Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ LINH PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chuyên nghành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM NGỌC ANH Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Những kí hiệu chữ viết tắt iii Lời nói đầu Chương Một số Khái niệm Cơ 1.1 Tập lồi phép toán 1.2 Hàm lồi 1.3 Bài toán cân 1.4 Ánh xạ giả co chặt tính chất 12 Chương Phương pháp đạo hàm cho toán cân ánh xạ giả co chặt 20 2.1 Cách tiếp cận 20 2.2 Thuật toán 2.1 21 2.3 Định lý hội tụ mạnh 2.1 22 Chương Ứng dụng phương pháp đạo hàm cho toán cân 32 3.1 Thuật toán 3.1 32 3.2 Định lý hội tụ mạnh 3.1 33 3.3 Ví dụ minh họa kết tính toán 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu Viễn thông), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K4C, bạn học viên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Phạm Thị Linh 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Những ký hiệu chữ viết tắt R R+ Rn Rn+ x∈C x∈C ∀x ∃x ∅ ∩ ∪ x := y x, y xk x k x →x : : : : : : : : : : : : : : : I : Ánh xạ đồng : Chuẩn véc tơ x : Đoạn thẳng nối hai điểm x y x [x, y] Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Không gian số thực n - chiều Không gian số thực không âm n - chiều x thuộc tập C x không thuộc tập C Với x Tồn x Tập hợp rỗng Phép giao tập hợp Phép hợp tập hợp x định nghĩa y Tích vô hướng x y Dãy xk hội tụ yếu tới x Dãy xk hội tụ mạnh tới x 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán cân mô tả dạng bất đẳng thức, gọi bất đẳng thức Ky Fan, lần đầu áp dụng để nghiên cứu mô hình cân kinh tế theo khái niệm cân J Nash, nhà toán học Mỹ đoạt giải Nobel kinh tế công trình nghiên cứu cân đưa vào năm 1994 Về mặt lý thuyết, tồn nghiệm, nhiều kết quan trọng đạt cho toán cân tổng quát không gian trừu tượng Tuy nhiên, mặt thuật toán ứng dụng, kết hạn chế Luận văn trình bày số thuật toán để giải toán tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương nhắc lại kiến thức tập lồi hàm lồi, mà kết sử dụng chương sau Phần cuối chương giới thiệu toán cân bằng, số ví dụ cuối trình bày ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao với tính chất Chương trình bày thuật toán để giải toán tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt với định lý hội tụ mạnh Chương phần ứng dụng Phần trình bày việc áp dụng thuật toán để giải số toán cân với kết tính toán cụ thể Đây đóng góp ứng dụng để giải toán cân thông qua gắn kết phương pháp đạo hàm kỹ thuật điểm bất động 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số Khái niệm Cơ Trong luận văn này, ta xét toán cân toán điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert thực H Dưới đây, ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, số kiến thức liên quan đến toán cân bằng, ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao với tính chất tương ứng Các kiến thức chương lấy chủ yếu từ tài liệu [1],[3],[5],[6] 1.1 Tập lồi phép toán Định nghĩa 1.1 Cho C tập con, khác rỗng không gian Hilbert thực H Tập C gọi lồi (convex) với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1] , ta có λx + (1 − λ) y ∈ C Đặc biệt, H ∅ tập lồi Ví dụ 1.1 Các nửa không gian tập lồi Các tam giác hình tròn mặt phẳng tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi Định nghĩa 1.2 Một tập hợp giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện (polyhedral convex set) hay khúc lồi Định nghĩa 1.3 Tập C khác rỗng không gian Hilbert thực H gọi nón (cone) λx ∈ C, ∀ x ∈ C, ∀λ > 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tập C khác rỗng không gian Hilbert thực H gọi nón lồi vừa nón vừa lồi Điều có nghĩa λx + µy ∈ C, ∀ x, y ∈ C, ∀λ, µ > Ví dụ 1.2 Tập Rn+ nón lồi Rn Định nghĩa 1.4 Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H lồi, khác rỗng điểm x∗ ∈ C Khi đó, nón pháp tuyến C x∗ (hay gọi nón lồi đóng), kí hiệu NC (x∗ ) , xác định NC (x∗ ) : = {p ∈ H : p, x − x∗ 1.2 0, ∀x ∈ C} Hàm lồi Định nghĩa 1.5 Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H hàm f : C → R ∪ {+∞, −∞} Khi đó, tập hợp dom f : = {x ∈ C : f (x) < +∞} , epif : = {(x, α) ∈ C × R : f (x) α} , tương ứng, gọi miền hữu hiệu (effective domain) đồ thị (epigraph) f Hàm f gọi thường (proper) C dom f = ∅, f (x) > −∞, ∀ x ∈ C Định nghĩa 1.6 Cho không gian Hilbert thực H tập C ⊆ H Hàm f : C → R ∪ {+∞, −∞} gọi lồi (convex) C đồ thị tập lồi H × R Hàm f gọi lõm (concave) −f lồi Bổ đề 1.1 Cho không gian Hilbert thực H tập C ⊆ H Nếu hàm f : C → R ∪ {+∞, −∞} lồi C miền hữu hiệu f tập lồi 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.1 Cho không gian Hilbert thực H tập C ⊆ H Khi đó, hàm f : C → R ∪ {+∞} gọi lồi C với x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có f (λx + (1 − λ) y) λf (x) + (1 − λ) f (y) Chứng minh Giả sử f hàm lồi, không tính tổng quát coi λ ∈ (0, 1) Không thể xảy trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞ mà f (λx + (1 − λ) y) = +∞, dom f lồi Hơn nữa, với x, y ∈ dom f, [x, y] ⊂ dom f Vì λ ∈ (0, 1) nên f (x) = +∞, suy λf (x) = +∞ Nếu x y ∈ / dom f f (x) = +∞ f (y) = +∞ Mặt khác, epi f lồi nên với (x, α) , (y, β) ∈ epif, λ ∈ (0, 1) , ta có λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) = (λx + (1 − λ) y, λα + (1 − λ) β) ∈ epi f ⇒ f (λx + (1 − λ) y) λα + (1 − λ) β ⇒ f (λx + (1 − λ) y) λf (x) + (1 − λ) f (y) (lấy α = f (x) , β = f (y)) Ngược lại, giả sử với x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có f (λx + (1 − λ) y) λf (x) + (1 − λ) f (y) Lấy (x, α) , (y, β) ∈ epif, λ ∈ [0, 1] , ta có f (λx + (1 − λ) y) λf (x) + (1 − λ) f (y) λα + (1 − λ) β ⇒ (λx + (1 − λ) y, λα + (1 − λ) β) ∈ epi f ⇔ λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) ∈ epi f Ví dụ 1.3 Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Hilbert thực H Khi đó, hàm (indicator funtion) C δC (x) = x ∈ C; +∞ x ∈ / C; hàm lồi 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.7 Cho không gian Hilbert thực H tập C ⊆ H Hàm f : C → R ∪ {+∞} gọi lồi chặt (strict convex) C với x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) , ta có f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) Ví dụ 1.4 Cho không gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H hàm x = x, x hàm lồi chặt H Định nghĩa 1.8 Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H hàm lồi f : C → R ∪ {+∞} Khi đó, vi phân (subdifferential) f x∗ , ký hiệu ∂f (x∗ ), xác định ∂f (x∗ ) : = {p ∈ H : f (x) − f (x∗ ) p, x − x∗ , ∀x ∈ C} Hàm f gọi khả vi phân (subdifferentiable) C ∂f (x) = ∅, ∀ x ∈ C Ví dụ 1.5 (Dưới vi phân hàm chỉ) Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Hilbert thực H Xét hàm C δC (x) = x ∈ C; +∞ x ∈ / C Khi đó, ∂δC (x∗ ) = NC (x∗ ) , ∀x∗ ∈ C Chứng minh Nếu x∗ ∈ C ∂δC (x∗ ) = ∂δC (x∗ ) = {p ∈ H : ∂δC (x) = {p ∈ H : p, x − x∗ , ∀x ∈ C} p, x − x∗ , ∀x ∈ C} = NC (x∗ ) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.6 (Dưới vi phân hàm lồi dương) Cho f : Rn → R hàm lồi dương, tức hàm lồi f thỏa mãn f (λx) = λf (x) , ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn Khi đó, ∂f (x∗ ) = {p ∈ Rn : p, x∗ = f (x∗ ) , p, x f (x) , ∀x ∈ C} Chứng minh Nếu p ∈ ∂f (x∗ ) p, x − x∗ f (x) − f (x∗ ) , ∀x ∈ C (1.1) Thay x = 2x∗ vào (1.1), ta có p, x∗ f (x∗ ) (1.2) −f (x∗ ) (1.3) Thay x = vào (1.1), ta nhận − p, x∗ Kết hợp (1.2) (1.3), ta có p, x∗ = f (x∗ ) Hơn nữa, p, x − x∗ = p, x − p, x∗ = p, x − f (x∗ ) Do p, x f (x) , ∀x ∈ C Ngược lại, x∗ ∈ Rn thỏa mãn p, x∗ = f (x∗ ) p, x f (x) , ∀x ∈ C p, x − x∗ = p, x − p, x∗ f (x) − f (x∗ ) , ∀x ∈ C Vậy p ∈ ∂f (x∗ ) 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... phép toán 1.2 Hàm lồi 1.3 Bài toán cân 1.4 Ánh xạ giả co chặt tính chất 12 Chương Phương pháp đạo hàm cho toán cân ánh xạ. .. toán tìm nghiệm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt với định lý hội tụ mạnh Chương phần ứng dụng Phần trình bày việc áp dụng thuật toán để giải số toán cân. .. lồi hàm lồi, mà kết sử dụng chương sau Phần cuối chương giới thiệu toán cân bằng, số ví dụ cuối trình bày ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao với tính chất Chương trình bày thuật toán để giải