Luận văn thạc sỹ phương pháp kiểu tseng quán tính tìm một nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐÀO THỊ LÊ DUNG PHƯƠNG PHÁP KIỂU TSENG QN TÍNH TÌM MỘT NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2022 ii LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nỗ lực học tập nghiên cứu, đến tơi hồn thành luận văn "Phương pháp kiểu Tseng qn tính tìm nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động" Trong q trình hồn thành luận văn, ngồi cố gắng thân tơi nhận giúp đỡ nhiều cá nhân tập thể Trước hết xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Song Hà Tiến sĩ Đinh Diệu Hằng Thầy Cô trực tiếp hướng dẫn Thầy Cô dành nhiều thời gian tâm sức giúp đỡ cho nhiều nhận xét ý kiến đóng góp q báu, giúp tơi hoàn thành tốt luận văn Trong suốt trình học tập làm việc thân tơi thấy có trưởng thành mặt nhận thức, tìm hiểu thêm phần nhỏ tốn học đại, học nhiều từ thái độ làm việc tận tâm, nghiêm túc từ hai Thầy Cô hướng dẫn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm toàn thể quý Thầy Cơ Khoa Tốn-Tin, Phịng Sau đại học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình tạo điều kiện trình tơi học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới BGH trường THPT Chuyên Thái Bình tạo điều kiện để tơi có hội học tập nâng cao chuyên môn Tác giả Đào Thị Lê Dung Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Danh sách bảng v Mở đầu Chương Sơ lược giải tích hàm không gian Hilbert thực 1.1 Một số đẳng thức bất đẳng thức 1.2 Một số tính chất tơpơ 1.3 Một số lớp ánh xạ thường dùng 12 Chương Phương pháp kiểu Tseng quán tính tìm nghiệm chung tốn (VIP) (FPP) 21 2.1 Mơ hình tốn 2.2 Phương pháp xấp xỉ nghiệm kiểu Tseng quán tính 21 28 2.3 Ví dụ minh họa 38 Kết luận chung đề nghị 41 Tài liệu tham khảo 42 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt H Không gian Hilbert thực Rn Không gian thực hữu hạn chiều ⟨x, y⟩ Tích vơ hướng hai véctơ x y ∀x Với x ∥x∥ Chuẩn véctơ x PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C α↓0 α giảm dần ∂f (x) Dưới vi phân ánh xạ f x xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x n → +∞ ∇f (x) xn ⇀ x Gradient ánh xạ f x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x n → +∞ (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân (FPP) Bài toán điểm bất động Sol(VIP(A, C)) Tập nghiệm toán (VIP) với ánh xạ giá A miền hữu hiệu C Fix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T ITEM Phương pháp kiểu Tseng quán tính Danh sách bảng 2.1 Kết tính tốn cho phương pháp (ITEM) với x0 = (1, 2) x1 = (2, 1) 39 Mở đầu Bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động biết đến cơng cụ hữu ích hiệu nghiên cứu toán học [1, 2, 3, 5, 6] Bên cạnh đó, chúng cung cấp tảng lí thuyết thống để nghiên cứu nhiều vấn đề nảy sinh từ thực tiễn, thuộc nhiều lĩnh vực khí kĩ thuật, kinh tế học, giao thơng, cơng nghệ truyền thông, Một hướng nghiên cứu dành trọng đặc biệt nhiều nhà tốn học, vấn đề tìm phần tử chung thuộc tập điểm bất động toán tử tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Lí chủ yếu khả ứng dụng có mơ hình thực tế mà mơ tả dạng tốn nêu với giả thiết phù hợp Thêm vào đó, việc đề xuất thuật toán giải xấp xỉ tốn đóng vai trị vơ quan trọng việc đưa lí thuyết vào giải vấn đề đặt thực tiễn Cho đến nay, có nhiều phương pháp giải tốn nêu thiết kế dựa nhiều phương pháp tảng phổ biến như: Phương pháp lặp Mann, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp chiếu gradient, phương pháp Korpelevich, phương pháp chiếu quán tính, phương pháp Tseng, phương pháp Ishikawa, (xem [1, 3, 4, 5, 7] tài liệu dẫn) Mục đích luận văn trình bày lại kết đề xuất Cai đồng công bố năm 2021 [4] theo hướng Cụ thể, luận văn trình bày phương pháp kiểu Tseng quán tính cải biên (kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm) tìm nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz toán điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Với mục tiêu vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương dùng để hệ thống lại kiến thức giải tích lồi giải tích hàm khơng gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau Chương dành để trình bày nội dung hội tụ phương pháp kiểu Tseng có qn tính tìm nghiệm xấp xỉ tốn nêu Bên cạnh đó, ví dụ số chúng tơi xây dựng chi tiết hóa nhằm làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Chương Sơ lược giải tích hàm khơng gian Hilbert thực Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày số đẳng thức bất đẳng thức không gian Hilbert thực Mục 1.2 dành để sơ lược lại vài vấn đề tập mở, tập đóng, tập bị chặn, tập compact, tập lồi số tính chất cốt yếu Phần cuối chương, Mục 1.3 dùng để giới thiệu số lớp ánh xạ thường dùng phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ liên tục 1.1 Một số đẳng thức bất đẳng thức Mục dành để hệ thống lại số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert thực H Trước hết, nhắc lại khái niệm sau tích vơ hướng Định nghĩa 1.1 Cho H không gian véctơ thực Hàm số ⟨., ⟩ : H × H → R (x,y) 7→ ⟨x,y⟩ gọi tích vơ hướng hai véctơ x y điều kiện sau thỏa mãn: (i) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ với x, y ∈ H, (ii) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ với x, y, z ∈ H, (iii) ⟨αx, y⟩ = α⟨x, y⟩ với x, y ∈ H, α ∈ R, (iv) ⟨x, x⟩ ≥ với x ∈ H ⟨x, x⟩ = ⇔ x = Không gian véctơ thực H với tích vơ hướng xác định gọi khơng gian tiền Hilbert Ví dụ 1.1 Không gian hữu hạn chiều Rn không gian tiền Hilbert với tích vơ hướng véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn véctơ y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn xác định ⟨x, y⟩ = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Ví dụ 1.2 Không gian L2 [a, b] hàm số thực bình phương khả tích đoạn [a, b] ⊂ R khơng gian tiền Hilbert với tích vơ hướng x = x(t) ∈ L2 [a, b] y = y(t) ∈ L2 [a, b] cho Z b ⟨x, y⟩ = x(t)y(t)dt a Tiếp theo, giới thiệu lại số đẳng thức bất đẳng thức thương dùng Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H ta ln có |⟨u, v⟩|2 ≤ ⟨u, u⟩⟨v, v⟩, ∀u, v ∈ H Chứng minh Dễ thấy, v = bất đẳng thức Giả sử v ̸= với λ ∈ R ta có ⟨u + λv, u + λv⟩ ≥ 0, hay tương đương với ⟨u, u⟩ + 2λ⟨u, v⟩ + λ2 ⟨v, v⟩ ≥ Trong bất đẳng thức trên, chọn λ = − ⟨u, v⟩ nhận ⟨v, v⟩ |⟨u, v⟩|2 ⟨u, u⟩ − ≥ ⟨v, v⟩ Điều suy |⟨u, v⟩|2 ≤ ⟨u, u⟩⟨v, v⟩ Nhận xét 1.1 Cho H không gian tiền Hilbert Hàm số ∥.∥ : H → R xác định ∥x∥ = p ⟨x, x⟩, x ∈ H, (1.1) chuẩn H chuẩn gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Thật vậy, dễ thấy rằng, từ (1.1) điều kiện (iv) định nghĩa tích vơ hướng, ta có ∥x∥ ≥ ∥x∥ = ⇔ x = Tiếp theo, với x ∈ H λ ∈ R ta thấy p p ∥λx∥ = ⟨λx, λx⟩ = |λ| ⟨x, x⟩ = |λ|∥x∥ Cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức Schwarz, với x, y ∈ H ta có ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥2 = (∥x∥ + ∥y∥)2 Suy ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Ví dụ 1.3 Chuẩn véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn sinh tích vơ hướng Ví dụ 1.1 q ∥x∥ = x21 + x22 + + x2n Chuẩn x = x(t) ∈ L2 [a, b] sinh tích vơ hướng Ví dụ 1.2 có dạng s Z b ∥x∥ = x2 (t)dt a Mệnh đề 1.2 (Quy tắc hình bình hành) Trong khơng gian tiền Hilbert H ta ln có ∥u + v∥2 + ∥u − v∥2 = 2(∥u∥2 + ∥v∥2 ), ∀u, v ∈ H Chứng minh Ta có ∥u + v∥2 = ∥u∥2 + 2⟨u, v⟩ + ∥v∥2 , ∀u, v ∈ H, ∥u − v∥2 = ∥u∥2 − 2⟨u, v⟩ + ∥v∥2 , ∀u, v ∈ H Cộng hai vế đẳng thức ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 1.3 Trong khơng gian tiền Hilbert H ta ln có ∥u + v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2⟨u + v, v⟩, ∀u, v ∈ H 28 = ∥z − z∥2 = Do đó, T (z) = z hay z ∈ Fix(T ) Vì thế, Fix(T ) tập lồi 2.2 Phương pháp xấp xỉ nghiệm kiểu Tseng quán tính Trong phần này, sử dụng giả thiết đây: (C1) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H (C2) Cho A : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz, giả đơn điệu H liên tục yếu theo dãy C Cho T : H → H ánh xạ không giãn Giả sử Ω := Sol(VIP(A, C)) ∩ Fix(T ) ̸= ∅ (C3) f : H → H ánh xạ co với hệ số co δ ∈ [0, 1) (C4) Tham số λ ∈ (0, 1/L) dãy tham số {αn }, {βn } {γn } nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện lim βn = 0, n→+∞ +∞ X βn = +∞, n=1 lim inf γn (1 − γn ) > n→+∞ Tiếp theo, phương pháp kiểu Tseng quán tính (viết tắt ITEM) tìm nghiệm chung cho toán bất đẳng thức biến phân (VIP) toán điểm bất động (FPP) khơng gian Hilbert thực có dạng (2.3) Phương pháp ITEM Bước Lấy x0 , x1 ∈ H tùy ý gán n := Bước Với xn−1 xn biết, tính xn+1 sau:    w = xn + αn (xn − xn−1 ),   n yn = PC (wn − λA(wn )),    x n+1 = βn f (xn ) + (1 − βn )[γn T (zn ) + (1 − γn )zn ], (2.5) 29 zn = yn − λ(A(yn ) − A(wn )) Bước Gán n ← n + quay lại thực Bước Trước chứng minh hội tụ mạnh phương pháp ITEM, cần Bổ đề sau Bổ đề 2.1 [4] Giả sử điều kiện (C1) (C2) bảo đảm {wn } dãy sinh Phương pháp ITEM Nếu tồn dãy {wnk } {wn } hội tụ yếu tới điểm z ∈ H lim ∥wnk − ynk ∥ = 0, k→+∞ z ∈ Sol(VIP(A, C)) Bổ đề 2.2 [4] Cho {an } dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện sau: an+1 ≤ (1 − cn )an + cn bn , cn ∈ (0, 1), +∞ X n=1 ∀n ≥ 0, cn = +∞ {bn } ⊂ R Nếu lim sup bn ≤ ta có n→+∞ lim an = n→+∞ Bổ đề 2.3 [4] Cho {an } dãy số thực khơng âm mà có dãy {anj } thỏa mãn anj ≤ anj +1 với j ∈ N Khi đó, tồn dãy khơng giảm {mk } N cho mk → +∞ tính chất sau bảo đảm với k ∈ N (đủ lớn): amk ≤ amk +1 , ak ≤ amk +1 Tiếp sau Định lí hội tụ mạnh cho Phương pháp ITEM Định lí 2.1 [4] Giả sử điều kiện (C1)-(C4) bảo đảm điệu kiện sau thỏa mãn αn ∥xn − xn−1 ∥ = (2.6) lim n→+∞ βn 30 Khi đó, dãy {xn } sinh Phương pháp ITEM hội tụ mạnh đến p ∈ Ω với p = PΩ f (p) Chứng minh Trước hết, {xn } bị chặn Thật vậy, từ định nghĩa {zn } ta có ∥zn − p∥2 = ∥yn − λ(A(yn ) − A(wn )) − p∥2 = ∥yn − p∥2 + λ2 ∥A(yn ) − A(wn )∥2 − 2λ⟨yn − p, A(yn ) − A(wn )⟩ = ∥wn − p∥2 + ∥yn − wn ∥2 + 2⟨wn − p, yn − wn ⟩ + λ2 ∥A(yn ) − A(wn )∥2 − 2λ⟨yn − p, A(yn ) − A(wn )⟩ = ∥wn − p∥2 + ∥yn − wn ∥2 − 2⟨yn − wn , yn − wn ⟩ + 2⟨yn − p, yn − wn ⟩ + λ2 ∥A(yn ) − A(wn )∥2 − 2λ⟨yn − p, A(yn ) − A(wn )⟩ hay tương đương với ∥zn − p∥2 = ∥wn − p∥2 − ∥yn − wn ∥2 + 2⟨yn − p, yn − wn ⟩ + λ2 ∥A(yn ) − A(wn )∥2 − 2λ⟨yn − p, A(yn ) − A(wn )⟩ (2.7) Mặt khác, từ cách xác định yn ta lại có ⟨yn − (wn − λA(wn )), yn − p⟩ ≤ Điều dẫn đến ⟨yn − wn , yn − p⟩ ≤ −λ⟨A(wn ), yn − p⟩ Từ (2.7) (2.8) ta nhận ∥zn − p∥2 = ∥wn − p∥2 − ∥yn − wn ∥2 (2.8) 31 − 2λ⟨A(wn ), yn − p⟩ + λ2 ∥A(yn ) − A(wn )∥2 − 2λ⟨yn − p, A(yn ) − A(wn )⟩ = ∥wn − p∥2 − ∥yn − wn ∥2 + λ2 ∥A(yn ) − A(wn )∥2 − 2λ⟨A(yn ), yn − p⟩ ≤ ∥wn − p∥2 − ∥yn − wn ∥2 + λ2 L2 ∥yn − wn ∥2 − 2λ⟨A(yn ), yn − p⟩ (2.9) Vì p ∈ Sol(VIP(A, C)) nên ⟨A(p), x − p⟩ ≥ 0, ∀x ∈ C Từ tính giả đơn điệu A lại cho ta ⟨A(x), x − p⟩ ≥ 0, ∀x ∈ C Điều dẫn đến ⟨A(yn ), yn − p⟩ ≥ (2.10) ∥zn − p∥2 ≤ ∥wn − p∥2 − (1 − λ2 L2 )∥yn − wn ∥2 (2.11) Từ (2.9) (2.10) suy Vì thế, từ điều kiện λ ∈ (0, 1/L) (2.11), ta có ước lượng ∥zn − p∥ ≤ ∥wn − p∥ (2.12) Nếu đặt tn := γn T (zn ) + (1 − γn )zn từ (2.11) Mệnh đề 1.4 ta có ∥tn − p∥2 = γn ∥T (zn ) − p∥2 + (1 − γn )∥zn − p∥2 − γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 ≤ γn ∥zn − p∥2 + (1 − γn )∥zn − p∥2 − γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 = ∥zn − p∥2 − γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 ≤ ∥wn − p∥2 − (1 − λ2 L2 )∥yn − wn ∥2 − γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 (2.13) 32 Từ (2.13) dẫn đến (2.14) ∥tn − p∥ ≤ ∥wn − p∥ Từ cách xác đinh wn ta lại có ∥wn − p∥ = ∥xn − p + αn (xn − xn−1 )∥ ≤ ∥xn − p∥ + αn ∥xn − xn−1 ∥ αn = ∥xn − p∥ + βn ∥xn − xn−1 ∥ βn (2.15) Từ điều kiện (2.6) suy tồn M1 > cho αn ∥xn − xn−1 ∥ ≤ M1 , ∀n ≥ βn Do đó, từ (2.14) (2.15) ta có (2.16) ∥tn − p∥ ≤ ∥xn − p∥ + βn M1 Bây giờ, từ xác đinh wn (2.16) ta có đánh giá sau ∥xn+1 − p∥ = ∥βn f (xn ) + (1 − βn )[γn T (zn ) + (1 − γn )zn ] − p∥ ≤ βn ∥f (xn ) − p∥ + (1 − βn )∥γn T (zn ) + (1 − γn )zn − p∥ ≤ βn ∥f (xn ) − f (p)∥ + βn ∥f (p) − p∥ + (1 − βn )∥tn − p∥] ≤ βn δ∥xn − p∥ + βn ∥f (p) − p∥ + (1 − βn )(∥xn − p∥ + βn M1 ) ≤ βn δ∥xn − p∥ + βn ∥f (p) − p∥ + (1 − βn )∥xn − p∥ + βn M1 = (1 − βn (1 − δ))∥xn − p∥ + βn (1 − δ)   ∥f (p) − p∥ + M1 ≤ max ∥xn − p∥, 1−δ ∥f (p) − p∥ + M1 1−δ Do đó, quy nạp, ta có đánh giá   ∥f (p) − p∥ + M1 ∥xn+1 − p∥ ≤ max ∥x0 − p∥, 1−δ Điều chứng tỏ {xn } bị chặn dãy {wn }, {zn }, {yn }, {tn }, {f (xn )}, 33 bị chặn Tiếp theo, từ tính lồi hàm ∥ · ∥2 Mệnh đề 1.3 ta có ∥xn+1 − p∥2 = ∥βn f (xn ) + (1 − βn )[γn T (zn ) + (1 − γn )zn ] − p∥2 = ∥βn (f (xn ) − p) + (1 − βn )(tn − p)∥2 ≤ βn ∥f (xn ) − p∥2 + (1 − βn )∥tn − p∥2 = βn ∥f (xn ) − f (p) + f (p) − p∥2 + (1 − βn )∥tn − p∥2 ≤ βn [∥f (xn ) − f (p)∥2 + 2⟨f (p) − p, f (xn ) − p⟩] + (1 − βn )∥tn − p∥2 ≤ βn [δ ∥xn − p∥2 + 2∥f (p) − p∥∥f (xn ) − p∥] + (1 − βn )∥tn − p∥2 ≤ βn ∥xn − p∥2 + (1 − βn )∥tn − p∥2 + 2βn ∥f (p) − p∥∥f (xn ) − p∥] hay suy ∥xn+1 − p∥2 ≤ βn ∥xn − p∥2 + (1 − βn )∥tn − p∥2 + βn M2 , (2.17) M2 := sup{2∥f (p) − p∥∥f (xn ) − p∥} n Từ (2.13) (2.17) ta nhận ∥xn+1 − p∥2 ≤ βn ∥xn − p∥2 + (1 − βn )[∥wn − p∥2 − (1 − λ2 L2 )∥yn − wn ∥2 − γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 ] + βn M2 = βn ∥xn − p∥2 + (1 − βn )∥wn − p∥2 + βn M2 − (1 − βn )(1 − λ2 L2 )∥yn − wn ∥2 − (1 − βn )γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 (2.18) Từ (2.15), ta có ∥wn − p∥2 ≤ (∥xn − p∥ + βn M1 )2 ≤ ∥xn − p∥2 + βn M3 , M3 := sup{2M2 ∥xn − p∥ + M12 } n (2.19) 34 Do đó, từ (2.18) (2.19) ta nhận ∥xn+1 − p∥2 ≤ βn ∥xn − p∥2 + (1 − βn )(∥xn − p∥2 + βn M3 ) + βn M2 − (1 − βn )(1 − λ2 L2 )∥yn − wn ∥2 − (1 − βn )γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 ≤ ∥xn − p∥2 + βn M3 + βn M2 − (1 − βn )(1 − λ2 L2 )∥yn − wn ∥2 − (1 − βn )γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 Điều suy (1 − βn )(1 − λ2 L2 )∥yn − wn ∥2 + (1 − βn )γn (1 − γn )∥zn − T (zn )∥2 ≤ ∥xn − p∥2 − ∥xn+1 − p∥2 + βn M4 , (2.20) M4 = M2 + M3 Tiếp theo, để ý ∥wn − p∥2 = ∥xn − p + αn (xn − xn−1 )∥2 ≤ ∥xn − p∥2 + 2αn ⟨xn − xn−1 , wn − p⟩ ≤ ∥xn − p∥2 + 2αn ∥xn − xn−1 ∥∥wn − p∥ ≤ ∥xn − p∥2 + αn ∥xn − xn−1 ∥M5 , (2.21) M5 = sup{2∥wn − p∥} n Từ (2.14) (2.21) ta có ∥tn − p∥2 ≤ ∥xn − p∥2 + αn ∥xn − xn−1 ∥M5 (2.22) Điều dẫn đến ∥xn+1 − p∥2 = ∥βn f (xn ) + (1 − βn )tn − p∥2 = ∥βn (f (xn ) − f (p)) + (1 − βn )(tn − p) + βn (f (p) − p)∥2 ≤ ∥βn (f (xn ) − f (p)) + (1 − βn )(tn − p)∥2 + 2βn ⟨f (p) − p, xn+1 − p⟩ ≤ βn ∥f (xn ) − f (p)∥2 + (1 − βn )∥tn − p∥2 35 + 2βn ⟨f (p) − p, xn+1 − p⟩ ≤ βn δ∥xn − p∥2 + (1 − βn )∥xn − p∥2 + αn ∥xn − xn−1 ∥M5 + 2βn ⟨f (p) − p, xn+1 − p⟩ Hay suy ∥xn+1 − p∥2 ≤ (1 − βn (1 − δ))∥xn − p∥2  M5 α n ∥xn − xn−1 ∥ + βn (1 − δ) − δ βn  + ⟨f (p) − p, xn+1 − p⟩ 1−δ (2.23) Tiếp theo, xét hai khả sau Trường hợp Tồn n0 ∈ N cho ∥xn+1 − p∥2 ≤ ∥xn − p∥2 , ∀n ≥ n0 Khi đó, tồn lim ∥xn − p∥ từ (2.20) ta có n→+∞ ∥wn − yn ∥ → 0, (2.24) ∥zn − T (zn )∥ → (2.25) ∥zn − yn ∥ → (2.26) Vì thế, ta có Từ (2.24) (2.26) ta nhận ∥zn − wn ∥ → (2.27) Từ dẫn đến ∥xn − wn ∥ = αn ∥xn − xn−1 ∥ = βn αn ∥xn − xn−1 ∥ → βn (2.28) Từ (2.27) (2.28) cho ta ∥zn − xn ∥ → Mặt khác, để ý ∥xn+1 − xn ∥ ≤ ∥xn+1 − tn ∥ + ∥tn − xn ∥ (2.29) 36 = βn ∥f (xn ) − tn ∥ + ∥γn (T (zn ) − xn ) + (1 − γn )(zn − xn )∥ ≤ βn ∥f (xn ) − tn ∥ + γn ∥T (zn ) − xn ∥ + (1 − γn )∥zn − xn ∥ ≤ βn ∥f (xn ) − tn ∥ + γn ∥T (zn ) − zn ∥ + γn ∥zn − xn ∥ + (1 − γn )∥zn − xn ∥ ≤ βn ∥f (xn ) − tn ∥ + γn ∥T (zn ) − zn ∥ + ∥zn − xn ∥ Do đó, từ (C4), (2.25) (2.29) ta có ∥xn+1 − xn ∥ → (2.30) Bây giờ, {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnk } có tính chất xnk ⇀ z ∈ H Khi đó, ta để ý lim sup⟨f (p) − p, xn − p⟩ = lim ⟨f (p) − p, xnk − p⟩ k→+∞ n→+∞ = ⟨f (p) − p, z − p⟩ (2.31) Theo Bổ đề 2.1, từ (2.24), ta có z ∈ Sol(VIP(A, C)) Từ (2.29) ta có znk ⇀ z Kết hợp với (2.25) sử dụng Mệnh đề 1.15 ta nhận z ∈ Fix(T ) Do đó, ta có z ∈ Ω Mặt khác, từ (2.31) Mệnh đề 1.13 ta lại có lim sup⟨f (p) − p, xn − p⟩ = ⟨f (p) − p, z − p⟩ ≤ (2.32) n→+∞ Lại từ (2.30) (2.32) suy lim sup⟨f (p) − p, xn+1 − p⟩ ≤ n→+∞ Cuối cùng, sử dụng Bổ đề 2.2 (2.23) ta có xn → p (2.33) 37 Trường hợp Tồn dãy {∥xnj − p∥2 } dãy {∥xn − p∥2 } cho ∥xnj +1 − p∥2 ≥ ∥xnj − p∥2 , ∀j ∈ N Trong trường hợp này, theo Bổ đề 2.3, tồn dãy không giảm {mk } N cho mk → +∞ bất đẳng thức sau bảo đảm với k ∈ N: ∥xmk − p∥2 ≤ ∥xmk +1 − p∥2 , ∥xk − p∥2 ≤ ∥xmk +1 − p∥2 (2.34) Từ (2.20) ta có (1 − βmk )(1 − λ2 L2 )∥ymk − wmk ∥2 + (1 − βmk )γmk (1 − γmk )∥zmk − T (zmk )∥2 ≤ ∥xmk − p∥2 − ∥xmk +1 − p∥2 + βmk M4 ≤ βmk M4 Điều suy từ điều kiện (C4) ∥ymk − wmk ∥ → 0, ∥zmk − T (zmk )∥ → Chứng minh tương tự Trường hợp ta nhận ∥xmk − zmk ∥ → 0, ∥xmk +1 − xmk ∥ → 0, lim sup⟨f (p) − p, xmk +1 − p⟩ ≤ k→+∞ Lập luận tương tự phần trên, từ (2.34) ước lượng (2.23) ta có đánh giá ∥xk − p∥ ≤ ∥xmk +1 − p∥2 ≤ (1 − βmk (1 − δ))∥xmk − p∥2  M5 αmk + βmk (1 − δ) ∥xmk − xmk −1 ∥ − δ βmk  ⟨f (p) − p, xmk +1 − p⟩ + 1−δ 38 ≤ M5 αmk ⟨f (p) − p, xmk +1 − p⟩ ∥xmk − xmk −1 ∥ + − δ βmk 1−δ Từ giới hạn suy xk → p Ta có điều cần chứng minh 2.3 Ví dụ minh họa Các kết tính tốn phần lập trình phần mềm MATLAB 14a chạy thử nghiệm máy tính ASUSPRO, CPU Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @ 1.70GHz upto 2.40 GHz, 4GB RAM Ví dụ 2.4 Xét mơ hình tốn (2.3) với giả thiết đây: (C1) Cho C = {(u, v) ∈ R2 : u + v ≤ 4} tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực R2 (C2) Cho A : R2 → R2 có dạng A(u, v) = (2u − 2v; 2v − 2u), ∀(u, v) ∈ R2 √ Dễ thấy, A ánh xạ 2-liên tục Lipschitz, giả đơn điệu R2 Khơng khó khăn để Sol(VIP(A, C)) = {(u, v) ∈ R2 : u = v ≤ 2} Cho T : R2 → R2 có dạng T (u, v) = (v, u), ∀(u, v) ∈ R2 , ánh xạ khơng giãn Khi đó, dễ thấy Fix(T ) = {(u, v) ∈ R2 : u = v} Do đó, ta có Ω := {(u, v) ∈ R2 : u = v ≤ 2} (C3) Chọn f : R2 → R2 xác định f (x) = x/2, ∀x ∈ R2 ánh xạ co với hệ số co δ = 1/2 39 √ (C4) Lấy tham số λ = 1/4 ∈ (0, 1/2 2) dãy tham số {αn }, {βn } {γn } nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện βn = , αn = 0.99, γn = 0.001 n Sử dụng phương pháp ITEM cho toán nêu trên, ta có nghiệm xấp xỉ (n) (n) xn = (u1 , u2 ) cho bảng sau: n (n) (n) u1 u2 n (n) (n) u1 u2 0.25499750 0.12750250 20 0.55917360 0.27545807 -0.64038494 -0.32103030 40 -0.19680072 -0.06428882 -0.97277937 -0.48955492 60 -0.29439912 -0.21143965 -0.95473700 -0.48388069 80 0.30039733 0.13527365 10 -0.74024976 -0.38008790 100 0.17302902 0.18318197 12 -0.43753863 -0.23133499 200 0.09369521 0.14726458 14 -0.11952387 -0.07332856 500 0.01591348 0.01573560 16 0.16766333 0.07131161 1000 0.00124480 0.00139229 18 0.39781715 0.18959686 2000 -0.00000011 -0.00000054 Bảng 2.1: Kết tính tốn cho phương pháp (ITEM) với x0 = (1, 2) x1 = (2, 1) Ví dụ 2.5 Xét mơ hình tốn tìm nghiệm chung tốn cực trị (2.4) tốn (FPP): Tìm x ∈ Ω := Argmin(Ψ, C) ∩ Fix(T ) ̸= ∅, (2.35) Argmin(Ψ, C) tập điểm cực tiểu hàm Ψ : C → R khả vi Gâteaux C với đạo hàm Gâteaux ∇Ψ Ta xét giả thiết sau đây: (C1) Cho C = {(u, v) ∈ R2 : u + v ≥ −1} tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực R2 (C2) Cho Ψ : C → R có dạng Ψ(u, v) = u2 + v , ∀(u, v) ∈ R2 Khi đó, khơng khó khăn để Argmin(Ψ, C) = {(0, 0)} 40 Ngoài ra, điều kiện cần đủ cực trị cho hàm Ψ bất đẳng thức biến phân (VIP) với A(u, v) := ∇Ψ(u, v) Hơn nữa, ta có A(u, v) = (2u, 2v), ∀(u, v) ∈ R2 Dễ thấy, A ánh xạ 2-liên tục Lipschitz 1-đơn điệu mạnh R2 Cho T : R2 → R2 có dạng ∀(u, v) ∈ R2 , T (u, v) = (u, v), ánh xạ khơng giãn Khi đó, dễ thấy Fix(T ) = R2 Do đó, ta có Ω := {(0, 0)} (C3) Lấy f : R2 → R2 xác định f (x) = x/3, ∀x ∈ R2 ánh xạ co với hệ số co δ = 1/3 (C4) Chọn tham số λ = 1/4 ∈ (0, 1/2) dãy tham số {αn } {βn } nằm [0, 1] thỏa mãn điều kiện βn = , αn = 0.5 n (Vì T = I nên tn = zn Do đó, khơng cần sử dụng tham số γn ví dụ này) Sử dụng phương pháp ITEM cho tốn nêu trên, ta có dáng điệu sai số err = ∥xn ∥ nghiệm xấp xỉ xn nghiệm xác (0, 0) sau 100 bước lặp, mơ tả hình sau: 3.5 2.5 1.5 0.5 0 20 40 60 80 100 Hình 2.1: Dáng điệu nghiệm xấp xỉ với x0 = (5, 2) x1 = (3, 6) đây, trục hoành số bước lặp trục tung err 41 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu trình bày lại có hệ thống số vấn đề sau đây: Một là, trình bày lại kết giải tích lồi giải tích hàm khơng gian Hilbert thực Chương nhằm phục vụ cho việc chi tiết hóa nội dung luận văn Chương Hai là, trình bày mơ hình tốn bất đẳng thức biến phân (VIP), mơ hình tốn điểm bất động (FPP) số toán liên quan quen thuộc tốn giải phương trình, hệ phương trình, tốn cực trị Bên cạnh đó, giới thiệu số điều kiện tồn nghiệm, tính chất tập nghiệm tương ứng tốn nêu Ba là, trình bày nội dung hội tụ mạnh phương pháp kiểu Tseng có qn tính (ITEM), tìm nghiệm chung toán (VIP) toán (FPP) Bốn là, xây dựng ví dụ số minh họa cụ thể làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Song Hà, Trương Minh Tuyên (2022), Giáo trình bất đẳng thức biến phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Agarwal R., O’Regan D., Shahu, D (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [3] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [4] Cai G., Dong Q.L., Peng Y (2021), "Strong Convergence Theorems for Inertial Tseng’s Extragradient Method for Solving Variational Inequality Problems and Fixed Point Problems",Optimizaton Letters, 15, pp 14571474 [5] Hadjisavvas N., Komlósi S., Schaible S (2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York [6] Kinderlerhrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork [7] Zeidler E (1990), Nonlinear functional analysis and its applications, II/B, Springer