Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCLÂM THỊ THOA PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... TRƯỜNG Đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÂM THỊ THOA

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÂM THỊ THOA

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến và phép chiếu 4

1.1.1 Tập lồi và hàm lồi 4

1.1.2 Nón pháp tuyến 7

1.1.3 Phép chiếu 8

1.2 Hàm đơn điệu 10

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 15

1.3.1 Phát biểu bài toán 15

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 16 1.4 Bài toán cân bằng 17

1.4.1 Phát biểu bài toán 17

1.4.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 17

1.5 Kết luận 19

2 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên

2.1 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân 212.2 Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng 262.3 Ứng dụng giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập

nghiệm của bài toán cân bằng 322.4 Kết luận 41

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thiện tại Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Ngọc Anh (Họcviện Bưu chính Viễn thông) đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tácgiả trong suốt thời gian nghiên cứu và viết luận văn

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, các buổihội thảo seninar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như những

ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô Trường Đại học Khoa học TháiNguyên, Học viện Bưu chính Viễn thông, các bạn học viên lớp cao học toánK7Y Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Xin gửi tới lời cảm ơn sâu sắc tới Ban Lãnh đạo Trường Đại học HảiDương, các đồng nghiệp trong khoa Toán Kinh tế - Kỹ thuật đã luôn bên cạnhđộng viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân,những người đã luôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trìnhnghiên cứu và làm luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót vàhạn chế, tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô

và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Danh sách ký hiệu

hx, yi tích vô hướng của hai véc tơ x và y

argmin{f (x) : x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f

∂f (x) dưới vi phân của hàm lồi f tại x

NC(x) nón pháp tuyến của điểm x trên tập C

dC(x) hàm khoảng cách từ x đến tập C

xn → x dãy {xn}hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn}hội tụ yếu tới x

lim sup giới hạn trên

lim inf giới hạn dưới

P rC(x) hình chiếu của x lên C

EP (f, C) bài toán cân bằng

Sol(f, C) tập nghiệm bài toán cân bằng

V I(F, C) bài toán bất dẳng thức biến phân

Sol(F, C) tập nghiệm bài toán bất dẳng thức biến phân

F ix bài toán điểm bất động

F ix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển là bài toán tìm một điểm x∗ ∈ Csao cho

hF x∗, x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C,trong đó, C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbertthực H và một ánh xạ F : H → H, thường được goi là ánh xạ giá Bài toánnày, kí hiệu bởi V I(F, C), là một bài toán cơ bản trong lí thuyết tối ưu Bởivậy, khá nhiều bài toán tối ưu khác cố thể được chuyển về bài toán V I(F, C).Bài toán này cũng được nghiên cứu mở rộng trong các thập kỉ gần đây, ví dụnhư trong hai số sách được viết bởi Facchinei và Pang (xem [8]) và các bàibáo nghiên cứu khác Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát triển và trởthành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải bài toán cân bằng trongnhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế tài chính, kỹ thuật, vận tải, lí thuyết tròchơi (xem [7]) Gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc làtập nghiệm của bài toán cân bằng cũng là một đề tài được nhiều người quantâm nghiên cứu vì vai trò quan trọng của nó trong lí thuyết toán học và trongứng dụng thực tế

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán này là việcxây dựng các phương pháp giải Có rất nhiều phương pháp giải khác nhaunhư: phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cáchtiếp cận điểm bất động Song ở góc độ ứng dụng, phương pháp chiếu cóthể coi là một phương pháp khá đơn giản, hữu hiệu trong lý thuyết tối ưu nói

chung và trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cânbằng nói riệng Hơn nữa, phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biếnphân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng là khá đơn giản và hữu hiệu vớirất nhiều các thuật toán hiện có Vì vậy, đề tài luận văn"Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng" trình bày về một phương pháp chiếu gần đây là cần thiết và có ý nghĩa

khoa học về thuật toán và ứng dụng

Hiện nay có khá nhiều phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phântrên tập nghiệm của bài toán cân bằng như phương pháp đạo hàm tăng cường

mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, phương pháp điểmgần kề xấp xỉ và các phương pháp khác (xem [6]) Trong luận văn này, tôitrình bày một phương pháp khá hiệu quả được đề xuất bởi nhóm các tác giả

Hiên - Vương - Strodiot trong bài báo "On extragradient - viscosity methods

for solving equilibrium and fixed point problems in a Hilbert space", Phan

Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot and Van Hien Nguyen, Vol 64, No 2, pp.429-451, Optimization, 2015

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Nội dung gồm các kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến vàphép chiếu trên một không gian Hilbert thực Nhắc lại một số định nghĩa mởrộng về tính đơn điệu của một ánh xạ F và một song hàm f Phát biểu bàitoán và trình bày một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bàitoán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng

Chương 2: Ứng dụng giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệmbài toán cân bằng

Nội dung chương 2 trình bày phương pháp chiếu hai lần để giải bài toánbất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng trong một không gian Hilbert

thực Đặc biệt là ứng dụng phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Lâm Thị Thoa

Email: uhdthoalam.edu@gmail.com

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Một số kiến thức cơ bản trong giải tích lồi, bài toán bất đẳng thức biếnphân, bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm của nó trong không gian Hilbertthực được sử dụng trong chương 2 sẽ được nhắc lại trong chương này

1.1 Tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến và phép chiếu

lần lượt được gọi là miền hữu dụng và tập trên đồ thị của f Hàm f được gọi

là chính thường trên C nếu

domf 6= 0, f (x) > −∞, ∀x ∈ C

Định nghĩa 1.1.1 Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của H và hàm

f : C → R ∪ {+∞} Khi đó,

(i) Hàm f được gọi là hàm lồi trên C, nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].(ii) Hàm f được gọi là lồi chặt trên C, nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0, 1).(iii) Hàm f được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) −1

2βλ(1 − λ)kx − yk

2, ∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ (0, 1)

(iv) Hàm f được gọi là tựa lồi trên C, nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]

(v) Hàm f được gọi hàm lõm trên C, nếu −f là hàm lồi trên C

Ví dụ 1.1.1 Với mọi x ∈ H, hàm f xác định bởi f(x) = 1

Định nghĩa 1.1.3 Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của H và hàm

f : C → R ∪ {+∞} Một véctơ p ∈ C được gọi là dưới đạo hàm của hàm ftại x0 ∈ C, nếu

Một tập con C trong H được gọi là nón lồi nếu nó vừa là nón vừa là tập lồi

Định nghĩa 1.1.4 Cho C ⊆ H là một tập lồi và x ∈ C Nón pháp tuyến

ngoài của C tại x là tập hợp

NC(x) := {w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}

Véc tơ w ∈ NC(x) được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài tại điểm x của C.Hiển nhiên, 0 ∈ NC(x) và dùng định nghĩa ta có NC(x) là một nón lồiđóng

Ví dụ 1.1.3 Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của H Xét hàm chỉ

Ví dụ 1.1.4 Cho C = {(x1, x2) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Hãyxác định phép chiếu P rC(x) với mọi x ∈ R2.

Giải.

Phép chiếu của điểm x trên tập lồi CBằng hình vẽ, ta dễ thấy rằng, với mỗi x = (x1, x2) ∈ R2, P rC(x) đượcxác định bởi

Nếu tồn tại P rC(x), thì kx−P rC(x)kđược gọi là khoảng cách từ điểm x đến

C và được kí hiệu bởi dC(x) Khi đó, ta có tính chất hàm khoảng cách sau:

Tính chất 1.1.5 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H khi đó,

hàm số dC(x) : H → R là hàm lồi.

Dùng định nghĩa trên, ta chứng minh được các tính chất sau:

Tính chất 1.1.6 Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, với mọi

x ∈ H, y ∈ C, các tính chất sau là tương đương.

(i) y = P rC(x);

(ii) x − y ∈ NC(y);

(iii) kz − yk2 ≤ kz − xk2 − kx − yk2, ∀z ∈ C.

Tính chất 1.1.7 i) Với mỗi x ∈ H, P rC(x) luôn tồn tại và duy nhất;

ii) hx − P rC(x), y − P rC(x)i ≤ 0, ∀x ∈ H, y ∈ C;

iii) kP rC(x) − P rC(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H;

iv) kP rC(x) − P rC(y)k2 ≤ hP rC(x) − P rC(y), x − yi, ∀x, y ∈ H;

v)kP rC(x)−P rC(y)k2 ≤ kx−yk2−kP rC(x)−x+y−P rC(y)k2, ∀x, y ∈ H;vi) kP rC(x) − yk2 ≤ kx − yk2 − kP rC(x) − xk2, ∀x ∈ H, y ∈ C

1.2 Hàm đơn điệu

Để thấy được tính đơn điệu suy rộng của bài toán cân bằng và bài toánbất đẳng thức biến phân, trong mục này ta sẽ nhắc lại định nghĩa của ánh xạđơn điệu F trong bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và song hàmđơn điệu của bài toán cân bằng EP (f, C)

Định nghĩa 1.2.1 Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của không gian H và

e) giả đơn điệu trên C, nếu

Như vậy, F không đơn điệu trên C.

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Ánh xạ S : C → Cđược gọi là:

i) ánh xạ không giãn, nếu

kSx − Syk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C;

ii) ánh xạ tựa không giãn, nếu F ix(S) 6= φ và

kSx − x∗k ≤ kx − x∗k, ∀(x, x∗) ∈ C × F ix(S);

iii) ánh xạ giả co chặt, nếu tồn tại L ∈ [0, 1) sao cho ∀x, y ∈ C

kSx − Syk2 ≤ kx − yk2 + Lk(I − S)x − (I − S)yk2;

iv) ánh xạ tựa giả co chặt, nếu tồn tại β ∈ [0, 1) sao cho

kSx − x∗k2 ≤ kx − x∗k2 + βkx − Sxk2, ∀(x, x∗) ∈ C × F ix(S)

Định nghĩa 1.2.2 Cho S : C → C là một ánh xạ không giãn Một điểm

x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ S, nếu Sx = x Kí hiệu F ix(S)

là tập các điểm bất động của S

Định lí 1.2.1 Giả sử tồn tại β ∈ [0, 1) sao cho ánh xạ S : H → H là β−

giả co chặt và nửa đóng tại 0 Nếu S là giả co chặt thì tập điểm bất động tại

F ix(S) là tập đóng và lồi.

Ta nhắc lại một vài định nghĩa về tính đơn điệu của một song hàm f chobài toán cân bằng

Định nghĩa 1.2.3 Song hàm f : C × C → R còn được gọi là

i) γ− đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

f (x, y) = (2 + x2)(x − y)

Khi đó, f là đơn điệu mạnh trên C1 và đơn điêu chặt trên C2 Nhưng, f khôngđơn điệu mạnh trên C2

Giải Với mọi x, y ∈ C1, ta có

(x + y)(x − y)2 ≤ −β(x − y)2, ∀x, y ∈ C2.Suy ra

x + y ≤ −β, ∀x, y ∈ C2.Thay x = 0 ∈ C2, y = −

Giải Để chứng minh f là đơn điệu trên C, ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Với x, y ∈ [0, +∞), ta có f(x, y) + f(y, x) = 0 ≤ 0

Trường hợp 2: Với x /∈ [0, +∞)hoặc y /∈ [0, +∞), ta có f(x, y) + f(y, x) =

−(x − y)2 ≤ 0 Như vậy, f là đơn điệu trên C

Mặt khác, f là không đơn điệu chặt trên C Vì với mọi x 6= 0 và x, y ∈[0, +∞), f (x, y) + f (y, x) = 0

Ví dụ 1.2.4 Xét song hàm f : R × R → R xác định bởi

f (x, y) = x2(y − x)

Khi đó, f là giả đơn điệu trên C := R\{0} Nhưng f không đơn điệu trên C

Giải Giả sử với mọi x, y ∈ R và f(x, y) = x2(y − x) ≥ 0 Vì xy 6= 0 nênsuy ra y ≥ x và f(y, x) = y2(x − y) ≤ 0 Vậy f là giả đơn điệu trên R.Mặt khác, với mọi x 6= y và x, y ∈ (−∞, 0), ta có

f (x, y) + f (y, x) = x2(y − x) + y2(x − y) = −(x + y)(x − y)2 > 0.Vậy, f không đơn điệu trên R

Nhận xét: Cho C là một tập con, khác rỗng của H và ánh xạ F : C → H.

Giả sử song hàm f : C × C → R xác định bởi f(x, y) := hF (x), y − xi vớimọi x, y ∈ C Bằng định nghĩa, ta dễ dàng chỉ ra rằng các khái niệm về tínhđơn điệu của f và các khái niệm đơn điệu tương ứng của F là tương đương(ví dụ song hàm f đơn điệu mạnh tương ứng với ánh xạ F là đơn điệu mạnh)

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.3.1 Phát biểu bài toán

Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H và hàm F : C → H.Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C), được phát biểudưới dạng:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C.

Tập nghiệm của bài toán V I(F, C) được kí hiệu là Sol(F, C) Như thường lệ,

F được gọi là ánh xạ giá Một biểu diễn hình học của bài toán bất đẳng thứcbiến phân V I(F, C) có dạng: x∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán V I(F, C)khi và chỉ khi góc tại bởi véctơ F (x∗)và véctơ y − x∗ là góc nhọn hoặc vuôngvới mọi y ∈ C

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Sự tồn tại nghiệm của bài toán V I(F, C) được thể hiện trong các định

lý sau:

Định lí 1.3.1 Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của một không

gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.

Định lí 1.3.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một không

gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0 sao cho bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C ∩ B(0, R)) có một nghiệm xR

thỏa mãn kxRk < R.

Hệ quả 1.3.1 Cho C là một tập lồi, đóng và khác rỗng của một không gian

H và một ánh xạ liên tục F : C → H thỏa mãn điều kiện bức hay tồn tại

1.4 Bài toán cân bằng

Có thể nói cân bằng là một sự phát triển tiếp tục của tối ưu hóa vàbất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân là một trường hợpriêng của bài toán cân bằng Về mặt lí thuyết, như sự tồn tại nghiệm, nhiềukết quả cơ bản và quan trọng đã đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát trêncác không gian trừu tượng Tuy nhiên, về mặt tính toán, các kết quả còn hạnchế Trong mục này ta trình bày một số kiến thức cơ bản: Phát biểu bài toán

và nêu một số kết quả cơ bản về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, tính chấttập nghiệm bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng EP (f, C) và bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C)

có mối quan hệ ràng buộc xác định bởi hệ thức

f (x, y) = hF x, y − xi, ∀x, y ∈ C

1.4.1 Phát biểu bài toán

Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian H và mộtsong hàm f : C × C → R thoả mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toáncân bằng, viết tắt là EP (f, C), được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho f(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán EP (f, C) là Sol(f, C)

1.4.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Bây giờ ta sẽ nhắc lại một số kết quả quan trọng về sự tồn tại nghiệm

và tính duy nhât nghiệm của bài toán cân bằng

Định lí 1.4.1 Cho C là một tập lồi, đóng khác rỗng của H và song hàm cân

bằng f : C × C → R có các tính chất: f (x, ) là hàm tựa lồi nửa liên tục

dưới trên C, ∀x ∈ C; f (., y) là hàm tựa lõm, nửa liên tục trên trên C Giả sử một trong hai điều kiện dưới đây đúng

i) Tồn tại một tập hữu hạn N ⊆ C sao cho tập

Khi đó, bài toán EP (f, C) có nghiệm.

Hệ quả 1.4.1 Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H và f :

C × C → R ∪ {+∞} là một song hàm sao cho f (., y) là nửa liên tục trên

với mỗi y ∈ C và f (x, ) là hàm tựa lồi x ∈ C Giả sử rằng ít nhất một trong các giả thiết sau được thỏa mãn:

i) C là tập compact,

ii) Điều kiện bức: Tồn tại một tập con compact, khác rỗng W của C sao cho với mọi x ∈ C\W , tồn tại y ∈ W để f (x, y) < 0.

Khi đó, bài toán cân bằng EP (f, C) sẽ có nghiệm.

Tính đơn điệu của song hàm f qui định cấu trúc tập nghiệm của bài toáncân bằng EP (f, C) được trình bày chi tiết trong mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.4.1 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một

song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C i) Nếu f giả đơn điệu chặt thì bài toán EP (f, C) có nhiều nhất một nghiệm.