Ứng dụng của phương pháp Galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN ****************** NGUYEN TH± HƯèNG ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIÁI BÀI TỐN BIÊN CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP Chun ngành: Tốn Giái tích Hà N®i-2013 TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN ****************** NGUYEN TH± HƯèNG ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP Chun ngành: Tốn Giái tích Hà N®i-2013 LèI CÁM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS.TS Khuat Văn Ninh, ngưòi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành khóa lu¾n Em xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn, Trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i day báo em t¾n tình suot q trình hoc t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình hoc t¾p thnc hi¾n khúa luắn tot nghiắp ny H Nđi, ngy thỏng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Hưàng LèI CAM ĐOAN Em xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna riêng em dưói sn chí dan cna PGS.TS Khuat Văn Ninh - Giáng viên khoa Tốn, Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Các ket q khóa lu¾n trung thnc, khơng trùng vói ket q nghiên cúu cna tác giá khác Neu sai, em xin hon ton ch%u trỏch nhiắm H Nđi, ngy thỏng 05 năm 2013 Ngưòi cam đoan Nguyen Th% Hưàng Mnc lnc Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian vec tơ 1.1.1 Khái ni¾m khơng gian vectơ 1.1.2 M®t so ví du .6 1.1.3 Hắ vect đc lắp tuyen tớnh v hắ vect phu thuđc tuyen tớnh .6 1.1.4 Cơ só so chieu cna khơng gian vectơ 1.1.5 Không gian vectơ 1.2 Không gian đ%nh chuan 1.2.1 Khái ni¾m khơng gian đ%nh chuan 1.2.2 Sn h®i tu khơng gian đ%nh chuan 1.2.3 Toán tú tuyen tính khơng gian đ%nh chuan 10 1.3 Không gian Hilbert 11 1.3.1 Tích vơ hưóng 11 1.3.2 Tính trnc giao 13 1.3.3 Cơ só trnc chuan - Đang thúc Parseval 15 1.4 Phương pháp chieu đ%nh lý hình chieu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 15 1.4.1 Phương pháp chieu 15 1.4.2 Đ%nh lý h®i tu bán 16 1.4.3 Đ%nh lý hình chieu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 18 1.4.4 Úng dung cna đ%nh lý hình chieu lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert 19 1.5 Phương trình vi phân thưòng tốn biên cna phương trình vi phân thưòng 24 1.5.1 M®t so khái ni¾m ve phương trình vi phân .24 1.5.2 Bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng 25 1.6 Ket lu¾n chương 28 Chương Phương pháp Galerkin Nng dnng vào giái gan tốn biên cúa phương trình vi phân thưàng 29 2.1 Cơ só lý thuyet chung .29 2.2 Phương pháp Galerkin úng dung vào giái toán biên 30 2.2.1 N®i dung phương pháp 30 2.2.2 M®t so ví du: 32 2.3 So sánh phương pháp Galerkin vói m®t so phương pháp giái tốn biên hai điem tuyen tính 37 2.3.1 Phương pháp Collocation 37 2.3.2 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp Collocation 39 2.3.3 Phương pháp sai phân .42 2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp sai phân 43 2.4 Ket lu¾n chương 47 Chương Úng dnng ngơn ngĐ l¾p trình Pascal Maple vào giái tốn biên cúa phương trình vi phân thưàng 48 3.1 Úng dung ngơn ngu l¾p trình Pascal vào giái toán biên 48 3.2 Úng dung Maple vào giái toán biên 52 3.3 Ket lu¾n chương 54 Mé ĐAU Lý chon đe tài Phương trình vi phân m®t nhung máng kien thúc quan cna tốn hoc Vi¾c giái phương trình vi phân khơng chí giúp giái quyet đưoc m®t lưong lón tốn lĩnh vnc tốn hoc, v¾t lý, hóa hoc, mà đem lai nhieu úng dung thnc tien cu®c song Tuy nhiên, giái phương trình vi phân đe tìm đưoc nghi¾m xác van g¾p nhieu khó khăn Do v¾y, nhà khoa hoc nghiên cúu tìm phương pháp giái gan phương trình vi phân Đe mó r®ng nâng cao sn hieu biet ve phương pháp giái phương trình vi phân, ó khóa lu¾n này, em xin manh dan trình bày phương pháp Galerkin úng dung quan cna phương pháp đe giái gan tốn biên cna phương trình vi phân thưòng cap 2 Mnc đích nghiên cNu Tong hop kien thúc ve phương pháp Galerkin úng dung vi¾c giái phương trình vi phân thưòng Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu phương pháp Galerkin đe giái toán biên cna phng trỡnh vi phõn thũng Hắ thong mđt so kien thúc liên quan đen phương pháp Đoi tưang pham vi nghiên cNu • Đoi tưong nghiên cúu: Úng dung cna phương pháp Galerkin đe giái tốn biên cna phương trình vi phân thưòng cap • Pham vi nghiên cúu: Bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng cap Phương pháp nghiên cNu Tỡm tũi, su tam, hắ thong cỏc ti liắu liờn quan Nghiờn cỳu ti liắu Phõn tớch, so sỏnh, tong hop cỏc nđi dung Tham kháo ý kien chun gia NhĐng đóng góp mái cúa đe tài Đe tài trình bày h¾ thong só lý thuyet, đưa phương pháp m®t so ví du cu the cho úng dung cna phương pháp Galerkin vào giái toán biên hai điem tuyen tính cna phương trình vi phân thưòng cap 2, so sánh phương pháp Galerkin vói m®t so phương pháp khác đe thay đưoc sn hi¾u cna phương pháp Ngồi ra, đe tài giói thi¾u úng dung Pascal Maple vào tốn đe vi¾c tính tốn nhanh chóng đơn gián Bo cuc cna khóa luắn bao gom chng : Chng cna khúa luắn trỡnh by túm tat mđt so ket quỏ biet đai so tuyen tính giái tích hàm, đ%nh lý ket bán liên quan en khúa luắn Chng cna khúa luắn t¾p trung trình bày ý tưóng, khái ni¾m tính chat n®i dung bán cna phương pháp Galerkin Bên canh m®t so ví du cu the úng dung phương pháp Galerkin vào giái toán biên cna phương trình vi phân thưòng • Chương trình bày úng dung cna tin hoc vào giái tốn biên hai điem tuyen tính Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu, kien thúc han che nên làm khóa lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc nhung đóng góp q báu cna quý thay cô ban đoc Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Hưàng Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian vec tơ 1.1.1 Khái ni¾m khơng gian vectơ Đ%nh nghĩa 1.1 Cho V l mđt khỏc rong m cỏc phan tỳ ký hiắu l x,y,z, v K l mđt trũng Giá sú V đưoc trang b% hai phép toán sau: a) Phộp cđng: +: VìV V (x, y) b) Phép nhân: ·:K×V ›→ x + y →V (λ, x) ›→ λ · x thóa mãn nhung đieu ki¾n (ho¾c tiên đe) sau đây: (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V ; ∃θ ∈ V : θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V , (θ phan tú không V ); ∀x ∈ V , ∃xr ∈ V : x + xr = xr + x = θ; x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ; (λ + µ)x = λ · x + µ · x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V ; λ(x + y) = λ · x + λ · y, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ V ; (λ(µx)) = (λµ)x, ∀λµ ∈ K, ∀x ∈ V ; · x = x, ∀x ∈ K Khi V vói hai phép tốn cho đưoc goi m®t khơng gian vectơ trưòng K hay K- không gian vectơ Các phan tú cna V goi vectơ, phan tú cna K goi vơ hưóng Phép c®ng ”+” goi phép c®ng vectơ, phép nhân ”·” goi phép nhân vectơ vói vơ hưóng Khi K = R V đưoc goi khơng gian vectơ thnc Khi K = C V đưoc goi khơng gian vectơ phúc 1.1.2 M®t so ví dn Ví dn 1.1 T¾p hop K[X] a thỳc cna bien so X vúi hắ so thuđc trưòng K vói phép c®ng đa thúc phép nhân đa thúc vói vơ hưóng thu®c trưòng K m®t K- khơng gian vectơ Ví dn 1.2 T¾p hop X khỏc rong, V l mđt K-khụng gian vect Tắp gom tat cá ánh xa ϕ : X −→V vói phép tốn: (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) (λϕ)(x) = λ · ϕ(x) vói ϕ, ψ ∈ Ω, λ ∈ K m®t K- khơng gian vectơ Ví dn 1.3 Cho trưòng K n ≥ Xét tích Descartes: Rn = {(x1, x2, , xn)|xi ∈ R, i = 1, 2, , n} vói hai phép tốn: (x1, x2, , xn) + (y1, y2, , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn), λ(x1, x2, , xn) = (λx1, λx2, , xn), λ ∈ R R vói hai phép tốn trờn l mđt K- khụng gian vect n 1.1.3 Hắ vect đc lắp tuyen tớnh v hắ vect phn thuđc tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.2 Cho K- khơng gian vectơ V Mđt to hop tuyen tớnh cỳa cỏc vect x1, , xn ∈ R m®t bieu thúc x = 0, 75 1,395276 1,394432 x = 1, 00 0 Nh¾n xét: Trong ví du này, nghi¾m xap xí cna tốn tìm đưoc bang phương pháp Galerkin phương pháp sai phân có sn sai khác ve sai so cna nghi¾m nhó ho¾c bang 0,002 Ket lu¾n: Sn sai khác ve ket cna phương pháp Galerkin so vói phương pháp khơng đáng ke, tùy vào múc đ® sai so giói han mà ta lna chon phương pháp h¾ đc lắp tuyen tớnh phự hop 2.4 Ket luắn chng Chương nêu lên Cơ só lý thuyet chung cna phương pháp Galerkin, trình bày n®i dung cna phng phỏp Galekin - mđt trũng hop ắc biắt cna phương pháp chieu, úng dung quan cna phương pháp vào giái tốn biên cna phương trình vi phân thưòng Bên canh nhung ví du đien hình giúp ngưòi đoc có the hieu rõ ràng, cu the ve phương pháp Đ¾c bi¾t, có sn so sánh giua phương pháp Galerkin vói m®t so phương pháp khác: phương pháp Collocation, phương pháp sai phân đe ngưòi đoc có nhìn khái qt hơn, phuc vu cho vi¾c lna chon phương pháp giái phù hop, hi¾u q vói tùng tốn Chương Úng dnng ngơn ngĐ l¾p trình Pascal Maple vào giái tốn biên cúa phương trình vi phân thưàng 3.1 Úng dnng ngơn ngĐ l¾p trình Pascal vào giái tốn biên Ví dn 3.1: Giái phương trình sau: yrr + (x + 1)yr + y = x Vói đieu ki¾n biên: y(0) = 1, y(1) = Giái: (*)Sú dung phương pháp Galerkin: Chon h¾ só: {ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x)}, vói: ϕ0(x) = − x , ϕ1(x) = x − x2 , ϕ2(x) = x2 − x3 H¾ trờn đc lắp tuyen tớnh thúa ieu kiắn biờn: ϕ0(0) = = 0ϕr (1) = ϕi(0) = ϕir (1) = 0, i = {1, 2} Khi đó, nghi¾m xap xí cna tốn có dang: y(x) = ϕ0(x) = ciϕi(x) i= Đ¾t: p(x) = x + 1, q(x) = 1, f (x) = x L(y) = yrr + (x + 1)yr + y; f (x) = x, ta có: L(ϕ0) = −2x2 L(ϕ1) = −3x − L(ϕ2) = −2x(2x3 + 2x − 1) Áp dung cơng thúc: ¸ aik = ϕi (x)L(ϕk )dx ¸ a11 = a12 ¸ ϕ1(x)L(ϕ1(x))dx = (x − x2)(−3x2 − 1)dx =19 − 0 ¸1 ϕ1(x)L(ϕ2(x))dx = (x − x2)(−2)(2x3 + 2x − 1)dx = − 01 ¸ (x2 − x3)(−3x2 − 1)dx = − 1 ¸ = 01 ¸ ϕ2(x)L(ϕ1(x))dx = a21 = a22 = ¸ ¸ ϕ1(x)L(ϕ2(x))dx = 0 ¸ Và bk = Ta có: (x2 − x3)(−2)(2x3 + 2x − 1)dx = − ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, b1 = 60 ¸1 (x − x2)(x + 2x)dx = 1 ¸ b2 = (3x2 3x3)dx = ¸ − ¸1 3 (3x 3x )dx = (x − x )(x + 2x)dx − 20 = Ta có h¾ phương trình:  19   − c1  60 − 15 ⇔ c2 =  = −0, 74634 c  11   − c1 60 −  c2 = −0, 10244 c2 = 70 20 V¾y nghi¾m xap xí cna phương trình là: y(x) ≈ −0, 74634(x − x2) − 0, 10244(x2 − x3) (*)Sú dung l¾p trình Pascal: Program Giai_ phuong_trinh_vi_phan; Uses crt; Var i,n: byte; y, a_1, b_1, α_01, β_01, γ_01, α_02, β_02, γ_02:Real; Function h: Real; Begin h := (b_1 − a_1)/(n + 1); end; Function h: Real; Begin x := a_1 + i ∗ h; end; Function h: Real; Begin a:=2+h+h*x(i); end; Function h: Real; Begin b:=2*h*h-4; end; Function h: Real; Begin c:=2-h*x(i)-h; end; Function h: Real; Begin t:=2*h*h*x(i); end; Function h: Real; Begin If i = then X:=-β_01/α_01; ElseX:=-a(i-1)/(b(i-1)+c(i-1)*X(i-1)); end; Function Z(i:integer): Real; Begin If i = then Z:= γ_01/α01 Else Z:=(t(i-1)-c(i-1)*Z(i-1))/(b(i-1)+c(i-1)*X(i-1)); end; BEGIN Clrscr; Write(’Cho a_1, b_1, α_01, β_01, γ_01, α_02, β_02, γ_02’); Readln(a_1, b_1, α_01, β_01, γ_01, α_02, β_02, γ_02); Write(’Nhap n=’);Readln(n); y:=(γ_02 − α_02 ∗ Z(n))/(β_02 + α_02 ∗ X(n)); For i:= n downto y:= X(i)*y(i) +Z(i); Write(’Ket qua tinh duoc la:’); For i:= to n Writeln(’y[’,y:5:4,’]=’); Readln; END Sau chay chương trình ( nh¾p n = ), ta đưoc ket quá: y0 = 1, y1 = 0, y2 = 0, 0000 8338 6780 y3 = 0, y4 = 0, y5 = 0, y5354 = 1, y0000 = 0, 0270 y4080 = 0, y8338 10 = 0, 0000 y6780 = 0, 6780 3.2 Úng dnng Maple vào giái tốn biên Ví dn 3.2: Giái phương trình sau: yrr − xyr + y = −2x3 + 2x2 + 6x − Vói : y(0) = −1, y(1) = Giái: (*) Sú dung phương pháp Galerkin: Chon h¾ só gom hàm: ϕ0(x) = 2x − 1ϕ1(x) = x(1 − x); ϕ2(x) = x2(1 x) Ta thay hắ {i(x) }4 l hắ đc l¾p tuyen tính thóa mãn đieu ki¾n biên: i=0 ϕ (1) = 1; ϕ (0) = 0, ϕ (1) = 0, i = 1, ϕ0(0) = −1, i i Ta tìm nghi¾m gan cna tốn dưói dang: y(x) = ϕ0(x) + ciϕi(x) i=1 rr Đ¾t: L(y) = y − 2y + y; f (x) = −2x3 + 2x2 + 6x − Ta có: L(ϕr 0) = ϕrr − + ϕ0 = −1 xϕ 0 L(ϕr 1) = ϕrr − + ϕ1 = x − xϕ 1 L(ϕr 2) = ϕrr − + ϕ2 = 2x3 − x2 − 6x + xϕ r Áp dung công thúc: ¸ aik = ϕi(x)L(ϕk)dx, ta có: ¸ ϕ1(x)L(ϕ1) = a11 = 01 ¸ a12 = ¸1 17 (x2 − 2)x(1 − x)dx = − 0 ¸ ϕ1(x)L(ϕ2) = (2x − x − 6x + 2)x(1 − x)dx = ¸ ϕ2(x)L(ϕ1) = a21 = ¸1 (x2 − 2)x2(1 − x)dx = − ¸ a2 ϕ1(x)L (2x3 − x2 − 6x + ¸ (ϕ1) = 2)x2(1 − x)dx = − = π Và bk = ¸ ϕk (x)[f (x) − L(ϕ0 )]dx, k = 1, −π Ta có: b ¸1 x(1 − x)[−2x3 + 2x2 + 6x − 4]dx = − ¸ ϕ1[f (x) − = L(ϕ0] = ¸ ¸ b2 ϕi(x)L(ϕ0 x2(1 − x)[−2x3 + 2x2 + = )dx = 6x − 4]dx = − 0 Ta có h¾ phương trình:  c1 − c−2 =   −0  ⇔  c = 1  c2 = −1   − c1 − c2 = − 15 42 70 V¾y nghi¾m cna tốn là: y(x) = x3 − 2x2 + 3x − (*) Sú dung Maple 13: Giái ví du bang l¾p trình Maple 13: restart : ϕ : = x → x − : ϕ : = x → x ( − x ) : ϕ : = x → x2 ( − x ) : y := unapply (ϕ0 + c1.ϕ1(x) + c2.ϕ2(x) , x) L := unappl y(diff (diff (y(x), x), x) + −xdiff (y(x), x) + y(x), x, c 1, c2 ) π ¸ a11 = L(ϕ1)ϕ1(x)dx : −π ¸π a21 = −π ¸π L(ϕ1)ϕ2(x)dx : −π π ¸ − a12 π ¸ L(ϕ2)ϕ1(x)dx : = a22 = −π L(ϕ2)ϕ2(x)dx : bϕ1(x)(−2x3 + = 2x + 6x − − ¸ L(ϕ ))dx : b = −π ϕ2(x)(−2x3 + 2x2 + 6x − − L(ϕ0))dx : e q n : = a 1 c + a c e q n : = a c + a 2 c s o l v e ( e q n , e q n , c , dung cna Giái tích so vào thnc tien c ) ; Sau chay chương trình, ket là:  c2 =  −7  20  − 15 c1 −    − c1 − c2 = 15 42 − 70 {c1 = 1, c2 = −1} 3.3 Ket lu¾n chương Chương nêu úng dung cna tin hoc đe l¾p trình lòi giái cna tốn biên hai điem tuyen tính, vi¾c sú dung l¾p trình Pascal phan mem tin hoc Maple vào nhung toán cu the đe rút ngan thòi gian, đơn gián hóa bưóc tính tốn, góp phan đưa úng KET LU¾N Trong khóa lu¾n này, em trình bày tư tưóng n®i dung, kien thúc bán xây dnng phương pháp Galerkin, sâu phân tích úng dung quan cna phương pháp, tìm lòi giái cho tốn biên cna phương trình vi phân thưòng cap Bên canh có sn so sánh phương pháp Galerkin vói phương pháp khác m®t so tốn cu the đe ban đoc thay rõ đưoc nhung ưu điem, nhưoc điem cna tùng phương pháp, tù đó có sn lna chon phương pháp giái hop lý cho tùng tốn Trên só đó, ban đoc hồn tồn có the tn giái đưoc tốn tương tn Đong thòi, có sn úng dung cna Tin hoc vào l¾p trình tìm lòi giái cna tốn, mang lai hi¾u q cao hơn, góp phan rút ngan khoáng cách giua toán hoc thnc tien cuđc song Tuy nhiờn, khúa luắn dựng lai ó vi¾c tìm lòi giái cho lóp tốn biên hai điem tuyen tính cna phương trình vi phân thưòng cap hai vói đieu ki¾n biên đơn gián Van đe nghiên cúu tốn thnc te đòi hói nhung nghiên cúu sâu nua Khóa lu¾n nghiên cúu đau tiên cna em ve m®t van đe khoa hoc vói von kien thúc thòi gian han hep, em rat mong nh¾n đưoc nhung đóng góp cna q thay ban đoc đe khóa lu¾n đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [1] Pham Kỳ Anh, (2005) Giái tích so, NXB ĐHQG HN [2] Nguyen Phu Hy, (2006) Giái tích hàm, NXB KHKT [3] Khuat Văn Ninh - Nguyen Văn Hùng, (2011) Giái tích so, Sách dn án GD [4] Mingjun Chen - Zhongying Chen - Guanrong Chen, (1997) Approximate solutions of operator equations, Editor-in-Chief: Charles K Chui [5] A Jeffrey, H Brezis, R.G Douglas, (1998) Numerical Optimization, Springer-Verlag of Berlin ... 19 1.5 Phương trình vi phân thưòng tốn biên cna phương trình vi phân thưòng 24 1.5.1 Mđt so khỏi niắm ve phương trình vi phân .24 1.5 .2 Bài tốn biên cna phương trình vi phân thưòng... 25 1.6 Ket lu¾n chương 28 Chương Phương pháp Galerkin Nng dnng vào giái gan toán biên cúa phương trình vi phân thưàng 29 2. 1 Cơ só lý thuyet chung .29 2. 2 Phương pháp Galerkin. .. 37 2. 3.1 Phương pháp Collocation 37 2. 3 .2 So sánh phương pháp Galerkin phương pháp Collocation 39 2. 3.3 Phương pháp sai phân . 42 2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin phương