Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)

Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)Đa thức bất khả quy trên trường Zp thuật toán Berlekamp và phân tích đa thức trên trường Q (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ ĐỨC CẢNH

ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG Zp

THUẬT TOÁN BERLEKAMP VÀ PHÂN TÍCH

ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG Q

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ ĐỨC CẢNH

ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG Zp

THUẬT TOÁN BERLEKAMP VÀ PHÂN TÍCH

ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG Q

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

Chương 2 Thuật toán Berlekamp và bài toán phân tích đa thức

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS Lê Thị ThanhNhàn Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới ngườihướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiềuthời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trongsuốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảngviên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập

và nghiên cứu

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Phòng Giáo dục và Đào tạo huyệnTiên Lãng, Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THCS Vinh Quang,huyện Tiên Lãng, thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giả hoànthành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình

Nhân dịp này, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao họcToán K8B (khóa 2014-2016), cảm ơn gia đình bạn bè đã động viên và giúp

đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập

Mở đầu

Luận văn quan tâm đến bài toán phân tích đa thức với hệ số nguyênthành nhân tử bất khả quy trên Q Đây là một trong những bài toán quantrọng nhất của Lí thuyết đa thức

Ta biết rằng bài toán xét tính bất khả quy của đa thức trên Q có liênquan mật thiết với bài toán xét tính bất khả quy của đa thức trên trường hữuhạn Cho f (x) là đa thức với hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p

là không đúng D Hilbert đã chỉ ra một đa thức bậc 4 bất khả quy trên Q

bất khả quy của đa thức trên trường hữu hạn và sử dụng nó để tìm phân tíchbất khả quy của đa thức trên Q

Mục đích của luận văn là trình bày chi tiết những kết quả chọn lọc trongmột số tài liệu gần đây về đa thức bất khả quy và sự phân tích đa thức thànhnhân tử bất khả quy Trong luận văn này, trước hết chúng tôi xét tính bất khả

được, chúng tôi trình bày một phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửtrên trường Q các số hữu tỷ

Nội dung nghiên cứu của luận văn là hoàn toàn chưa được tiếp cận ở bậcphổ thông và đại học, nhưng gắn liền với toán sơ cấp, đặc biệt là bài toánphân tích đa thức thành nhân tử rất được quan tâm ở bậc học phổ thông.Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo TrongChương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm đa thức bất khả quy và một số tiêu

chuẩn bất khả quy trên Q Chương 2 là nội dung chính của luận văn Mục2.1 dành để nghiên cứu khái niệm trường phân rã của đa thức, từ đó xét cấutrúc của trường hữu hạn Mục tiếp theo mô tả huật toán Berlekamp phântích đa thức thành nhân tử trên trường hữu hạn Mục cuối là ứng dụng kếtquả vào bài toán phân tích đa thức trên trường Q.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Vũ Đức Cảnh

Chương 1

Đa thức bất khả quy

1.1 Khái niệm đa thức bất khả quy

Trước khi trình bày khái niệm đa thức bất khả quy, chúng ta nhắc lạikhái niệm phần tử bất khả quy trong một miền nguyên Cho V là một miền

nguyên và a ∈ V Ta nói a là ước của b nếu tồn tại c ∈ V sao cho b = ac Một ước a của b được gọi là ước thực sự nếu b không là ước của a Phần

tử p ∈ V được gọi là phần từ bất khả quy nếu nó khác 0, không khả nghịch

và không có ước thực sự Từ đây ta có khái niệm đa thức bất khả quy trongvành đa thức V [x] Trong suốt tiết này ta luôn giả thiết V là miền nguyên

Định nghĩa 1.1.1 Cho f (x) ∈ V [x] là đa thức khác 0 và không khả nghịch.

Ta nói f (x) là bất khả quy trên V nếu nó không có ước thực sự Ta nói f (x)

Bổ đề 1.1.2 Đa thức f (x) là bất khả quy nếu và chỉ nếu f (x + a) là bất khả

quy với mọi a ∈ V.

Từ nay đến hết mục này chúng ta làm việc với đa thức có các hệ sốtrên một trường K Trong trường hợp này, các đa thức hằng khác 0 đều khảnghịch Do đó ta có ngay kết quả sau:

Bổ đề 1.1.3 Đa thức f(x) với hệ số trên trường K là bất khả quy nếu và chỉ

Sau đây là tính bất khả quy của các đa thức bậc thấp

Bổ đề 1.1.4 Trên một trường K, các phát biểu sau là đúng.

(i) Đa thức bậc nhất luôn bất khả quy.

(ii) Đa thức bậc 2 và bậc 3 là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó không có nghiệm trong K.

bậc thấp hơn, do đó nó bất khả quy

(ii) Giả sử f (x) có nghiệm x = a ∈ K Vì deg f (x) > 1 nên ta có f (x) =(x − a)g(x), trong đó g(x) ∈ K[x] và deg g(x) = deg f (x) − 1 ≥ 1 Do đó

hai đa thức đó phải có bậc 1 Rõ ràng đa thức bậc 1 trên một trường có

Chú ý rằng phát biểu (ii) trong bổ đề trên là không đúng cho trường hợpbậc của đa thức lớn hơn 3 Cụ thể, nếu f (x) bậc lớn hơn 3 và có nghiệmtrong K thì f (x) khả quy Tuy nhiên, tồn tại những đa thức không có nghiệm

nghiệm trong R nhưng nó khả quy trên R

Từ nay về sau, nếu a là ước của b thì ta kí hiệu là a | b

Mệnh đề 1.1.5 Cho p(x) ∈ K[x] là đa thức có bậc dương Khi đó p(x) bất

khả quy nếu và chỉ nếu p(x) | a(x)b(x) kéo theo p(x) | a(x) hoặc p(x) | b(x) với mọi a(x), b(x) ∈ K[x] Đặc biệt, nếu đa thức bất khả quy p(x) là ước của một tích hữu hạn thì đa thức p(x) phải là ước của ít nhất một trong các đa thức đó.

đều không là bội của p(x) Do p(x) bất khả quy nên gcd(p(x), a(x)) =

1 và gcd(p(x), b(x)) = 1 Vì thế, tồn tại s(x), r(x), e(x), f (x) sao cho 1 =s(x)p(x) + r(x)a(x) và 1 = e(x)p(x) + f (x)b(x) Nhân vế với vế của hai

đẳng thức này ta có

1 = p(x)g(x) + r(x) f (x)a(x)b(x)

với g(x) là một đa thức nào đó Vì p(x) là ước của a(x)b(x) nên đa thức bên

vế phải của đẳng thức trên là bội của p(x), trong khi đó đa thức bên vế trái

là 1 không chia hết cho p(x) Điều này là vô lí

Ngược lại, do p(x) có bậc dương nên p(x) 6= 0 và không khả nghịch Giả

sử p(x) = a(x)b(x) với a(x), b(x) ∈ K[x] Khi đó p(x) | a(x)b(x) Theo giảthiết, p(x) | a(x) hoặc p(x) | b(x) Vì thế p(x) không có ước thực sự, do đó

Định lý cơ bản của Số học nói rằng mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phântích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhấtnếu không kể đến thứ tự các thừa số Kết quả sau đây là một sự tương tự đốivới đa thức

Định lý 1.1.6 Mỗi đa thức dạng chuẩn bậc dương trong K[x] có thể phân

tích được thành tích các đa thức bất khả quy dạng chuẩn và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử.

theo bậc của đa thức Giả sử f (x) ∈ K[x] là đa thức dạng chuẩn bậc d > 0.Nếu d = 1 thì f (x) là bất khả quy, và sự phân tích bất khả quy của f (x) là

Nếu f (x) bất khả quy thì f (x) có sự phân tích bất khả quy là f (x) = f (x) Vìthế ta giả thiết f (x) không bất khả quy Khi đó f (x) = g(x)h(x) với degg(x),

dạng chuẩn Vì thế, f (x) phân tích được thành tích của hữu hạn đa thức bấtkhả quy dạng chuẩn

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của phân tích Giả sử f (x) có hai

sự phân tích thành nhân tử bất khả quy dạng chuẩn

Ta chứng minh bằng sự quy nạp theo n rằng n = m và sau khi đánh lại

Theo giả thiết quy nạp ta có n − 1 = m − 1 và bằng việc đánh số lại thứ tự

Từ định lý trên, ta có kết quả sau

Hệ quả 1.1.7 Cho f (x) ∈ K[x] là đa thức với hệ số cao nhất là an Khi đó

bất khả quy dạng chuẩn, và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử.

Euclid đã chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố Kết quả sau đây làmột sự tương tự cho đa thức bất khả quy

Hệ quả 1.1.8 Trên một trường K bất kỳ, có vô hạn đa thức bất khả quy

dạng chuẩn.

1.2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy trên trường Q

Trong lí thuyết số, bài toán tìm thuật toán tất định với độ phức tạp đa thức

để kiểm tra tính nguyên tố của các số tự nhiên là một trong những bài toánquan trọng nhất Bắt đầu bằng “Sàng Eratosthenes" để tìm các số nguyên

tố nhỏ hơn 100 do nhà toán học cổ Hy Lạp Eratosthenes phát minh ra, trảiqua hàng nghìn năm sau, mãi đến năm 2002 người ta mới tìm được thuậttoán như mong muốn, gọi là Thuật toán kiểm tra nguyên tố AKS Trong líthuyết đa thức, một bài toán quan trọng tương tự là tìm các đa thức bất khảquy trên các trường Q, R, C Nhờ Định lí cơ bản của Đại số “mỗi đa thứcbậc dương với hệ số phức đều có ít nhất một nghiệm phức", chúng ta dễdàng thấy rằng đa thức bất khả quy trên C là và chỉ là các đa thức bậc nhất

Từ Định lí cơ bản của Đại số, ta cũng suy ra rằng các đa thức bất khả quytrên R là và chỉ là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức âm.Tuy nhiên, bài toán xét tính khả quy của các đa thức trên trường Q các

số hữu tỷ cho đến nay vẫn là bài toán chưa được giải quyết trọn vẹn Mụctiêu của mục này là trình bày một số tiêu chuẩn và phương pháp xét tínhbất khả quy của đa thức trên Q như phương pháp sử dụng nghiệm hữu tỷ,phương pháp sử dụng Bổ đề Gauss, tiêu chuẩn Eisenstein

Giả sử f (x) ∈ Q[x] Chú ý rằng f (x) là bất khả quy trên Q khi và chỉkhi a f (x) là bất khả quy, trong đó a là mẫu số chung của các hệ số của

dụng tiêu chuẩn có nghiệm hữu tỷ sau đây để xét tính bất khả quy của đathức trên Q

Bổ đề 1.2.1 Cho f (x) = anxn+ + a1x+ a0 ∈ Z[x] Nếu phân số tối giản

Bổ đề 1.2.2 Cho f (x) = anxn+ + a1x+ a0 ∈ Z[x] và m ∈ Z Nếu phân

số tối giản r/s là nghiệm của f (x) thì r − ms là ước của f (m) Đặc biệt,

(r + s) là ước của f (−1) và (r − s) là ước của f (1).

hạng tử tương ứng, ta có thể phân tích f (x) theo các lũy thừa của (x − m)theo cách sau

Vì thế ta có

Đặt d = gcd(s, r − ms) Vì d là ước chung của s và r − ms nên d là ước của

(i) Giả sử phân số tối giản r/s là nghiệm của f (x) Khi đó ta có r là ước của

10 và s là ước của 4 Suy ra

5

thì đó là nghiệm nguyên(theo (1)), giả sử s là nghiệm của h(y) thì theo (1),

nghiệm của h(y), tức là g(x) không có nghiệm hữu tỷ Do đó g(x) bất khảquy trên Q

Việc xét tính bất khả quy bằng phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ gặp rấtnhiều hạn chế Nếu đa thức có bậc 2 hoặc 3 thì đa thức đó là bất khả quytrên Q khi và chỉ khi nó có nghiệm hữu tỷ Tuy nhiên, nếu bậc của đa thứclớn hơn hay bằng 4 thì phát biểu trên không còn đúng nữa Chẳng hạn,

Một trong những phương pháp hữu hiệu để xét tính bất khả quy của đathức trên Q là sử dụng Bổ đề Gauss Phương pháp này đặc biệt hiệu quả

cho các đa thức không có nghiệm hữu tỷ Trước hết chúng ta phát biểu vàchứng minh Bổ đề Gauss.

Định lý 1.2.4 (Bổ đề Gauss) Cho p(x) ∈ Z[x] Giả sử p(x) = g(x) f (x)

khả quy trên Q thì nó phân tích được thành hai đa thức với hệ số nguyên có bậc thấp hơn.

Dưới đây là một số ví dụ xét tính bất khả quy trên Q bằng việc sử dụng

Bổ đề Gauss

Ví dụ 1.2.5 Đa thức f (x) = x4+ 7x3+ x2+ 7 bất khả quy trên Q

tỷ Vì thế f (x) không là tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc

ba Giả sử f (x) khả quy trên Q Theo Bổ đề Gauss, f (x) có sự phân tích

−c − 7a = 0, ac = 9, a + c = 7 Suy ra a = −7

khả quy trên Q

Ví dụ 1.2.6 Đa thức f (x) = x5+ x3+ x2+ 3 là bất khả quy trên Q

Vì thế f (x) không là tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc bốn.Giả sử f (x) khả quy trên Q Theo Bổ đề Gauss, tồn tại phân tích f (x) =

được c + a = 0, b + d + ac = 1, bc + ad + e = 1, ae + bd = 0, be = 3

Vì be = 3 nên chỉ có thể xảy ra 4 trường hợp sau

Vì vậy f (x) bất khả quy

Tiêu chuẩn sau đây cũng rất hay được sử dụng để xét tính bất khả quycủa đa thức trên Q

Định lý 1.2.7 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho f = anxn+ + a1x+ a0∈ Z[x].

Giả sử tồn tại một số nguyên tố p thỏa mãn các tính chất

Khi đó f(x) là bất khả quy trên Q.

diễn f (x) = g(x)h(x), trong đó g(x) = bmxm+ + b1x+ b0 ∈ Z[x] và

Ví dụ 1.2.8 (i) Đa thức x2016+ 2015 là bất khả quy trên Q theo tiêu chuẩnEisenstein với p = 5

với p = 5

theo tiêu chuẩn Eisenstein với p = 3

chuẩn Eisenstein với p = 2

Chương 2

Thuật toán Berlekamp và bài toán

phân tích đa thức thành nhân tử

Trong Lí thuyết số, một trong những bài toán khó nhất và lâu đời nhất làtìm thuật toán hữu hiệu phân tích số tự nhiên ra thừa số nguyên tố Bài toánnày cho đến nay vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn Trong lí thuyết đa thức,bài toán tương tự "tìm thuật toán phân tích đa thức trên một trường thànhnhân tử bất khả quy" cũng là một trong những bài toán khó nhất Bài toánnày mới chỉ được giải quyết trong một số trường hợp đặc biệt mà chưa cólời giải tổng quát

Mục tiêu của chương này là trình bày Thuật toán Berlekamp phân tích

đa thức thành nhân tử trên trường hữu hạn và ứng dụng để phân tích đa thứcthành nhân tử trên trường Q

2.1 Trường phân rã của đa thức, trường hữu hạn

Trong suốt tiết này luôn giả thiết K là một trường

Định nghĩa 2.1.1 (i) Nếu K là một trường con của E thì ta gọi E là một

(ii) Giả sử E/K là một mở rộng trường Xem E là một không gian véc tơ

trên K Nếu E là K- không gian véc tơ hữu hạn chiều thì ta nói E là mở rộng

Chú ý 2.1.2 Chú ý rằng nếu E/K và K/F là các mở rộng hữu hạn, trong

đó E, K, F là các trường thì

[E : F] = [E : K][K : F]

Cho E/K là mở rộng trường và α ∈ E Kí hiệu K(α) là giao của tất cảcác trường con của E chứa K và α, khi đó K(α) là trường con bé nhất của

số trong K) thì K(α) = K[α]

Định nghĩa 2.1.4 Giả sử E/K là một mở rộng trường và f (x) ∈ K[x] là đa

thức bậc n ≥ 1 Ta nói f (x) là phân rã trên E nếu

trường con thực sự nào của E

Ví dụ 2.1.5 Cho đa thức f (x) = x3− 7 ∈ Q[x] Khi đó trường phân rã của

7 và i

Bổ đề 2.1.6 Với mọi đa thức f (x) ∈ K[x] bất khả quy trên trường K, tồn tại

một trường E chứa K và chứa một nghiệm của f (x).

bởi f (x) Vì K[x] là một vành giao hoán nên T cũng là một vành giao hoán

có đơn vị là 1 = 1 + I Rõ ràng ta có 1 6= 0, ta sẽ chứng minh T là một

trường Thật vậy, giả sử g(x) = g(x) + I là một phần tử khác không của T

quy trên K nên f (x) và g(x) nguyên tố cùng nhau Vì vậy tồn tại các đa thứcr(x), s(x) ∈ K[x] sao cho ta có f (x)r(x) + g(x)s(x) = 1 Lấy các lớp tươngứng trong vành thương ta được

có thể xem K như là một trường con của trường T Ngoài ra nếu f (x) =

Vậy phần tử x = x + I ∈ T là một nghiệm của đa thức f (x) Do đó tồn tại

Định lý 2.1.7 Với mỗi đa thức f (x) ∈ K[x]) có bậc n ≥ 1, tồn tại một trường

phân rã f (x) trên K.

cho f (x) phân rã trên E Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo n Cho

đã đúng cho các đa thức bậc nhỏ hơn n Nếu f (x) bất khả quy thì theo Bổ

đề 2.1.6, tồn tại một trường T chứa K và chứa một nghiệm α của f (x) Suy

ra f (x) = (x − α)g(x) với g(x) ∈ T [x] có bậc là n − 1 Theo giả thiết quy

E Do đó E là trường chứa K và chứa đủ n nghiệm của f (x) Giả sử f (x)

là trường chứa K và chứa đủ n nghiệm Vậy, khẳng định được chứng minh.Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của trường phân rã Theo khẳng định

Chú ý 2.1.8 (xem [1]) Trường phân rã của một đa thức trên một trường là

Cho K là trường Đặc số của K là số nguyên dương nhỏ nhất k (nếu tồn

tại) sao cho k1 = 0, trong đó 1 ∈ K là phần tử đơn vị Nếu không tồn tại số

nguyên dương k thỏa mãn k1 = 0 thì ta nói K có đặc số 0 Chú ý rằng mỗi

trường hoặc có đặc số 0 hoặc có đặc số là một số nguyên tố Rõ ràng Q có

Bổ đề 2.1.9 Nếu K là trường hữu hạn có q phần tử thì K có đặc số p nguyên

tố và q là một lũy thừa của p.

tập {n1 | n ∈ N} là một tập con vô hạn của K, vô lí Do đó K có đặc số pnguyên tố Xét ánh xạ ϕ : Z → K cho bởi ϕ(n) = n1 Khi đó ϕ là một đẳngcấu vành và

Kerϕ = {k ∈ Z | k1 = 0} = pZ

Định lý 2.1.10 (i) Nếu p là số nguyên tố thì với mỗi số nguyên dương d,

(ii) Nếu K và T là hai trường hữu hạn cùng có q phần tử thì chúng có cùng

trường Ta có g0(x) = qxq−1− 1, trong đó g0(x) là đạo hàm của g(x) Khi đó

có nghiệm bội trong F, tức là E có đúng q phần tử

Bây giờ ta cần chỉ ra E là một trường Nếu p lẻ thì q lẻ và do đó

g(−1) = −1 + 1 = 0

Vì thế −1 ∈ E Nếu p chẵn thì p = 2 (vì p nguyên tố) Suy ra

Do đó −1 ∈ E Vậy trong mọi trường hợp ta đều có −1 ∈ E Cho a, b ∈ E

trường

(ii) Vì K là trường hữu hạn nên K có đặc số p nguyên tố và q là một lũy thừa

là một lũy thừa của p0 Vì thế p, p0 là ước nguyên tố duy nhất của q Suy ra

Như vậy, với q là số tự nhiên, tồn tại (duy nhất) một trường có q phần tửnếu và chỉ nếu q là lũy thừa của một số nguyên tố Do đó tồn tại trường có

tử

Ví dụ 2.1.11 Xây dựng trường có 4 phần tử.