Untitled BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS TS Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS TS Nguyễn Bường Các kết trình bày luận án chưa cơng bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Phạm Thanh Hiếu ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên (ĐHTN) hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu, thơng qua giảng seminar tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu GS TSKH Phạm Kỳ Anh, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TSKH Đinh Nho Hào, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TS Trần Vũ Thiệu, GS TS Nguyễn Văn Hiền, GS TS Jean Jacques Strodiot, PGS TS Cung Thế Anh, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TS Phạm Ngọc Anh, PGS TS Hà Trần Phương, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Nguyễn Công Điều, TS Vũ Mạnh Xuân TS Trịnh Thị Diệp Linh Từ đáy lịng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Bộ phận đào tạo Sau đại học - Ban đào tạo ĐHTN, Bộ phận đào tạo Sau đại học - Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm (ĐHSP), Ban Giám hiệu Trường ĐHSP - ĐHTN Ban Giám hiệu Trường Đại học Nông Lâm (ĐHNL) - ĐHTN tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Trường ĐHSP Khoa Khoa học - Trường ĐHNL ĐHTN toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu, seminar hồn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Phạm Thanh Hiếu iii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh sách ký hiệu chữ viết tắt Danh sách hình vẽ i ii iii v vii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng hình học khơng gian Banach 7 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Không gian Banach lồi trơn 1.1.3 Ánh xạ đối ngẫu 12 1.1.4 Giới hạn Banach 14 1.1.5 Ánh xạ liên tục Lipschitz ánh xạ j-đơn điệu 15 1.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn toán Cauchy với ánh xạ m-j-đơn điệu 18 1.2.1 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 18 1.2.2 Bài toán Cauchy với ánh xạ m-j-đơn điệu 20 1.3 Bất đẳng thức biến phân cổ điển số toán liên quan 21 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển 21 iv 1.3.2 Một số toán liên quan 21 1.4 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 24 1.4.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 24 1.4.2 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 25 1.4.3 Phương pháp lai ghép đường dốc 27 1.4.4 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 29 Kết luận chương 30 Chương Phương pháp lai ghép đường dốc cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 32 2.1 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc 32 2.2 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 48 2.3 Ví dụ số minh họa 60 Kết luận chương 67 Chương Phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach 69 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov 69 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính 76 3.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 83 3.4 Ví dụ số minh họa 86 Kết luận chương 89 Kết luận chung đề nghị 90 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 91 Tài liệu tham khảo 92 v Danh sách ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E R tập số thực R+ tập số thực không âm sgn hàm dấu ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng c khơng gian dãy số hội tụ vi c0 không gian dãy số hội tụ C[a, b] không gian hàm liên tục đoạn [a, b] lp , ≤ p < ∞ không gian dãy số khả tổng bậc p l∞ không gian dãy số bị chặn Lp [a, b], ≤ p < ∞ không gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] L∞ không gian hàm bị chặn d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } lim inf xn giới hạn dãy số {xn } αn ց α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 x n → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 x n ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Jq ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f Wpm (Ω) không gian Sobolev n số bước lặp int(C) phần tập hợp C CVI(F, C) bất đẳng thức biến phân cổ điển tập C VI(F, C) bất đẳng thức biến phân tập C với F : E → E ∗ VI∗ (F, C) bất đẳng thức biến phân tập C với F : E → E n→∞ n→∞ vii Danh sách hình vẽ 2.1 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.8) (2.9) 65 2.2 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.8) (2.10) 65 2.3 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.8) (2.32) 66 2.4 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (2.32) (2.46) 3.1 3.2 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (3.3) (3.14) 88 So sánh sai số tuyệt đối phương pháp (3.3) (3.23) 89 67 Mở đầu Cho H không gian Hilbert, C tập lồi đóng H F : H → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality), ký hiệu CVI(F, C), phát biểu sau: Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn: hF x∗ , x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (0.1) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (Lions Stampacchia, 1967 [52]; Stampacchia, 1964 [68]), đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân ln chủ đề mang tính thời sự, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vai trị quan trọng tốn lý thuyết tốn học nhiều ứng dụng thực tế Bất đẳng thức biến phân công cụ quan trọng để nghiên cứu toán cân chẳng hạn toán cân mạng giao thơng [35], [58], tốn cân thị trường độc quyền nhóm, tốn cân tài [56] toán cân di cư [11], [48] Các nghiên cứu bất đẳng thức biến phân chia theo hai hướng bao gồm tồn nghiệm (Chen, 1992 [29]; Giannessi, 2000 [37]) phương pháp giải bất đẳng thức biến phân Cho đến người ta thiết lập nhiều kĩ thuật giải bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn phương pháp chiếu Lions (1977) [51], nguyên lý toán phụ Cohen (1980) [33], phương pháp điểm gần kề Martinet (1970) [55], phương pháp điểm gần kề quán tính Alvarez Attouch (2001) [6] đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov (Browder, 1966 ... phương pháp giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach mở rộng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân từ không gian Hilbert sang không gian Banach chủ đề cần quan tâm Việc mở rộng bất đẳng. .. HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHÓM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN... 21 1.4 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 24 1.4.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 24 1.4.2 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 25 1.4.3 Phương pháp lai ghép