(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

đại học tháI nguyên TRNG I HC KHOA HC  - Lý minh thïy XÊp xØ điểm bất động ánh xạ không giÃn không gian hilbert luận văn thạc sĩ toán học TháI nguyên, 2014 Mục lục Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mở đầu Bài toán điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn 1.3 Bài toán điểm bất động 12 1.3.1 Bài toán điểm bất động 12 1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 15 Một số bổ đề bổ trợ 18 1.4 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn 19 2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên 19 2.2 Điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn 26 2.3 Phương pháp lai ghép thu hẹp 33 Kết luận 35 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tận tâm nhiệt tình Thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Lý Minh Thùy DANH MỤC KÝ HIỆU X Không gian Banach thực H Không gian Hilbert thực ∅ Tập rỗng ∀x Với x ∃x Tồn x D(T ) Miền xác định toán tử T Fix(T ) Tập điểm bất động toán tử T xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x Dãy {xn } hội tụ yếu tới x MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán chấp nhận lồi, toán cân Cho H không gian Hilbert thực;C tập lồi,đóng,khác rỗng H; T : C → H ánh xạ phi tuyến Điểm x∗ ∈ C thỏa mãn T x∗ = x∗ gọi điểm bất động ánh xạ T Trong nhiều trường hợp, việc giải phương trình đưa tốn tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn nghiệm phương trình tốn tử Ax = f , A : H → H ánh xạ phi tuyến, f phần tử thuộc H, điểm bất động ánh xạ S xác định Sx = Ax + x − f với x ∈ H Lý thuyết điểm bất động vấn đề xấp xỉ điểm bất động vấn đề thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày số kết Giáo sư Nguyễn Bường xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức khơng gian Hilbert, tốn điểm bất động số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ Trong chương 2, chúng tơi trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Đóng góp luận văn đọc, dịch, tổng hợp kiến thức tài liệu [2] [3] Toàn phần chứng minh định lý chương làm rõ từ kết nghiên cứu công bố [2] [3] Chương Bài toán điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương này, trước hết giới thiệu không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn không gian Hilbert nhằm trang bị kiến thức cần thiết cho việc trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng giãn Tiếp đó, chúng tơi trình bày tốn điểm bất động ánh xạ không giãn số phương pháp lặp cổ điển giải toán phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa phương pháp lặp Halpern Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1]-[7] 1.1 Không gian Hilbert Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm số kết không gian Hilbert thực H Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng H ánh xạ, ký hiệu h·, ·i : H × H → R thỏa mãn điều kiện sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0, hx, xi = ⇔ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng h·, ·i gọi khơng gian tiền Hilbert Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn: ||x|| = hx, xi , ∀x ∈ H ii) Đẳng thức hình bình hành ln thỏa mãn khơng gian tiền Hilbert H: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ), ∀x, y ∈ H Ngược lại, khơng gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳng thức hình bình hành ta xây dựng tích vơ hướng hx, yi = (||x + y||2 − ||x − y||2 ), ∀x, y ∈ X Khi X trở thành không gian tiền Hilbert iii) Trong không gian tiền Hilbert H bất đẳng thức Schwarz thỏa mãn: |hx, yi| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ H Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.1 Các khơng gian Rn , L2 [a, b] không gian Hilbert với tích vơ hướng xác định tương ứng là: hx, yi = hx, yi = n X xi yi , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ; i=1 Zb x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ L2 [a, b] a Định nghĩa 1.3 Dãy {xn }∞ n=1 không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H n→∞ lim hxn , yi = hx, yi, với y ∈ H Định nghĩa 1.4 Tập hợp C ⊂ H gọi lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Ví dụ 1.2 Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu tập lồi Định nghĩa 1.5 Tập C ⊂ H gọi tập đóng dãy hội tụ {xn } ⊂ C có giới hạn thuộc C, tức l ă ô {xn } C : xn x ⇒ x ∈ C Ví dụ 1.3 Hình cầu đóng B(x, r) tâm x, bán kính r tập đóng Bổ đề 1.1 Giả sử H khơng gian Hilbert thực, C tập lồi, đóng H điểm x, y, z ∈ H Với mt s thc a bt k, hp ă 2 v ∈ C : ky − vk ≤ kx − vk + hz, vi + a tập lồi đóng H « 1.2 Ánh xạ khơng giãn Cho H không gian Hilbert thực, T : H → H ánh xạ với miền xác định D(T ), miền giá trị R(T ) Định nghĩa 1.6 Ánh xạ T : H → H gọi liên tục Lipschitz tồn số L > thỏa mãn kT x − T yk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ D(T ) (1.1) Số L gọi số Lipschitz T Nếu L < T ánh xạ co L = T ánh xạ không giãn, nghĩa là: kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T ) (1.2) Sau khái niệm số tính chất phép chiếu mêtric Định nghĩa 1.7 Cho C tập lồi ,đóng khơng gian Hilbert thực H, phép chiếu mêtric PC từ H lên C cho tương ứng x ∈ H với phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn kx − PC (x)k ≤ kx − yk với y ∈ C Bổ đề 1.2 Cho C tập lồi, đóng khơng gian Hilbert thực H, với x ∈ H, tồn z ∈ C cho ||z−x|| ≤ ||y−x||, với y ∈ C z = PC (x) hz − x, y − zi ≥ 0, với y ∈ C Định lý 1.1 Nếu C tập lồi ,đóng , khác rỗng khơng gian Hilbert H tồn phần tử x0 C cho kx0 k ≤ kxk với x ∈ C ... toán điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn 1.3 Bài toán điểm bất động 12 1.3.1 Bài toán điểm bất động. .. ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức khơng gian Hilbert, tốn điểm bất động số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ Trong. .. Bài toán điểm bất động Bài toán điểm bất động Định nghĩa 1.8 Phần tử x ∈ D(T ) không gian Hilbert H gọi điểm bất động ánh xạ T : D(T ) ⊆ H → H x = T x Ký hiệu tập điểm bất động ánh xạ T Fix(T