Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2 - phương pháp đưa về bài toán cauchy, phương pháp khử lặp

Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vi phân lĩnh vực quan trọng toán học đại Rất nhiều tốn tốn học, vật lý, hóa học,… dẫn đến việc giải phương trình vi phân Tuy nhiên lớp phương trình vi phân tìm nghiệm xác hẹp Do đó, để giải phương trình vi phân thơng thường người ta thường phải sử dụng phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần chúng Do nhu cầu thực tiễn, nhà khoa học tìm nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần phương trình vi phân Trong khóa luận em xin trình bày số phương pháp giải gần toán biên phương trình vi phân thường cấp Nội dung khóa luận gồm chương: Chƣơng 1: Các kiến thức mở đầu Chƣơng 2: Một số phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường cấp - phương pháp đưa toán Cauchy, phương pháp khử lặp Chƣơng 3: Ứng dụng vào giải tốn cụ thể Tuy có nhiều cố gắng, song đặc điểm đề tài, thời gian tài liệu nghiên cứu hạn chế nên khóa luận em chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong bảo, tham gia đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để khóa luận em hồn chỉnh GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Chƣơng CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối Trong tính tốn, ta thường phải làm việc với giá trị gần * đại lượng Ta nói a số gần a , a không sai khác a * * nhiều Đại lượng ∆: = | a – a | gọi sai số thực a Do * a nên ta khơng biết ∆ Tuy nhiên, ta tìm ∆a ≥ 0, gọi sai số tuyệt đối a, thỏa mãn điều kiện: * | a – a | ≤ ∆a hay a − ∆a ≤ (1.1.1) * a ≤ a + ∆a Đương nhiên, ∆a thỏa mãn kiện (1.1.1) nhỏ tốt Sai số tương đối a : ∆a δa: = |a| Ví dụ : * Giả sử a = π ; a = 3,14 * 3,14 < a < 3,15 = 3,14 + 0,01 Do nên ta lấy ∆a = 0, 01 Mặt khác, 3,14 < π < 3,142 + 0, 002 coi ∆a = 0, 002 Ví dụ : Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a = 10cm b = 1cm với δ = 0, 01 = 0,1% ∆a = ∆b = 0, 01 Khi ta có a 10 ∆b = = 1% 0, 01 hay δb = 10δ a Hiển nhiên phép đo a xác hẳn phép đo b ∆a = ∆b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát sau: a = ±(β p10 p + ++ β β 10p−s ) 10p−1 p − p − ≤ βi ≤ 9,(i = p ; β p số nguyên −1, p − s) > Nếu p – s ≥ a số nguyên Nếu p – s = - m ( m > ) a có phần lẻ gồm m chữ số Nếu s = + ∞ a số thập phân vô hạn Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ā ngắn gọn gần với a Quy tắc thu gọn : p Giả sử a 10 + β = β p −1 10 ++ p p 10 −s β p−1 − p−s thứ j Gọi phần vứt bỏ µ, ta đặt p a = 10 + β ta giữ lại đến số hạng 10 p ++ β β p đó: j−1 p−1  β   β :=  j j +1,neáu j 0,5.10 β j ,nếu0 < Nếu µ = 0,5 j 10 β < µ < 10j µ < 0,5.10  + 1, nếuβ lẻ j  β j  j Ví dụ :=   β j − 10 j + β j 10 , , nếuβ j chẵn j π ≈ 3,141592 ≈ 3,14159 ≈ 3,1416 ≈ 3,142 ≈ 3,14 ≈ 3,1 ≈ Sai số thu gọn Γa ≥ số thỏa mãn điều kiện : | ā – a | ≤ Γa p p-1 Vì a = βp 10 + βp-1 10 Còn a = β p p −1 10 + 10 β ++ β p p−1 j + + βj 10 + µ 10 j−1 j −1 + β 10 j j Nên | a − a | = | (β j )10 + j − β µ |< 0,5.10 j j Sau thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên : * * | a - ā | ≤ | a - a | + | a – ā | ≤ ∆a + Γa 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số ‘ 0’ chữ số ‘ ‘ kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng lại Ví dụ : a = 0,0030140 Ba chữ số “ “ đầu khơng có nghĩa Mọi chữ số có nghĩa βj gọi chữ số a= ±(β p1 p + β p 10 ++ pβ 10 p −s ) p−1 ∆a ≤ ω tham số cho trước ω.10i Tham số ω chọn để chữ số vốn sau thu gọn chữ số Giả sử chữ số cuối a trước thu gọn βj Để βj+1 chữ số trước chắc, phải có ∆a + Γa ≤ ω.10i+1 Suy ω.10i+1 + i+1 i+1 0,5.10 ≤ ω.10 hay ω > Ta gọi chữ số theo nghĩa hẹp (rộng) ω = 0,5 (ω = 1) viết số gần đúng, lên giữ lại hai chữ số khơng để tính tốn sai số tác động đến chữ số không mà 1.2 Sai số tính tốn Trong tính tốn ta thường gặp bốn loại sai số sau : a) Sai số giả thiết: Do mơ hình hóa, lý tưởng hóa tốn thực tế Sai số không loại trừ b) Sai số phương pháp: Các toán thường gặp phức tạp, giải mà phải sử dụng phương pháp gần Sai số nghiên cứu cho phương pháp cụ thể c) Sai số số liệu: Các số liệu thường thu thực nghiệm có sai số Sai số số liệu gần nghiên cứu §1 d) Sai số tính tốn: Các số vốn có sai số, thêm sai số thu gọn nên tính tốn xuất sai số tính tốn Giả sử phải tìm đại y theo cơng thức: y = f (x1 , x2 ,, xn ) * Gọi xi , y* (i = 1, n) xi , y , (i = 1, n) giá trị gần đối số hàm số  ∑ Nếu f khả vi liên tục thì: n n i i i n | f (x , , , ) − f (x *, x*, , |y * x − y | x x* ) |= = | f ' | | − x* | i= x  ∂ f ' tính điểm trung gian Do i đạo hàm f ∂ xi ∂ f liên tục ∂ xi ∆xi bé ta coi ∑ n ∆y = n ii (1) ' | f (x , , ) |.∆x i=1 x ∆y n ∂ δ y = = ∑| | ∆ ln f xi | y | i ∂xi = Sau sai số phép tính bản: (2) 1.2.1 Sai số tổng = 1, 1, , n ∂ Giả sử tính y = x1 + x2 + …+ xn ; y i= ∂ Theo cơng thức (1) có : xi ∆y = |1| ∆x1 + |1| ∆x2 + …+ |1| ∆xn ⇒ ∆y = ∆x1 + ∆x2 +…+ ∆xn n ∑ ∆x ⇒ ∆y = i=1 i Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng thành phần Trong tính tốn có tổng số nhỏ sai số tương đối số lớn Vậy tính tốn ta phải tránh việc tính hiệu số hai số gần khơng tránh cần phải lấy số với nhiều chữ số 1.2.2 Sai số tích Giả sử tính sai số với y = x1 x2 … xn ; | y | = | x1 | | x2 | …| xn | ⇒ ln |y| = ln |x1| + ln |x2| + …+ ln|xn| n hay ln | y |= ∑ln | xi | i=1 n n i=1 i=1 ∆ln | y |= ∆∑ ln | xi | = n δ y = i =1 ∑δ ∑ ∆ln | x i | xi Sai số tương đối tích tổng sai số tương đối số hạng thành phần 1.2.3 Sai số tương đối thương x1 y = Giả sử tính x2 ' y = Ta có Có x1 x2 ' ;y = − x2 x2 x1 (I) Z " − 5Z ' + 6Z = 6x −10x + Z (0) = 0; Z ' (0) = Z1 " − 15Z ' + 6Z = (II) Z1 (0) = 0;1 Z ' (1) = " ' Z − 5Z + 6Z = 2 (III) ' Z2 (0) = 1;2 Z (1) = Giải (I) Z " − 5Z ' + 6Z = 6x −10x + Z (0) = 0; Z ' (0) = Phương trình đặc trưng là: λ2 − 5λ + 6= có nghiệm thực khác là: λ1 = 2; λ2 = Do nghiệm riêng phương trình vi phân không viết dạng: Z * (x) = Ax2 + Bx + C Thay biểu thức vào phương trình ta đến hệ thức sau: 6Ax2 + (6B −10A)x + 6C − 5B + 2A = 6x −10x + Đồng hệ số lũy thừa bậc x ta được: 6A = 6; 6B −10A = −10; 6C − 5B + A = Suy A = 1; B = 0; C = Do Z * (x) = x2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: Z(x) = c 1e Với điều kiện Z (0) = 0; Z ' (0) = suy c1 = 0; c2 = Vậy phương trình (I) có nghiệm là: Giải (II) x +c 3x e + x Z (x) = x Z " −1 5Z '1+ 6Z = Z (0)1 = 0; Z 1' (1) = Phương trình đặc trưng là: λ2 − 5λ có nghiệm thực khác là: + 6= λ1 = 2; λ2 = Do nghiệm phương trình vi phân viết x dạng: Z (x) = 3x +c e c1 e Với điều kiện Z (0) = 0; Z ' (0) = 1 suy c = -1; c2 = Vậy phương trình (II) có nghiệm là: Z (x) = Giải (III) −e + e3x Z " − 5Z ' + 6Z = 2 Z (0)2 = 1; Z2' (1) = Phương trình đặc trưng là: λ2 − 5λ + 6= có nghiệm thực khác là: λ1 = 2; λ2 = Do nghiệm phương trình vi phân viết x dạng: Z (x) = c1 e 3x +c e Với điều kiện Z (0) = 1; Z ' 2 (0) = suy c1 = 3; c2 = -2 Vậy phương trình (III) có nghiệm là: Z (x) = 3e Vậy tốn có nghiệm là: y(x) =x + c (−e12 x Với điều kiện − 2e 3x + e3 ) + c2 − 2e3x ) x x (3e Kết luận: y(0) y(1 ) = = ; suy c1 = 2e − 3e −1 e − e 2 ;c2 = Phương trình có nghiệm y(x) = x + c (−e2 x + e3 ) + c2 − x (3e 2e3x ) c1 = 2e3 − 3e2 ;c2 = −1 e − e với Bài Bằng phương pháp đưa tốn Cauchy giải phương trình: '' ' với điều kiện biên:  y(0) = y − 5y = −5x + 2x   y(1) = Giải Nghiệm phương trình vi phân có dạng: y(x) = Z (x) + c1Z1 (x) + c2 Z2 ; ≤ x ≤ c1, c2 số tùy ý; Z(x), Z1(x), Z2(x) nghiệm toán Cauchy sau : " ' Z − 5Z = −5x (I) + 2x Z (0) = 0; ' (II) Z (0) = Z1 " − 15Z ' = Z1 (0) = 0;1 Z ' (1) = " (III) ' Z2 − 25Z = ' Z2 (0) = 1;2 Z (1) = Giải (I) " Z − 5Z ' = −5x + 2x Z ' (0) = 0; Z (0) = λ 2− 5λ = có nghiệm thực là: Phương trình đặc trưng là: λ1 = 0; λ2 = Do nghiệm riêng phương trình vi phân không viết dạng: Z * (x) = x( Ax2 + Bx + C) Thay biểu thức vào phương trình ta đến hệ thức sau: −15Ax2 + (6A −10B)x + 2B − 5C = −5x2 + 2x Đồng hệ số lũy thừa bậc x ta được: −15A = −5; 6A −10B = 2; −5C + 2B = Suy Do A= ;B = 0;C = 03 * Z (x) = x Z (x) = c Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: Với điều kiện Z (0) = 0; Z ' (0) = +c e 5x + x suy c1 = 0; c2 = Vậy phương trình (I) có nghiệm là: Z (x) = x Giải (II) Z"− 5Z1 ' = Z (0)1 = 0; Z 1' (1) = Phương trình đặc trưng là: λ − có nghiệm thực là: 5λ = λ1 = 0; λ2 = Do nghiệm phương trình vi phân viết dạng: Z (x) = c + c e5x 1 Với điều kiện ' Z (0) = 0; Z (0) = suy c 1 = − ;c = 1 5x Z (x) = − + e Vậy phương trình (II) có nghiệm là: 5 Giải (III) Z"− 5Z2 ' = Z (0)2 = 1; Z2' (1) = Phương trình đặc trưng là: λ − có nghiệm thực là: 5λ = λ1 = 0; λ2 = Do nghiệm phương trình vi phân viết dạng: Z (x) = c + c e5x 1 Với điều kiện Z (0) = 1; Z ' (0) = suy c1 = 1; c2 = Vậy phương trình (III) có nghiệm là: Z2 (x) = y(x) = Vậy toán có nghiệm là: x + c + c (− + e5 x ) 5 Với điều kiện y(0) = 1; y(1) = Kết luận: suy Phương trình có nghiệm y(x) = + c c = 0;c = 2 c1 = 0;c2 = x + c (− 5x + e ) 5 5 − 3e Bài tập y cầu Bằng phương pháp khử lặp giải phương trình vi phân sau:  '' ' y + y − y = 6x + 1;0,5 ≤ x ≤  x  a)  y(0,5) = −0,125  ' y(1) + y (1) =    '' ' y − x y− y = 1;0,5 ≤ x ≤  x2  ' b)   y(0,5) − y (0,5) = y(1) =    '' ' y + y = 1;0,5 ≤ x ≤   x ' c)  y (0,5) =  ' y(1) + y (1) =   − 3e5 với  y'' − xy' + y = x,0 ≤ x ≤  ' d)  y(0) − y (0) =  y(1) =  Bằng phương pháp đưa tốn Cauchy giải phương trình vi phân sau: '' ' 2x a) y − 4y + 4y = 2e ,0 ≤ x ≤1 với điều kiện biên: ' y(0) + 2y (0) =1; y(1) =1 '' b) y − y = (2x +1)e 2x ,0 ≤ x ≤ với điều kiện biên: ' y(0) =1; y(1) − y (1) = '' ' x c) y + y − 2y = e (cos x − 7sin x),0 ≤ x ≤1 với điều kiện biên: y(0) = 1; y(1) = '' d) y + y = 2sin x,0 ≤ x ≤1 với điều y(0) − y ' (0) =1; kiện biên: y(1) = Kết luận Như biết, toán phát sinh thực tế lúc tìm nghiệm xác tìm phải nhiều thời gian nhiều không cần thiết Việc xuất phương pháp gần toán làm tăng thêm khả ứng dụng toán học vào thực tiễn Trong khóa luận này, ngồi kiến thức sai số, phương trình vi phân thường tốn biên phương trình vi phân thường em nêu lên hai phương pháp để giải toán biên phương trình vi phân thường ứng dụng cơng nghệ thơng tin ngơn ngữ Pascal q trình tính tốn Các phương pháp giải gần tốn biên phương trình vi phân thường phong phú khn khổ khóa luận lực thân có hạn nên khóa luận em nêu hai phương pháp Thơng qua khóa luận em rút nhiều điều bổ ích việc nghiên cứu khoa học em thấy việc phát triển phương pháp gần cần thiết ứng dụng to lớn chúng TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2003), Giải tích số, Nxb Giáo Dục Hồng Hữu Đường (1979), Phương trình vi phân- tập 2, Nxb Giáo Dục Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002), Phương pháp tính thuật tốn, Nxb Giáo Dục Nguyễn Thế Hồn – Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb Giáo Dục I.a.D.Mamedov (1979), Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường, Nxb Maarif.Bacu LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, em nhận quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy, tổ Giải tích trường ĐHSP Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô giáo, đặc biệt thầy giáo - PGS.TS Khuất Văn Ninh động viên, hướng dẫn tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Tâm LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với tôn trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Tâm MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng Các kiến thức mở đầu .2 1.1 Số gần .2 1.2 Sai số tính tốn 1.3 Bài toán ngược lý thuyết sai số 1.4 Sai phân 1.5 Một số kiến thức phương trình vi phân thường 11 1.6 Bài toán biên phương trình vi phân thường 12 Chƣơng Một số phƣơng pháp giải toán biên phƣơng trình vi phân thƣờng cấp - phƣơng pháp đƣa toán Cauchy, phƣơng pháp khử lặp .17 2.1 Phương pháp đưa toán Cauchy 17 2.2 Phương pháp khử lặp giải toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp .20 Chƣơng Ứng dụng vào giải toán cụ thể 30 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo .52 ... ∆y-3 x -2 y -2 ∆ y-3 ∆ y-3 ∆y -2 x -1 y-1 y+0 y+1 x +2 y +2 x+3 y+3 ∆ y -2 ∆ y-1 ∆ y-1 ∆y0 x +1 ∆ y -2 ∆y-1 x0 ∆ y-3 ∆ y -2 ∆ y-1 ∆ y0 ∆ y0 ∆y+1 ∆ y+1 ∆y +2 1.5 Một số kiến thức phƣơng trình vi phân. .. nghiệm toán biên tương ứng có nghiệm khơng tầm thường Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG CẤP - PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ BÀI TOÁN CAUCHY, PHƢƠNG PHÁP KHỬ LẶP... , γ , α1 , β1 , γ số cho trước 2. 1 .2 Các phương pháp đưa toán biên toán Cauchy 2. 1 .2. 1 Phƣơng pháp biến thiên số Ta biết từ giáo trình phương trình vi phân nghiệm tốn (2. 1.1) vi t dạng y(x) =