Các phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Khoá luận tốt nghiệp: Các phƣơng pháp giải toán Cauchy ptvp thƣờng LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khố luận tốt nghiệp em nhận dìu dắt, bảo tạo điều kiện giúp đỡ thầy khoa Tốn nói chung tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt hướng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình thầy giáo TS.Khuất Văn Ninh Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS.Khuất Văn Ninh Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy giáo khoa Tốn, cảm ơn gia đình, bạn bè bạn sinh viên quan tâm đóng góp ý kiến cho đề tài em Phạm Thị Hoa K31E-SPToán LỜI CAM ĐOAN Kết đề tài nỗ lực cố gắng tìm tòi thân Em xin cam đoan kết nghiên cứu em không trùng với kết tác giả khác Hà Nội ngày 18/5/2009 Sinh viên: Phạm Thị Hoa MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU NỘI DUNG KHOÁ LUẬN Chƣơng 1: Kiến thức sở I Các khái niệm Số gần Sai số Sai phân II Khái quát phương trình vi phân Một số khái niệm Bài toán Cauchy phương trình vi phân thường cấp Bài tốn Cauchy hệ phương trình vi phân thường cấp 10 Điều kiện Lipschitz 10 Chƣong 2: Các phƣơng pháp giải gần toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng 11 I Các phương pháp giải tích 11 Phương pháp lặp đơn 11 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 13 Phương pháp chuỗi số nguyên 15 II Các phương pháp số 16 Phương pháp Euler 16 Phương pháp Euler Cauchy 18 Phương pháp Runge Kutta 20 Phương pháp Adams 25 III.Ứng dụng tin học để giải phương trình vi phân thường 29 Ứng dụng chương trình MapleV 29 Ứng dụng ngơn ngữ lập trình Pascal 30 Chƣơng 3: Các tập ứng dụng 38 I Các tập ứng dụng phương pháp giải tích 38 II Các tập ứng dụng phương pháp số 45 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 LỜI NÓI ĐẦU Thế kỷ XXI kỷ bùng nổ công nghệ thông tin, ứng dụng công nghệ thông tin có đóng góp to lớn hiệu mặt đời sống Và từ lâu tin học ứng dụng vào mơn Tốn Có số liệu tính tốn q cồng kềnh tốn phức tạp khơng thể giải tay dùng lập trình máy vi tính có kết nhanh gọn xác Các bạn sinh viên học mơn phương trình vi phân từ kì II năm thứ ba, bạn quen thuộc với dạng tốn tìm nghiệm tốn Cauchy phương trình vi phân thường Thế có nhiều trường hợp nghiệm phương trình vi phân khơng thể tìm Bởi để tìm nghiệm chúng, ta phải áp dụng phương pháp gần khác Ở phương pháp dùng lập trình Pascal hay sử dụng thuật toán MapleV để giải toán Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho kỹ kinh nghiệm tiếp cận với ứng dụng cơng nghệ thơng tin váo việc giải tốn đồng thời để hiểu sâu phương trình vi phân em mạnh dạn chọn đề tài là: “Các phương pháp giải tốn Cauchy phương trình vi phân thường” Nội dung khoá luận gồm chương: Chƣơng 1: Kiến thức sở Chương nhằm trình bày khái niệm định lý vấn đề có liên quan đến nội dung chương trình bày Chƣơng 2: Các phƣơng pháp giải gần toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng I Các phương pháp giải tích Phương pháp lặp đơn Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard Phương pháp chuỗi số nguyên II Các phương pháp số Phương pháp Euler Phương pháp Euler-Cauchy Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Adams III Ứng dụng tin học để giải phương trình vi phân thường Ứng dụng chương trình MapleV Ứng dụng ngơn ngữ lập trình Pascal Chƣơng 3: Các tập ứng dụng I Các tập ứng dụng phương pháp giải tích II Các tập ứng dụng phương pháp số Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn điều kiện nghiên cứu hạn chế đồng thời kiến thức thân người làm khoá luận chưa vững nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận quan tâm góp ý thầy giáo, bạn sinh viên bạn đọc quan tâm đến vấn đề để khố luận hồn thiện Hà Nội 18/5/2009 Sinh viên: Phạm Thị Hoa CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ I Các khái niệm: Số gần Trong tính tốn, ta thường phải việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần a* , a không sai khác a* nhiều Sai số a) Sai số tuyệt đối, sai số tương đối +) Sai số tuyệt đối: Đại lượng  a  gọi sai số thật a : a*  * Do a nên ta khơng biết  Tuy nhiên ta tìm a 0 , gọi sai số tuyệt đối a , thoả mãn điều kiện: * a a  hay a a a* a a  a a +) Sai số tương đối: đại lượng aa: b) Sai số thu gọn: Một số thập phân a có dạng tổng quát sau: a   p10 p  10p1 p ≤ i   ps10 ps  ≤ i p số nguyên Nếu s, , p 1; p 0 s số thập phân vô hạn Thu gọn số a vứt bỏ số chữ , a số bên phải a để số a ngắn gọn gần với a c) Sai số tính tốn: Các số vốn có sai số, thêm sai số thu gọn nên tính tốn xuất sai số tính tốn Sai phân +) Sai phân: Giả sử h const 0 Ta f  x  f :R hàm số cho trước  R gọi sai phân cấp  x f đại lượng f  x hf (x)  +) Tỷ sai phân cấp f x f(x) h Một cách tổng quát n f (x)  n1 f  f (x) (x) ,  n 1  , f (x) : II Khái quát phƣơng trình vi phân: Một số khái niệm: a) Phương trình vi phân cấp Phư ơng trình vi p hân cấp có dạng tổng quát: F (x, y, y ') 0 (a) hàm F xác định miền D  Nếu miền D , từ phương trình (a) ta giải y ' y ' f (x, y) ta phương trình vi phân cấp :  giải đạo hàm b) Phương trình vi phân cấp n: (n) F(x, y, y ', , y ) 0 Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát (b) n Hàm F xác định miền G không gian □ phương trình (b) vắng số biến x, y, y ', , y(n1) Trong y(n) thiết phải có mặt Nếu từ (b) ta giải đạo hàm cấp cao nhất, tức phương trình (b) có dạng: y (n)  f (x, y, y ', , y phân (n1) ) thf ta phương trình vi cấp n giải đạo hàm cấp cao Bài toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng cấp Xét tốn Trong t, x  R 0,T   x r, x0 r  x(t) hàm biến xác định 0,T  với 0,T  cho trước, hàm f (t, x) x0 cho trước gọi tốn Cauchy phương trình vi phân thường cấp 1, điều kiện (2) gọi điều kiện Cauchy hay điều kiện ban đầu a) Định lý 1(định lý tồn nghiệm) Xét toán (1-2), t, x  R 0,T   x r, x0 r  Nếu f (t, x) hàm liên tục hình chữ nhật R(r  cố định) tồn nghiệm x(t) phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (2) tức x(t) nghiệm toán (1-2) b) Định lý 2(định lý nghiệm) Xét toán (1-2) Nếu R(r  cố định) f (t, x) f (t, x) hàm liên tục hình chữ nhật thoả mãn điều kiện Lipschitz tho biến x hình chữ nhật R tức là: Trong N số (gọi số Lipschitz) nghiệm tốn (1-2) xác định c) Định lý (định lý tồn nghiệm) Xét toán (1-2), t, x  R 0,T   x r, x0 r  Hàm f (t, x) a f (t, x) xác định R(r  cố định) thoả mãn điều kiện : liên tục R R đóng ới M max f (t, x) bị chặn c)y”+xy’+y=0; y(0)=0, y’(0)=1 Ta có: y” xy 'y y”(0)=0; y’” 2 y 'xy" y’”(0) 2; (4) y(4) 3y ''xy"' y (0)=0; (5) y (0)=8 y(5) 4y(3) xy (4) y(6) 5y (7) y 6y (4) (5) (6) (5) xy y (0)=0; (7) (6) xy y (0) 48; … (2m) y (0)=0; (2m+1) y (0)  m (1) 2m1 Vậy (2m)!!;  (1) y(x) x x x   15 m 2m!! x (2m 1)! II Các tập ứng dụng phƣơng pháp số Bài Bằng phương pháp Euler giải toán Cauchy sau: a) y’=y+(1+x) , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5 b) y’= ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y ' x y 2; y(1) 3;h 0,1;a 1;b 0 Hướng dẫn Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: a) y’=y+(1+x) , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5 b) y’= ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y ' x y 2; y(1) 3;h 0,1;a 1;b 0 Bài Bằng phương pháp Euler cải tiến tìm nghiêm gần tốn sau: a) y’=y+(1+x) b)y’= , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y ' x y 2; y(1) 3;h 0,1;a 1;b 0 Hướng dẫn Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: a) y’=y+(1+x) b) y’= , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y ' x y 2; y(1) 3;h 0,1;a 1;b 0 Bài Bằng phương pháp Runge-Cutta tìm nghiệm gần toán sau a)y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] b)y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 c)y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 d)y’=y+(1+x) , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5 e)y’ ycosx+sinxcosx; y(0) 1, h=0,1, a=0, b=1 Hướng dẫn Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] Chọn n=10 K1 K2 b) y’= K3 K4 y y K4 y y K4 y y , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 Chọn n=10 K1 c) y’= K2 K3 , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 Chọn n=7 K1 K2 K3 d) y’=y+(1+x) , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5 Chọn n=5 K1 K2 K3 K4 y y K4 y y d) y’ ycosx+sinxcosx; y(0) 1, h=0,1 Chọn n=10 K1 K2 K3 Bài Bằng phương pháp Adams tìm nghiệm gần toán sau a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] b) y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 c) y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 d) y’=y+(1+x) , y(0) 1, h=0,1, a=1; b=1,5 e) y’ ycosx+sinxcosx; y(0) 1, h=0,1 Hướng dẫn Thay liệu tương ứng với phần vào lập trình mục III chương ta có bảng sau: a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] Chọn n=10 x y b) y’= y* , y(1)=0, h=0,1, a=1, b=1,5 Chọn n=10 x c) y’= y y* , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 Chọn n=10 x y y* d) y’=y+(1+x) , y(0) 1, h=0,1, a=1; b=1,5 Chọn n=10 x y y* e) y’ ycosx+sinxcosx; y(0) 1, h=0,1 Chọn n=10 x y y* KẾT LUẬN Giải gần tốn Cauchy phương trình vi phân thường dạng toán phức tạp, việc nghiên cứu tìm hiểu cách sâu sắc không đơn giản Do điều kiện nghiên cứu hạn chế nên khố luận khơng đưa tất phương pháp để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường việc đưa ứng dụng tin học vào giải tốn chưa hồn thiện Song nội dung khố luận đưa phương pháp quan trọng dùng ngôn ngữ Pascal để lập trình kết hợp với chương trình MapleV để giải toán Do kiến thức thân người làm khố luận hạn chế đồng thời chưa có kinh nghiệm nghiên cứu đề tài khoa học nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em hy vọng nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên để nâng cao thêm chất lượng khoá luận Em mong đề tài tiếp tục người quan tâm hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh(2005), “Giải tích số”, NXB ĐHQG Hà Nội(Tái lần thứ 7) Nguyễn Minh Chương-Nguyễn Văn Khải-Khuất Văn Ninh-Nguyễn văn Tuấn-Nguyễn Tường(2001), “Giải tích số”, NXB Giáo Dục Phạm Huy Điển(2002), “Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple”, NXB Khoa Học Kỹ Thuật Nguyễn Thế Hồn-Phạm Phu, “Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định”, NXB Giáo Dục ... quát phương trình vi phân Một số khái niệm Bài tốn Cauchy phương trình vi phân thường cấp Bài toán Cauchy hệ phương trình vi phân thường cấp 10 Điều kiện Lipschitz 10 Chƣong 2: Các phƣơng pháp giải. ..  x, y   CHƢƠNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Các phương pháp giải phương trình vi phân chia làm nhóm: *Nhóm phương pháp giải tích cho phép... nguyên II Các phương pháp số Phương pháp Euler Phương pháp Euler -Cauchy Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Adams III Ứng dụng tin học để giải phương trình vi phân thường Ứng dụng chương trình MapleV