Luận văn sư phạm Ứng dụng của phương pháp Galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****************** NGUYỄN THỊ HƯỜNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIẢI BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn Giải tích Hà Nội-2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****************** NGUYỄN THỊ HƯỜNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn Giải tích Hà Nội-2013 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng em dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh - Giảng viên khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Các kết khóa luận trung thực, không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013 Người cam đoan Nguyễn Thị Hường Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vec tơ 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ 1.1.2 Một số ví dụ 1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1.1.4 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.1.5 Không gian vectơ 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 1.2.3 Tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn 10 1.3 Không gian Hilbert 11 1.3.1 Tích vơ hướng 11 1.3.2 Tính trực giao 13 1.3.3 Cơ sở trực chuẩn - Đẳng thức Parseval 15 1.4 Phương pháp chiếu định lý hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 15 1.4.1 Phương pháp chiếu 15 1.4.2 Định lý hội tụ 16 1.4.3 Định lý hình chiếu lên khơng gian đóng không gian Hilbert 18 1.4.4 Ứng dụng định lý hình chiếu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 19 1.5 Phương trình vi phân thường tốn biên phương trình vi phân thường 24 1.5.1 Một số khái niệm phương trình vi phân 24 1.5.2 Bài tốn biên phương trình vi phân thường 25 1.6 Kết luận chương 28 Chương Phương pháp Galerkin ứng dụng vào giải gần tốn biên phương trình vi phân thường 29 2.1 Cơ sở lý thuyết chung 29 2.2 Phương pháp Galerkin ứng dụng vào giải toán biên 30 2.2.1 Nội dung phương pháp 30 2.2.2 Một số ví dụ: 32 2.3 So sánh phương pháp Galerkin với số phương pháp giải tốn biên hai điểm tuyến tính 37 2.3.1 Phương pháp Collocation 37 2.3.2 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp Collocation 39 2.3.3 Phương pháp sai phân 42 2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp sai phân 43 2.4 Kết luận chương 47 Chương Ứng dụng ngơn ngữ lập trình Pascal Maple vào giải tốn biên phương trình vi phân thường 48 3.1 Ứng dụng ngơn ngữ lập trình Pascal vào giải toán biên 48 3.2 Ứng dụng Maple vào giải toán biên 52 3.3 Kết luận chương 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân mảng kiến thức quan trọng toán học Việc giải phương trình vi phân khơng giúp giải lượng lớn toán lĩnh vực tốn học, vật lý, hóa học, mà đem lại nhiều ứng dụng thực tiễn sống Tuy nhiên, giải phương trình vi phân để tìm nghiệm xác cịn gặp nhiều khó khăn Do vậy, nhà khoa học nghiên cứu tìm phương pháp giải gần phương trình vi phân Để mở rộng nâng cao hiểu biết phương pháp giải phương trình vi phân, khóa luận này, em xin mạnh dạn trình bày phương pháp Galerkin ứng dụng quan trọng phương pháp để giải gần toán biên phương trình vi phân thường cấp 2 Mục đích nghiên cứu Tổng hợp kiến thức phương pháp Galerkin ứng dụng việc giải phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp Galerkin để giải tốn biên phương trình vi phân thường Hệ thống số kiến thức liên quan đến phương pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng phương pháp Galerkin để giải toán biên phương trình vi phân thường cấp • Phạm vi nghiên cứu: Bài tốn biên phương trình vi phân thường cấp Phương pháp nghiên cứu • Tìm tịi, sưu tầm, hệ thống tài liệu liên quan • Nghiên cứu tài liệu • Phân tích, so sánh, tổng hợp nội dung • Tham khảo ý kiến chuyên gia Những đóng góp đề tài Đề tài trình bày hệ thống sở lý thuyết, đưa phương pháp số ví dụ cụ thể cho ứng dụng phương pháp Galerkin vào giải tốn biên hai điểm tuyến tính phương trình vi phân thường cấp 2, so sánh phương pháp Galerkin với số phương pháp khác để thấy hiệu phương pháp Ngoài ra, đề tài giới thiệu ứng dụng Pascal Maple vào tốn để việc tính tốn nhanh chóng đơn giản Bố cục khóa luận bao gồm chương : • Chương khóa luận trình bày tóm tắt số kết biết đại số tuyến tính giải tích hàm, định lý kết liên quan đến khóa luận • Chương khóa luận tập trung trình bày ý tưởng, khái niệm tính chất nội dung phương pháp Galerkin Bên cạnh số ví dụ cụ thể ứng dụng phương pháp Galerkin vào giải tốn biên phương trình vi phân thường • Chương trình bày ứng dụng tin học vào giải toán biên hai điểm tuyến tính Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hường Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vec tơ 1.1.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa 1.1 Cho V tập khác rỗng mà phần tử ký hiệu x,y ,z , K trường Giả sử V trang bị hai phép toán sau: a) Phép cộng: +: V ×V → V → x+y (x, y) b) Phép nhân: ·:K ×V →V (λ, x) → λ · x thỏa mãn điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây: (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V ; ∃θ ∈ V : θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V , (θ phần tử không V ); ∀x ∈ V , ∃x′ ∈ V : x + x′ = x′ + x = θ; x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ; (λ + µ)x = λ · x + µ · x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V ; λ(x + y) = λ · x + λ · y, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ V ; (λ(µx)) = (λµ)x, ∀λµ ∈ K, ∀x ∈ V ; · x = x, ∀x ∈ K Khi V với hai phép tốn cho gọi không gian vectơ trường K hay K - không gian vectơ Các phần tử V gọi vectơ, phần tử K gọi vô hướng Phép cộng ”+” gọi phép cộng vectơ, phép nhân ” ·” gọi phép nhân vectơ với vơ hướng Khi K = R V gọi không gian vectơ thực Khi K = C V gọi khơng gian vectơ phức 1.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.1 Tập hợp K[X] đa thức biến số X với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức phép nhân đa thức với vô hướng thuộc trường K K- khơng gian vectơ Ví dụ 1.2 Tập hợp X khác rỗng, V K-không gian vectơ Tập Ω gồm tất ánh xạ ϕ : X −→V với phép toán: (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) (λϕ)(x) = λ · ϕ(x) với ϕ, ψ ∈ Ω, λ ∈ K K- không gian vectơ Ví dụ 1.3 Cho trường K n ≥ Xét tích Descartes: Rn = {(x1 , x2 , , xn )|xi ∈ R, i = 1, 2, , n} với hai phép toán: (x1 , x2 , , xn ) + (y1 , y2 , , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ), λ(x1 , x2 , , xn ) = (λx1 , λx2 , , xn ), λ ∈ R Rn với hai phép toán K- không gian vectơ 1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.2 Cho K- khơng gian vectơ V • Một tổ hợp tuyến tính vectơ x1 , , xn ∈ R biểu thức PP Galerkin PP Collocation x=0 0 x = 0, 01 -0,00414 -0,00408 x = 0, 02 -0,00816 -0,00805 x = 0, 03 -0,01205 -0,01193 x = 0, 04 -0,01582 -0,01571 x = 0, 05 -0,01947 -0,01844 x = 0, 06 -0,02300 -0,02199 x = 0, 07 -0,02642 -0,02549 x = 0, 08 -0,02972 -0,02959 x = 0, 09 -0,03290 -0,03221 x=1 0 Nhận xét: Trong ví dụ này, nghiệm xấp xỉ tốn tìm phương pháp Galerkin phương pháp Collocation chọn hệ sở có sai khác sai số nghiệm nhỏ 0,002 2.3.3 Phương pháp sai phân Xét toán: y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x) Với điều kiện biên: Đặt:   α y(a) + α y ′ (a) = A  β0 y(b) + β1 y ′ (b) = B yi+1 − yi h yi+2 − 2yi+1 yi′′ = h2 Trong đó: yi giá trị gần yi xi yi′ giá trị gần yi′ xi yi′ = 42 (2.4) yi′′ giá trị gần yi′′ h = xi+1 − xi x0 = a; xi = a + ih; xn = a + n.h = b y1 − y0 y(a) ≈ y0 ; y ′ (a) ≈ h y(b) ≈ yn ; y ′ (b) ≈ yn −yh n−1 Thay vào tốn ban đầu, ta hệ phương trình đại số tuyến tính: yi+2 − 2yi+1 + yi yi+1 − yi + p + qi yi = fi , i = 1, n i h2 h   α y + α y1 −y0 = A∗ 0 h  β0 yn + β1 yn −yn−1 = B ∗ (2.5) h Trong pi ≈ p(xi ), qi ≈ q(xi ), fi ≈ f (xi ) Ta phải tìm giá trị y1 , y2 , · · · , yn−1 giá trị nút bên khoảng (a, b) Vậy hệ (4.2) (*) hệ phương trình đại số tuyến tính gồm n + phương trình n+1 ẩn Giải hệ này, ta giá trị gần nghiệm y(x) toán điểm x0 , · · · , xn , giá trị gần nghiệm toán Nhận xét: Khi n lớn, hệ (4.2) (*) gồm nhiều phương trình số điểm nút tăng lên cho ta nghiệm xác Nếu ta thay y ′ , y ′′ công thức sai phân trung tâm: yi+1 − 2yi + yi−1 yi+1 − yi−1 ; yi′′ = yi′ = 2h h2 Ta hệ có độ xác cao 2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp sai phân Ví dụ 2.4: Tìm nghiệm gần phương trình: y ′′ + x2 y + = Với điều kiện biên: y(−1) = y(1) = Giải: (*)Sử dụng phương pháp Galerkin: Chọn hệ sở: {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x)}, với: 43 ϕ0 (x) = , ϕ1 (x) = − x2 , ϕ2 (x) = x2 (1 − x2 ) Hệ độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên: ϕ0 (−1) = = ϕ′0 (1) = ϕi (0) = ϕ′i (1) = 0, i = {1, 2} Khi đó, nghiệm xấp xỉ tốn có dạng: ci ϕi (x) y(x) = ϕ0 (x) = i=1 Đặt: L(ϕ0 ) = L(ϕ1 ) = −x4 + x2 − L(ϕ2 ) = −x6 + x4 − 12x2 + Áp dụng công thức: ϕi (x)L(ϕk )dx aik = −1 ϕ1 (x)L(ϕ1 (x))dx a11 = −1 (1 − x2 )(−x4 + x2 − 2)dx = − = −1 88 35 ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx a12 = −1 (1 − x2 )(−2)(−x6 + x4 − 12x2 + 2)dx = − = −1 ϕ2 (x)L(ϕ1 (x))dx a21 = −1 x2 (1 − x2 )(−x4 + x2 − 2)dx = − = 44 152 315 152 315 −1 ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx a22 = −1 x2 (1 − x2 )(−x6 + x4 − 12x2 + 2)dx = − = 2824 3465 Và bk = Ta có: ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, −1 −1 (−2)(1 − x2 )dx = −2 b1 = −1 (1 − x2 )dx = − −1 (x2 − x4 )dx = − (−2)x2 (1 − x2 )dx = −2 b2 = 1 Ta có hệ phương trình:  152 88   c − c = − −    35 315    152 2824  − c1 − c2 = − 315 3465 15 Vậy nghiệm phương trình là: y(x) = ⇔ 15  8925   c =    15488    441   c2 = 1408 441 8925 (1 − x2 ) + x (1 − x2 ) 15488 1408 (*)Sử dụng phương pháp sai phân: Ta chia đoạn [−1, 1] thành phần với bước h = Do điều kiện biên tính chất đối xứng tốn nên ta có: y−4 = y4 = yi = y−i , i = 1, 2, Vì ta cần xác định giá trị y0 , y1 , y2 , y3 thay giá trị xi vào phương trình sai phân: yi+1 − 2yi + yi−1 + x2i yi + = h 45 Ta hệ phương trình đại số tuyến tính xác định giá trị yi là:  y1 − 2y0 + y−1   x0 = : +2=0    h2   y2 − 2y1 + y0   x1 = 0, 25 : + y1 + = h2 16 y3 − 2y2 + y1   x = 0, : + y2 + =  2  h    y4 − 2y3 + y2   x3 = 0, 75 : + y3 + = h2 16 Thay y4 = h2 = vào hệ Giải hệ phương trình ẩn ta được: 16    y0 = 0, 890        y−1 = 0, 766  y = 0, 766 ⇔ y−2 = 0, 515     y = 0, 515    y−3 = 0, 132   y3 = 0, 132 Bảng so sánh kết số giá trị hai phương pháp: PP Galerkin PP Sai phân x = −1, 00 0 x = −0, 75 1,395276 1,392721 x = −0, 50 0,827863 0,827645 x = −0, 25 0,633271 0,633101 x = 0, 00 0,576253 0,576018 x = 0, 25 0,633271 0,633152 x = 0, 50 0,827863 0,827651 x = 0, 75 1,395276 1,394432 x = 1, 00 0 Nhận xét: Trong ví dụ này, nghiệm xấp xỉ tốn tìm phương pháp Galerkin phương pháp sai phân có sai khác sai số nghiệm nhỏ 0,002 46 Kết luận: Sự sai khác kết phương pháp Galerkin so với phương pháp không đáng kể, tùy vào mức độ sai số giới hạn mà ta lựa chọn phương pháp hệ độc lập tuyến tính phù hợp 2.4 Kết luận chương Chương nêu lên Cơ sở lý thuyết chung phương pháp Galerkin, trình bày nội dung phương pháp Galekin - trường hợp đặc biệt phương pháp chiếu, ứng dụng quan trọng phương pháp vào giải tốn biên phương trình vi phân thường Bên cạnh ví dụ điển hình giúp người đọc hiểu rõ ràng, cụ thể phương pháp Đặc biệt, có so sánh phương pháp Galerkin với số phương pháp khác: phương pháp Collocation, phương pháp sai phân để người đọc có nhìn khái qt hơn, phục vụ cho việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp, hiệu với tốn 47 Chương Ứng dụng ngơn ngữ lập trình Pascal Maple vào giải tốn biên phương trình vi phân thường 3.1 Ứng dụng ngơn ngữ lập trình Pascal vào giải tốn biên Ví dụ 3.1: Giải phương trình sau: y ′′ + (x + 1)y ′ + y = x Với điều kiện biên: y(0) = 1, y(1) = Giải: (*)Sử dụng phương pháp Galerkin: Chọn hệ sở: {ϕ0 (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x)}, với: ϕ0 (x) = − x , ϕ1 (x) = x − x2 , ϕ2 (x) = x2 − x3 Hệ độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên: ϕ0 (0) = = ϕ′0 (1) = ϕi (0) = ϕ′i (1) = 0, i = {1, 2} 48 Khi đó, nghiệm xấp xỉ tốn có dạng: y(x) = ϕ0 (x) = ci ϕi (x) i=1 Đặt: p(x) = x + 1, q(x) = 1, f (x) = x L(y) = y ′′ + (x + 1)y ′ + y; f (x) = x, ta có: L(ϕ0 ) = −2x L(ϕ1 ) = −3x2 − L(ϕ2 ) = −2x(2x3 + 2x − 1) Áp dụng công thức: aik = ϕi (x)L(ϕk )dx a11 = (x − x2 )(−3x2 − 1)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ1 (x))dx = 0 1 (x − x2 )(−2)(2x3 + 2x − 1)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx = a12 = 0 1 (x2 − x3 )(−3x2 − 1)dx = − ϕ2 (x)L(ϕ1 (x))dx = a21 = 0 Và bk = Ta có: ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, 1 (x − x2 )(x + 2x)dx = b1 = (3x2 − 3x3 )dx = (3x3 − 3x4 )dx = (x2 − x3 )(x + 2x)dx = 1 b2 = 11 60 (x2 − x3 )(−2)(2x3 + 2x − 1)dx = − 0 15 ϕ1 (x)L(ϕ2 (x))dx = a22 = 19 60 49 20 70 Ta có hệ phương trình:  19   c − c = −    60 15    11   − c1 − c2 = 60 70 20   c = −0, 74634 ⇔  c2 = −0, 10244 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình là: y(x) ≈ −0, 74634(x − x2 ) − 0, 10244(x2 − x3 ) (*)Sử dụng lập trình Pascal: Program Giai_ phuong_trinh_vi_phan; Uses crt; Var i,n: byte; y, a_1, b_1, α_01, β _01, γ _01, α_02, β _02, γ _02:Real; Function h: Real; Begin h := (b_1 − a_1)/(n + 1); end; Function h: Real; Begin x := a_1 + i ∗ h; end; Function h: Real; Begin a:=2+h+h*x(i); end; Function h: Real; Begin b:=2*h*h-4; end; Function h: Real; Begin c:=2-h*x(i)-h; end; 50 Function h: Real; Begin t:=2*h*h*x(i); end; Function h: Real; Begin If i = then X:=-β _01/α_01; ElseX:=-a(i-1)/(b(i-1)+c(i-1)*X(i-1)); end; Function Z(i:integer): Real; Begin If i = then Z:= γ _01/α01 Else Z:=(t(i-1)-c(i-1)*Z(i-1))/(b(i-1)+c(i-1)*X(i-1)); end; BEGIN Clrscr; Write(’Cho a_1, b_1, α_01, β _01, γ _01, α_02, β _02, γ _02’); Readln(a_1, b_1, α_01, β _01, γ _01, α_02, β _02, γ _02); Write(’Nhap n=’);Readln(n); y:=(γ _02 − α_02 ∗ Z(n))/(β _02 + α_02 ∗ X(n)); For i:= n downto y:= X(i)*y(i)+Z(i); Write(’Ket qua tinh duoc la:’); For i:= to n Writeln(’y[’,y:5:4,’]=’); Readln; END Sau chạy chương trình ( nhập n = ), ta kết quả: y0 = 1, 0000 y1 = 0, 8338 y2 = 0, 6780 y3 = 0, 5354 y4 = 0, 4080 y5 = 0, 6780 y6 = 1, 0000 y7 = 0, 8338 y8 = 0, 6780 y9 = 0, 0270 y10 = 0, 0000 51 3.2 Ứng dụng Maple vào giải tốn biên Ví dụ 3.2: Giải phương trình sau: y ′′ − xy ′ + y = −2x3 + 2x2 + 6x − Với : y(0) = −1, y(1) = Giải: (*) Sử dụng phương pháp Galerkin: Chọn hệ sở gồm hàm: ϕ0 (x) = 2x − 1ϕ1 (x) = x(1 − x); ϕ2 (x) = x2 (1 − x) Ta thấy hệ {ϕi (x)}4i=0 hệ độc lập tuyến tính thỏa mãn điều kiện biên: ϕ0 (0) = −1, ϕ0 (1) = 1; ϕi (0) = 0, ϕi (1) = 0, i = 1, Ta tìm nghiệm gần toán dạng: ci ϕi (x) y(x) = ϕ0 (x) + i=1 Đặt: L(y) = y ′′ − 2y ′ + y; f (x) = −2x3 + 2x2 + 6x − Ta có: L(ϕ0 ) = ϕ′′0 − xϕ′0 + ϕ0 = −1 L(ϕ1 ) = ϕ′′1 − xϕ′1 + ϕ1 = x2 − L(ϕ2 ) = ϕ′′2 − xϕ′2 + ϕ2 = 2x3 − x2 − 6x + Áp dụng công thức: ϕi (x)L(ϕk )dx, ta có: aik = a11 = (x2 − 2)x(1 − x)dx = − ϕ1 (x)L(ϕ1 ) = 0 1 (2x3 − x2 − 6x + 2)x(1 − x)dx = ϕ1 (x)L(ϕ2 ) = a12 = 17 60 52 20 1 (x2 − 2)x2 (1 − x)dx = − ϕ2 (x)L(ϕ1 ) = a21 = a22 = 1 ϕ1 (x)L(ϕ1 ) = (2x3 − x2 − 6x + 2)x2 (1 − x)dx = − 0 π Và bk = 15 42 ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, −π Ta có: 1 x(1 − x)[−2x3 + 2x2 + 6x − 4]dx = − ϕ1 [f (x) − L(ϕ0 ] = b1 = x2 (1 − x)[−2x3 + 2x2 + 6x − 4]dx = − ϕi (x)L(ϕ0 )dx = b2 = 0 Ta có hệ phương trình:  17   − c − c = −    60 20 15      − c1 − c2 = − 15 42 70 15 70  c =1 ⇔  c2 = −1 Vậy nghiệm toán là: y(x) = x3 − 2x2 + 3x − (*) Sử dụng Maple 13: Giải ví dụ lập trình Maple 13: restart : ϕ0 := x → 2x − : ϕ1 := x → x(1 − x) : ϕ2 := x → x2 (1 − x) : y := unapply(ϕ0 + c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x), x) L := unapply(dif f (dif f (y(x), x), x) + −xdif f (y(x), x) + y(x), x, c1 , c2 ) 53 π a11 = π L(ϕ1 )ϕ1 (x)dx : a12 = −π π a21 = L(ϕ2 )ϕ1 (x)dx : −π π L(ϕ1 )ϕ2 (x)dx : −π a22 = L(ϕ2 )ϕ2 (x)dx : −π π ϕ1 (x)(−2x3 + 2x2 + 6x − − L(ϕ0 ))dx : b1 = −π π ϕ2 (x)(−2x3 + 2x2 + 6x − − L(ϕ0 ))dx : b2 = −π eqn1 := a11 c1 + a12 c2 eqn2 := a21 c1 + a22 c2 solve(eqn1, eqn2, c1 , c2 ); Sau chạy chương trình, kết là:  17   − c1 − c2 = −    60 20 15      − c1 − c2 = − 15 42 70 {c1 = 1, c2 = −1} 3.3 Kết luận chương Chương nêu ứng dụng tin học để lập trình lời giải tốn biên hai điểm tuyến tính, việc sử dụng lập trình Pascal phần mềm tin học Maple vào toán cụ thể để rút ngắn thời gian, đơn giản hóa bước tính tốn, góp phần đưa ứng dụng Giải tích số vào thực tiễn 54 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, em trình bày tư tưởng nội dung, kiến thức xây dựng phương pháp Galerkin, sâu phân tích ứng dụng quan trọng phương pháp, tìm lời giải cho tốn biên phương trình vi phân thường cấp Bên cạnh có so sánh phương pháp Galerkin với phương pháp khác số toán cụ thể để bạn đọc thấy rõ ưu điểm, nhược điểm phương pháp, từ đó có lựa chọn phương pháp giải hợp lý cho toán Trên sở đó, bạn đọc hồn tồn tự giải tốn tương tự Đồng thời, có ứng dụng Tin học vào lập trình tìm lời giải toán, mang lại hiệu cao hơn, góp phần rút ngắn khoảng cách tốn học thực tiễn sống Tuy nhiên, khóa luận dừng lại việc tìm lời giải cho lớp tốn biên hai điểm tuyến tính phương trình vi phân thường cấp hai với điều kiện biên đơn giản Vấn đề nghiên cứu tốn thực tế cịn địi hỏi nghiên cứu sâu Khóa luận nghiên cứu em vấn đề khoa học với vốn kiến thức thời gian hạn hẹp, em mong nhận đóng góp q thầy bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 55 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, (2005) Giải tích số, NXB ĐHQG HN [2] Nguyễn Phụ Hy, (2006) Giải tích hàm, NXB KHKT [3] Khuất Văn Ninh - Nguyễn Văn Hùng, (2011) Giải tích số, Sách dự án GD [4] Mingjun Chen - Zhongying Chen - Guanrong Chen, (1997) Approximate solutions of operator equations, Editor-in-Chief: Charles K Chui [5] A Jeffrey, H Brezis, R.G Douglas, (1998) Numerical Optimization, Springer-Verlag of Berlin 56 ... sử dụng tốn tử chiếu để giải phương trình tốn tử 23 1.5 Phương trình vi phân thường tốn biên phương trình vi phân thường 1.5.1 Một số khái niệm phương trình vi phân • Phương trình vi phân phương. .. phương trình tích phân, 2. 2 Phương pháp Galerkin ứng dụng vào giải toán biên 2. 2.1 Nội dung phương pháp Khi E = F, En = Fn (n = 1, 2, ) phương pháp chiếu gọi phương pháp Galerkin Xét tốn biên phương. .. Maple vào giải tốn biên phương trình vi phân thường 48 3.1 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal vào giải tốn biên 48 3 .2 Ứng dụng Maple vào giải toán biên 52 3.3 Kết luận