Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ LÝ PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên Nghành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã Số: 60 46 0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM NGỌC ANH Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Ngọc Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Những kí hiệu chữ viết tắt iii Mở đầu Chương Một số khái niệm 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.3 Ánh xạ không giãn 1.4 Bài toán cân 12 1.5 Một số bổ đề 15 Chương Định lý hội tụ mạnh 18 2.1 Thuật toán hội tụ 19 2.2 Các hệ 35 2.3 Một số ví dụ áp dụng 37 Chương Các định lý hội tụ yếu 40 3.1 Thuật toán hội tụ 41 3.2 Phương pháp tìm điểm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn 47 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu Viễn thông), người thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K4C trường Đại học Khoa học - Đại Học Thái Nguyên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học cao học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Hoàng Thị Lý 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Những ký hiệu chữ viết tắt R Rn Rn+ x∈D x∈D ∀x ∃x ∅ ∩ ∪ x := y +∞ : : : : : : : : : : : : Tập hợp số thực Không gian véc tơ thực n chiều Không gian véc tơ thực không âm n chiều x thuộc tập D x không thuộc tập D Với x Tồn x Tập hợp rỗng Phép giao tập hợp Phép hợp tập hợp x định nghĩa y Dương vô −∞ C x, y ∂f (x) xn → x xn x d (x, y) : : : : : : : Âm vô Bao đóng tập C Tích vô hướng x y Dưới vi phân f x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x Dãy {xn } hội tụ yếu tới x Khoảng cách x y I H : Ánh xạ đồng : Không gian Hilbert thực 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán tìm điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn lĩnh vực quan trọng giải tích đại lý thuyết tối ưu Trong năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán tìm điểm chung tập nghiệm toán đề tài hấp dẫn nhiều nhà khoa học giới Trong luận văn này, ta trình bày phương pháp xấp xỉ đạo hàm cho toán cân ánh xạ không giãn Luận văn gồm hai phần chính: Phần thứ trình bày thuật toán tìm điểm chung tập nghiệm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn báo R Wangkeeree (2008), "An Extragradient Approximation Method for Equilibrium Problems and Fixed Points Problems of Countable Families of Nonexpansive Mapping, Fixed Point Theory and Applications, Vol 2008, Art ID 134148, 17 PP, Doi: 10.1155/2008/134148" Phương pháp giải báo đại diện cho cách tiếp cận phổ biến Trong đó, bước lặp phương pháp lặp việc giải toán cân phụ đơn điệu mạnh, mà song hàm toán cân tương ứng đơn điệu Phần thứ hai đề cập đến phương pháp lặp báo P N Anh, L B Long, N V Quy and L Q Thuy (2012), "Weak Convergence Theorems for an Infinite Family of Nonexpansive Mappings and Equilibrium Problems, JP Journal of Fixed Point Theory and Applications, Vol 7, PP 113-127" Trong báo này, cách kết hợp 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phương pháp đạo hàm cho toán cân kỹ thuật điểm bất động, tác giả đề xuất thuật toán để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn Ở đây, bước lặp thuật toán đề xuất việc giải toán lồi mạnh với giả thiết giả đơn điệu tính liên tục kiểu Lipschitz hàm giá Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành ba chương Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi, toán cân bằng, ánh xạ không giãn kiến thức bổ trợ Chương trình bày thuật toán tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn Chương trình bày sơ đồ lặp tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn dựa phương pháp đạo hàm kĩ thuật điểm bất động 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm Trong luận văn này, ta xét toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực H Với véc tơ x ∈ H, chuẩn x, kí hiệu x , xác định bởi: x = x, x ¯ = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Kí hiệu R Sau đây, ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, Các kiến thức lấy chủ yếu từ tài liệu [4], [5] 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Cho C tập khác rỗng H Tập C gọi lồi ∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ (1 − λ) a + λb ∈ C Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi: 1) Hình cầu B (a, r) = {x ∈ Rn : a − x r} 2) Các nửa không gian đóng {x ∈ Rn : a, x α} ; {x ∈ Rn : a, x α} , hay nửa không gian mở {x ∈ Rn : a, x < α} ; {x ∈ Rn : a, x > α} , a ∈ Rn , a = α ∈ R 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2 Một tập C ⊂ H gọi nón ∀ x ∈ C, λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập C ⊂ H nón lồi có tính chất sau: (i) λC ⊂ C, ∀λ > 0; (ii) C + C ⊂ C Ví dụ 1.2 Các tập sau nón lồi: n 1) R+ = {x = (x1 , x2 , , xn ), xi ≥ 0, i = 1, 2, , n} 2) M = {(x, y) ∈ R × R : x y} Trong phần này, tập C ⊂ H giả thiết tập lồi (nếu không giải thích thêm) Định nghĩa 1.3 Cho x0 ∈ C, nón pháp tuyến (hay nón pháp tuyến) C x0 , kí hiệu NC x0 , định nghĩa NC x0 := t ∈ H : x − x0 , t 1.2 0, ∀x ∈ C Hàm lồi ¯ Khi đó, miền hữu hiệu f, kí Định nghĩa 1.4 Cho hàm f : C → R hiệu domf, xác định domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} Hàm f gọi thường domf = φ f (x) > −∞, ∀x ∈ C Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : C → R ∪ {+∞} Khi đó, hàm f gọi 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i) lồi C ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có f ((1 − λ) x + λy) (1 − λ) f (x) + λf (y) ; ii) lồi chặt C ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) , ta có f ((1 − λ) x + λy) < (1 − λ) f (x) + λf (y) ; iii) tựa lồi C ∀α ∈ R, tập mức Lα = {x ∈ C : f (x) α} tập lồi Ví dụ 1.3 Cho C tập lồi, khác rỗng Rn Hàm C δC x x0 ∈ C, +∞ x0 ∈ / C, = hàm lồi ¯ gọi Định nghĩa 1.6 Cho x0 ∈ C Một hàm f : C → R i) nửa liên tục x0 lim inf f (x) f x0 ; x→x ii) nửa liên tục x0 lim sup f (x) f x0 x→x0 Nếu hàm f vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục x0 liên tục điểm Hàm f liên tục (nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) C liên tục (tương ứng: nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới) điểm thuộc C 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... lồi, toán cân bằng, ánh xạ không giãn kiến thức bổ trợ Chương trình bày thuật toán tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn. .. nghiệm toán đề tài hấp dẫn nhiều nhà khoa học giới Trong luận văn này, ta trình bày phương pháp xấp xỉ đạo hàm cho toán cân ánh xạ không giãn Luận văn gồm hai phần chính: Phần thứ trình bày thuật toán. .. Doi: 10.1155/2008/134148" Phương pháp giải báo đại diện cho cách tiếp cận phổ biến Trong đó, bước lặp phương pháp lặp việc giải toán cân phụ đơn điệu mạnh, mà song hàm toán cân tương ứng đơn điệu