Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)

Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banch (Luận văn thạc sĩ)

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học NGUYN MINH HẢI HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TO¸N øng dơng Mó s: 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ to¸n häc Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY TH¸I NGUY£N - 2015 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 1.1 1.2 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu 10 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu 10 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh 12 1.2.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 12 1.2.2 Bài toán điểm bất động 15 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 17 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 2.1 2.2 21 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1.1 Mô tả phương pháp 21 2.1.2 Sự hội tụ 22 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 28 2.2.1 28 Phương pháp lặp ẩn 2.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 BẢNG KÝ HIỆU X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A Fix(T ) Tập điểm bất động toán tử T H khơng gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Mở đầu Cho X không gian Banach thực Ký hiệu X ∗ không gian liên hợp X, C tập lồi đóng khác rỗng X, A : X → X ánh xạ phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu không gian Banach (viết tắt VI∗ (A, C)) phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ X thỏa mãn: x∗ ∈ C : Ax∗ , j(x − x∗ ) ≥ ∀x ∈ C, (0.1) ∗ j(x − x∗ ) ∈ J(x − x∗ ), J : X → 2X ánh xạ đối ngẫu X Nếu X := H khơng gian Hilbert thực bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trở thành tốn tìm phần tử x∗ ∈ H thỏa mãn x∗ ∈ C : Ax∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (0.2) Bài toán (0.2) ký hiệu VI(A, C) Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) đưa nghiên cứu Stampacchia (xem [8]) vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số nhiều toán kinh tế kỹ thuật Mặc dù có nhiều kết nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân, việc cải tiến phương pháp nhằm gia tăng hiệu ln đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong [4] bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) không gian Banach lồi trơn tương đương với tốn điểm bất động: x∗ = QC (x∗ − µAx∗ ), (0.3) µ > số tùy ý QC ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ X lên C Do đó, phương pháp chiếu số biến thể phương pháp dùng để giải bất đẳng thức biến phân (0.1) Tuy nhiên, ánh xạ co rút không giãn theo tia khơng dễ dàng tính tốn C tập lồi đóng X Để giảm hạn chế này, không gian Hilbert, ánh xạ co rút không giãn phép chiếu mêtric PC chiếu X lên C, Yamada [11] giả thiết C tập điểm bất động ánh xạ không giãn T : H → H đưa phương pháp lai đường dốc (hybrid steepest-descent) giải bất đẳng thức biến phân VI(A, C) Phương pháp phát triển từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ ánh xạ lên họ ánh xạ Chú ý rằng, tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn, nói chung, tốn đặt khơng chỉnh Do đó, tốn bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) hay VI(A, C), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa nghiệm tốn không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải toán này, phải sử dụng phương pháp giải ổn định Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [3] tài liệu trích dẫn) Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại kết nghiên cứu [9] TS Nguyễn Thị Thu Thủy hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn không gian Banach Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân không gian Banach" nhằm giới thiệu số khái niệm tính chất khơng gian Banach lồi đều, trơn đều; Ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ khơng giãn; Bài tốn đặt khơng chỉnh, toán điểm bất động bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[3] Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu" nhằm giới thiệu bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ khơng giãn; trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh lặp Nội dung chương viết từ báo [9] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường PTDT Nội trú cấp II-III Bắc Quang, Hà Giang quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học Tốn K7A đồn kết, đùm bọc giúp đỡ tồn khóa học Cuối xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình tơi, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Thành đạt q mà tơi muốn dành tặng gia đình thân yêu Tác giả Nguyễn Minh Hải Luận văn đầy đủ file: Luận văn full ... "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu" nhằm giới thiệu bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động chung họ đếm ánh xạ khơng giãn; trình bày hai phương pháp giải bất đẳng thức. .. 15 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 17 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 2.1 2.2 21 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1.1 Mô tả phương pháp... điệu 10 Bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh 12 1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh 12 1.2.2 Bài toán điểm bất động 15 1.2.3 Bất đẳng thức biến phân