Luận văn thạc sỹ phương pháp dưới đạo hàm đạo hàm tăng cường có quán tính cải biên xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - CHU THỊ HỒNG NHUNG PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG CĨ QN TÍNH CẢI BIÊN XẤP XỈ NGHIỆM CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2022 ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Song Hà Tiến sĩ Đinh Diệu Hằng Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc Thầy Cơ suốt q trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Thầy Cơ Khoa TốnTin, Bộ phận sau Đại học thuộc Phịng Đào tạo, gia đình bạn học viên giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn này! Tác giả Chu Thị Hồng Nhung Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Danh sách bảng v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số ước lượng, khái niệm tính chất 3 1.2 Ánh xạ liên tục Lipschitz phép chiếu mêtric 1.3 Ánh xạ đơn điệu 13 Chương Phương pháp xấp xỉ nghiệm cho lớp toán bất đẳng thức biến phân 19 2.1 Mơ hình tốn 2.2 Phương pháp MISEGM 19 25 2.3 Ví dụ minh họa 37 Kết luận chung đề nghị 40 Tài liệu tham khảo 41 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt H Không gian Hilbert thực Rn Không gian thực hữu hạn chiều ⟨x, y⟩ Tích vơ hướng hai véctơ x y ∀x Với x ∥x∥ Chuẩn véctơ x PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C α↓0 α giảm dần ∂f (x) Dưới vi phân ánh xạ f x xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x n → +∞ ∇f (x) xn ⇀ x Gradient ánh xạ f x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x n → +∞ (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân (MVIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân Minty (CP) Bài toán bù Sol(VIP(A, C)) Tập nghiệm toán (VIP) với ánh xạ giá A miền hữu hiệu C MISEGM Phương pháp đạo hàm-đạo hàm tăng cường có qn tính cải biên Danh sách bảng 2.1 Kết tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.03 38 2.2 Kết tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.2 38 2.3 Kết tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.003 39 Mở đầu Bất đẳng thức biến phân mơ hình tổng qt nhiều lớp tốn xuất lí thuyết ứng dụng (trong kinh tế, tài chính, giao thơng, tối ưu hóa lí thuyết trị chơi, ) Bài tốn Lion, Stampacchia đồng đưa vào năm 60 kỉ XX (xem [1, 4, 5, 6] tài liệu dẫn) Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới Hai tốn lí thuyết là: Thiết lập điều kiện tồn nghiệm xây dựng phương pháp để tìm nghiệm Theo đó, việc đề xuất thuật toán giải xấp xỉ tốn đóng vai trị vơ quan trọng việc đưa lí thuyết vào giải vấn đề đặt thực tiễn Cho đến nay, có nhiều phương pháp hay thuật tốn giải số hữu hiệu cho toán nêu Một số phương pháp phổ biến phương pháp chiếu gradient, phương pháp đường dốc nhất, phương pháp chiếu lai ghép, phương pháp chiếu co hẹp, phương pháp kiểu Korpelevich, phương pháp kiểu Tseng, phương pháp chiếu co Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm khác chưa có phương pháp tối ưu Vì lẽ đó, vấn đề cải tiến hiệu phương pháp có với việc đề xuất phương pháp dựa việc kết hợp phương pháp cổ điển (bao gồm phương pháp giải cho toán khác toán điểm bất động, toán xác định khơng điểm, tốn tối ưu, ) chủ đề có ý nghĩa khoa học tính thời cao Mục đích luận văn trình bày lại kết đề xuất Yang công bố năm 2021 [6] theo hướng Cụ thể, luận văn trình bày phương pháp đạo hàm - đạo hàm tăng cường có qn tính cải biên xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz không gian Hilbert Với mục tiêu vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương dùng để hệ thống lại kiến thức giải tích lồi giải tích hàm khơng gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau Chương dành để trình bày nội dung hội tụ mạnh (yếu) phương pháp nêu giả thiết thích hợp Bên cạnh đó, ví dụ số xây dựng chi tiết hóa nhằm làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày số ước lượng, khái niệm tính chất thường dùng không gian Hilbert thực Mục 1.2 dành để nhắc lại khái niệm vài tính chất cốt yếu ánh xạ liên tục Lipschitz phép chiếu mêtric Phần cuối chương, Mục 1.3 dùng để giới thiệu lớp ánh xạ loại đơn điệu 1.1 Một số ước lượng, khái niệm tính chất Giả sử H khơng gian Hilbert thực có tích vơ hướng chuẩn sinh tích vơ hướng kí hiệu ⟨·, ·⟩ ∥ · ∥ Dưới số đẳng thức bất đẳng thức cốt yếu thường sử dụng chứng minh phần sau Những kiến thức phần chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1, 3] Mệnh đề 1.1 [3] (Bất đẳng thức Schwarz) Trong khơng gian Hilbert H ta ln có |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥, ∀x, y ∈ H Hơn nữa, ⟨x, y⟩| = ∥x∥∥y∥ tồn α ∈ R+ cho a = αy y = αx Mệnh đề 1.2 [3] Giả sử x, y z phần tử không gian Hilbert H Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2⟨x, y⟩ (ii) ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ) (Quy tắc hình bình hành)
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 (iii) ⟨x, y⟩ = 4 Chú ý 1.1 [1, 3] Cho H khơng gian định chuẩn thực Nếu quy tắc hình bình hành bảo đảm chuẩn, tức ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀x, y ∈ H H tồn tích vơ hướng cho ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 Vì thế, khơng gian Hilbert khơng gian định chuẩn có chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình hành Chú ý 1.2 Chúng ta biết rằng, không gian Hilbert không gian Banach, không gian Banach không thiết không gian Hilbert Chẳng hạn, không gian C[0, 10] hàm số liên tục [0, 10] ⊂ R, với chuẩn ∥x∥ = max |x(t)|, 0≤t≤10 x = x(t) ∈ C[0, 10] Chuẩn không thỏa mãn quy tắc hình bình hành C[0, 10] không không gian Hilbert Thật vậy, chọn x = x(t) := y = y(t) := t/10 với t ∈ [0, 10] Khi đó, ta có ∥x∥ = ∥y∥ = max |t/10| = 0≤t≤10 Mặt khác, ta lại có ∥x + y∥ = max |1 + t/10| = 0≤t≤10 ∥x − y∥ = max |1 − t/10| = 0≤t≤10
Do đó, ta nhận ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = Tuy nhiên, ∥x∥2 + ∥y∥2 = Mệnh đề 1.3 [3] Giả sử x y phần tử không gian Hilbert H Khi đó, ta có ⟨x, y⟩ ≤ ⇔ ∀α ∈ R+ : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ ⇔ ∀α ∈ (0, 1] : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ Chứng minh Để ý rằng, với α ∈ R ta có ∥x − αy∥2 − ∥x∥2 = α(α∥y∥2 − 2⟨x, y⟩) Do đó, ⟨x, y⟩ ≤ từ đẳng thức suy ∀α ∈ R+ : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ ∀α ∈ (0, 1] : ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ Ngược lại, với α ∈ (0, 1] (hoặc α ∈ R+ ) ∥x∥ ≤ ∥x − αy∥ từ đẳng thức dẫn đến ⟨x, y⟩ ≤ α ∥y∥2 Cho α ↓ ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 1.4 [3, 6] Trong không gian Hilbert H ta ln có ∥(α+1)x−αy∥2 = (α+1)∥x∥2 −α∥y∥2 +α(1+α)∥x−y∥2 , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R Chứng minh ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R, ta có ∥(α + 1)x − αy∥2 = ⟨(α + 1)x − αy, (α + 1)x − αy⟩ = (α + 1)2 ⟨x, x⟩ + α2 ⟨y, y⟩ − 2α(1 + α)⟨x, y⟩ = (α + 1)2 ∥x∥2 + α2 ∥y∥2 − 2α(1 + α)⟨x, y⟩ = (α + 1)∥x∥2 − α∥y∥2 + α(1 + α)∥x∥2 + α(1 + α)∥y∥2 − 2α(1 + α)⟨x, y⟩ = (α + 1)∥x∥2 − α∥y∥2 + α(1 + α)[∥x∥2 + ∥y∥2 − 2⟨x, y⟩] = (α + 1)∥x∥2 − α∥y∥2 + α(1 + α)∥x − y∥2 Mệnh đề chứng minh Phần tiếp theo, dành để nhắc lại số khái niệm tính chất tơpơ cần thiết dùng đến phần tiếp sau Định nghĩa 1.1 Trong không gian Hilbert H, dãy {xn } gọi (i) hội tụ mạnh đến x ∈ H n → +∞ lim ∥xn − x∥ = 0, n→+∞ viết xn → x (ii) hội tụ yếu đến x ∈ H n → +∞ lim ⟨xn , a⟩ = ⟨x, a⟩, n→+∞ kí hiệu xn ⇀ x ∀a ∈ H, 27 Điều tương đương với ⟨A(yn ), yn − xn+1 + xn+1 − u⟩ ≥ 0, ∀n ≥ Hay suy ⟨A(yn ), u − xn+1 ⟩ ≤ ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩, ∀n ≥ (2.11) Từ cách xác định Tn lại cho ta ⟨wn − λn A(wn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ ≤ 0, ta nhận ⟨wn − λn A(yn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ = ⟨wn − λn A(wn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ + λn ⟨A(wn ) − A(yn ), xn+1 − yn ⟩ ≤ λn ⟨A(wn ) − A(yn ), xn+1 − yn ⟩ (2.12) Từ Hệ 1.3 (2.11) ta có ước lượng ∥xn+1 − u∥2 ≤ ∥wn − λn A(yn ) − u∥2 − ∥wn − λn A(yn ) − xn+1 ∥2 = ∥wn − u∥2 − ∥wn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(yn ), u − xn+1 ⟩ ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩ = ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn + yn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩ = ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 − 2⟨wn − yn , yn − xn+1 ⟩ + 2λn ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩ = ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 + 2⟨wn − λn A(yn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ (2.13) Từ (2.12) (2.13) suy ∥xn+1 − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(wn ) − A(yn ), xn+1 − yn ⟩ (2.14) 28 Từ (2.8), (2.9) (2.14) dẫn đến ∥xn+1 − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(wn ) − A(yn ), xn+1 − yn ⟩ = ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 λn λn+1 ⟨A(wn ) − A(yn ), xn+1 − yn ⟩ +2 λn+1 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 λn + µ(∥wn − yn ∥2 + ∥xn+1 − yn ∥2 ) λn+1 (2.15) Tiếp theo, để ý λn µ = µ < µ0 < 1, n→+∞ λn+1 < lim nên tồn n0 ∈ N cho 0< λn µ < µ0 < 1, λn+1 ∀n ≥ n0 Điều với (2.15) suy ∥xn+1 − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − (1 − µ0 )(∥wn − yn ∥2 + ∥xn+1 − yn ∥2 ) − µ0 (∥wn − yn ∥2 + ∥xn+1 − yn ∥2 ) ≤ ∥wn − u∥2 − − µ0 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥xn+1 − wn ∥2 ), ∀n ≥ n0 (2.16) Ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.4 [6] Cho {δn }, {αn } {ϕn } dãy số thực không âm thỏa mãn δn + αn (ϕn − ϕn−1 ) + ϕn ≥ ϕn+1 , +∞ X ∀n ≥ 1, δn < +∞ n=1 Nếu tồn số thực α mà ≤ αn ≤ α < 1, ∀n ∈ N ta có tính chất sau: (i) +∞ X n=1 [ϕn − ϕn−1 ]+ < +∞, [t]+ = max{t, 0} 29 (ii) Tồn ϕ∗ ∈ [0, +∞) cho ϕn → ϕ∗ − µ0 giả thiết (H1)-(H4) bảo đảm Nếu {αn } dãy không giảm thỏa mãn Định lí 2.1 Giả sử θ0 := ≤ αn ≤ αn+1 ≤ α, √ −2θ0 − + 8θ0 + α< , 2(1 − θ0 ) dãy dãy {xn } sinh Phương pháp MISEGM hội tụ yếu tới nghiệm toán (2.1) Chứng minh Từ cách xác định wn Mệnh đề 1.4 ta có ước lượng ∥wn − u∥2 = ∥xn + αn (xn − xn−1 ) − u∥2 = ∥(1 + αn )(xn − u) − αn (xn−1 − u)∥2 = (1 + αn )∥xn − u∥2 − αn ∥xn−1 − u∥2 + αn (1 + αn )∥xn − xn−1 ∥ (2.17) Từ (2.16) (2.17) dẫn đến ∥xn+1 − u∥2 ≤ (1 + αn )∥xn − u∥2 − αn ∥xn−1 − u∥2 + αn (1 + αn )∥xn − xn−1 ∥ − θ0 ∥xn+1 − wn ∥ (2.18) Mặt khác, ta lại có ∥xn+1 − wn ∥2 = ∥xn+1 − xn − αn (xn − xn−1 )∥2 = ∥xn+1 − xn ∥2 + αn2 ∥xn − xn−1 ∥2 − 2αn ⟨xn+1 − xn , xn − xn−1 ⟩ ≥ ∥xn+1 − xn ∥2 + αn2 ∥xn − xn−1 ∥2 − αn (∥xn+1 − xn ∥2 + ∥xn − xn−1 ∥2 ) Từ (2.18) (2.19) ta có ước lượng ∥xn+1 − u∥2 − (1 + αn )∥xn − u∥2 + αn ∥xn−1 − u∥2 (2.19) 30 ≤ (αn − 1)θ0 ∥xn+1 − xn ∥2 + αn (1 + αn + (1 − αn )θ0 )∥xn − xn−1 ∥2 (2.20) Đặt τn = αn (1 + αn + (1 − αn )θ0 ), Γn = ∥xn − u∥2 − αn ∥xn−1 − u∥2 + τn ∥xn − xn−1 ∥2 Khi đó, ta có Γn+1 − Γn = ∥xn+1 − u∥2 − αn+1 ∥xn − u∥2 + τn+1 ∥xn+1 − xn ∥2 − ∥xn − u∥2 + αn ∥xn−1 − u∥2 − τn ∥xn − xn−1 ∥2 ≤ ∥xn+1 − u∥2 − αn ∥xn − u∥2 + τn+1 ∥xn+1 − xn ∥2 − ∥xn − u∥2 + αn ∥xn−1 − u∥2 − τn ∥xn − xn−1 ∥2 = ∥xn+1 − u∥2 − (1 + αn )∥xn − u∥2 + αn ∥xn−1 − u∥2 + τn+1 ∥xn+1 − xn ∥2 − τn ∥xn − xn−1 ∥2 Hay tương đương với Γn+1 − Γn ≤ (τn+1 + (αn − 1)θ0 )∥xn+1 − xn ∥2 (2.21) Từ điều kiện cho lại suy τn+1 + (αn − 1)θ0 = αn+1 (1 + αn+1 + (1 − αn+1 )θ0 ) + (αn − 1)θ0 = αn+1 (1 + αn+1 (1 − θ0 ) + θ0 ) + (αn − 1)θ0 ≤ α(1 + α(1 − θ0 ) + θ0 ) + (α − 1)θ0 < (2.22) Đặt σ := α(1 + α(1 − θ0 ) + θ0 ) + (α − 1)θ0 < Từ (2.21) (2.22) suy Γn+1 − Γn ≤ σ∥xn+1 − xn ∥2 , ∀n ≥ n0 , (2.23) Γn+1 ≤ Γn , ∀n ≥ n0 Mặt khác, ta lại có ∥xn − u∥2 = Γn + αn ∥xn−1 − u∥2 − τn ∥xn − xn−1 ∥2 (2.24) 31 ≤ Γn + αn ∥xn−1 − u∥2 ≤ Γn0 + α∥xn−1 − u∥2 , ∀n ≥ n0 Do đó, quy nạp ta nhận ∥xn − u∥2 ≤ Hơn để ý Γ n0 + αn−n0 ∥xn0 − u∥2 1−α Γn+1 = ∥xn+1 − u∥2 − αn+1 ∥xn − u∥2 + τn+1 ∥xn+1 − xn ∥2 ≥ −αn+1 ∥xn − u∥2 (2.25) (2.26) Từ (2.23), (2.25) (2.26) dẫn đến −σ n X i=n0 ∥xi+1 − xi ∥2 ≤ Γn0 − Γn+1 ≤ Γn0 + α∥xn − u∥2 αΓn0 ≤ Γ n0 + + αn−n0 +1 ∥xn0 − u∥2 1−α Γ n0 + αn−n0 +1 ∥xn0 − u∥2 , ∀n ≥ n0 = 1−α Vì ta phải có −σ +∞ X i=n0 ∥xi+1 − xi ∥2 < +∞ (2.27) Điều suy ∥xn+1 − xn ∥ → Từ (2.18) ta lại có ∥xn+1 − u∥2 ≤ (1 + αn )∥xn − u∥2 − αn ∥xn−1 − u∥2 + αn (1 + αn )∥xn − xn−1 ∥ ≤ (1 + αn )∥xn − u∥2 − αn ∥xn−1 − u∥2 + α(1 + α)∥xn − xn−1 ∥ Từ Bổ đề 2.4 (2.28) suy tồn giới hạn lim ∥xn − u∥, n→+∞ (2.28) 32 từ (2.17) ta có lim ∥xn − u∥ = lim ∥wn − u∥ n→+∞ n→+∞ Điều chứng tỏ dãy {xn } {wn } bị chặn Do đó, tồn dãy {xnk } dãy dãy {xn } có tính chất xnk ⇀ x∗ ∈ H Tiếp theo, từ đánh giá ∥xn+1 − wn ∥ ≤ ∥xn+1 − xn ∥ + αn ∥xn − xn−1 ∥ ≤ ∥xn+1 − xn ∥ + α∥xn − xn−1 ∥ ∥xn − wn ∥ ≤ ∥xn+1 − xn ∥ + ∥xn+1 − wn ∥ ta có ∥xn − wn ∥ → 0, ∥xn+1 − wn ∥ → Từ (2.16) ta có (1 − µ0 )(∥wn − yn ∥2 + ∥xn+1 − yn ∥2 ) ≤ ∥wn − u∥2 − ∥xn+1 − u∥2 , ∀n ≥ n0 Điều suy ∥wn − yn ∥ → 0, ∥xn+1 − yn ∥ → 0, ∥xn − yn ∥ → Từ ta có w nk ⇀ x∗ , yn k ⇀ x ∗ , x∗ ∈ C Vì ynk = PC (wnk − λnk A(wnk )) nên từ tính chất phép chiếu ta có ⟨ynk − wnk + λnk A(wnk ), z − ynk ⟩ ≥ 0, ∀z ∈ C Tương đương với ⟨ynk − wnk , z − ynk ⟩ ≤ λnk ⟨A(wnk ), z − ynk ⟩, ∀z ∈ C Từ dẫn đến ⟨yn − wnk , z − ynk ⟩ + ⟨A(wnk ), ynk − wnk ⟩ ≤ ⟨A(wnk ), z − wnk ⟩, λ nk k ∀z ∈ C 33 Cố định z ∈ C, cho k → +∞ sử dụng tính chất ∥ynk − wnk ∥ → 0, tính bị chặn {wn } Nhận xét 2.4, ta có lim inf ⟨A(wnk ), z − wnk ⟩ ≥ k→+∞ Ta lấy dãy giảm số thực {εk } mà εk → Khi đó, với εk , ta gọi mk số nguyên dương nhỏ mà ⟨A(wni ), z − wni ⟩ + εk ≥ 0, ∀i ≥ mk (2.29) Vì {εk } dãy giảm nên dễ thấy {mk } dãy tăng Tiếp theo, ta xét hai khả xảy sau Trường hợp Nếu có dãy {wnmk } dãy {wnmk } mà A(wnmk ) = j j với j = lim ⟨A(wnmk ), z − wnmk ⟩ = ⟨A(x∗ ), z − x∗ ⟩ j→+∞ j j Điều suy x∗ ∈ S Trường hợp Tồn m0 ∈ N cho A(wnmk ) ̸= với mk ≥ m0 Khi đó, ta đặt Điều lại dẫn đến A(wnmk ) , ∀mk ≥ m0 ⟨A(wnmk ), znmk ⟩ = 1, ∀mk ≥ m0 z nm k = ∥A(wnmk )∥2 Từ (2.29) cho ta ⟨A(wnmk ), z + εk znmk − wnmk ⟩ ≥ 0, ∀mk ≥ m0 Từ (H2) suy ⟨A(z + εk znmk ), z + εk znmk − wnmk ⟩ ≥ 0, ∀mk ≥ m0 ⟨A(z), z − wnmk ⟩ ≥ ⟨A(z) − A(z + εk znmk ), z + εk znmk − wnmk ⟩ 34 (2.30) − εk ⟨A(z), znmk ⟩ Từ (H4) wnk ⇀ x∗ ta có A(wnk ) ⇀ A(x∗ ), ∥A(x∗ ) ≤ lim inf ∥A(wnk )∥ k→+∞ Nếu A(x∗ ) = x∗ ∈ S Nếu trái lại để ý εk ≤ = k→+∞ ∥A(wnm )∥ ∥A(x )∥ ∗ k ≤ lim ∥εk znmk ∥ = lim k→+∞ Trong (2.30) cho k → +∞ ta nhận ⟨A(z), z − x∗ ⟩ ≥ 0, ∀z ∈ C Áp dụng Bổ đề Minty ta có x∗ ∈ S Cuối cùng, ta chứng minh xn ⇀ x∗ Thật vậy, giả sử {xn } có dãy {xni } mà xni ⇀ xˆ ∈ S Để ý rằng, dãy {∥xn − u∥} có giới hạn với u ∈ S Từ điều kiện Opial (Mệnh đề 1.6) ta có lim ∥xn − x∗ ∥ = lim inf ∥xnj − x∗ ∥ < lim inf ∥xnj − xˆ∥ n→+∞ j→+∞ j→+∞ = lim ∥xn − xˆ∥ = lim inf ∥xni − xˆ∥ n→+∞ i→+∞ < lim inf ∥xni − x∗ ∥ = lim ∥xn − x∗ ∥ i→+∞ n→+∞ Mâu thuẫn Do đó, dãy {xn } hội tụ yếu tới điểm x∗ ∈ S Tiếp theo, để nhận hội tụ mạnh Phương pháp MISEGM, ta thay giả thiết (H2) điều kiện sau đây: (H2∗ ) A : H → H ánh xạ giả đơn điệu mạnh, tức là, với x, y ∈ H, tồn γ > để cho ⟨A(y), x − y⟩ ≥ ⇒ ⟨A(x), x − y⟩ ≥ γ∥x − y∥2 − µ0 giả thiết (H1), (H2∗ ) (H3) bảo đảm Nếu {αn } dãy khơng giảm thỏa mãn Định lí 2.2 Giả sử θ0 := ≤ αn ≤ αn+1 ≤ α, 35 √ −2θ0 − + 8θ0 + α< , 2(1 − θ0 ) dãy dãy {yn } sinh Phương pháp MISEGM hội tụ mạnh tới nghiệm toán (2.1) Chứng minh Dễ thấy, điều kiện (H2∗ ) suy tốn (2.1) có nghiệm u ∈ S Vì u ∈ S yn ∈ C nên ta có ⟨A(u), yn − u⟩ ≥ 0, ∀n ≥ Vì A giả đơn điệu mạnh nên ⟨A(yn ), yn − u⟩ ≥ γ∥yn − u∥2 , ∀n ≥ Điều tương đương với ⟨A(yn ), yn − xn+1 + xn+1 − u⟩ ≥ γ∥yn − u∥2 , ∀n ≥ Hay suy ⟨A(yn ), u − xn+1 ⟩ ≤ ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩ − γ∥yn − u∥2 , ∀n ≥ (2.31) Từ Hệ 1.3 (2.31) ta có ước lượng ∥xn+1 − u∥2 ≤ ∥wn − λn A(yn ) − u∥2 − ∥wn − λn A(yn ) − xn+1 ∥2 = ∥wn − u∥2 − ∥wn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(yn ), u − xn+1 ⟩ ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩ − 2λn γ∥yn − u∥2 = ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn + yn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩ − 2λn γ∥yn − u∥2 = ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 − 2⟨wn − yn , yn − xn+1 ⟩ + 2λn ⟨A(yn ), yn − xn+1 ⟩ − 2λn γ∥yn − u∥2 = ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 36 + 2⟨wn − λn A(yn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ − 2λn γ∥yn − u∥2 (2.32) Từ (2.12) (2.32) cho ta ∥xn+1 − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 + 2⟨wn − λn A(yn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ − 2λn γ∥yn − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(wn ) − A(yn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ − 2λn γ∥yn − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥wn − yn ∥2 − ∥yn − xn+1 ∥2 + 2λn ⟨A(wn ) − A(yn ) − yn , xn+1 − yn ⟩ − 2λγ∥yn − u∥2 (2.33) Lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.3, tồn n0 ∈ N cho ∥xn+1 − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − (1 − µ0 )(∥wn − yn ∥2 + ∥xn+1 − yn ∥2 ) − 2λγ∥yn − u∥2 , ∀n ≥ n0 (2.34) Khi đó, từ (2.17) (2.34) ta có 2λγ∥yn − u∥2 ≤ ∥wn − u∥2 − ∥xn+1 − u∥2 − (1 − µ0 )(∥wn − yn ∥2 + ∥xn+1 − yn ∥2 ) = ∥wn − u∥2 − ∥xn+1 − u∥2 ≤ −∥xn+1 − u∥2 + (1 + αn )∥xn − u∥2 − αn ∥xn−1 − u∥2 + αn (1 + αn )∥xn − xn−1 ∥ = ∥xn − u∥2 − ∥xn+1 − u∥2 + αn ∥xn − u∥2 − αn ∥xn−1 − u∥2 + αn (1 + αn )∥xn − xn−1 ∥ ≤ ∥xn − u∥2 − ∥xn+1 − u∥2 + αn ∥xn − u∥2 − αn−1 ∥xn−1 − u∥2 + αn (1 + αn )∥xn − xn−1 ∥, ∀n ≥ n0 37 Suy n X i=n0 2λγ∥yi − u∥2 ≤ ∥xn0 − u∥2 − ∥xn+1 − u∥2 + αn ∥xn − u∥2 − αn0 −1 ∥xn0 −1 − u∥2 n X α(1 + α)∥xi − xi−1 ∥ + i=n0 Kết hợp với (2.27) tính bị chặn dãy {xn } suy +∞ X i=n0 2λγ∥yi − u∥2 < +∞ Do đó, ta nhận ∥yn − u∥ → Định lí chứng minh 2.3 Ví dụ minh họa Các kết tính tốn phần lập trình phần mềm MATLAB 14a chạy thử nghiệm máy tính ASUSPRO, CPU Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @ 1.70GHz upto 2.40 GHz, 4GB RAM Ví dụ 2.4 Xét mơ hình tốn (2.1) với giả thiết sau đây: (H1) Cho C = {(u, v) ∈ R2 : u + 3v ≤ 6}, tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực R2 (H2) Ánh xạ A : R2 → R2 xác đinh A(u, v) = (u − 3v, −3u + 9v), ∀(u, v) ∈ R2 Dễ thấy, A ánh xạ đơn điệu ⟨A(x) − A(y), x − y⟩ = ⟨A(x − y), x − y⟩ = (a − 3b)2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R2 ta dùng kí hiệu x − y = (a, b) √ (H3) A 5-liên tục Lipschitz ∥A(x) − A(y)∥2 = ∥A(x − y)∥2 = 10(a − 3b)2 ≤ 180(a2 + b2 ) = 180∥x − y∥2 , Hiển nhiên, A thỏa mãn giả thiết (H4) ∀x, y ∈ R2 38 Khơng khó khăn để Sol(VIP(A, C)) = {(u, v) ∈ R2 : u = 3v, v ≤ 1} Lấy dãy tham số thỏa mãn điều kiện Định lí 2.1 µ = 0.9, µ0 = 0.91, λ1 = Để ý rằng, trường hợp ta có θ0 := nên − 0.91 = 0.5450 √ −2θ0 − + 8θ0 + = 0.247436681931918 2(1 − θ0 ) Do ta chọn giá trị αn = α < 0.247436681931918 Sử dụng Phương pháp MISEGM cho tốn nêu ta có bảng kết tính tốn sau với tiêu chuẩn dừng err = ∥wn − yn ∥ < TOL với TOL ngưỡng sai số cho trước Phương pháp MISEGM Phương pháp MISEGM x0 = (1, 1) x1 = (2, 2) x0 = (2, 3) x1 = (1, 6) TOL n err n err 10−3 164 9.829146981725977e − 04 180 9.326255000473473e − 04 −4 10 189 9.403533274675541e − 05 204 9.800574189752214e − 05 10−5 213 9.881783669904974e − 06 229 9.376197621953207e − 06 Bảng 2.1: Kết tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.03 Phương pháp MISEGM Phương pháp MISEGM x0 = (1, 1) x1 = (2, 2) x0 = (2, 3) x1 = (1, 6) TOL n err n err 10−3 135 9.184872923753379e − 04 147 9.886129528184553e − 04 −4 10 155 9.067709481813693e − 05 167 9.760021362825570e − 05 10−5 175 8.952042022979319e − 06 187 9.635519479477667e − 06 Bảng 2.2: Kết tính toán cho Phương pháp MISEGM với α = 0.2 39 Ví dụ 2.5 Xét mơ hình tốn (2.1) với giả thiết đây: (H1) Cho C = {(u, v) ∈ R2 : 2u + 3v ≤ 5}, tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực R2 (H2) Ánh xạ A : R2 → R2 xác định A(u, v) = (3u, 3v), ∀(u, v) ∈ R2 Dễ thấy, A ánh xạ đơn điệu mạnh ⟨A(x) − A(y), x − y⟩ = 3∥x − y∥2 , ∀x, y ∈ R2 (H3) Ánh xạ A 3-liên tục Lipschitz ∥A(x) − A(y)∥2 = 3∥x − y∥2 , ∀x, y ∈ R2 Hiển nhiên, A thỏa mãn giả thiết (H4) Khơng khó khăn để tốn có nghiệm x∗ = (0, 0) Lấy dãy tham số tương tự Ví dụ 2.4 sử dụng Phương pháp MISEGM cho toán nêu trên, ta có bảng kết tính tốn sau Phương pháp MISEGM Phương pháp MISEGM x0 = (1, 1) x1 = (2, 2) x0 = (2, 3) x1 = (1, 6) TOL n err=∥yn − x∗ ∥ n err=∥yn − x∗ ∥ 10−3 74 9.198566733383740e − 04 90 9.613734205865693e − 04 10−4 98 9.555708778901748e − 05 114 9.986995475677255e − 05 10−5 122 9.926717162988967e − 06 139 9.440613320206916e − 06 Bảng 2.3: Kết tính tốn cho Phương pháp MISEGM với α = 0.003 40 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu trình bày lại có hệ thống số vấn đề sau đây: Một là, trình bày lại kết giải tích lồi giải tích hàm khơng gian Hilbert thực Chương nhằm phục vụ cho việc chi tiết hóa nội dung luận văn Chương Hai là, trình bày mơ hình tốn bất đẳng thức biến phân (VIP) số toán liên quan toán cực trị, toán bù, Bên cạnh đó, số kết tồn nghiệm cho toán nêu giới thiệu cụ thể Ba là, trình bày nội dung hội tụ mạnh (yếu) phương pháp đạo hàm - đạo hàm tăng cường có quán tính cải biên (MISEGM) xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz khơng gian Hilbert thực Bốn là, xây dựng hai ví dụ số minh họa cụ thể làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Song Hà, Trương Minh Tuyên (2022), Giáo trình bất đẳng thức biến phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Agarwal R., O’Regan D., Shahu, D (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [3] Bauschke H H., Combettes P L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [4] Hadjisavvas N., Komlósi S., Schaible S (2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York [5] Kinderlerhrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork [6] Yang J (2021), "Self-Adaptive Inertial Subgradient Extragradient Algorithm for Solving Pseudomonotone Variational Inequalities", Applicable Analysis, 100 (5), pp 1067-1078