ISSN 1859 3100 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập 14, Số 3 (2017) 76 87 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE NATURAL SCIEN[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC ISSN: 1859-3100 JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY Tập 14, Số (2017): 76-87 Vol 14, No 03 (2017): 76-87 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HỖN HỢP CHO HỌ ÁNH XẠ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN (Em) TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trương Cẩm Tiên, Nguyễn Trung Hiếu* Khoa Sư phạm Toán-Tin – Trường Đại học Đồng Tháp Ngày Tòa soạn nhận bài: 21-11-2016; ngày phản biện đánh giá: 27-12-2016; ngày chấp nhận đăng: 24-3-2017 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi thiết lập định lí hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) không gian Hilbert Từ định lí này, chúng tơi suy số kết hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt Từ khóa: dãy lặp hỗn hợp, ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em), không gian Hilbert ABSTRACT Covergence of hybird iteration for a family of mappings satisfying condition (Em) in Hilbert spaces In this paper, a convergence theorem of hybird iteration for a family of mappings satisfying condition (Em) in Hilbert space is stated Some results for the convergence of hybird iteration for mappings satisfying condition (Em) in Hilbert spaces are derived from this theorem In addition, an example is provided to illustrate the results obtained Keywords: hybird iteration, mapping satisfying condition (Em), Hilbert space Giới thiệu Trong Lí thuyết điểm bất động, vấn đề xấp xỉ điểm bất động khảo sát hội tụ cho ánh xạ không giãn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả ngồi nước Chìa khóa quan trọng xấp xỉ dãy lặp Một dãy lặp cho việc xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn dãy Mann Năm 1979, Reich [1] khảo sát số điều kiện đủ cho việc xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn dãy lặp Mann Lưu ý rằng, hội tụ dãy lặp Mann điểm bất động ánh xạ không giãn [1] hội tụ yếu Do đó, nhiều tác giả quan tâm xây dựng * Email: ngtrunghieu@dthu.edu.vn TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 7687 dãy lặp tổng quát dãy lặp Mann cho hội tụ dãy lặp hội tụ mạnh Năm 2003, Nakajo Takahashi [2] giới thiệu loại dãy lặp gọi dãy lặp hỗn hợp, đồng thời thiết lập hội tụ mạnh cho ánh xạ không giãn không gian Hilbert Năm 2008, Takahashi cộng [3] mở rộng kết [2] cho họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Bên cạnh việc xây dựng dãy lặp tổng quát, nhiều tác giả nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn Năm 2008, Suzuki [4] giới thiệu mở rộng ánh xạ không giãn gọi điều kiện (C) thiết lập số kết ban đầu hội tụ cho điều kiện (C) Năm 2011, Garcia-Falset cộng [5] giới thiệu tổng quát điều kiện (C) gọi điều kiện (Eμ ) Đồng thời, số kết ban đầu hội tụ cho điều kiện (Eμ ) thiết lập [6] Trong báo này, chúng tơi thiết lập định lí hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) không gian Hilbert Từ định lí này, chúng tơi suy số kết hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng viết Bổ đề 1.1 ([7], Lemma 1.1) Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với mọiu, v Ỵ H l Ỵ [0,1], ta có (1) ||u - v||2 = | |u|| +||v|| - u, v = | |u||2- | |v| |2 u - v, v - (2) ||l u + (1 l )v||2 = l ||u||2 + (1 - l )||v||2 - l (1 l )|| u v||2 Bổ đề 1.2 ([8], p.338) Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H Khi đó, với x Î H, tồn phần tử P x Î C C ||x - PC x|| = inf{||x - y|| : y Ỵ C } Ta gọi ánh xạ PC cho phép chiếu từ H lên C Bổ đề 1.3 ([8], Lemma 1.3) Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H Khi đó, z = PC x x - z, z y ³ với TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM y Ỵ C Trương Cẩm Tiên tgk Định nghĩa 1.4 ([5], p.185) Cho H không gian Hilbert thực, C tập khác rỗng H : C ® ánh xạ Khi đó, ánh xạ T gọi ánh xạ không T C giãn C ||T x - Ty|| £ ||x - y|| với x, y Ỵ C Định nghĩa 1.5 ([5], Definition 2) Cho H không gian Hilbert thực, C tập khác rỗng H : C ® ánh xạ Khi đó, ánh xạ T gọi thỏa mãn điều T C kiện (Em) C tồn m ³ ||x - Ty|| £ m||x - cho Tx||+ ||x - y|| với x, y Ỵ C Nhận xét 1.6 ([5], p.186) Nếu T ánh xạ không giãn C T thỏa mãn điều kiện (Em) C với m = Ví dụ sau chứng tỏ tồn ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) khơng ánh xạ khơng giãn Ví dụ 1.7 Cho C = [0, 2] tập ¡ ánh xạ T :C ® C xác định ì x ¹ Tx =í ï ïỵ x = T khơng ánh xạ với m = Khi đó, T ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) không giãn Cho ánh xạ T :C ® C kí hiệu F (T ) = {x Ỵ C : Tx = x} tập hợp điểm bất động ánh xạ T Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.8 ([9], Definition 2.1) Cho H không gian Hilbert thực, C tập khác ¥ rỗng H Tn : C ® C ánh xạ thỏa mãn F = I n= F (T n ) ặ Khi ú, h {Tn } gọi đóng với {xn } dãy C cho lim x = x nđƠ lim | | x n - T n xn ||= thỡ x ẻ F nđ Ơ Các kết F (T với T ánh xạ thỏa Trước hết, thiết lập số tính chất tập ) mãn điều kiện (Em) không gian Hilbert thực n Mệnh đề 2.1 Cho H không gian Hilbert thực, C tập đóng H T :C ® C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) Khi đó, F (T ) tập đóng C Hơn nữa, C tập lồi F (T ) tập lồi Chứng minh Lấy {zn } Ì điều kiện (Em) nên ||z - n = z Ỵ C Do T l ỏnh x tha nđƠ T z|| = | |z - zn + zn - T z| | £ | |zn £ ||z n = 2|| zn Do lim z F (T ) cho lim z z|| + | |zn - T z| | z|| + m||zn - T zn || + ||z n - z|| z| | = z nên ||z - T z||= Điều có nghĩa z = T hay z Ỵ F (T ) Vậy z F (T ) tập đóng F (T ) tập lồi l Ỵ [0,1] Giả sử C tập li Ta chng minh Vi n nđƠ x, y ẻ F (T ), ta chứng minh z = l x + (1 - l )y Ỵ F (T ) Thật vậy, T ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) nên ||x - T z|| £ m||x - T x| | + | |x z||= | |x - || y - T z| | £ m| |y T y|| + | | y - z ||= || y - z||= | |x z||= || y - Do đó, sử dụng Bổ đề 1.1(2) ta || z - T z ||2= | | l (x = l || x - T z ) + (1 l )(y - T z ) ||2 - l x - (1 l x - (1 - l )y| |= (1 l )||x - y|| , l )y||= l ||x - y|| T z||2 + (1 - l )||y £ l (1 - l )2 | | x - Điều dẫn đến z = T z Mệnh đề 2.2 Cho H T :C đ C lim ||x - nđƠ n T z ||2 - l (1 y ||2 + (1 - - l ) || x - y||2 l )l || x - y | |2 - l (1 - hay z Ỵ F (T ) Vậy F (T ) tập lồi không gian Hilbert thực, C Khi đó, x Ỵ F (T ) tập đóng H , ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) dãy {xn } Ì C T xn || = l ) || x - y | |2= cho lim x nđƠ n = x Chứng minh Do T thỏa mãn điều kiện (Em) | | xn - T x|| £ m| | xn T xn | | + | | xn - C nên x|| Kết hợp với n gi thit nđƠ lim x = x Tx n || = 0, lim ||x n đ Ơ ta suy lim ||x - nđƠ n n Tx|| = hay lim x nđƠ n = Tx Kt hp vi lim x = x v tớnh nht ca gii nđƠ n hạn ta x = T x Do đó, x Ỵ F (T ) Định lí sau mở rộng [3, Theorem 3.3] cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) không gian Hilbert thực Định lí 2.3 Cho H khơng gian Hilbert thực, C tập lồi đóng khác rỗng H Tn : C ® C ánh xạ đóng thỏa mãn điều kiện (Em) cho ¥ F = I n=1 F (T n ) ặ Vi nh bi = b ỡù y x x0 Ỵ H + (1 - đặt C = C ïx ỵ1ï = P ||x - z| |} n x ,n ẻ Ơ, Cn + n+ £ b )T x n n n n n ïCn = {z Ỵ C : ||y - z| | £ í n n ï n+ x1 = PC x0, xét dãy {xn } C xác bn £ a < với n ẻ Ơ * Khi ú, {x } hi t đến z = n PF x Chứng minh Ta chứng minh theo bước sau Bước Chứng minh C n tập đóng với n Ỵ ¥ * Với n = 1, ta có C1 = C Giả sử Cn { u (k ) n + 1} k dãy C tập đóng l úng vi n ẻ Ơ * Ta chng minh C n+ n+ tập đóng Lấy (0) (0) n + } k hội tụ đến u n + Ta chứng minh u n + Ỵ C {u (k) Do n +1 (k ) u n + Ỵ C n + nên u (k ) ||y - u (k ) n+ Ỵ C n || £ || x - u (k) || (2.1) n n+1 n n+1 Do C n tập đóng k ® ¥ (2.1), ta có || y n { u (k ) } n+1 k - u (0) | | £ n+1 hội tụ đến u n( 0)+ nên un( 0)+ Ỵ C n Mặt khác, || x - u(0) | | Do đó, u (0) Ỵ C n n+1 n+1 n+1 Bước Chứng minh Cn tập lồi với n Î ¥ * Thật vậy, với z Î ||y n - C n + 1, sử dụng Bổ đề 1.1 (1), ta z|| £ ||x n - z|| Û || yn - z ||2 - || xn - z ||2£ Û | |yn - x ||2 + yn - xn , xn z £ n Với n = 1, ta có C1 = C Giả sử Cn tập lồi tập lồi với n ẻ Ơ * Ta chng minh C n + tập lồi Lấy u, v C n + Ta chứng minh au + (1 Ỵ - a )v Cn + với a Ỵ Ỵ [0,1] Thật vậy, u, v Ỵ Cn + nên u, v Ỵ C n ||y n - x ||2 + yn - xn , xn u £ 0, ||y n - x n | |2 + n Do Cn tập lồi u, v Ỵ Cn a || yn - nên au + (1 - a )v Ỵ yn - xn , xn v £ (2.2) C n Mặt khác, từ (2.2) ta có x ||2 + 2a yn - xn , xn - u £ n Û a ||y n - x ||2 + 2a n y n - xn , xn yn Û a||y n - x ||2 + 2a xn , n xn (1 - a )|| yn - x ||2 + 2(1 - 2a y n - xn , u £ - (2.3) yn - xn , au £ a ) yn - xn , xn - v £ a ) yn - xn , xn n Û (1 - a )| |yn - x ||2 + 2(1 n - yn - xn ,(1 - a ) £ v Khi đó, từ (2.3) (2.4) ta ||y n - x ||2 + yn - xn , xn - yn - xn , au + (1 - (2.4) a )v £ n Û ||y n - x ||2 + yn - xn , xn - [au + (1 - a )v ] £ n Điều có nghĩa au + (1 Bước Chứng minh F Ì C Với n = 1, ta có Giả sử F Ì a )v C n + hay Cn + tập lồi Ỵ với n Î ¥ * n F = F (T ) C = C è C vi n ẻ Ơ * Ta chứng minh F Ì C n + Thật vậy, với u Ỵ F , n ta có u Ỵ C n ||y n - u|| = ||b n x n + (1 = || bn (xn - bn )Tn xn - u) + (1 - u|| bn )(T n xn - u)|| £ bn ||x n - u|| + (1 £ bn || xn - = bn ||x n = ||x n - bn )| |T n xn - u || + (1 - u|| + (1 - u|| bn )(m || u - T n u || + || xn - u | |) bn )||xn - u|| u|| Điều có nghĩa u Ỵ C n + Do đó, F Ì C n + Bước Chứng minh {xn } hội tụ đến p p Ỵ F Với n ẻ Ơ *, vỡ n+1 PC x = nên theo Bổ đề 1.3, ta n+1 x có z- xn + 1, xn + - x 0 với z Ỵ C n + Theo Mệnh đề 2.1, ta có F (Tn ) tập lồi ³ Kết hợp với giả thiết F đóng C = ¥ I n= ¥ F (Tn ) ¹ Ỉ, ta có F = I n= F (Tn tập lồi ) đóng khác rỗng C Khi đó, theo Bổ đề 1.2, tồn phần tử z Ỵ F cho z = PF x Do xn + = PC x0 nên ||x n + - n+ x || £ ||z - x || với z Ỵ Cn + Khi đó, z Ỵ F Ì nghĩa {||x n - ||x n - C n + nên từ (2.5) ta có ||x n + - (2.5) x || £ || z0 - x || Điều có n x 0| |} bị chặn Vì xn = x || £ ||z - x 0|| với z Ỵ PC x nên Cn (2.6) Do C n + Ì Cn ||x n - PC x Ỵ Cn + nên xn + n+1 = Cn Do đó, từ (2.6) ta Ì x || £ ||x n + - x || hay {||x n - x 0| |} dãy đơn điệu tăng Kết hợp với tính bị chặn {||x n - x ||}, ta suy tồn giới hạn {||x n - lim | |x n - x ||} Đặt x 0|| = r (2.7) nđƠ Vi mi m n cú ta có Cm Ì Cn Vì xn + = PC x0 nên theo Bổ đề 1.3, ta n+ z- x ,x - x0 n+1 n+1 với z Ỵ C n + Mà xm + = ³ xm + - xn + 1, xn + - x PC m+1 x Ỵ Cm + Ì C n + nên ta có ³ Khi đó, theo Bổ đề 1.1(1), ta có ||x m + - x ||2 = ||x n+1 (xn + - x )||2 - x0 m+1 = | |xm + - x 0| | - ||xn + - x ||2 - xm + - xn + 1, xn + - x0 £ ||x m + - x ||2- || x n+ - x ||2 (2.8) Từ (2.7) (2.8), ta suy lim ||x m - xn || = Do đó, {xn } l dóy Cauchy m ,n đ Ơ C Mặt khác, C tập đóng khơng gian Hilbert thực H nên C có tính đầy đủ Khi đó, tồn p Ỵ C cho lim x nđƠ n = p (2.9) Vỡ xn + = PC x0 Ỵ C n + nên ||y n n+ ||y n - xn + 1|| £ ||x n - xn + 1|| Suy xn + 1| | ||x n - p| |+ ||xn + p| | £ - Kết hợp (2.9) với (2.10), ta (2.10) lim ||y n - xn + 1| | = nđƠ Ta li cú ||y n - x || £ ||y - x || + ||x - xn || n n n+1 n +1 Suy lim || y n nđƠ - T ||x x n || = n n xn | | Mặt khác, từ yn = bn xn + (1 bn )T x = n n 1 ||y - x || £ | |y - x || Suy lim || x - bn 1- a n nđƠ ta c - T x n | |= n n n n Kết hợp điều với (2.9) giả thiết {Tn } họ ánh xạ đóng đều, ta suy p Î F Bước Chứng minh p = Do xn + = PC x0 n+ PF x nên theo Bổ đề 1.3, ta có y - xn + 1, xn + - x y Ỵ C n + Với q Ỵ F Ì C , ta có q - x , x n+1 n+1 n+1 x0 ³ với q - p, p - x0 ³ ³ Cho n ® + ¥ ta Do đó, theo Bổ đề 1.3 ta có p= PF x0 Tiếp theo, cách sử dụng Định lí 2.3, chúng tơi nhận số kết cho hội tụ dãy lặp dạng hỗn hợp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) ánh xạ không giãn không gian Hilbert Trong đó, Hệ 2.4 Hệ 2.5 tổng quát [3, Theorem 4.1] [3, Theorem 4.2] từ ánh xạ không giãn sang ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) Hệ 2.4 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H T :C ® C C1 = C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) cho x1 = PC x0, xét dãy {xn } C xác định F (T ) ặ V x ẻ i H đặt ìï y = b + (1 b )T x x n n n n ïCn = {z Ỵ C : ||y - z| | £ í n n ï n+ ïx 1ỵï = P ||x - z| |} n x ,n ẻ Ơ, Cn + n+ £ bn £ a < vi mi n ẻ Ơ * Khi ú, {x } hội tụ đến z0 = PF (T )x0 n Chứng minh Bằng cách chọn T n = T với n Ỵ ¥ *, từ Định lí 2.3 Mệnh đề 2.2, ta nhận điều phải chứng minh Hệ 2.5 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H T :C ® C C1 = C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) cho F (T ) ặ V x ẻ i H t v x1 = PC x0, xét dãy {xn } C xác định ìï y = b x + 1(1 - b )((1 - a ) x + a Tx ) n n n n n n ï Cn = {z Ỵ C : | |y - z|| £ ||x - z| |} í n+1 n n n ïx = P ợù n + xC n ,n ẻ Ơ, n+1 < a £ a n £ 1, £ bn £ b < với mi n ẻ Ơ * Khi ú, {xn } hi tụ đến z0 = PF (T )x0 Chứng minh Đặt T x = (1 - a )x + a Tx vi x ẻ C v n ẻ Ơ * Ta chứng minh n n n {T n } họ ánh xạ thỏa mãn giả thiết Định lí 2.3 Thật vậy, (1) Với {x } dãy C cho lim n x nđ Ơ ||x n - T n xn ||= | |x n - (1 - nên kết hợp với < a £ = x lim || x n a n )xn - anT xn | |= | | a n xn - Tn xn ||= Vỡ nđƠ anT xn ||= a n || xn - T xn || an £ ta có lim || x n T xn ||= T Mnh 2.2, ta suy nđƠ x Î F (T ) Do đó, {T n } họ ánh xạ đóng (2) Với x, y Ỵ C , ta có ||x - Tny||= ||x - (1- an )y - anTy|| = ||x + (1 - a n )x - = | | (1 a n )(x - y ) + £ (1 £ (1 - (1 - a n )x - (1 - a n )y - anT y ) | | a n (x - T y ) || a n )||x - y| |+ a n || x - an )| |x - y||+ a n (m| |x - T y|| T x||+ || x - y|| ) £ || x - y||+ ma n | | x T x|| - £ || x - y||+ m|| x - T n x|| Do đó, {T n } họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) (3) Do F (T ) ¹ Ỉ nên tồn u Ỵ C cho T u = u Mt khỏc, vi mi n ẻ Ơ *, ta có | | u ¥ I n= Tnu | | a n || u T u ||= Do đó, u Ỵ F (T n với n ẻ Ơ * hay = ) Ơ F (Tn ) ặ Hn na, ta cng F (T ) = I F (T n Như {T n } họ ánh xạ thỏa n=1 có ) mãn giả thiết Định lí 2.3 Do đó, {xn } hội tụ đến z0 = PF (T )x0 Vì ánh xạ không giãn ánh xạ thỏa mãn điều kiện(Em) nên từ Định lí 2.3, Hệ 2.4 Hệ 2.5, ta nhận kết sau Hệ 2.6 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng khác rỗng Ơ H v Tn : C đ C x0 Ỵ ánh xạ khơng giãn, đóng cho F = I n= F (T n ) ¹ Ỉ Với x1 = PC x0, xét dãy {xn } C xác định H đặt C = C b + (1 b )T x ìï y = x n n n n n ïCn = {z Ỵ C : ||y - z| | £ í n n ï n+ ïx ỵï = P n+ ||x - z| |} n x ,n Ỵ ¥, Cn + £ n bn Ê a < vi mi n ẻ Ơ * Khi đó, {x } hội tụ đến z PF x Hệ 2.7 = ([3], Theorem 3.3) Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H T : C ® C ánh xạ khơng giãn cho F (T ) ặ V x ẻ i H đặt C1 = C x1 = PC x0, xét dãy {xn } C xác định ìï y = b x + 1(1 - b )T x n n n n ïCn = {z Ỵ C : ||y - z| | £ í n n ï n+ ïx ỵ1ï = P n+ £ ||x - z| |} n x ,n ẻ Ơ, Cn + n bn £ a < với mi n ẻ Ơ * Khi ú, {x } hi tụ đến z0 = PF (T )x0 ... điều kiện (C) gọi điều kiện (Eμ ) Đồng thời, số kết ban đầu hội tụ cho điều kiện (Eμ ) thiết lập [6] Trong báo này, chúng tơi thiết lập định lí hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho họ ánh xạ thỏa mãn điều. .. Theorem 3.3] cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em) khơng gian Hilbert thực Định lí 2.3 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng khác rỗng H Tn : C ® C ánh xạ đóng thỏa mãn điều kiện (Em) cho ¥... T ánh xạ thỏa Trước hết, thiết lập số tính chất tập ) mãn điều kiện (Em) không gian Hilbert thực n Mệnh đề 2.1 Cho H không gian Hilbert thực, C tập đóng H T :C ® C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Em)