Một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ LỆ THỦY MỘT PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số : 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS. TSKH. Lê Dũng Mưu Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục Danh mục các ký hiệu Mở đầu i Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 1 1.1. Không gian Hilbert ………………………………………………… 1 1.2. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 2 Chương 2: Bài toán cân bằng 15 2.1. Bài toán cân bằng và các ví dụ 15 2.2. Các tính chất cơ bản 20 Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động 43 3.1. Giới thiệu bài toán và thuật toán 43 3.2. Sự hội tụ 56 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Danh mục các ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa R n Không gian Euclide n – chiều trên trường số thực ; N Tập số tự nhiên; x i Tọa độ thứ i của x; x T Véc tơ hàng (chuyển vị của x) ; <x,y>=x T y Tích vô hướng cả hai véc- tơ x và y; x Chuẩn Euclide của x; )(xf ∂ Dưới vi phân của f tại x; )(xf ε ∂ ε - dưới vi phân của f tại x; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i MỞ ĐẦU Cân bằng và điểm bất động là một đề tài quan trọng và có tính thời sự cao của toán học ứng dụng. Bài toán cân bằng mô tả dưới dạng bất đẳng thức Ky - Fan là bài toán bao hàm được nhiều lớp quan trọng của toán học ứng dụng như tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, mô hình cân bằng Nash v. v…. 1. Lý do chọn đề tài Bài toán cân bằng trên tập điểm bất động có ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Vấn đề nghiên cứu bài toán này đang là một đề tài được quan tâm, nghiên cứu . Từ cơ sở khoa học và tính thực tiễn của bài toán nên tôi đã lựa chọn đề tài “ Một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động” tên tiếng Anh:“ A subgradient method for solving equilibrium problems over the set of fixed points ” làm đề tài nghiên cứu. 2.Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là nắm và trình bày được một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, trên cơ sở đó giới thiệu một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn. Đây là một lớp bài toán cân bằng hai cấp đang được quan tâm nghiên cứu. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn. - Nội dung và tính hội tụ của một thuật toán dưới đạo hàm giải một lớp bài toán cân bằng trên tập điểm bất động Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Qua việc thực hiện và hoàn thành luận văn cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo GS. TSKH Lê Dũng Mưu đã giúp tôi nắm chắc và hiểu sâu hơn về phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Tuy nhiên với vốn kiến thức còn hạn hẹp, luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong sự giúp đỡ chỉ dẫn của các thầy cô và thầy giáo hướng dẫn. Ngoài phần mở đầu, danh mục các ký hiệu, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2:Bài toán cân bằng. Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương 1 ta sẽ xét các kiến thức chuẩn bị cho bài luận văn. Luận văn có liên quan đến không gian Hilbert và các khái niệm, các kết quả liên quan đến không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, tập điểm bất động. Do đó ta sẽ giới thiệu những khái niệm cơ bản nhất của không gian Hilbert và các tính chất đặc trưng nhất của nó. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [2],[3]. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian Hilbert thực, tức là: 1. X là không gian vector trên trường số thực. 2. Trên X có tích vô hướng 〈 ⋅ , ⋅ 〉: X × X → R thoả mãn các tiên đề: i. 〈 x , y 〉 = 〈 y , x 〉 , ∀ x , y ∈ X; ii. 〈 x+y , z 〉 = 〈 x , z 〉 + 〈 y , z〉 ∀ x , y , z ∈ X; iii. 〈 α x , y 〉 = α 〈 x , y〉 ∀ x , y ∈ X, α∈ R; iv. 〈x , x〉 > 0 với mọi x ≠ 0 và 〈 x , x 〉 = 0 nếu x = 0. 3. X trở thành không gian Banach với chuẩn được định nghĩa bởi: ||x|| = 〉〈 xx, . Định nghĩa 1.1.2. Xét dãy {x n } n ≥ 0 và x thuộc không gian Hilbert thực X. Khi đó: Dãy {x n } được gọi là hội tụ mạnh tới x, kí hiệu x n → x, nếu như: +∞→n lim ||x n - x|| = 0. Dãy {x n } được gọi là hội tụ yếu tới x, kí hiệu x n → x, nếu như: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 +∞→n lim 〈 w , x n 〉 = 〈 w , x 〉, ∀ w ∈ X. Điểm x được gọi là điểm tụ mạnh (yếu) của dãy {x n } nếu từ dãy này có thể trích ra một dãy con hội tụ mạnh ( yếu ) tới x. Ta nhắc lại các kết quả quen thuộc trong giải tích hàm liên quan đến hai loại hội tụ này: Mệnh đề 1.1.3. (i) Nếu {x n } hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x. (ii) Nếu {x n } hội tụ yếu đến x và +∞→n lim || x n || =|| x || thì {x n } hội tụ mạnh đến x. (iii) Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh (yếu) nếu tồn tại thì là duy nhất. (iv) Nếu không gian Hilbert X là không gian hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh và sự hội tụ yếu là tương đương. (v) Nếu {x n } n ≥ 0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ yếu. (vi) Nếu {x n } n ≥ 0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh. Định nghĩa 1.1.4. Tập C trong không gian Hilbert X được gọi là lồi nếu như với mọi x, y ∈ C và λ ∈ (0,1) ta có: λ x + (1 - λ ) y ∈ C . 1.2 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Ánh xạ không giãn là toán tử Lipschitz liên tục với hằng số bằng 1. Nó đóng vai trò quan trọng trong toán ứng dụng vì rất nhiều vấn đề trong toán học đều có thể mô tả dưới bài toán tính điểm bất động của một ánh xạ không giãn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Định nghĩa 1.2.1. Cho C là tập con của không gian Hilbert X và T: C → X. Khi đó, ta có các định nghĩa sau: i) T là không giãn ổn định nếu với mọi x và y thuộc C ta có: .)()( 222 yxyTIdxTIdTyTx −≤−−−+− ii)T là không giãn nếu nó Lipschitz liên tục với hằng số 1, tức là với mọi x và y thuộc C ta có: .yxTyTx −≤− iii) T là tựa không giãn nếu ta có: .yxyxT −≤− FixTyCx ∈ ∀ ∈ ∀ , ; iv)T là tựa không giãn chặt nếu ta có: . T x y x y − < − ∈ ∀ x C, FixTy ∈ ∀ . Định nghĩa 1.2.2. Fix(T):= {x | Tx = x}. Định lí 1.2.3. Nếu C là tập lồi, đóng trên không gian Hilbert X và T là ánh xạ không giãn trên C thì tập điểm bất động của T là một tập lồi đóng. Định nghĩa 1.2.4 . Xét hàm ƒ : X → R ∪ {+ ∞ }. Khi đó: Hàm f được gọi là lồi trên một tập lồi C nếu: ƒ ( λ x+(1- λ )y ) ≤ λƒ (x)+(1- λ ) ƒ (y), ∀ x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0,1]. Hàm ƒ được gọi là lồi chặt trên C nếu: ƒ ( λ x+(1- λ )y ) < λƒ (x)+(1- λ ) ƒ (y), ∀ x, y ∈ X; x ≠ y , ∀λ ∈ [0,1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Hàm ƒ được gọi là lồi mạnh trên C, với hệ số η > 0 nếu: ƒ ( λ x+(1- λ )y) ≤ λƒ (x)+(1- λ ) ƒ (y)- η 2 )1( λ λ − ||x-y|| 2 , ∀ x,y ∈ X, ∀λ ∈ [0,1]. Ví dụ: 1. Mọi hàm afine ƒ (x) = a T x+b là hàm lồi. Nó thoả mãn đẳng thức: ƒ ( λ x+(1- λ )y) = λƒ (x)+(1- λ ) ƒ (y), ∀ x, y. Do đó nó không lồi chặt. 2. Trong không gian Hilbert thực ta có khai triển: λ 2 )1( 2 )1( 2 222 yxyx λλ λ −+ −−+ =λ 〉〈−−−−−−+ yx yxyx ,)1( 2 )1( 2 2 )1( 2 2 2 2 2 22 λλλλλ = ),2( 2 )1( 22 〉〈−+ − yxyx λ λ = 2 2 )1( yx − − λ λ . Do đó hàm ƒ(x) = 2 2 x là hàm lồi mạnh với hệ số 1. 3. Giả sử C là một tập khác rỗng. Hàm khoảng cách d C (x) được định nghĩa như sau: d C (x) = yx Cy − ∈ inf . Khi đó, nếu C là tập lồi thì d C là hàm lồi. Thực vậy, xét x, y ∈ X và λ ∈ (0, 1) bất kỳ . Đặt z = λ x+ (1- λ )y. Theo định nghĩa, tồn tại các dãy {x k }, {y k } trong C sao cho: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 )(lim xdxx Ckk =− ∞→ và )(lim ydyy Ckk =− →∞ . Do C lồi nên z k := λ x k + (1- λ ) y k ∈ C. Ta có: d C ( z ) ≤ || z - z k || = || λ (x-x k ) + (1- λ )(y-y k ) || ≤ λ|| x -x k ||+(1-λ)|| y-y k || . Cho ∞ → k ta có: d C (z) ≤ λ d C (x) + (1- λ )d C (y). Nếu tồn tại π ∈ C sao cho || x- π || = d C ( x ) thì π được gọi là hình chiếu của x lên C. Khi đó π là nghiệm của bài toán tối ưu: 2 min 2 yx Cy − ∈ . Mệnh đề sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để π là hình chiếu của x lên C trong trường hợp C lồi. Mệnh đề 1.2.5. Giả sử C là tập lồi khác rỗng trong X. Đặt: N C (x) = {w ∈ X | xyw −, ≤ 0, ∀ y ∈ C}. Khi đó π là hình chiếu của x lên C khi và chỉ khi: x - π ∈ N C ( π ). Chứng minh. Giả sử π là hình chiếu của x lên C. Lấy y bất kỳ thuộc C. Đặt : y λ = λ y + (1 - λ ) π . Do C lồi nên y λ ∈ C với mọi λ ∈ (0, 1) . Theo định nghĩa hình chiếu ta có: || x- π || 2 ≤ || y λ - x || 2 = || ( π - x) + λ (y- π ) || 2 . Khai triển vế phải và giản ước ta thu được : .0,2 ≥−−+− πππλ yxy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... các đối thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng, thì đối thủ j sẽ bị thua thiệt Đây chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được chấp nhận trong thực tế Điểm cân bằng này được gọi là điểm cân bằng Nash vì khái niệm này do nhà kinh tế học F Nash đưa ra đầu tiên Dưới đây bài toán cân bằng Nash sẽ được hiểu là bài toán tìm một điểm cân bằng ( Nash) của ϕ trên C Ta sẽ kí hiệu bài toán này là N (ϕ , C ) Số... * là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (VI) với F = ∂f Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 2.1.2.4 Bài toán điểm bất động Kakutani Cho F : C → 2C Điểm x được gọi là điểm bất động của F nếu x ∈ F ( x ) Giả sử với mọi x ∈ C , F ( x ) lồi, compact, khác rỗng Khi đó bài toán tìm một điểm bất động của F có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP) Để chứng... x* là một điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x* là nghiệm bài toán cân bằng (EP) 2.1.2.3 Bất đẳng thức biến phân Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và F: C → 2 Rn là một ánh xạ đa trị ( tức là với mỗi x ∈ C , giá trị F ( x ) là một tập khác rỗng trong Rn) Xét bài toán: Tìm x* ∈ C , v* ∈ F ( x *) sao cho ( v*, y − x *) ≥ 0 ∀y ∈ C (2.1) Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (2.1) dưới góc... [5], [6] 2.1 Bài toán cân bằng và ví dụ 2.1.1 Định nghĩa Cho X là không gian Hilbert thực và C là tập lồi, đóng, khác rỗng của X Xét ánh xạ φ : C × C → R Khi đó bài toán cân bằng là bài toán tìm: x ∈ C sao cho: φ ( x, y) ≥ 0 ,∀y ∈ C ; (EP) thoả mãn φ (x, x) = 0 ∀x ∈ C Một trong các lý do khiến bài toán cân bằng được nghiên cứu rộng rãi là vì khi ta cho φ nhận các dạng biểu thực đặc biệt, bài toán (EP)... nghiệm của bài toán cân bằng Sau đó ta xét đến một số tính chất cơ bản của bài toán này Dưới đây ta sẽ chứng minh một kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng (EP) dựa trên Định lý minimax Các khái niệm sau liên quan đến song hàm trên X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Định nghĩa 2.2.1 Xét song hàm F : X × X → R và K ⊆ X Khi đó : Hàm F được... vào phương án sản xuất, tức là F ( x) = c với mọi x, bất đẳng thức biến phân (2.1) trở thành bài toán quy hoạch quen thuộc: min {cT x : x ∈ C} (LP) Trong bài toán quy hoạch này, véc- tơ giá c không phụ thuộc vào phương án sản xuất Về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (2.1) là bài toán tìm một điểm x* ∈ C sao cho trong tập F ( x *) có một phần tử là véc-tơ pháp tuyến ( ngoài ) của tập C tại điểm. .. Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Bài toán cân bằng Nash có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP) Thật vậy, ta xây dựng hàm φ : C × C → R bằng cách đặt: φ ( x , y ) := ∑ [ϕ p j −1 j ] ( x ) − ϕ j ( x1 , , x j −1 , y j , x j +1 , , x p ) Hiển nhiên nếu x * là một điểm cân bằng Nash, thì φ ( x*, y ) ≥ 0 ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x* ∈ C là nghiệm của bài toán (EP), tức là: φ ( x*, y ) ≥ 0 ∀y... niệm đạo hàm và khả vi Định nghĩa 1.2.13 Xét f: X → R ∪ {+∞} và x ∈ X Phần tử w ∈ X*(=X) được gọi là dưới đạo hàm của f tại điểm x nếu như: w, y − x ≤ f(y) - f(x), ∀ y ∈ X Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại điểm x kí hiệu là ∂f ( x ) Nếu ∂f ( x ) ≠ 0 thì f được gọi là khả dưới vi phân tại điểm x f được gọi là khả dưới vi phân nếu f khả dưới vi phân tại mọi điểm Ta có mệnh đề nói lên tính khả dưới. .. nếu tồn tại tập hữu hạn M * ⊂ C sao cho min φ ( x, y ) → +∞ khi y ∈ C , y → +∞ x∈M * Trong mệnh đề trên, ta đòi hỏi tính tựa lõm trên C của hàm φ (., y ) với mọi y ∈ C Trên thực tế điều kiện này có thể loại bỏ Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng, khi song hàm cân bằng không cần tựa lõm theo biến thứ nhất, ta cần đến các định lý điểm bất động quen thuộc trong giải tích hàm là định... mỗi x ∈ C , tập F ( x ) lồi, compact khác rỗng Với mỗi x, y ∈ C , để mô tả bài toán (2.1) về bài toán cân bằng, ta đặt: φ ( x, y ) := max v, y − x v∈F ( x ) Từ đây suy ra ngay rằng, φ ( x, y ) ≥ 0 ∀y ∈ C , khi và chỉ khi x là nghiệm của (2.1) Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán (2.1) là khi C = Rn+ và F đơn trị Khi đó bài toán (1) tương đương với bài toán sau, được gọi là bài toán bù: Tìm . 2: Bài toán cân bằng 15 2.1. Bài toán cân bằng và các ví dụ 15 2.2. Các tính chất cơ bản 20 Chương 3: Một phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động 43 3.1. Giới thiệu bài toán. được một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, trên cơ sở đó giới thiệu một phương pháp dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên. bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn. - Nội dung và tính hội tụ của một thuật toán dưới đạo hàm giải một lớp bài toán cân bằng trên tập điểm bất động Số hóa bởi