Trong bài viết này, dựa trên ý tưởng của phương pháp dưới đạo hàm tăng cường được đề xuất bởi Censor và các cộng sự. Bài viết đề xuất một phương pháp mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách.
PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH Hồ Phi Tứ Khoa Toán - Khoa học tự nhiên Email: tuhp@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 10/8/2020 Ngày PB đánh giá: 24/8/2020 Ngày duyệt đăng: 31/8/2020 TÓM TẮT Trong báo này, dựa ý tưởng phương pháp đạo hàm tăng cường đề xuất bới Censor cộng ([xem 2]), đề xuất phương pháp để giải toán bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách Bài tốn cịn gọi toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp Đồng thời, chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp tới nghiệm tốn khơng gian Hilbert thực Từ khóa Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân tách, giả đơn điệu, hội tụ yếu, hội tụ mạnh, L-liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh A SUBGRADIENT EXTRAGRADIENT METHOD FOR SOLVING VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEM ON SOLUTION SET OF SPLIT VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEM ABSTRACT In this paper, by basing on the ideas of sub-gradient extra-gradient method presented by Censor and his associates ([see 2]), we propose a new method for solving variational inequality problem on the constraint set which is the solution of the problem of integral variance inequality This problem is also known as the two-level split variable inequality problem Simultaneously, we also prove the strong convergence of the repeating sequence to the unique solution of the problem on real Hilbert space Key words Variational inequality problem, split variational inequality problem pseudo-monotone, weak convergence, strong convergence, L-Lipschitz continuous, strong monotone TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020| 81 I GIỚI THIỆU Cho khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng á⋅, ⋅đ chuẩn || ||, C tập lồi đóng khác rỗng PC phép chiếu lên tập C Ta kí hiệu x k x (tương ứng x k x ) hội tụ mạnh (yếu) dãy {x k } tới x Xét toán bất đẳng thức biến phân VIP (W, G) : Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực 1 2 Giả sử A : 1 2 tốn tử tuyến tính bị chặn Xét ánh xạ F1 : 1 1 F2 : 2 2 Tìm x* Ỵ W cho G ( x* ) , x - x* ³ "x Ỵ W, (1.1) G : 1 1 W = { x* Ỵ Sol (C , F1 ) : A( x* ) Ỵ Sol (Q, F2 )} tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách Để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu liên tục Lipschitz VIP (C , G ) , Korpelevich đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường ([xem 4]) Tuy nhiên, phương pháp đòi hỏi hai phép chiếu lên tập ràng buộc C nên ảnh hưởng đến hiệu thuật toán Năm 2001, Censor cộng đề xuất thay phép chiếu lần thứ hai lên C phép chiếu lên nửa không gian chứa C ([xem 2]) Phương pháp gọi phương pháp đạo hàm tăng cường mơ tả tóm tắt sau: Xuất phát từ điểm x Ỵ 1 , với k ³ 0, ta xác định ìï y k = P = ( x k - t G ( x k )) , ïï C ïï k k k k íTk = {w Ỵ : x - t G ( x ) - y , w - y £ 0} , ïï ïï x k +1 = P ( x k - t G ( y k )) , Tk ïỵ Khi G : đơn điệu C , L - liên tục Lipschitz trờn v ổ 1ử t ẻ ỗỗ0, ữữữ thỡ hai dãy lặp { x k } { y k } hội tụ yếu đến nghiệm x* toán bất è Lø đẳng thức biến phân VIP (C, G ) Trong báo này, ý tưởng phương pháp đạo hàm tăng cường Censor cộng sự, chúng tơi đề xuất thuật tốn để giải toán bất đẳng thức biến phân (1.1) Giả sử ánh xạ G, F1 : 1 1 , F2 : 2 2 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: ( B1 ) : G : 1 1 b - đơn điệu mạnh L - liên tục Lipschitz 1 82 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020 ( B2 ) : F1 : 1 1 giả đơn điệu L1 - liên tục Lipschitz 1 ( B3 ) : limsup F1 ( x k ) , y - y k £ F1 ( x) , y - y với dãy k ¥ { x } Ì 1 , { y } Ì 1 hội tụ yếu đến x y k k ( B4 ) : F2 : 2 2 giả đơn điệu L2 - liên tục Lipschitz 2 ( B5 ) : limsup F2 (u k ) , v - v k £ F2 (u) , v - v với dãy k ¥ {u } Ì 2 , {v } Ì 2 hội tụ yếu đến u v k k Định nghĩa 1.1 Cho 1 2 hai không gian Hilbert A : 1 2 toán tử tuyến tính bị chặn Tốn tử tuyến tính A* : 2 1 thỏa mãn A( x) , y = x, A* ( y) với x Ỵ 1 y Ỵ 2 , gọi tốn tử liên hợp A Toán tử liên hợp tốn tử tuyến tính bị chặn ln tồn nhất, A* tốn tử tuyến tính bị chặn ta có A* = A II THUẬT TỐN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ CỦA THUẬT TỐN Thuật tốn 2.1 Chọn dãy số {ak } Ì (0,1) , {hk } , {dk } , {lk } , {mk } thỏa mãn đồng thời điều kiện ¥ ìï ïï lim ak = 0, å ak = ¥, £ hk £ 1- ak "k ³ 0, lim hk = h < 1, {dk } Ì [ a; b ]; k ¥ k ¥ k =0 ïïí ỉ ỉ 1ư ổ 1ử ữử ùùa, b ẻ ỗỗ0; ữữ , {lk } è [c; d ]; c, d ẻ ỗỗ0; ÷÷ , {mk } Ì [e; f ]; e, f ẻ ỗỗ0; ữữ ù ỗố ỗố L1 ữứ ỗố L2 ữứ A + 1ứ ùợù Bc Ly x Ỵ 1 , < m < 2b , k := L2 Bước Tính ì ï u k = Ax k , v k = P Q (u k - m k F2 (u k )) , w k = P Q (u k - mk F2 (v k )) , ï k ï í *( k k k k) k k k ï ( k) ( k) k ï ï ỵ y = x + dk A w - u , t = PC ( y - lk F1 y ) , z = PCk ( y - lk F1 t ) Trong Qk := {w2 Ỵ 2 : u k - mk F2 (u k ) - v k , w2 - v k £ 0} ; Ck := {w1 Ỵ 1 : y k - lk F1 ( y k ) - t k , w1 - t k £ 0} TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020| 83 x k +1 = hk x k + (1- hk ) z k - ak mG ( z k ) Bước Tính Nếu x k +1 = x k x k nghiệm tốn (1.1); Ngược lại k := k + trở lại bước Để chứng minh hội tụ Thuật toán 2.1, ta cần sử dụng số bổ đề sau: Bổ đề 2.1 ([xem ]) Cho G : b - đơn điệu mạnh L- liên tục Lipschitz 2b không gian Hilbert thực , < a < 1, £ h £ 1- a < m < Khi L (1- h ) x - amG ( x) - éë(1- h ) y - amG ( y)ùû £ (1- h - at ) x - y , "x, y Ỵ t := 1- 1- m (2b - m L2 ) Ỵ (0,1] đó, Bổ đề 2.2 ([xem 1]) Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực , G : giả đơn điệu L - liên tục Lipschitz cho Sol (C , G ) ặ Gi s x Ỵ , l > y = PC ( x - lG ( x)) , z = PT ( x - lG ( y)) , T := {w Ỵ : x - lG ( x) - y, w - y £ 0} Khi với x* Ỵ Sol (C , G) , ta có z - x* £ x - x* 2 - (1- l L) x - y - (1- l L) y - z Bổ đề 2.3 ([xem 6]) Cho {an } dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện an+1 £ (1- an ) an + an xn "n ³ 0, {an } , {xn } dãy số thực cho ¥ (i) {an } Ì (0,1) å an = ¥ n=0 (ii) limsup xn £ n¥ Khi lim an = n¥ Bổ đề 2.4 ([xem 3]) Cho {an } dãy số thực không âm Giả sử với số tự nhiên m, tồn số tự nhiên p cho p ³ m a p £ a p+1 Gọi n0 số tự nhiên cho an0 £ an0 +1 Với số tự nhiên n ³ n0 , ta xác định t (n) = max {k Ỵ : n0 £ k £ n, ak £ ak +1 } 84 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020 Khi {t (n)}n³n0 dãy khơng giảm thỏa mãn lim t (n) = ¥ bất đẳng thức n¥ sau at(n) £ at(n)+1 , an £ at(n)+1 "n ³ n0 Sau phát biểu chứng minh định lý hội tụ thuật tốn, kết báo Định lý 2.1 Giả sử tập nghiệm W = { x* Ỵ Sol (C , F1 ) : A( x* ) Ỵ Sol (Q, F2 )} toán bất đẳng thức biến phân tách khác rỗng điều kiện ( B1 ) - ( B5 ) thỏa mãn Khi dãy { xk } Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm toán (1.1) Chứng minh Ta chia phép chứng minh thành bước sau: Bước Các dãy { xk } , { yk } { zk } thỏa mãn bất đẳng thức z k - x* £ y k - x* £ x k - x* "k , x* tập nghiệm nht ca bi toỏn (1.1) Vỡ W ặ tập lồi đóng nên tốn bất đẳng thức biến phân VIP (W, G ) (1.1) có nghiệm x* Đặc biệt x* Ỵ W hay x* Ỵ Sol (C , F1 ) Ì C , Ax* Ỵ Sol (Q, F2 ) Ì Q Do từ Bổ đề 2.2 , ta có, với k z k - x* £ y k - x* 2 - (1- lk L1 ) y k - t k - (1- lk L1 ) t k - z k , (2.1) 2 w k - A( x* ) £ u k - A( x* ) - (1- mk L2 ) u k - v k - (1- mk L2 ) v k - w k (2.2) ỉ 1ư ỉ 1ư Vì {lk } è [ c, d ] è ỗỗ0, ữữữ v {mk } è [ e, f ] è ỗỗ0, ữữữ nờn t (2.1) , (2.2) , ta cú ỗố L1 ứ ỗố L2 ứ z k - x* Ê y k - x* w k - A( x* ) £ u k - A( x* ) "k , "k (2.3) (2.4) Từ (2.4) , u k = A( x k ), ta có, với k TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020| 85 y k - x* = x k + dk A* (w k - u k ) - x* £ x k - x* + dk2 A = x k - x* - dk 1- dk A 2 wk -uk ( )w - dk w k - u k k -uk 2 (2.5) æ ửữữ ỗ Kt hp (2.3) vi (2.5) v chỳ ý rng dk ẻ [ a, b ] è ỗỗ0, ữ , ta c ỗố A + 1ứữữ z k - x * £ y k - x* £ x k - x* "k Bước Các dãy { x k } , { y k } , { z k } {G ( x k )} bị chặn Từ Bổ đề 2.1 bước 1, ta x k +1 - x* = (1- hk ) z k - ak mG ( z k ) - éê(1- hk ) x* - ak mG ( x* )ùú + hk ( x k - x* ) - ak mG ( x* ) ë û £ (1- hk - ak t ) x k - x* + hk x k - x* + ak m G ( x* ) = (1- ak t ) x - x + ak t k đó, * m G ( x* ) t (2.6) , t := 1- 1- m (2b - m L2 ) Ỵ (0,1] Bằng quy nạp, ta được, với k ìï m G ( x* ) ïï * x - x £ max í x - x , ïï t ỵï k * üï ïï ý ùù ỵù Do ú dóy { x k } bị chặn theo Bước dãy { y k } , { z k } bị chặn Vì F liên tục Lipschitz dãy { x k } bị chặn nên dãy {G ( x k )} bị chặn Bước với k , ta có x k +1 - x* £ (1- ak t ) x k - x* - 2ak m G ( x* ) , x k +1 - x* , x* nghiệm toán (1.1) Sử dụng bất đẳng thức x- y 2 £ x - y, x - y 86 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020 "x, y Ỵ 1 , Bổ đề 2.1 Bước 1, ta x k +1 - x* = (1- hk ) z k - ak mG ( z k ) - éê(1- hk ) x* - ak m F ( x* )ùú + hk ( x k - x* ) - ak mG ( x* ) ë û 2 £ (1- ak t ) ( x k - x* ) - 2ak m G ( x* ) , x k +1 - x* Bước Ta chứng minh { x k } hội tụ mạnh đến nghiệm x* toán (1.1) Ta xét hai trường hợp: Trường hợp Tồn k0 cho dãy { x k - x* } giảm với k ³ k0 Khi tồn giới hạn hữu hạn lim x k - x* Do đó, từ Bước lập luận chứng minh k ¥ Bước 3, ta k 0£ y -x £- * k - z -x ak t k z - x* 1- hk * - k £ x -x * k - z -x * 2ak m ( * ) k +1 ( k G x , x - x* + x - x* 1- hk 1- hk Vì tồn giới hạn dãy - x k +1 - x* ) ( 2.7) { x k - x* } , lim ak = 0, lim hk = h < 1, { x k } { z k } k ¥ k ¥ hai dãy bị chặn nên từ (2.7) , ta có ( lim y k - x* k ¥ - z k - x* Từ (2.8) , ta suy ) = 0, lim ( x - x* k k ¥ ( lim x k - x* k ¥ 2 - z k - x* - y k - x* 2 ) = (2.8) ) = (2.9) ỉ 1ư Kết hợp (2.1) với giả thiết {lk } è [ c, d ] è ỗỗ0, ữữữ , ta c ỗố L1 ứ 2 (1- dL1 ) y k - t k £ y k - x* - z k - x* (2.10) Do vậy, từ (2.8) (2.10) , ta lim y k - t k = (2.11) k ¥ ỉ ư÷ Từ (2.5) {dk } Ì [ a, b ] è ỗỗ0, ữ , ta suy ỗố A + 1÷ø a (1- b A ) wk -uk £ x k - x* 2 - y k - x* TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020| 87 Kết hợp bất đẳng thức với (2.9) , ta nhận lim w k - u k = k ¥ Chú ý với k y k - x k = dk A* (w k - u k ) £ dk A* w k - u k £ b A w k - u k Do đó, lim w k - u k = nên (2.12) lim y k - x k = k ¥ k ¥ Từ (2.11) (2.12) , ta có (2.13) lim x k - t k = k ¥ lim inf G ( x* ) , x k +1- x* ³ Ta chứng minh k ¥ Chọn dãy { x ki } { x k } cho lim inf G ( x* ) , x k +1- x* = lim G ( x* ) , x ki - x* k ¥ i ¥ Vì dãy { x ki } bị chặn nên ta giả sử dãy x ki hội tụ yếu đến x Ỵ 1 Do đó, lim inf G ( x * ) , x k +1 - x * = G ( x * ) , x - x * k ¥ (2.14) Từ (2.12), (2.13) x ki x , ta suy y ki t ki hộ tụ yếu đến x Kết hợp với {t } Ì C C ki đóng yếu, ta x Ỵ C Từ (2.13), ta suy dãy { x k - t k } bị chặn Vì { x k } bị chặn nên {t k } bị chặn Ta chứng minh x Ỵ Sol (C , F1 ) Thật vậy, lấy x Ỵ C Từ định nghĩa t ki , ta có y ki - lki F1 ( y ki ) - t ki , x - t ki £ "i Vì lki > với i , từ bất đẳng thức trên, ta có F1 ( y ki ), x - t ki ³ y ki - t ki , x - t ki lki (2.15) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ý lki ³ c > với i , ta có 88 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020 y ki - t ki x - t ki y ki - t ki , x - t ki £ lki c ki Vì y - t ta suy lim ki dãy {t y ki - t ki , x - t ki } bị chặn nên lim y ki - t ki x - t ki = Từ (2.16), c i ¥ = Do đó, sử dụng (2.15) , điều kiện ( B3 ) hội tụ lki i ¥ ki (2.16) yếu hai dãy { y ki } , {t ki } đến x , ta £ lim sup F1 ( y ki ) , x - t ki £ F1 ( x ) , x - x , i ¥ Tức x Ỵ Sol (C , F1 ) Vì { x k } bị chặn nên {u k = A( x k )} bị chặn Kết hợp với lim w k - u k = 0, ta k ¥ suy dãy {w k } bị chặn Sử dụng bất đẳng thức trên, lim u k - w k = tính bị chặn hai dãy {u k } k ¥ {w } , ta thu k ( lim u k - A( x* ) - w k - A( x* ) k ¥ ) = (2.17) ỉ 1ư Từ (2.10) v {mk } è [e, f ] è ỗỗỗ0, ÷÷÷ , ta có è L2 ø÷ 2 (1- f L2 ) u k - u k £ u k - A( x* ) - w k - A( x* ) Do đó, kết hợp với (2.17) , ta lim u k - u k = k ¥ (2.18) Từ (2.18) tính bị chặn dãy {u k } , ta suy dãy {u k } bị chặn Vì x ki x nên u ki = A( x ki ) A( x ) Kết hợp với (2.18) , ta có u ki A( x ) Ngồi {u ki } Ì Q Q lồi đóng (do đóng yếu) nên từ u ki A( x ), ta có A( x ) Ỵ Q Tiếp theo ta chứng minh A( x ) Ỵ Sol (Q, F2 ) ( ) Lấy y Ỵ Q Từ u ki = PQ u ki - mki F2 (u ki ) , ta có u ki - mki F2 (u ki ) - u ki , y - u ki £ TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020| 89 Vì m ki > với i , từ bất đẳng thức ta có F2 (u ki ), y - u ki ³ u ki - u ki , y - u ki mki ( 2.19) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ý mki ³ e > với i , ta u ki - u ki , y - u ki £ mki Do đó, từ (2.20), ta có lim u ki - u ki y - u ki e u ki - u ki , y - u ki mki i ¥ (2.20) = Sử dụng (2.19), điều kiện ( B5 ) hội tụ yếu hai dãy {u k } , {v k } đến A( x ) , ta i i £ lim sup F2 (u ki ) , y - u ki £ F2 ( A( x )) , y - A( x ) , i ¥ hay A( x ) Ỵ Sol (Q, F2 ) Vậy x Ỵ W Vì x* Ỵ Sol (W, G ) x Ỵ W nên G ( x* ) , x - x* ³ Do đó, từ (2.14) , ta thu lim inf G ( x* ) , x k +1 - x* ³ k ¥ Từ lim inf G ( x* ) , x k +1 - x* ³ 0, ta có lim sup xk £ k ¥ k ¥ lim x k - x* Theo Bổ đề 2.3, ta suy k ¥ = hay x k x* Trường hợp Giả sử với số tự nhiên m , tồn số tự nhiên p cho p ³ m x p - x* £ x p+1 - x* Theo Bổ đề 2.4, tồn số tự nhiên k0 dãy không giảm {t (k )}k ³k cho lim t (k ) = ¥ bất đẳng thức sau k ¥ x t(k ) - x* £ x t (k )+1 - x* , x k - x* £ x t(k )+1 - x* "k ³ k0 (2.21) Từ (2.21) (2.6) , ta x t (k ) - x* £ x ( t (k )+1 - x* ) £ 1- ht (k ) - at(k )t z t (k ) - x * + ht (k ) x 90 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020 t (k ) - x* + at (k )m F ( x* ) (2.22) Theo Bước (2.22) , ta có £ y t (k ) - x * - z t (k ) - x * £ x t (k ) - x * - z t (k ) - x * £- at (k )t z 1- ht (k ) t (k ) - x* + at (k )m - ht ( k ) F ( x* ) ( 2.23) Vì lim ak = 0, lim hk = h < { z k } bị chặn nên từ (2.23) , ta suy k ¥ ( lim y k ¥ k ¥ t (k ) - x* - z t (k ) ) - x* = 0, ( lim x k ¥ t (k ) - x* - z t (k ) ) (2.24) - x* = Từ (2.24) , ta ( lim x k ¥ t (k ) - x* - y t (k ) ) (2.25) - x* = Do đó, từ (2.24) , (2.25) tính bị chặn dãy { x k } , { y k } , { z k } , ta ( lim ( x t (k ) - x* t (k ) - x* lim y k ¥ k ¥ 2 - z t (k ) - x* - y t (k ) - x* 2 ) = 0, ) = (2.26) (2.27) ỉ 1ư Từ (2.9) {lk } Ì [c, d ] è ỗỗ0, ữữữ , ta cú ỗố L1 ø÷ 2 2 (1- dL1 ) y t(k ) - t t(k ) + (1- dL1 ) t t(k ) - z t(k ) £ y t(k ) - x* - z t(k ) - x* Do đó, từ (2.26) , ta lim y t (k ) k ¥ -t t (k ) = 0, lim t t (k ) -z k ¥ t (k ) (2.28) = 0, Kết hợp bất đẳng thức với (2.27) , ta lim w k ¥ Vì y t (k ) -x t (k ) ( = dt(k ) A* w t (k ) -u t (k ) ) t (k ) -u t (k ) (2.29) = 0, £ dt(k ) A* w t (k ) -u t (k ) £b A w t (k ) -u t (k ) Nên từ (2.29) , ta có lim y k ¥ t (k ) -x t (k ) = (2.30) TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020| 91 Theo bất đẳng thức tam giác (2.28) , (2.30) ta lim x t (k ) k ¥ -z t (k ) = 0, lim x t (k ) k ¥ -t t (k ) = 0, (2.31) Lập luận Trường hợp 1, ta lim inf G ( x* ) , x t (k ) k ¥ - x* ³ 0, (2.32) Theo Bổ đề 2.1 ( ) ( ) x t k +1 - x t k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (1- ht(k ) ) z t k - at(k )mG ( z t k ) - éê(1- ht (k ) ) x t k - at(k )mG ( x t k )ùú - at(k )mG ( x t k ) ë û ( ) ( ) ( ) £ (1- ht(k ) - at(k )t ) z t k - x t k + at(k )m G ( x t k ) ( ) ( ) ( ) £ z t k - x t k + at (k )m G ( x t k ) ( 2.33) ( ) Từ lim ak = 0, tính bị chặn dãy {G ( x t k )} , (2.31) (2.33) , ta k ¥ ( ) ( ) (2.34) lim x t k +1 - x t k = k ¥ Sử dụng (2.34) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta thu lim G ( x* ) , x t k +1 - x t k = ( ) ( ) k ¥ (2.35) Kết hợp (2.32) (2.35) , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) liminf G ( x* ) , x t k +1 - x* = liminf ëêé G ( x* ) , x t k - x* + x t k +1 - x t k ùûú k ¥ k ¥ = liminf G ( x* ) , x t k - x* ( ) k ¥ ( 2.36) ³ Kết hợp với (2.21) , ta thu x k - x* ( ) £ x t k +1 - x* £- 2m ( * ) t(k )+1 G x ,x - x* t Lấy giới hạn (2.37) k ¥, sử dụng (2.36) , ta thu lim sup x k - x* k ¥ Do x k x* Định lý 2.1 chứng minh 92 | TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020 £ (2.37) III KẾT LUẬN Bài báo đề xuất thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biên phân tách (thuộc lớp toán bất đẳng thức biến phân hai cấp) chứng minh hội tụ mạnh thuật toán tới nghiệm tốn khơng gian Hilbert thực, điều kiện thích hợp Với phương pháp này, chúng tơi cần sử dụng tính giả đơn điệu ánh xạ giá F1 F2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Anh, P.N., Kim, J.K., Muu, L.D (2012): An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities J Glob Optim., 52, 627–639 Censor, Y., Gibali, A., and Reich, S (2011): Strong convergence of subgradient extragradient methods for the variational inequality problem in Hilbert space, Optim Methods Softw., 26, 827- 845 Maingé, P.E (2008): A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems SIAM J Control Optim., 47, 1499–1515 Korpelevich, G.M (1976): The extragradient method for finding saddle points and other problems Ekon.Mat Metody 12, 747–756 Kraikaew, R., Saejung, S (2014): Strong convergence of the subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces J Optim Theory Appl., 163, 399–412 Xu, H.K (2002): Iterative algorithms for nonlinear operators J London Math Soc., 66, 240–256 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 42, tháng năm 2020| 93 ... LUẬN Bài báo đề xuất thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biên phân tách (thuộc lớp toán bất đẳng thức biến phân hai cấp) chứng minh hội tụ mạnh thuật toán. .. (Q, F2 )} tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách Để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu liên tục Lipschitz VIP (C , G ) , Korpelevich đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường ([xem... yếu đến nghiệm x* toán bất è Lø đẳng thức biến phân VIP (C, G ) Trong báo này, ý tưởng phương pháp đạo hàm tăng cường Censor cộng sự, đề xuất thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân (1.1)