Ứng dụng sai phân giải bài toán biên của phương trình eliptic

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán toàn thể anh chị em học viên khóa 13 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt suốt trình thực đề tài nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng định hướng chọn đề tài tận tình bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi hạn chế có thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả Bùi Văn Lương Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "ỨNG DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC" hoàn thành nhận thức thân tác giả, không trùng với Luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực Luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả Bùi Văn Lương Mục lục Lời nói đầu Chương Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.1 Các kí hiệu định nghĩa chung 6 1.1.1 Về miền Rn 1.1.2 Về đạo hàm 1.1.3 Về không gian 1.1.4 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng 1.1.5 Các phương trình đặc biệt 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 1.3 Các toán biên phương trình Eliptic 10 Chương Phương trình sai phân 11 2.1 Các khái niệm 12 2.1.1 Định nghĩa 12 2.1.2 Tính chất sai phân 14 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính 17 2.2.1 Định nghĩa 17 2.2.2 Nghiệm 18 2.2.3 Tuyến tính hóa 23 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 25 2.3.1 Định nghĩa 25 2.3.2 Nghiệm 25 2.3.3 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n phương trình sai phân tuyến tính cấp không 26 2.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên 29 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 31 2.4.1 Định nghĩa 31 2.4.2 Nghiệm 32 2.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 35 Chương Giải toán biên phương trình Eliptic phương pháp sai phân 3.1 Sai phân hóa toán biên phương trình Eliptic 38 38 3.1.1 Bài toán biên Đirichlê 38 3.1.2 Những bước việc sai phân hóa toán biên Đirichlê 39 3.1.3 Thí dụ 44 3.1.4 Bài toán biên Nơman Sai phân hóa biên kiện ∂u/∂n 45 3.2 Phương pháp giải hệ phương trình sai phân toán biên phương trình Eliptic 48 3.2.1 Vài điều ý 48 3.2.2 Về việc giải lặp hệ phương trình đại số tuyến tính 52 3.2.3 Phép lặp Iacôbi phép lặp Zayđen 55 3.2.4 Phép giảm dư hạn (phép lặp SOR) 57 3.2.5 Phép lặp luân hướng (phép lặp ADI) 60 3.2.6 Các phép lặp khối 64 3.3 Sự hội tụ toán biên sai phân phương trình Eliptic 66 3.3.1 Đường lối chung để chứng minh hội tụ 66 3.3.2 Cách chứng minh cụ thể 67 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 Lời nói đầu Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỷ 18 công trình nhà toán học tiếng Ơle, Đalambe, Lagrăng Laplaxơ công cụ quan trọng để mô tả mô hình vật lý học Những toán có nội dung tương tự nghiên cứu đến tận ngày nội dung lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Chỉ đến kỷ 19 đặc biệt công trình Riemann, phương trình đạo hàm riêng trở thành công cụ mạnh lĩnh vực khác toán học lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất toán ứng dụng lý thuyết thuỷ động học, học lượng tử, điện học, điện – từ trường Đa số toán phức tạp, phương pháp giải Nhiều toán nghiệm theo nghĩa cổ điển Vấn đề tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng nhiều không cần thực trường hợp Bởi nhiều trường hợp ta tìm nghiệm gần phương trình đạo hàm riêng từ xuất phương pháp để giải gần phương trình Phương pháp sai phân (hay gọi phương pháp lưới) phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung dẫn đối tượng cần xét việc giải phương trình sai phân Một ứng dụng phương pháp giải toán biên phương trình đạo hàm riêng, có phương trình Eliptic phương trình đạo hàm riêng quan trọng Với mong muốn tìm hiểu kỹ ứng dụng sai phân, với giúp đỡ hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, xin giới thiệu đề tài: “ỨNG DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC” Chương Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.1 Các kí hiệu định nghĩa chung 1.1.1 Về miền Rn Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) | xi ∈ R, i = 1, n n Chuẩn x = x2i i=1 n x i yi Tích vô hướng: x.y = i=1 n Hình cầu mở tâm a ∈ R , bán kính r > Kí hiệu: Br (a) B(a, r); B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a < r} Ω ⊂ Rn miền ⇔ Ω mở liên thông r Π2 Wn thể tích Br (a) Rn , Wn = n Γ +1 1.1.2 Về đạo hàm Đa số: α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn Khi bậc α số |α| = α1 + α2 + · · · + αn Đạo hàm cấp α hàm số u = u(x), x ∈ Rn là: Dα u(x) = ∂ |α| u ∂xα1 ∂xα2 ∂xαnn Với hàm số z = f (x, y) Thay cho viết ∂f , ta viết fx (x, y) zx (x, y) ∂x ∂ 3f Thay cho viết , ta viết zxxy (x, y), vài trường hợp kí hiệu ∂x2 ∂y Dxxy f (x, y) 1.1.3 Về không gian Giả sử A ⊂ Rn tập C k (A) tập hợp tất hàm u = u(x), xác định A có đạo hàm Dα u(x) với |α| ≤ k liên tục A0 thác triển liên tục toàn A A0 tập điểm A, A mở A0 = A = Ω Khi C k (Ω) hiểu tương tự Rn+1 = Rn × R phần tử x = (x , t) với x ∈ Rn , t ∈ R; x biến không gian, t biến thời gian Với A ∈ Rn+1 , kí hiệu C k,m (A) tập tất hàm u(x, t) xác định A cho u(x, t) Dxα Dtβ u(x, t) liên tục A0 thác triển liên tục A với α ≤ k, ≤ β ≤ n ∂Ω tập điểm biên Ω 1.1.4 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa: Phương trình liên hệ hàm ẩn u1 , u2 , , un ; biến đạo hàm riêng chúng gọi phương trình đạo hàm riêng Một phương trình đạo hàm riêng chứa đạo hàm cấp m không chứa đạo hàm cấp cao m gọi phương trình đạo hàm riêng cấp m Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính tất hàm ẩn đạo hàm riêng chúng Cũng mà phương trình đạo hàm riêng tuyến tính chứa đạo hàm hàm ẩn bậc Phương trình đạo hàm riêng gọi tựa tuyến tính tuyến tính với đạo hàm cấp cao Thí dụ: Xét hàm biến u = u(x, y) Phương trình: x2 uxx + uyy + u2 = phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính ∂ 2u ∂u ∂ 2u + − + y u = x2 − y phương trình Phương trình: ∂x ∂x∂y ∂x đạo hàm riêng cấp tuyến tính Phương trình tuyến sóng: utt − ∆u = f (x, t) tuyến tính với u = u(x, t) Nghiệm phương trình đạo hàm riêng hệ hàm cho thay vào hàm ẩn, phương trình biến thành đồng thức ∂ 2u ∂ 2u Thí dụ: Một nghiệm phương trình −a = hàm u(x, y) = ∂x ∂y cos(ax + y) + e−ax+y 1.1.5 Các phương trình đặc biệt Toán tử Laplace: ∆= ∂2 ∂2 ∂2 + + · · · + ∂x21 ∂x22 ∂x2n ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + + · · · + ∂x1 ∂x2 ∂xn (k+1) Ui (k) = Ui aii − (k+1) aij Uj (k) − j 1: lượng sửa vượt mức thường lệ Vì họ gọi phương pháp xét phương pháp giảm dư hạn hay phương pháp SOR Theo phương pháp SOR ta lấy (k+1) Ui (k) = Ui − ω aii (k+1) aij Uj j