẵ, vẳ thá vai trà ca m Hadamard l rĐt quan trng vi»c kh¡m ph¡ vÙ trˆ C¡c lĨp m¢ cyclic ềc dng quƠn ẻi ca cĂc quậc gia  ‚ng g‚p lĨn tĨi vi»c b£o mªt thÊng tin v truyÃn Ôt thấng tin t quậc gia tểi quƠn ẻi M lềng t ềc giểi thiằu lƯn Ưu tiản v o nôm 1996 b i Shor [6] Trong mĂy tẵnh thấng thèng, d liằu ch ềc lu dểi dÔng v 1, c·n m¡y t½nh l˜Ịng t˚ s˚ dˆng qubits (quantum bits) cho ph²p m¡y t½nh ghi d˙ li»u nhi·u trÔng thĂi cng lc (vẵ d c th l 0, c‚ thº l ho°c c‚ thº cÚng lÛc l v 1), i·u n y cho ph²p m¡y t½nh lềng t x l ềc nhng php tẵnh phc tÔp hẽn Ngèi ta tẵnh toĂn rơng cĂc mĂy tẵnh lềng t s giÊi quyát cĂc vĐn à phc tÔp nhanh hẽn bĐt k mĂy tẵnh c in n o MĂy t½nh l˜Ịng t˚ cÏ b£n khai th¡c c¡c quy tc ca cẽ hc lềng t tông tậc ẻ tẵnh toĂn Viằc xƠy dáng mẻt mĂy tẵnh lềng t văn l mẻt nhiằm v kh khôn nhng bểc Ưu ¢ c‚ nh˙ng th nh cÊng t¯ c¡c tªp o n lển trản thá giểi nh Intel, IBM, Microsoft, v Google Cho án nay, mĂy tẵnh lềng t khấng ch dng lÔi l cuẻc cÔnh tranh và cấng nghằ gia c¡c tªp o n cÊng ngh» lĨn m n‚ c·n l cuẻc cÔnh tranh gia cĂc cèng quậc phc v cho hoÔt ẻng tẳnh bĂo ni riảng v quậc phÃng ni chung Sá èi ca mĂy tẵnh lềng t s l m cho cĂc hằ mêt ni tiáng nh˜ DES (the Data Encryption Standard), RSA, s³ b‡ phĂ tẽng lai gƯn Mêt m DES c th xem l tuy»t Ëi an to n v¼ º gi£i ềc n cƯn phÊi kim tra mẻt danh sĂch rĐt lển cĂc chẳa khoĂ m tiÃm nông Vẵ d náu chng ta s dng mẻt mĂy tẵnh c in vểi 64 bits, s c 264 trÔng thĂi Vểi mẻt mĂy tẵnh c in, c cho l mẩi giƠy kim tra ềc t trÔng thĂi thẳ cng cƯn khoÊng 300 nôm chÔy mĂy liản tc mểi chÔy ềc hát 264 trÔng thĂi- l mẻt khoÊng thèi gian phi thác tiạn Trong , mẻt mĂy tẵnh lềng t dng thuêt toĂn lềng t Grover c th d ng ho n t§t vi»c n y thÌi gian pht Thuêt toĂn m cấng khai RSA ang ềc ng dng rẻng rÂi ngƠn h ng, giao dch trác tuyán v rĐt nhiÃu ng dng an ninh mÔng khĂc Sá an to n ca m RSA nơm chẩ mĂy tẵnh truyÃn thậng khấng th phƠn tẵch nhanh mẻt sậ na nguyản tậ (semiprime) lển n th nh tẵch ca sậ nguyản tậ lển p v q (n = pq) Và mt toĂn hc Ơy l mẻt b i toĂn phc tÔp, chng hÔn phƠn tẵch mẻt sậ ch gm 129 ch sậ thẳ 600 mĂy tẵnh c in  phÊi hềp lác l m viằc liản tc v i thĂng Tuy nhiản, mẻt mĂy tẵnh lềng t dng thuêt toĂn lềng t Shor c th phƠn tẵch mẻt sậ lển hẽn cÊ triằu lƯn kho£ng thÌi gian ngn hÏn cÙng c£ tri»u l¦n Trong lắnh vác sinh hc, khĂi niằm m DNA ềc a lƯn Ưu tiản v o nôm 2003, nhơm gip nhên diằn cĂc mău vêt M DNA s dng mẻt trẳnh tá DNA ngn nơm bẻ gene ca sinh vêt nh l mẻt chuẩi k tá nhĐt gip phƠn biằt hai lo i sinh vêt vểi Nh vêy m DNA l mẻt phẽng phĂp nh danh m n s dng mẻt oÔn DNA chuân ngn nơm bẻ gene ca sinh vêt ang nghiản cu nhơm xĂc nh sinh vêt thuẻc và lo i n o M vÔch DNA rĐt hu ẵch viằc tẳm mậi quan hằ gia cĂc mău mc d chng hƯu nh khấng giậng và hẳnh thĂi M vÔch DNA cng ềc ng dng tÔi hÊi quan nhơm hẩ trỊ vi»c x¡c ‡nh ngn gËc cıa sinh vªt sËng hoc h ng nhêp khâu, ngôn cÊn sá vên chuyn trĂi php cĂc lo i thác vêt v ẻng vêt qu hiám qua biản giểi M DNA gip kim soĂt tĂc nhƠn gƠy hÔi nấng nghiằp, gip nh danh nhanh chậng cĂc lo i gƠy bằnh giai oÔn tiÃm ân (giai oÔn Đu trng), hẩ trề chẽng trẳnh kiºm so¡t s¥u b»nh b£o v» c¥y trÁng Ngo i ra, m DNA gip xĂc nh vêt ch trung gian gƠy bằnh, bÊo vằ lo i nguy cĐp v kim tra chĐt lềng nểc Qua mẻt sậ vẵ d và cĂc lểp m cyclic  nảu trản, gip chng ta thĐy ềc phƯn n o vai trà quan trng ca m cyclic cuẻc sậng, khoa hc kắ thuêt -Ưu tiản, l thuyát m ềc nghiản cu trản trèng hu hÔn v cĂc kát quÊ cẽ bÊn  ềc Ûc k¸t hai quyºn s¡ch cıa Huffman v Berlekamp [5].Sau , cĂc nh toĂn hc  m rẻng nghiản cu và m trản cĂc v nh hu hÔn HƯu hát cĂc nghiản cu têp trung trèng hềp ẻ d i ca m c liản quan án c sậ ca trèng Náu ẻ d i ca m chia hát cho c sậ ca trèng thẳ m ềc gi l m nghiằm lp Náu ẻ d i ca m khấng chia hát cho c sậ ca trèng thẳ m ềc gi l m nghiằm ẽn Nghiản cu và m trản v nh giao hoĂn hu hÔn, c biằt l m nghiằm lp trản lểp cĂc v nh chuẩi hu hÔn cng ềc nhiÃu nh toĂn hc quan tƠm v c¡c nh to¡n hÂc cÙng ¢ ˜a ˜Ịc nhi·u kát quÊ tật Trong luên vôn n y, chng tấi s dng cĂc kát quÊ ca ToĂn hc xƠy dáng v nghiản cu m cyclic trản trèng hu hÔn Nẻi dung chẵnh ca luên vôn l : trẳnh b y sá phƠn tẵch a thc th nh cĂc a thc bĐt khÊ quy trản trèng hu hÔn Sau s dng kát quÊ ca sá phƠn tẵch n y xƠy dáng cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn Luên vôn gm chẽng: Trong chẽng 1, chng tấi trẳnh b y nh nghắa trèng hu hÔn, cĐu trc ca trèng hu hÔn Sau chng tấi trẳnh b y v nh a thc trản trèng hu hÔn Cuậi chẽng chng tấi a mẻt sậ kián th˘c v· a th˘c b§t kh£ quy Trong ch˜Ïng 2, chng tấi trẳnh b y nẻi dung chẵnh ca luên vôn l : phƠn tẵch a thc th nh cĂc a thc bĐt khÊ quy trản trèng hu hÔn, m cyclic, xƠy dáng cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn - tẳm tĐt cÊ cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn Fq, q = pm (p l sậ nguyản tậ bĐt kẳ) chng tấi i tẳm nhng iảan cıa v nh Rn = Fq[X]= hxn 1i : NỴi dung nghiản cu ca luên vôn gn liÃn vểi toĂn cĐp, c biằt l b i toĂn phƠn tẵch a thc th nh nhƠn t rĐt ềc quan tƠm bêc hc ph thấng Luên vôn n y ềc thác hiằn tÔi Trèng -Ôi hc Khoa hc - -Ôi hc ThĂi Nguyản v ho n th nh dểi sá hểng dăn ca Tián sắ Nguyạn Trng Bc Tấi xin ềc b y t lÃng biát ẽn chƠn th nh v sƠu sc tểi ngèi hểng dăn khoa hc ca mẳnh TÊi xin tr¥n trÂng c£m Ïn Ban gi¡m hi»u Tr˜Ìng -Ôi hc Khoa hc - -Ôi hc ThĂi Nguyản, Ban chı nhi»m khoa To¡n „ Tin cÚng c¡c gi£ng vi¶n  tham gia giÊng dÔy,  tÔo mi iÃu kiằn tật nhĐt tấi hc têp v nghiản cu Tấi cÙng xin ch¥n th nh c£m Ïn S Gi¡o dˆc v - o tÔo tnh ThĂi Nguyản, Ban GiĂm hiằu v c¡c Áng nghi»p tr˜Ìng THPT Ho ng QuËc Vi»t, huyằn V Nhai, tnh ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn cho tÊi ho n th nh tËt nhi»m vˆ hÂc têp v cấng tĂc ca mẳnh Cuậi cng tấi xin gi lèi cÊm ẽn tểi gia ẳnh thƠn yảu, cÊm ẽn nhng ngèi bÔn thƠn thiát  gip ễ ẻng viản khẵch lằ tấi suật quĂ trẳnh nghiản cu Xin chƠn th nh cÊm ẽn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 TĂc giÊ Nguyạn Th H Chẽng Mẻt sậ kián thc chuân b 1.1 Trèng hu hÔn -nh nghắa 1.1 Trèng l mẻt têp hềp F cng vĨi hai ph²p to¡n: +; ˜Ịc gÂi l cỴng, v : ềc gi l nhƠn tha mÂn mẻt sậ tiản à Têp F l nhm giao hoĂn vểi php cẻng c phƯn t ẽn v l khấng v ềc kẵ hi»u l 0; Tªp F = Fnf0g cÙng l nh‚m giao hoĂn vểi php nhƠn c phƯn t ẽn v l mẻt v kẵ hiằu l 1; v php nhƠn phƠn phậi vểi php cẻng Mẻt trèng l hu hÔn náu sậ phƯn t ca F l Sậ phƯn t ca F ềc gi l hu hÔn; cĐp ca F: Vẵ d 1.1 (i) Têp hềp cĂc sậ nguyản Z khấng l mẻt trèng vẳ Z khấng khÊ ngh‡ch (ii) C¡c tªp hỊp sË h˙u t¿ Q, sË thác R, sậ phc C cng vểi php cẻng v nhƠn, tÔo th nh mẻt trèng p (iii) Têp hềp p ng kẵn vểi php cẻng v nhƠn Q[ 2] = fa + b : a; b Qg p thÊng th˜Ìng, v cÚng vĨi hai ph²p to¡n n y, Q[ 2] l mẻt trèng, phƯn t khấng l ph¦n t˚ Ëi cıa ph¦n p ph¦n t˚ Ïn v‡ l p + 2; 1+0 2; t˚ p l p v náu p p thẳ nghch Êo a+b a b p x = a + b 6= + b a cıa x l 2 2 2: a 2b a 2b Vẵ d 1.2 Trèng hu hÔn F2 vểi hai phƯn t f0; 1g, php cẻng v php nhƠn khÊ nghch, tc l vểi bĐt kẳ phƯn t f(x) Fpm [x] th¼ ta c‚ i·u kh¯ng i hxp s Fpm [x] p ‡nh sau: ho°c f(x) l kh£ ngh‡ch ho°c f(x) hx 0i : Do ‚ hx s i l mẻt v nh a phẽng vểi iảan tậi Ôi hx 0i : Vẳ vêy Fp [x] l mẻt v nh m s chuÈi T¯ ch¿ sË lÙy linh cıa x H» qu£ 2.1 VÓi = 1; ta c‚ v nh xp l h Fpm [x] hxp s ps ta c‚ i·u ph£ i ch˘ng i minh 1i l mẻt v nh chuẩi v cĂc iảan ca Fpm [x] hxp s 1i c dÔng sau: D E D ED (x 1)0 (x 1)1 (x 1)ps E D T hằ quÊ trản, chng ta thĐy rơng cĂc m cyclic c‚ Ỵ d i Ci = (x 1)i ‚ E (x 1)ps = h0i : s p tr¶n Fpm l i = 0; : : : ; ps V½ dˆ 2.10 X²t p = 19; s = 1; m = 2; = 1: Ta c‚ c¡c i¶an cıa v nh j F192 [x] l i 19 tr¶n F192 l 1) i ‚ j 19; v 19 1i (x 1) ; ‚ j 19, v j Z: Khi , ta thĐy rơng hx cĂc m cyclic c ẻ d j Ci = h(x j Z: Vẵ d 2.11 XƠy dáng m cyclic c ẻ d i trản trèng hu hÔn F3 -a th˘c 3 x = (x 1) = (2 + x) : Suy c‚ m¢ cyclic Î d i t˜Ïng ˘ng vÓi a th˘c sinh sau ¥y: (i) = (ii) + x = + x (iii) (2 + x)2 = + x + x2 (iv) (2 + x)3 = + x3: -a th˘c sinh g(x) = s³ sinh m cyclic chẵnh F33: -a thc sinh g(x) = 2+x3 s³ sinh m¢ cyclic ch¿ gÁm ph¦n t˚ l f000g: 38 -a th˘c sinh g(x) = + x s³ sinh m¢ cyclic C(3; 2): Ma sinh ca m cyclic n y l G = 23 @0 1 A : -a th˘c sinh g(x) = + x + x2 s³ sinh m¢ cyclic C(3; 1): Ma sinh ca m cyclic n y l G13=111: 9 V½ dˆ 2.12 Ta c‚ x = (x 1) = (2 + x) : Suy c‚ 10 m cyclic ẻ d i tẽng ng vểi 10 a th˘c sinh sau ¥y: (i) = (ii) + x = + x (iii) (2 + x)2 = + x + x2 (iv) (2 + x)3 = + x3 (v) (2 + x)4 = + 2x + 2x3 + x4 (vi) (2 + x)5 = + 2x + 2x2 + x3 + x4 + x5 (vii) (2 + x)6 = + x3 + x6 (viii) (2 + x)7 = + x + 2x3 + x4 + 2x6 + x7 (ix) (2 + x)8 = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 (x) (2 + x)9 = + x9: -a th˘c sinh g(x) = s³ sinh m¢ cyclic ch½nh F93: -a th˘c sinh g(x) = + x9 s sinh m cyclic ch gm phƯn t˚ l f000000000g: -a th˘c sinh g(x) = + x s sinh m cyclic C(9; 8): Ma sinh cıa m ¢ 39 cyclic n y l 1 0 0 0 B 0 0 C 02 B B 0 0 0C C B G C =B 0 0 C: B B 0 0 C CC B B B B B 0 0 0 C 0C C C B 0 0 0 B C C B C B 0 0 0 @ C B C A -a th˘c sinh g(x) = + x + x2 s³ sinh m cyclic C(9; 7): Ma sinh ca m cyclic n y l 1 0 0 01 B 1 0 0 C B 0 1 0 0 B G 01110 B B C: C B B C C =B 0 0 0 0 1 C C 0 C B C B 0 0 1 0C B C B C B 0 0 0 1 @ 1C B C A -a th˘c sinh g(x) = + x3 s³ sinh m¢ cyclic C(9; 6): 0 0 0 02 B 0 0 C = B 0 0 0 G C : B C B 0 0 B B B B 0C 0 0 0 B 0 0 0 @ B C B C 0C C C C C A -a th˘c sinh g(x) = + 2x + 2x3 + x4 s³ sinh m¢ cyclic C(9; 5): Ma 40 sinh ca m cyclic n y l G 2 0 1 = B 2 0 C: B 0 B B B 0 2 0 C C C C B C B 0 0 2 @ C B C A -a th˘c sinh g(x) = + 2x + 2x2 + x3 + x4 + x5 s³ sinh m¢ cyclic C(9; 4): Ma sinh ca m cyclic n y l G 2 1 0 02 = B 2 1 C: B B B B 0 0 2 2 1 1 @ C C C C A -a th˘c sinh g(x) = + x3 + x6 s³ sinh m¢ cyclic C(9; 3): Ma sinh ca m cyclic n y l G 0 0 01 01 = B 0 0 0C : @ A B 0 0 1C B C -a th˘c sinh g(x) = + x + 2x3 + x4 + 2x6 + x7 s³ sinh m¢ cyclic C(9; 2): Ma sinh ca m cyclic n y l = 2 1: G 02 @0 2 2 1A -a th˘c sinh g(x) = + x + x + x + x + x + x + x + x8 cyclic C(9; 1): Ma sinh ca m cyclic n y l G19= s³ sinh m¢ 111111111: Vẵ d 2.13 XƠy dáng m cyclic c ẻ d i trản trèng hu hÔn F5 Ta c x5 = (x 1)5 = (x + 4)5 Suy c m cyclic ẻ d i tẽng ng vĨi a th˘c sinh sau ¥y: 41 (i) = (ii) + x = + x (iii) (4 + x)2 = + 3x + x2 (iv) (4 + x)3 = + 3x + 2x2 + x3 (v) (4 + x)4 = + x + x2 + x3 + x4 (vi) (4 + x)5 = + x5: -a th˘c sinh g(x) = s sinh m cyclic chẵnh F55: -a thc sinh s sinh m cyclic ch gm phƯn t˚ l f00000g: -a th˘c sinh g(x) = + x s sinh m cyclic C(5; 4): Ma sinh cıa m¢ cyclic n y l g(x) = 4+x 0 G4 B C = B0 0C : C B 0 @ A 00041 B C B C -a th˘c sinh g(x) = + 3x + x2 s³ sinh m¢ cyclic C(5; 3): Ma sinh ca m cyclic n y l B B C C G 5= : B @ 13100 C A 00131 -a th˘c sinh g(x) = + 3x + 2x2 + x3 s sinh m cyclic C(5; 2): Ma sinh cıa m¢ cyclic n y l G = 25 @0 A : -a th˘c sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 s³ sinh m cyclic C(5; 1): Ma sinh ca m cyclic n y l G15=11111: 42 Vẵ d 2.14 XƠy dáng m cyclic c ẻ d i trản trèng hu hÔn F7 -a thc 7 x = (x 1) : Suy c m cyclic ẻ d i t˜Ïng ˘ng vÓi a th˘c sinh sau ¥y: (i) = (ii) + x = 1+x (iii) ( + x)2 = + 5x + x2 (iv) ( + x)3 = + 3x + 4x2 + x3 (v) ( + x)4 = + 3x x2 + 3x3 + x4 (vi) ( + x)5 = + 5x + 4x2 + 3x3 + 2x4 + x5 (vii) ( + x)6 = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 (viii) ( + x)7 = 1+x : -a th˘c sinh g(x) = s sinh m cyclic chẵnh F77: -a thc sinh g(x) = + x s³ sinh m cyclic ch gm phƯn t l f0000000g: + x s³ sinh m¢ cyclic C(7; 6): Ma sinh ca m 01 1 0 0 B0 1 0 0C -a th˘c sinh g(x) = cyclic n y l G6 B0 = B B 0 0 1 C CC B B B0 B B B0 @ 0 0 0 C 0C C C B -a th˘c sinh g(x) = + 5x + x m¢ cyclic n y l G C : C C A s³ sinh m¢ cyclic C(7; 5): Ma trªn sinh cıa 0 01 7= B C 1000 : B B B B 0 0 5100 C C C B B 0 00 B C C C C @ A 43 -a th˘c sinh g(x) = + 3x + 4x2 + x3 s³ sinh m cyclic C(7; 4): Ma sinh ca m cyclic n y l G =B 01 C: B 0 0 0 4 B C B 1C B C @ A -a th˘c sinh g(x) = + x + 3x + x s³ sinh m¢ cyclic C(7; 3): Ma 3x sinh ca m cyclic n y l G =B B 3 00 1 3 B 1 C : A C C @ -a th˘c sinh g(x) = C + 5x+ 4x + 3x + 2x +x s sinh m cyclic C(7; 2): Ma sinh cıa m¢ cyclic n y l =0 G @ 1: A 21 -a th˘c sinh g(x) = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s³ sinh m¢ cyclic C(7; 1): Ma sinh ca m cyclic n y l G17= 1111111: 44 Kát luên Luên vôn "PhƠn tẵch a th˘c th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy xƠy dáng cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn"  Ôt ềc nhng kát quÊ sau: Trẳnh b y lÔi mẻt sậ khĂi niằm cẽ bÊn và trèng hu hÔn, v nh a thc trản trèng hu hÔn Trẳnh b y mẻt sậ nh lẵ và tẵnh bĐt khÊ quy ca mẻt sậ a thc trản trèng hu hÔn PhƠn tẵch a thc dÔng xn th nh cĂc a thc bĐt khÊ quy trản trèng hu hÔn Fq (n; q) = v (n; q) 6= 1: Trẳnh b y mẻt sậ kát quÊ và m cyclic trản trèng hu hÔn XƠy dáng cĂc m cyclic trản trèng hu hÔn 45 T i liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1] Lả Th Thanh Nh n (2015), L thuyát a thc, NXB -Ôi hc quậc gia H Nẻi [2] Nguyạn ChĂnh T (2006), L thuyát m rẻng trèng v Galois, giĂo trẳnh online, trèng -Ôi hc s phÔm Huá Tiáng Anh [3] J MacWilliams and N J A Sloane, The Theory of Error - Correcting Codes, 10th impression, North Holand, Amsterdam, 1998 [4] W Peterson and E J Weldon, Error-Correcting Codes, Revised, 2nd Edi-tion, Cambridge, Mass, 1972 [5] V Pless and W C Huffman, Handbook of Coding Theory, Elsevier, Am-sterdam, 1998 [6] P W Shor, Fault-Tolerant quantum computation , Proc 37th IEEE Symp on Foundations of Computer Science., pp 56-65, 1996 46 ... mỴt m C ềc gi l -constacyclic náu (C) = C, c nghắa l , C ng dểi php nƠng -constacyclic Khi = 1, m -constacyclic chẵnh l m cyclic, v = 1, m -constacyclic chẵnh l m negacyclic -nh nghắa 2.7... ngău ca mẻt m cyclic cng l mẻt m cyclic Mằnh à 2.3 [3] -ậi ngău ca m cyclic l mẻt m cyclic Chng minh Cho C l cyclic c‚ Ỵ d i n trản F Xem xt mẻt phƯn t bĐt k x C? v y C T¯ C l m¢ cyclic, n 1(y)... a thc bĐt kh£ quy Trong ch˜Ïng 2, chÛng tÊi tr¼nh b y nẻi dung chẵnh ca luên vôn l : phƠn tẵch a th˘c th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy trản trèng hu hÔn, m cyclic, xƠy dáng cĂc m cyclic trản trèng