Phương Pháp Phương Trình Tích Phân Biên Giải Các Bài Toán Biên Của Phương Trình Điều Hòa Và Phương Điều Hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN ĐỨC ANH

PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ

SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN ĐỨC ANH

PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ

SONG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên - 2013

Mục lục

1.1 Các không gian hàm khả vi và khả tổng 5

1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi 5

1.1.2 Các không gian hàm khả tổng 6

1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 7

1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev 7

1.2.2 Không gian Sobolev Hk(Q) 7

1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt 7

1.2.4 Không gian Hok(Q) 8

1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) 8

1.3.1 Không gian Hs(Rn) 8

1.3.2 Không gian Hos(Ω) và không gian Hs(Ω) 11

1.4 Các không gian Sobolev đối ngẫu và định lý nhúng 12

1.4.1 Các không gian đối ngẫu 12

1.4.2 Các định lý nhúng 13

2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA TRONG MẶT PHẲNG 14 2.1 Phương trình điều hòa và các công thức Green 14

2.1.1 Phương trình điều hòa 14

2.1.2 Công thức tích phân từng phần 15

2.1.3 Các công thức Green 15

2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa 16

2.2 Hàm cơ bản 18

2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa 18

2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa 19

2.3 Phát biểu bài toán biên của phương trình điều hòa trong miền bị chặn 21

2.4 Công thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng và các điều kiện biên 22

2.5 Phương pháp phương trình tích phân biên 23

2.5.1 Bài toán Dirichlet 23

2.5.2 Bài toán Neumann 23

2.5.3 Bài toán hỗn hợp 24

2.6 Bài toán biên của phương trình điều hòa trong miền ngoài 24 2.6.1 Phát biểu bài toán 24

2.6.2 Phương trình tích phân biên 25

3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA 26 3.1 Phát biểu bài toán hỗn hợp đối với phương trình song điều hòa 26

3.1.1 Phương trình song điều hòa 26

3.1.2 Phát biểu bài toán 27

3.2 Tính duy nhất nghiệm 28

3.3 Hệ phương trình tích phân biên 30

Mở đầu

Trên thực tế, nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua môhình toán học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phươngtrình đạo hàm riêng Trong đó rất ít bài toán là các trường hợp đơn giản

có thể tìm thấy nghiệm tường minh bằng các phương pháp giải tích Cònđại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh hoặc không có hoặcrất phức tạp Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phươngtrình điều hòa và song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút

sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học, kỹ sư và các nhà toán học Việcnghiên cứu phương pháp tích phân biên giải các bài toán điều hòa và songđiều hòa là một lĩnh vực cần được nghiên cứu

Nội dung chính của luận văn trình bày các kết quả về lý thuyết đối vớiphương pháp phương trình tích phân biên giải phương trình điều hòa vàsong điều hòa Luận văn bao gồm ba chương mang lại một cách nhìn kháiquát về phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa

Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số kiến thức

bổ trợ về các không gian hàm khả vi và khả tổng, không gian Sobolevcấp nguyên dương Hk(Q), H0k(Q), không gian Sobolev cấp thực Hs(Rn),

Hs(Ω), các không gian Sobolev đối ngẫu và các định lý nhúng Đây là nềntảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn.Chương hai chúng tôi giới thiệu về phương pháp phương trình tích phânbiên đối với phương trình điều hòa trong mặt phẳng, công thức biểu diễnhàm điều hòa trên mặt phẳng, các công thức Green và các hàm cơ bản.Đồng thời cũng trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dốivới các bài toán Dirichlet, bài toán Newmann và bài toán hỗn hợp

Chương ba của luận văn chúng tôi giới thiệu về phương trình song điềuhòa và hệ phương trình tích phân biên để giải nghiệm bài toán

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học

-Đại học Thái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáoKhoa Toán ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bịkiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập

và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người

đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức,khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tôi cũngxin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên,giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013

Người thực hiệnTrần Đức Anh

Chương 1

KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chuong này trình bày một số khái niệm bổ trợ cần thiết về các hàm khảtổng, khả vi, hàm suy rộng và không gian Sobolev Nội dung của chươngnày chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [7], [8]

1.1 Các không gian hàm khả vi và khả tổng

1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi

• Giả sử Ω là một miền mở trong không gian Euclid Rn Ký hiệu C(Ω)

là lớp các hàm liên tục trong Ω Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn,

ta kí hiệu Ω là bao đóng của Ω, tức là Ω = Ω ∪ ∂Ω Khi đóC(Ω) là khônggian định chuẩn với chuẩn:

là một tập đóng trong Rn Nếu suppf là tập bị chặn trong Ω thì ta nói f

là hàm có giá compact trong Ω

•Ký hiệuCm(Ω)là tập hợp của tất cả các hàm f (x)liên tục trong Ω cùngvới các đạo hàm Dαf (x), |α| ≤ m Như vậy, C0(Ω) = C(Ω) Tập hợp củacác hàm trong Cm(Ω) có các đạo hàm Dαf (x), |α| ≤ m được thác triển

liên tục vào Ω được ký hiệu là Cm(Ω) Chuẩn trong Cm(Ω) được xác địnhtheo công thức

trong đó essupΩ|f (x)| = infK{|f (x)| ≤ K hầu khắpx ∈ Ω}

• Nếu f ∈ Lp(Ω0) đối với mọi Ω0 b Ω thì hàm f được gọi là p- khả tíchtổng địa phương trong Ω Tập hợp của tất cả các hàmp- khả tích tổng địaphương trong Ω được ký hiệu là Lploc(Ω)

• Hàm f (đo được) được gọi là có hạn trong Ω nếu nó bằng không hầukhắp ở ngoài Ω0 b Ω Tập hợp của các hàm tiêu hạn trong Ω thuộc Lp(Ω)

được ký hiệu là Lpo(Ω)

1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương

1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev

Định nghĩa 1.1 Giả sử Q là miền bị chặn trong Rn với biên trơn từngmảnh ∂Q và α = (α1, α2, · · · , αn) là bộ đa chỉ số Hàm f(α) ∈ L1

1.2.2 Không gian Sobolev Hk(Q)

Định nghĩa 1.2 Tập hợp của các hàm f ∈ L2(Q) có đạo hàm suy rộngcho đến cấp k thuộc L2(Q) được gọi là không gian Sobolev cấp k và được

ký hiệu là Hk(Q) Hk(Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn

Các tính chất quan trọng của không gian Sobolev:

1) C∞(Q) trù mật trong Hk(Q) theo tiêu chuẩn của Hk(Q).2) Hm+1+[n/2](Q) ⊂ Cm(Q)

1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt

Định nghĩa 1.3 Giả sử Q là miền giới nội trong Rn và S là một mặt

n − 1 chiều được chứa trong Q Nếu trong Q cho hàm f (x) xác định tại

từng điểm của Q, thì ta có thể xem giá trị của hàm này trên S như là mộthàm f |x∈S được xác định tại mỗi điểm của S Nếu chúng ta xét trong Q

hàm được xác định hầu khắp nơi, thì giá trị của f trên mặt S được xácđịnh không đơn trị vì mesS = 0 Tuy nhiên, trong một nghĩa hoàn toànxác định chúng ta có thể nói đến giá trị của hàm số trên một mặt n − 1

chiều khi nó được xác định hầu khắp nơi

Giả sử f ∈ H1(Q) và fk ∈ C1(Q), (k = 1, 2, ) hội tụ đến f trong

H1(Q) Đối với mọi mặt trơn từng mảnh (mỗi một mảnh được chiếu đơntrị xuống mặt phẳng tọa độ) trong Q tồn tại C = const > 0, sao cho

Z

S

|fk − fm|2dx ≤ Ckfk − fmkH1 (Q)

Vì L2(S)là không gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn tại phần tử fS ∈ L2(S)

là giới hạn trong L2(S) của dãy fk(xS), xS = x ∈ S Hàm fS không phụthuộc vào việc chọn dãy fk hội tụ đến f trong H1(Q) và được gọi là vếtcủa hàm f trên mặt S

1.2.4 Không gian Hok(Q)

Định nghĩa 1.4 Tập hợp của các hàm trong Hk(Q) có vết trên biên

Γ bằng không được ký hiệu là Hok(Q) Chuẩn trong Hok(Q) được sinh bởichuẩn trong Hk(Q) Khi đó Hok(Q) là không gian con đóng của Hk(Q)

Slo-bodeskii)

1.3.1 Không gian Hs(Rn)

Định nghĩa 1.5 Giả sử s là số thực tùy ý Không gian Sobolev-Slobodeski

Hs(Rn) theo định nghĩa gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ S0 = S0(Rn), cóbiến đổi Fourier u(ξ)ˆ thỏa mãn điều kiện:

kuk2s =

Z

Rn

(1 + |ξ|)2s|ˆu(ξ)|2dξ < ∞ (1.2)

Ảnh Fourier củaHs được ký hiệu là cHs Công thức (1.1) xác định chuẩn

cả trong Hs lẫn trong cHs Nhận xét là cHs là không gian Hilbert với tích

vô hướng

(u, v)s =

Z

R n(1 + |ξ|)2su(ξ)ˆˆ v(ξ)dξ (1.3)Các không gian Hs,Hcs là những không gian đầy đủ Với u ∈ Hs, ϕ ∈ S,

|(u, ϕ)| ≤ 1

(2π)nkukskϕk−s (1.5)

Rõ ràng là tôpô trong S mạnh hơn hội tụ theo chuẩn Hs, nghĩa là nếu

ϕk → ϕ, trong S, thì hiển nhiên kϕk − ϕks → 0 Mặt khác, vì có (1.5)nên nếu kuk − uks → 0, thì (uk, ϕ) → (u, ϕ), ∀ϕ ∈ S, nghĩa là uk → u

trong S0

Các trường hợp riêng của Hs(Rn)

1) s = 0 Khi đó cHs(Rn) ≡ L2(Rn) Theo Định lý Planchel, ta có

H0(Rn) = F−1[Hcs] = L2(Rn)

2) s = m > 0- nguyên Khi đó thì (−iξ)ku(ξ) ∈ Lb 2(Rn), 0 ≤ |k| ≤ m

Suy ra Dku = F−1[(−iξ)ku(ξ)](x) ∈ Lb 2(Rn), 0 ≤ |k| ≤ m Như vậykhông gian Hm = Hm(Rn) sẽ là

3) Trường hợp s = −m, m > 0 - nguyên Đặt v(ξ) = (1 + |ξ|)b −mbu(ξ)

Vì u ∈ Hm, nên bv(ξ) ∈ L2 Vậy ta có bu(ξ) = (1 + |ξ|)mbv(ξ) Có thể biểudiễn u(ξ)b ở dạng

b

u(ξ) = (1 + |ξ|)mbv(ξ) = X

|k|≤m

(−iξ)kvbk(ξ), vbk(ξ) ∈ L2 (1.7)

Lấy biến đổi ngược hai vế của (1.7), ta được

 Hàm αε(x) thường được gọi là hạch làm đều.Giả sử u là hàm tùy ý của Hs Đặt uε = u ∗ αε Ta có uε ∈ C∞, ngoài rab

Thật vậy, 1 −α(εξ) → 0b khi ε → 0 với mọi ξ cố định và |1 −α(εξ)| ≤ 2b ,nên theo Định lý Lebesgue ta có thể chuyển qua giới hạn ε → 0 trong(1.10).

Như vậy, với mọi δ > 0, tìm được ε1 > 0, sao cho

Vì α(εb 1ξ) ∈ S(Rn), nên α(εb 1ξ)u(ξ) ∈b HbN với mọi N Giả sử χ(x) ∈

C0∞(Rn), χ(x) = 1, khi |x| ≤ 1 Ký hiệu vε(x) = χ(εx)uε1(x).Khi đó

1.3.2 Không gian Hos(Ω) và không gian Hs(Ω)

Định nghĩa 1.7 Giả sử Ω là một miền mở trong Rn Ký hiệu Hos(Ω) làkhông gian con của Hs(Ω), được định nghĩa như bao đóng của C0∞(Ω) theochuẩn của Hs(Rn)

Như vậy, chuẩn trong Hos(Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.1)

và mọi hàm u ∈ Hos(Ω) có giá suppu ⊂ Ω Thật vậy, giả sử u ∈ Hos(Ω).Theo định nghĩa, tồn tại dãy {uk ∈ C0∞(Ω)}, hội tụ đến u theo chuẩn của

Hs(Rn) Ký hiệu Ω0 = Rn \ Ω Như vậy, ta có (uk, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω0)

Do tính liên tục , suy ra (u, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω0) Điều đó chứng tỏsuppu ⊂ Ω

Bằng cách tương tự, dễ dàng chứng tỏ rằng Hos(Ω) là không gian conđóng của Hs(Rn) Ta chuyển sang định nghĩa không gian Hs(Ω)

Định nghĩa 1.8 Giả sử f ∈ Hs(Rn) Ký hiệu fΩ là hạn chế của f trên

Ω, nghĩa là

(fΩ, ϕ) = (f, ϕ), ϕ ∈ C0∞(Ω)

Ký hiệu r, l tương ứng là các toán tử hạn chế và toán tử thác triển trên Ω.Như vậy, fΩ = rf, f = lfΩ

Tập hợp các hạn chế trên Ω của các hàm thuộc Hs(Rn) được ký hiệu là

Hs(Ω) Chuẩn trong Hs(Ω) được xác định theo công thức

kf ks,Ω = inf

trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển lf ∈ Hs(Rn) của f ∈ Hs(Ω)

nhúng

1.4.1 Các không gian đối ngẫu

Ký hiệu (Hs)∗ là không gian đối ngẫu của Hs, nghĩa là không giancủa các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênHs Như trong trường hợp củakhông gian Banach bất kỳ, không gian(Hs)∗ được xác định một cách chínhxác đến đẳng cấu Nói riêng, vì không gian Hs(Rn) đẳng cấu với khônggian Hilbert với tích vô hướng (1.3), nên(Hs)∗ đẳng cấu với chính Hs Khi

đó theo Định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liêntục trong không gian Hilbert, mọi phiếm hàm Φ(u), u ∈ Hs, được cho bởiphần tử v ∈ Hs, sao cho chuẩn kΦk = supkuks=1 = p(v, v)s = kvks

Ký hiệu

b

w(ξ) = (1 + |ξ|)2sv(ξ), w = Fb −1w.b (1.14)Khi đó w ∈ Hs, kwk−s = p(v, v)s , (u, v)s = (u, w)0, trong đó

Định lý 1.9 Giả sử (Hos(Ω))∗ là không gian đối ngẫu của Hos(Ω), s ∈ R.

Khi đó (Hos(Ω))∗ đẳng cấu với H−s(Ω), ngoài ra giá trị của phiếm hàm

f ∈ H−s(Ω) trên phần tử u ∈ Hos(Ω) được cho bởi công thức

Định lý 1.11 Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn, và có biên là siêu mặt

n − 1 chiều trơn Khi đó không gian Hos(Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi

và chỉ khi s > n

2.

Định lý 1.12 Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn và có biên trơn Khi

đó Hs(Ω) nhúng liên tục vào C(Ω) khi và chỉ khi s > n

2.1 Phương trình điều hòa và các công thức Green

2.1.1 Phương trình điều hòa

được gọi là phương trình điều hòa, hay phương trình Laplace trong miền

Ω Nghiệm của phương trình Laplace trong Ω được gọi là hàm điều hòatrong Ω Toán tử 4u, được xác định bởi vế trái của (2.1) được gọi là toán

tử Laplace, hay Laplacian Hàm u điều hòa trong Ω, nếu u điều hòa trong

Ω và liên tục trong Ω

2.1.2 Công thức tích phân từng phần

Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn với biên ∂Ω Ký hiệu Ω = Ω ∪ ∂Ω.Giả sử f (x), g(x) là các hàm khả vi liên tục trong Ω và có thác triển liêntục trong Ω:

Công thức (2.2) còn được gọi là công thức Gauss - Ostrogadski

Cộng các đẳng thức trên đây theo i từ 1 đến n và chú ý công thức (2.4),

ta có công thức (2.3) Định lý được chứng minh

Định lý 2.2 (Công thức Green thứ hai) Giả sử u(x), v(x) ∈ C2(Ω) ∩

2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa

Định lý 2.3 Giả sử u(x) ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) là hàm điều hòa trong Ω và

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω Khi đó u(x) ≡ 0 trong Ω

Chứng minh Sử dụng công thức Green thứ nhất (2.3) Trong công thứctrên chov(x) = u(x) Do4u(x) = 4v(x) = 0trongΩvàu(x) = v(x) = 0

trong lớp hàm C2(Ω) ∩ C1(Ω) không thể có quá một nghiệm

Chứng minh Thật vậy, giả sử u1, u2 là hai nghiệm của bài toán Đặt u =

u1 − u2 Khi đó u thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3, vậy u(x) ≡ 0

trong Ω, tức là u1(x) = u2(x)

Định lý 2.5 Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) là hàm điều hòa trong Ω và thỏamãn điều kiện ∂u

∂ν = 0, x ∈ Ω, trong đó ν = νx là pháp tuyến ngoài của

Ω tại x Khi đó u(x) = const

Chứng minh Sử dụng công thức Green thứ nhất với v = u Vì 4u = 4v

Vì u ∈ C1(Ω), nên uxi = 0 (i = 1, 2, , n) trong Ω, do đó u = const

trong Ω Định lý được chứng minh

Định lý 2.6 Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) là hàm điều hòa trong miền giớinội Ω với biên ∂Ω Khi đó

Z

∂Ω

∂u

Chứng minh Trong công thức Green thứ nhất cho v(x) ≡ 1 Do 4u =

0, vxi = 0 trong Ω, nên suy ra

2.2 Hàm cơ bản

2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa

Giả sử x = (x1, x2, , xn) , ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) Khoảng cách giữa x và

ξ là khoảng cách Euclid bình thường

được :

∂2E(x, ξ)

∂ξ2 i

2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa

Định lý 2.8 Giả sử u (x) là hàm điều hòa trong miền Ω và u (x) ∈

trong đó ωn là diện tích của mặt cầu đơn vị trong Rn

Chứng minh Ta lấy x0 ∈ Ω là điểm cố định Ta chứng minh công thức(2.15) cho trường hợp x = x0

trong đó νξ là pháp tuyến ngoài đơn vị đối với Ωε tại ξ ∈ ∂Ωε Từ đó tasuy ra

và do đó số hạng thứ hai ở vế phải (13) tiến tới 0 khi ε → 0.

2.3 Phát biểu bài toán biên của phương trình điều

hòa trong miền bị chặn

Trong mục này trình bày phương pháp đưa bài toán biên hỗn hợp haichiều về phương trình tích phân biên một chiều

Xét phương trình Laplace hai chiều

khúc Ký hiệu (xs, ys) là điểm trên Γ tại cung nguyên tố chiều dài s và ký