ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà THÁI NGUYÊN - 2020 iii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn T.S Nguyễn Song Hà Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy T.S Nguyễn Song Hà (Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên ), Thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3, bạn học viên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đoàn Thị Hải Ninh iv Mục lục Trang bìa phụ ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Danh sách bảng v vi Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc hình học khơng gian Banach 2 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.3 Ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng 11 16 Chương Phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tương đối 23 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép 2.2 Phương pháp lặp Halpern-Mann 23 31 2.3 Ví dụ minh họa 38 Kết luận chung đề nghị 44 Tài liệu tham khảo 45 v Danh mục ký hiệu chữ viết tắt E Không gian Banach thực E∗ Không gian đối ngẫu E E ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai E PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C ΠC (x) Phép chiếu suy rộng phần tử x lên tập C Fix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn * x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x kxk Chuẩn phần tử x hx∗ , xi Giá trị x∗ ∈ E ∗ x ∈ E J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E I Ánh xạ đơn vị E SE Mặt cầu đơn vị E lim inf xn Giới hạn dãy {xn } lim sup xn Giới hạn dãy {xn } n→∞ n→∞ vi Danh sách bảng 2.1 Kết tính tốn cho phương pháp (2.14) 40 2.2 Kết tính tốn cho phương pháp (2.15) 42 Mở đầu Luizen Egbertus Jan Brouwer, nhà Toán học người BaLan, người đặt móng cho nghiên cứu lí thuyết điểm bất động Kết quan trọng đầu tiên, "Nguyên lí điểm bất động Brouwer" ơng cơng bố năm 1912 Đó định lý trung tâm lý thuyết điểm bất động nguyên lý giải tích phi tuyến Ngày có năm cách chứng minh khác cho nguyên lý tiếng hàng chục định lý tương đương tìm Trong suốt 100 năm qua, lí thuyết dành quan tâm đặc biệt gắn liền với tên tuổi nhiều nhà Toán học lớn E Picard, L.E.J Brouwer, S Banach, J Schauder, S Kakutani, A.N Tikhonov, Ky Fan, F.E Browder, K Goebel, W.A Kirk, Nó đóng vai trị then chốt nhiều nghiên cứu thuộc lĩnh vực lí thuyết Tốn học khác như: lí thuyết tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, tốn minimax, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, Bên cạnh đó, lí thuyết công cụ hữu hiệu để giải nhiều mơ hình tốn thực tiễn như: kiểm sốt lượng hệ thống mạng viễn thông CDMA, xử lí ảnh, xử lí tín hiệu, mạng giao thơng, y sinh, Mục đích luận văn trình bày lại có hệ thống số phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tương đối không gian Banach lồi trơn Với mục tiêu vậy, lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1, dành để hệ thống lại kiến thức cấu trúc hình học khơng gian Banach, ánh xạ khơng giãn tương đối phép chiếu suy rộng, nhằm phục vụ cho việc cụ thể hóa nội dung chương sau luận văn Chương dùng để trình bày phương pháp chiếu lai ghép phương pháp lặp Halpern-Mann tìm điểm bất động tốn nêu ví dụ số minh họa Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành ba phần: Mục 1.1 trình bày lại số khái niệm kết cấu trúc hình học khơng gian Banach Những tính chất cần thiết ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc cụ thể hóa Mục 1.2 Phần cuối chương, Mục 1.3 dành để giới thiệu lớp ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu suy rộng không gian Banach 1.1 Cấu trúc hình học khơng gian Banach Cho E không gian Banach thực, E ∗ E ∗∗ tương ứng không gian đối ngẫu không gian đối ngẫu thứ hai E Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ E gọi lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Hay nói cách khác, tập C ⊆ E lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D C I B A G J K E H F Hình 1.1 Tập lồi tập khơng lồi (Quan sát hình bên tay phải, ta thấy tập khơng lồi đoạn nối hai điểm I H có chứa phần JK khơng nằm tập đó) Ví dụ 1.1 Những ví dụ đơn giản tập lồi nửa không gian đóng hình cầu đóng Dạng biểu diễn giải tích tập hợp là: ∆ := {x ∈ E : hx∗ , xi ≤ α}, S[x0 , r] := {x ∈ E : kx − x0 k ≤ r}, đó, x∗ ∈ E ∗ , x0 ∈ E, α ∈ R số thực r > cố định cho Định nghĩa 1.2 Dãy {xk } ⊂ E gọi i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E lim kxk − x0 k = 0, k→∞ ta kí hiệu xk → x0 ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E lim hxk , x∗ i = hx0 , x∗ i ∀x∗ ∈ E ∗ , k→∞ ta kí hiệu xk * x0 Nhận xét 1.1 Nếu dãy {xk } ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E hội tụ yếu tới x0 ∈ E Khẳng định ngược lại E không gian hữu hạn chiều Ví dụ 1.2 Dưới ví dụ dãy hội tụ yếu không hội tụ mạnh Xét E = l2 {xk } dãy l2 xác định xk = (0, 0, 0, , 1, 0, ) k ∈ N, thành phần trừ thành phần vị trí thứ k tương ứng Trước hết, để ý E ∗ = l2 ∀x∗ = (y1 , y2 , , yk , ) ∈ l2 ta có lim hxk , x∗ i = lim yk = k→∞ k→∞ Do đó, xk * k → ∞ Tuy nhiên, {xk } không hội tụ mạnh kxk k = với k ∈ N Nhận xét 1.2 Trong không gian Hilbert, dãy {xk } thỏa mãn xk * x0 kxk k → kx0 k k → ∞ xk → x0 Thật vậy, ta có kxk − x0 k2 = hxk − x0 , xk − x0 i = kxk k2 + kx0 k2 − 2hxk , x0 i Cho k → ∞ ta nhận kxk − x0 k → Mệnh đề 1.1 [1, 3] Cho E không gian Banach thực {xk } ⊂ E Khi đó, xk * x0 {xk } bị chặn kx0 k ≤ lim inf kxk k k→∞ Định nghĩa 1.3 Tập C ⊆ E gọi đóng với dãy {xk } C mà xk → x0 x0 ∈ C Những vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach phần tham khảo chủ yếu tài liệu [1, 3] Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E gọi lồi với < ε ≤ bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thỏa mãn tồn số δ = δ() > cho k(x + y)/2k ≤ − δ D B δ A x A≡ y x+y O Hình 1.2 Minh họa hình cầu đơn vị khơng gian R2 lồi Ví dụ 1.3 Khơng gian Hilbert H không gian lồi Thật vậy, từ quy tắc hình bình hành khơng gian Hilbert, ta có kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) − kx − yk2 ∀x, y ∈ H Giả sử với < ε ≤ bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thỏa mãn Khi đó, ta nhận kx + yk2 ≤ − ε2