Xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được ánh xạ gần không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN-2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung thầy cô môn Toán ứng dụng nói riêng giảng dạy dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tuyên, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Học viên Nguyễn Thị Thu ii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert số đặc trưng 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.3 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển 11 1.3.1 Phương pháp gradient 13 1.3.2 Phương pháp gradient tăng cường 13 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ gần không giãn 17 2.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn 17 2.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn 25 Tài liệu tham khảo 34 Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert , tích vô hướng không gian Hilbert H chuẩn không gian Hilbert H I toán tử đồng H PC phép chiếu mêtric R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian số thực n chiều ∩ phép giao ∅ tập rỗng ∀ với x lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T f gradient phiếm hàm khả vi f Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" nảy sinh trình nghiên cứu giải toán thực tế toán cân kinh tế, tài chính, toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán Bài toán giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm 1966 tài liệu [8] Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" Kinderlehrer D Stampacchia G xuất năm 1980 [10] Từ đó, toán bất đẳng thức biên phân nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm nhiều người làm toán nước Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đề xuất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động Một trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân toán có dạng: Tìm phần tử x∗ ∈ C = ∩N i=1 Ci , cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, F ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào nó, Ci , i = 1, 2, , N tập lồi đóng H Bài toán có ý nghĩa quan trọng việc giải toán tối ưu lồi có ràng buộc trường hợp đặc biệt toán chấp nhận lồi tiếng Ta xem tập Ci tập điểm bất động phép chiếu mêtric PCi từ H lên Ci , toán xem toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ngoài ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm hay không đếm ánh xạ không giãn Mục đích luận văn giới thiệu số kết toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn hay vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert H Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại số tính chất đặc trưng không gian Hilbert, toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, với số toán liên quan số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân Chương trình bày lại kết tác giả Buong N Duong L T [4] dựa phương pháp lặp Mann phương pháp đường dốc cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn kết nghiên cứu Sahu D R., Kang S M Sagar V [17] cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert thực H Bên cạnh đó, chương số ví dụ đơn giản đề cập nhằm minh họa thêm cho phương pháp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất đặc trưng không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân cổ điểm không gian hữu hạn chiều, với số toán liên quan Mục 1.3 trình bày số phương pháp cho toán bất đẳng thức biến phân phương pháp gradient hay gradient tăng cường Mục 1.4 đề cập đến số bổ đề quan trọng thường xuyên dùng đến chứng minh kết chương sau 1.1 Không gian Hilbert số đặc trưng Trong luận văn giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vô hướng ký hiệu , chuẩn xác định bởi: x = x, x với x ∈ H Trong mục đề cập đến số vấn đề hội tụ mạnh, hội tụ yếu, tập lồi, tập đóng, tập compact, Định nghĩa 1.1 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, ||xn − x|| → n → ∞ Định nghĩa 1.2 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn x, xn , y → x, y n → ∞ với y ∈ H Chú ý 1.1 a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, điều ngược lại không b) Mọi không gian Hilbert có tính chất Kadec-Klee, tức dãy {xn } không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện xn → x xn x, xn → x n → ∞ Định nghĩa 1.3 Cho C tập không gian Hilbert H Khi C gọi là: a) tập lồi λx + (1 − λ)y ∈ C với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1]; b) tập đóng dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x n → ∞, ta có x ∈ C; c) tập đóng yếu dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn x n → ∞, ta có x ∈ C; d) tập compact dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ phần tử thuộc C; e) tập compact tương đối dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ; f) tập compact yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu phần tử thuộc C; g) tập compact tương đối yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu Nhận xét 1.1 a) Mọi tập compact tập compact tương đối, điều ngược lại không b) Mọi tập đóng yếu tập đóng, điều ngược lại không Mệnh đề 1.1 [1] Trong không gian Hilbert H, tập lồi, đóng bị chặn tập compact yếu Tiếp theo, trình bày phép chiếu mêtric không gian Hilbert Mệnh đề 1.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H Khi với x ∈ H, tồn PC x ∈ C cho x − PC x = inf x − u u∈C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x − u Khi đó, tồn {un } ⊂ C cho u∈C x − un −→ d, n −→ ∞ Từ ta có un − um = (x − un ) − (x − um ) = x − un ≤ 2( x − un 2 + x − um 2 un + um −4 x− 2 + x − um ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên x − u = d Giả sử tồn v ∈ C n→∞ cho x − v = d Ta có u−v = (x − u) − (x − v) = 2( x − u 2 + x−v )−4 x− u+v 2 ≤ Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC x = inf u∈C x − u Định nghĩa 1.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H Ánh xạ PC : H −→ C xác định H x → PC x cho x − PC x = inf u∈C x − u gọi phép chiếu mêtric từ H lên C 22 Do lim xnj − p = lim yni j − p , i = 1, 2, , N j→∞ (2.5) j→∞ Theo Bổ đề 1.1 ta có: yni j − p + βni j Ti yni−1 −p = (1 − βni j )yni−1 j j − p) + βni j (Ti yni−1 −p = (1 − βni j )(yni−1 j j −p = (1 − βni j ) yni−1 j −p + βni j Ti yni−1 j 2 − Ti yni−1 − βni j (1 − βni j ) yni−1 j j ≤ yni−1 −p j 2 − Ti yni−1 − βni j (1 − βni j ) yni−1 j j ≤ ≤ xnj − p 2 − Ti yni−1 − βni j (1 − βni j ) yni−1 j j Do α(1 − β) yni−1 − Ti yni−1 j j ≤ xnj − p 2 − yni j − p Theo (2.5) ta có yni−1 − Ti yni−1 → j → ∞ j j Vì vậy, yni−1 − Ti yni−1 → n → ∞ với i = 1, 2, , N Sau chứng minh xn − Ti xn → n → ∞ với i = 1, 2, , N Thật vậy, hiển nhiên trường hợp i = ta có xn − T1 xn = yn0 − T1 yn0 → Khi i = ta có yn1 − T2 yn1 → yn1 − xn = βn1 yn0 − T1 yn0 → 0, 23 nên suy xn − T2 xn → Như vậy, quy nạp ta nhận xn − Ti xn → 0, với i = 1, 2, , N Cuối chứng minh lim sup F (p∗ ), xn − p∗ ≥ n→∞ Gọi {xnj }j∈N dãy dãy {xn }n∈N hội tụ yếu tới p¯ cho lim sup F (p∗ ), xn − p∗ = lim F (p∗ ), xnj − p∗ j→∞ n→∞ Vì xn − Ti xn → 0, với i = 1, 2, , N , nên theo Bổ đề 1.5 ta có p¯ ∈ F Từ suy lim sup F (p∗ ), xn − p∗ ≥ n→∞ Ta lại có xn+1 − p∗ = (1 − βn0 )xn + βn0 (I − λn µF )ynN − p∗ ≤ (1 − βn0 ) xn − p∗ + βn0 (I − λn µF )(ynN − p∗ ) − λn µF (p∗ ) ≤ (1 − βn0 ) xn − p∗ 2 + βn0 (1 − λn τ ) xn − p∗ − 2βn0 λn µ[ F (p∗ ), ynN − p∗ − λn µ F (p∗ ), F (ynN ) ] = (1 − βn0 λn τ ) xn − p∗ − 2βn0 λn µ[ F (p∗ ), ynN − p∗ − λn µ F (p∗ ), F (ynN ) ] ≤ (1 − βn0 λn τ ) xn − p∗ − 2µ βn0 λn τ [ τ F (p ∗ ), ynN −p ∗ 2µ2 − λn F (p∗ ) M1 ] τ 24 ≤ (1 − βn0 λn τ ) xn − p∗ + βn0 λn τ [ 2µ F (p∗ ), p∗ − xn τ 2µ 2µ2 F (p∗ ) ynN − xn + λn F (p∗ ) M1 ] τ τ Theo Bổ đề 1.4 với an = xn − p∗ , bn = βn0 λn τ , + cn = 2µ 2µ 2µ2 F (p∗ ), p∗ − xn + F (p∗ ) ynN − xn + λn F (p∗ ) M1 τ τ τ xn − ynN → λn → ta có xn − p∗ → Từ suy điều phải chứng minh Ví dụ 2.1 Xét toán: Tìm cực tiểu phiếm hàm ϕ(x) = x21 +(x2 −1)2 +(x3 +1)2 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , với miền ràng buộc Ci = {(x1 , x2 , x3 ) : (x1 − 1/i)2 + x22 + (x3 + 1/i)2 ≤ 2}, i = 1, 2, , 100 Dễ thấy ϕ hàm lồi khả vi R3 với F = ϕ toán tử 2-Lipschitz, 2-đơn điệu mạnh x∗ = (0, 1, −1) ∈ C nghiệm toán, tức ϕ(x∗ ) = minx∈C ϕ(x) Áp dụng phương pháp lặp (2.2), với x0 = (1, 2, 3), βni = 1/2, i = 1, 2, , 100, λn = 1/n với n ≥ µ = 1/4, sau 500 bước lặp, ta nhận hình vẽ sau: Hình 2.1: x500 = (0.005118, 1.002778, −0.985826) 25 2.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn Trong mục này, đề cập đến phương pháp lặp cho toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung dãy ánh xạ gần không giãn tài liệu [17] Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert H T = {Tn } dãy ánh xạ từ C vào Ta nói T dãy ánh xạ gần không giãn tồn dãy số không âm {an } thỏa mãn limn→∞ an = cho Tn x − Tn y ≤ x − y + an , với x, y ∈ C n ≥ Ta kí hiệu F ix(T ) tập điểm bất động chung dãy ánh xạ gần không giãn T = {Tn } Cho T1 , T2 : C −→ H hai ánh xạ xác định C Ta kí hiệu B(C) tập tập bị chặn C Độ lệch T1 T2 B ∈ B(C) kí hiệu DB (T1 , T2 ) xác định DB (T1 , T2 ) = sup T1 x − T2 x x∈B Ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.1 [6] Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh V : C −→ H toán tử L-Lipschitz Khi đó, ≤ γL < µη, x − y, (µF − γV )x − (µF − γV )y ≥ (µη − γL) x − y , (2.6) với x, y ∈ C, tức µF − γV toán tử đơn điệu mạnh với hệ số µη − γL 26 Định lí 2.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho T = {Tn } dãy V : ánh xạ gần không giãn từ C vào tương ứng với dãy {an } cho F ix(T ) = ∅ T ánh xạ từ C vào xác định T x = limn→∞ Tn x với x ∈ C Giả sử F ix(T ) = F ix(T ), < µ < 2η/k ≤ γL < τ , với τ =1− − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ], ∀n ≥ 1, (2.7) {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) Nếu điều kiện sau thỏa mãn a) limn→∞ αn = b) ∞ n=1 |αn+1 c) ∞ n=1 DB (Tn , Tn+1 ) ∞ n=1 αn = ∞, − αn | < ∞ limn→∞ αn+1 /αn = 1, < ∞ limn→∞ DB (Tn , Tn+1 )/αn = với B ∈ B(C), d) limn→∞ an /αn = 0, dãy {xn } xác định (2.7) hội tụ mạnh x∗ ∈ F ix(T ), với x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (µF − γV )x∗ , x∗ − y ≤ 0, ∀y ∈ F ix(T ) (2.8) Chứng minh Với z ∈ F ix(T ), ta có xn+1 − z = PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] − PC (z) ≤ αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn − z = αn (γV xn − µF z) + (I − αn µF )Tn xn − (I − αn µF )z ≤ αn γL xn − z + αn (γV − µF )z + (1 − αn τ )( xn − z + an ) ≤ (1 − αn (τ − γL)) xn − z + αn (γV − µF )z + an 27 Vì limn→∞ an /αn = 0, nên tồn K > cho αn (γV − µF )z + an ≤ K, ∀n ≥ αn (2.9) Do đó, ta có xn+1 − z ≤ (1 − αn (τ − γL)) xn − z + αn K ≤ max{ xn − z , K } τ − γL (2.10) Suy dãy {xn } bị chặn dãy {Tn xn }, {V xn } bị chặn Từ (2.7), ta có xn+1 − xn = PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] − PC [αn−1 γV xn−1 + (I − αn−1 µF )Tn−1 xn−1 ] ≤ [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] − [αn−1 γV xn−1 + (I − αn−1 µF )Tn−1 xn−1 ] = αn γ(V xn − V xn−1 ) + γ(αn − αn−1 )V xn−1 + (I − αn µF )Tn xn − (I − αn µF )Tn xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 + αn−1 µF Tn−1 xn−1 − αn µF Tn xn−1 ≤ αn γL xn − xn−1 + γ|αn − αn−1 | V xn−1 + (1 − αn τ ) Tn xn − Tn xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 + µ αn−1 F Tn−1 xn−1 − αn F Tn xn−1 ≤ (1 − αn (τ − γL)) xn − xn−1 + DB (Tn , Tn−1 ) + (1 − αn τ )an + γ|αn − αn−1 | V xn−1 + µ αn−1 (F Tn−1 xn−1 − F Tn xn−1 ) − (αn − αn−1 )F Tn xn−1 ≤ (1 − αn (τ − γL)) xn − xn−1 + DB (Tn , Tn−1 ) + |αn − αn−1 |M1 + an , M1 số dương Từ Bổ đề 1.4, suy xn+1 −xn → n → ∞ 28 Ta có xn − Tn xn ≤ xn − xn+1 + xn+1 − Tn xn = xn − xn+1 + PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] − PC (Tn xn ) ≤ xn − xn+1 + αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn − Tn xn ≤ xn − xn+1 + αn γV xn − µF Tn xn → Từ đó, kết hợp với đánh giá xn − T xn ≤ xn − Tn xn + Tn xn − T xn ≤ xn − Tn xn + DB (Tn , T ), nên ta nhận xn − T xn → Tiếp theo, ta lim supn→∞ xn − x∗ , (γV − µF )x∗ ≤ Giả sử {xnk } dãy {xn } cho lim sup xn − x∗ , (γV − µF )x∗ = lim xnk − x∗ , (γV − µF )x∗ k→∞ n→∞ Không tổng quát giả sử xnk (2.11) z ∈ C Từ Bổ đề 1.5, suy z ∈ F ix(T ) = F ix(T ) Do đó, từ (2.8), ta nhận lim sup xn − x∗ , (γV − µF )x∗ = z − x∗ , (γV − µF )x∗ ≤ (2.12) n→∞ Để kết thúc chứng minh, ta xn → x∗ , n → ∞ Đặt yn = αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn γn = αn (τ − γL) Khi đó, từ (2.7), ta có xn+1 − x∗ = yn − x∗ , xn+1 − x∗ + PC yn − yn , PC yn − x∗ ≤ yn − x∗ , xn+1 − x∗ = αn γV xn − µF x∗ , xn+1 − x∗ + (I − αn µF )Tn xn − (I − αn µF )Tn x∗ , xn+1 − x∗ (2.13) 29 = αn γ V xn − V x∗ , xn+1 − x∗ + αn γV x∗ − µF x∗ , xn+1 − x∗ + (I − αn µF )Tn xn − (I − αn µF )Tn x∗ , xn+1 − x∗ ≤ αn γL xn − x∗ xn+1 − x∗ + αn (γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ + (1 − αn τ )( xn − x∗ + an ) xn+1 − x∗ = (1 − αn (τ − γL)) xn − x∗ xn+1 − x∗ + αn (γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ + (1 − αn τ )an xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn (τ − γL)) ( xn − x∗ 2 + xn+1 − x∗ ) + αn (γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ + an xn+1 − x∗ Do đó, xn+1 − x∗ − αn (τ − γL) xn − x∗ + αn (τ − γL) 2αn (γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ + + γn 2an + xn+1 − x∗ + γn ≤ ≤ (1 − γn ) xn − x∗ (2.14) + γn δn + M2 an , δn = 2 (γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ , M2 = sup xn+1 − x∗ (1 + γn )(τ − γL) n + γn Áp dụng Bổ đề 1.4, suy xn → x∗ , n → ∞ Hệ 2.1 (Định lý 3.2, [6]) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh V : C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho T : C −→ C ánh xạ không giãn cho F ix(T ) = ∅ Giả sử < µ < 2η/k ≤ γL < τ , với τ = − − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )T xn ], ∀n ≥ 1, (2.15) 30 {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện a) b) Định lí 2.2 Khi đó, dãy {xn } xác định (2.15) hội tụ mạnh x∗ ∈ F ix(T ), với x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (µF − γV )x∗ , x∗ − y ≤ 0, ∀y ∈ F ix(T ) (2.16) Hệ 2.2 (Định lí 3.2, [18]) Cho H không gian Hilbert thực, f ánh xạ α-co H F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh Cho T : C −→ C ánh xạ không giãn cho F ix(T ) = ∅ Giả sử < µ < 2η/k ≤ γα < τ , với τ = µ(η − µk /2) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau xn+1 = αn γf xn + (I − αn µF )T xn , ∀n ≥ 1, (2.17) {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện a) b) Định lí 2.2 Khi đó, dãy {xn } xác định (2.17) hội tụ mạnh x∗ ∈ F ix(T ), với x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (µF − γf )x∗ , x∗ − y ≤ 0, ∀y ∈ F ix(T ) (2.18) Hệ 2.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh V : C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho {Tn } dãy ánh xạ không giãn từ C vào tương ứng với dãy {an } cho ∩∞ n=1 F ix(Tn ) = ∅ T ánh xạ từ C vào xác định T x = limn→∞ Tn x với x ∈ C Giả sử F ix(T ) = F ix(T ), < µ < 2η/k ≤ γL < τ , với τ = 1− − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ], ∀n ≥ 1, (2.19) {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện a)-c) Định lí 2.2 Khi đó, dãy {xn } xác định (2.19) hội tụ mạnh 31 ∗ x∗ ∈ ∩∞ n=1 F ix(Tn ), với x nghiệm bất đẳng thức biến phân (µF − γV )x∗ , x∗ − y ≤ 0, ∀y ∈ ∩∞ n=1 F ix(Tn ) (2.20) Tiếp theo, ta có hệ cho toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Hệ 2.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh V : C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho λi > với i = 1, 2, , N cho N i=1 λi = cho Ti : C −→ H, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Giả sử < µ < 2η/k ≤ γL < τ , với τ =1− − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau N xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF ) λi Ti xn ], ∀n ≥ 1, (2.21) i=1 {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện a)-b) Định lí 2.2 Nếu ∞ n=1 DB (Tn , Tn+1 ) < ∞, dãy {xn } xác định ∗ (2.21) hội tụ mạnh x∗ ∈ ∩N i=1 F ix(Ti ), với x nghiệm bất đẳng thức biến phân (µF − γV )x∗ , x∗ − y ≤ 0, ∀y ∈ ∩N i=1 F ix(Ti ) (2.22) Ví dụ 2.2 Trong không gian số thực R, lấy C = [0, 1] Cho T : C −→ C ánh xạ không giãn xác định T x = − x với x ∈ C Cho F, V : C −→ R ánh xạ xác định F x = 4x V x = 2x với x ∈ C Khi đó, F toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh với k = η = V ánh xạ L-Lipschitz với L = Chọn µ = 1/4, τ = chọn γ = 1/4 Lấy αn =  1/(n+1) an = 1/n2   1 − x, x ∈ [0, 1) với n, ta xác định ánh xạ Tn : C −→ C Tn x =   an , x = 32 Ta T = {Tn } dãy ánh xạ gần không giãn F ix(T ) = ∅ Thật vậy, x, y ∈ [0, 1), ta có |Tn x − Tn y| = |x − y|, ∀n Nếu x ∈ [0, 1) y = 1, |Tn x − Tn 1| = |1 − x − an | ≤ |x − 1| + an , ∀n Do đó, T = {Tn } dãy ánh xạ gần không giãn Ngoài ra, dễ thấy F ix(T ) = {1/2} Hiển nhiên, limn→∞ Tn x = T x với x ∈ C Với n, ta có |Tn+1 x − Tn x| =     0, x ∈ [0, 1)   |an+1 − an |, x = Từ đó, suy DC (Tn+1 , Tn ) = supx∈C |Tn+1 x − Tn x| ≤ |an+1 − an |, ∀n Do đó, ∞ ∞ |an+1 − an | < ∞ DC (Tn+1 , Tn ) ≤ n=1 n=1 Như vậy, giả thiết Định lí 2.2 thỏa mãn Kết phương pháp lặp (2.7) thể hình đây: Hình 2.2: Phương pháp lặp (2.7) với n = 50 33 Kết luận Luận văn trình bày số nội dung sau: • Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển không gian hữu hạn chiều Rn số toán liên quan; • Phương pháp lặp Mann kết hợp với phương pháp đường dốc tài liệu [4] cho toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn; • Kết nghiên cứu tác giả D.R Sahu, S M Kang V Sagar tài liệu [17] cho toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn 34 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Aoyama K., Iiduka I., Takahashi W (2006), "Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications [3] Bnouhachem A., Noor M A., Al-Said E , Khalfaoui M , Zhaohan S (2011), " Extragradient method for variational inequalities", Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp 839-854 [4] Buong Ng., Duong L T (2011), "An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces", Journal of Optimization Theory and Applications, 151(3), pp 513-524 [5] Ceng L C., Yao J C (2006), "Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequalityproblems", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 1293-1303 [6] Ceng L C , Ansari Q H and Yao J C (2011), "Some iterative methods for finding fixed points and for solving constrained convex minimization problems", Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications,74(16), pp 5286-5302 35 [7] Goebel K., Kirk W A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory,Cambridge University Press, Cambridge [8] Hartman P., Stampacchia G (1966), "On some nonlinear elliptic differential functional equations", Acta Math., 115, pp 271-310 [9] Jung J S (2011), "A general iterative scheme for k-strictly pseudocontractive mappings and optimization problems", Applied Mathematics and Computation, 217, pp 5581-5588 [10] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An introduction to variational inequalities and their applications Academic Press, New York [11] Korpelevich G M (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematcheskie Metody, 12, pp 747-756 [12] Lions J L., Stampacchia G (1967), "Variational inequalities", Communications on Pure and Applied Mathematics, 20, pp 493-512 [13] Marino G., Xu H -K (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 329, pp 336-346 [14] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 128, pp 191-201 [15] Noor M A (2003), "Extragradient methods for pseudomonotone variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications,117, pp 475-488 36 [16] Noor M A (2003), "New extragradient-type methods for general variational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 277, pp 379-394 [17] Sahu D.R., Kang S M., Sagar V (2012), "Approximation of common cixed points of a sequence of nearly nonexpansive mappings and solutions of variational inequality problems", Journal of Applied Mathematics, 2012, Article ID 902437 [18] Tian M (2010), "A general iterative algorithm for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 73(3), pp 689-694 [19] Xu H.-K (2006), "Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators", J Math Anal Appl., 314(2), pp 631-643 [20] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473-504 ... toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ngoài ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm hay không đếm. .. 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ gần không giãn 17 2.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN Chuyên