Phương pháp laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức

Lài cám ơn Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay cô giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p Nhân d%p tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p v hon thnh luắn H Nđi, thỏng nm 2013 Tác giá Nguyen Anh Vũ i Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn Thac sĩ chun ngành Tốn giái tích vói đe tài “Phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưàng vái h¾ so đa thNc” đưoc hồn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2013 Tác giá Nguyen Anh Vũ ii Mnc lnc Má đau 1 M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Hàm bien phúc 1.1.1 So phúc m¾t phang phúc 1.1.2 Các t¾p hop m¾t phang phúc 1.1.3 Hàm hình 1.1.4 Chuoi lũy thùa 1.2 Tích phân phúc 10 1.3 Lý thuyet th¾ng dư 16 1.3.1 Không điem cnc điem 16 1.3.2 Th¾ng dư cách tính 18 1.3.3 Tích phân vòng .19 1.4 Hàm giai thùa 22 1.5 Hàm Zeta-Riemann .23 Phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưàng vái h¾ so đa thNc 27 2.1 Ý tưóng cna phương pháp Laplace 27 2.2 Đa thúc Hermite 28 2.3 Hàm Hermite .30 2.4 Hàm Bessel .33 2.4.1 Bieu dien tích phân 33 2.4.2 Hàm Bessel kieu thú nhat .35 2.4.3 Kieu hàm thú hai thú ba 37 2.5 Dang tương tn cna hàm Bessel 41 Ket lu¾n 43 Tài li¾u tham kháo 44 iii Má đau Lý chon đe tài Đe tìm nghi¾m tong qt cna phương trỡnh vi phõn tuyen tớnh ta xỏc %nh mđt hắ nghi¾m bán cna phương trình vi phân thuan nhat cựng vúi viắc tỡm mđt nghiắm riờng cna phng trỡnh Nghi¾m tong qt cna phương trình tong nghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng Nhưng cho đen nay, ngưòi ta chí đưa đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so khơng phái hang so, vi¾c tìm nghi¾m ó dang to hop cna hàm so sơ cap cna m®t so phương trình vi phân khó khăn (neu khơng muon nói khơng the) Đieu xáy cá phương trình vi phân có dang rat đơn gián Chang han, phương trình dưói ytt − 2xyt + y = Đó phương trình vi phân cap hai vói hắ so l hm so cna mđt bien đc lắp, ta khơng the tìm đưoc nghi¾m riêng dưói dang mđt hm so s cap Tuy nhiờn, viắc giỏi cỏc dang phương trình phương trình rat quan m®t rat nhieu tán náy sinh tù van đe thnc tien, chn yeu tốn lĩnh vnc v¾t lý Đieu đó, se đưoc chúng tơi đe c¾p trnc tiep lu¾n văn ve tốn liên quan tói hàm Hermite, hàm Bessel M®t phương pháp có the giái quyet đieu phương pháp Laplace, cho ta bieu dien nghi¾m cna phương trình dưói dang tích phân Vói phương trình vi phân n (ak + bkx) y(k)(x) = 0, (1) k=0 sau sú dung phương pháp Laplace, nghi¾m có bieu dien dưói dang tích phân sau y(x) = ¸ S(p)epxdp, (2) C the (2) vào (1), chon đưòng cong (C) thích hop ta có cơng thỳc (2) l nghiắm chớnh xỏc cna (1) vúi p ex (3) F (q) A S(p) = G(p ) F (q) = dq G(q) p n n k a kq , F (q) = k=0 b kqk k=0 Tù cơng thúc nghi¾m (3) ta có the giái quyet tri¾t đe tốn ve hàm Hermite, hàm Bessel, Đưoc sn đ%nh hưóng cna thay hưóng dan, em chon đe tài: “Phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưàng vái h¾ so đa thNc” Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu ve phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưòng vói h¾ so đa thúc tù giái quyet toán ve hàm Hermite, hàm Bessel Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu phương pháp ti¾m c¾n cna Laplace vi¾c giái phương trình vi phân thưòng vói h¾ so đa thúc Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp tong quan cna Laplace giái phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc trình bày cu the qua m®t so phương trình noi tieng xuat hi¾n tù tốn v¾t lý phương trình Bessel, phương trình Hermite NhĐng đóng góp cúa đe tài Xây dnng cách tìm nghi¾m tù ý tưóng cna phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưòng vói h¾ so đa thúc Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, nghiên cúu van đe liên quan, tù suy kien thúc liên quan tói muc đính can nghiên cúu Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 Hàm bien phNc So phNc m¾t phang phNc So phNc so có dang z = x + iy, vói x, y ∈ R i đơn v% áo mà i2 = −1 Ta goi x phan thNc y phan áo, đưoc kí hi¾u tương úng bói x = Re z, y = Im z T¾p hop so phúc đưoc kí hi¾u bói C đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng C → R2 z = x + iy ›→ (x, y) M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox trnc thNc, Oy trnc áo Phép c®ng v phộp nhõn cỏc so phỳc oc thnc hiắn mđt cách thơng thưòng phép tốn t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Vói z1 = x1 + iy1, z2 = x+iy2, ta có z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2) Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cna so phúc z giá tr% |z| = , x2 + y So phNc liên hap cna so phúc z = x + iy đưoc ký hi¾u xác đ %nh bói z¯ = x − iy Khơng khó khăn, ta có the kiem tra đưoc Re z = z+ z¯ , Im z = 2i z − z¯ z¯ , vói z ƒ= 2 |z| = z.z¯, = |z| z So phúc khác đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ, vói r > 0, θ ∈ R đưoc goi argument cna so phúc z đưoc ký hi¾u arg z (argument cna so phúc z đưoc xác đ%nh m®t cách nhat vói sn sai khác m®t b®i cna 2π) Argument cna so phúc z thóa mãn ≤ arg z < 2π đưoc goi argument chính, ký hi¾u phz Ta có eiθ = cosθ + i sin θ Bói eiθ = 1, nên r = |z| θ góc hop bói chieu dương cna truc Ox núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® qua điem z Cuoi cùng, ta lưu ý rang neu z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.1.2 Các t¾p hap m¾t phang phNc Cho z0 ∈ C r > 0, ta goi đĩa má tâm z0 bán kính r t¾p hop Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < r} Đĩa đóng tâm z0 bán kính r t¾p hop Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| ≤ r} Biên cna đĩa đóng ho¾c mó đưòng tròn Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} Đĩa có tâm z0 = bán kính goi đĩa đơn v%, kí hi¾u D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} Cho t¾p Ω ⊂ C, điem z0 ∈ Ω đưoc goi điem cna Ω neu ton tai r > cho Dr(z0) ⊂ Ω Phan cna Ω kí hi¾u int Ω gom tat cá điem cna Ω T¾p Ω t¾p má neu moi điem cna đeu điem T¾p Ω đưoc goi t¾p đóng neu phan bù cna C\Ω mó Điem z ∈ C đưoc goi điem giái han cna t¾p Ω neu ton tai m®t dãy điem zn ∈ C cho zn ƒ= z lim zn = z Chúng ta cú the kiem tra oc rang mđt l đóng n→∞ neu chúa moi điem giói han cna Bao đóng cna t¾p Ω hop cna Ω điem giói han cna nó, ký hi¾u Ω¯ Biên cna Ω ký hi¾u ∂Ω = Ω¯ \ int Ω T¾p Ω b% ch¾n neu ∃M > cho |z| ≤ M vói moi z ∈ Ω Neu t¾p Ω b% ch¾n, ta xác đ%nh đưàng kính cna bói so diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} T¾p Ω đưoc goi compact neu đóng b% ch¾n T¾p mó Ω ⊂ C đưoc goi liên thơng neu khơng the tìm đưoc hai t¾p mó khác rong Ω1 Ω2 cho Ω = Mđt mú liờn thụng C oc goi l mđt mien Tắp úng F l liên thông neu không the viet F = F1 ∪ F2 ó F1 F2 t¾p đóng ròi 1.1.3 Hàm hình Cho hàm phúc f (z) xác đ%nh t¾p mó Ω Hàm f (z) đưoc goi hình tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai giói han cna bieu thúc f (z0 + h) − f ( z0 ) h (1.1) h → 0, ó h ƒ= h ∈ C vói z0 + h ∈ Ω Giói han đưoc ký hi¾u bói f t(z0) goi đao hàm cna hàm f (z) tai điem z0 Như v¾y, ta có f (z + h ) − f (z ) f t(z0) = lim h→0 h Hàm f goi hình Ω neu hình tai moi điem cna Ω Neu M t¾p đóng cna C, ta nói f hình M neu f hình m®t t¾p mó chúa M Hàm f hình C đưoc goi hàm nguyên Hàm f (z) = z hình t¾p mó bat kỳ C f t(z) = Th¾t v¾y, ta có f t(z0) = lim f (z0 + h) − f = (z + h) − = h→0 ( z0 ) z lim h→ h h Tù đó, ta suy đa thúc P (z) = a0 + a1z + + anzn hình m¾t phang C P t(z) = a1 + 2a2z + + nanzn−1 Trong đó, hàm f (z) = z¯ khơng hình tồn m¾t phang Th¾t v¾y, ta thay f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h¯ − z¯ h¯ = = = h h h h khơng có giói han h → tuy¾t đoi vói moi z Vì v¾y bieu dien vói moi z, thay Jν (x) có m®t điem cat ó goc toa đ®, khơng có điem kỳ d% khác Đe hoàn thành đ%nh nghĩa Jν (x) ta phái giói thi¾u nhánh cat; nhung quy ưóc thơng thưòng tao cho truc thnc âm, xác đ%nh nhánh bói −π < arg(z) < π Dang khai trien chuoi M®t chuoi cho Jν (z) có the có đưoc tù (2.26) bói vi¾c (− z ) tích phân cho tat cá so Sú dung thay khai trien chuoi Taylor cho e 4u tích phân cna Hankel bieu dien ó (1.13), v¾y có ν (z ) ∞ (−1) k ( z ) Jν (z) = k! 2πi = ¸ (−1) ( ) (ν + k)!k! k=0 0+ u−(ν+1+k)eudu − k=0 k ∞ z ν+2k ∞ 2k (2.27) Moi quan h¾ truy hoi Đieu có the de dàng có đưoc tù (2.25), tam thòi giá đ%nh Re(z) > 0, sau tiep tuc phân tích đe loai bó nhung han che Neu lay đao hàm dưói dau tích phân, ta có 1 ¸ z( − 0+ r 1 2p )p ν−1 Jν (z) = −∞ 2πi p− p− p dp e (2.28) = Jν−1(z) − Jν+1(z) 2 Ngồi ra, có the tính tích phân tùng phan, đe có đưoc ¸ νJν (z) = − 2π i 1 p dp z(p ) p−ν te − −∞ 1 ¸ 0+ z(p− ) −ν p z1 + p e dp = −∞ z p2 2π i z = Jν+1(z) + (2.29) Jν−1(z) Tù hai h¾ thúc trên, quan h¾ có the đưoc suy lu¾n Tích phân Bessel Chúng ta súa đoi chu tuyen hình (2.1) roi the hi¾n hình (2.2) thu nhó phan đưòng nam truc âm Tích phân sau đưoc chia làm hai đieu ki¾n: (i) Tù đưòng tròn, neu viet p = eiθ ta có ¸ 2π π −π e−iνθ+iz sin θdθ = π ¸ π cos(νθ − z sin θ)dθ, (2.30) é ket sau xuat phát tù sn phúc tap cna hàm mũ đieu ki¾n hàm sin, hàm cos sú dung nhung thnc te ban đau m®t hàm lé sau m®t hàm chan Hình 2.2: Chu tuyen cna tích phân Bessel (ii) Tù nhung đưòng thang, ó đưòng cao ta đ¾t u = es−iπ , đưòng thap u = es+iπ Đieu mang lai −s s ¸ ¸ z(e − e ) ∞ 2πi −s s ds + e −νs−iπν z (e − e ) (2.31) − 2πi ds −νs+iπν− e∞ ¸ sin ∞πν =− π ez sinh s Cđng (2.30) v(2.31) ta cú π ds sin πν ¸ (−z sinh s−νs) ∞ ds; Re(z) > cos(z sin θ − νθ)dθ − Jν (z) = π −ν s e π (2.32) Vói so ngun ν, tích phân thú hai khơng ánh hưóng nhieu đen giá tr% cna hàm Tích phân đau đưoc goi tích phân Bessel Cơng thúc hồn (2.32) xác đ%nh vói moi ν, m®t dang tong cna tích phân Bessel 2.4.3 Kieu hàm thN hai thN ba Đoi vói ν tùy ý, hàm Jν (z) J−ν (z) cá hai thóa mãn phương trình Bessel Ta se kiem tra xem chúng có đ®c l¾p vói khơng bang đ%nh thúc Wronskian Bói đ%nh lý Abel, đ%nh thúc Wronskian có dang A W [f1, f2] = z , bói v¾y ta chí can tính hang so A Sú dung (2.24), ta có A = zJν (z) {J−ν−1(z) − J−ν+1(z)} − zJ−ν (z) {Jν−1(z) − Jν+1(z)} , the vào chuoi lũy thùa (2.10) xét giói han z → A= (2.33) (−ν)!(ν − − ν!(−ν − 1)! = 1)! −2 sin π ν π Do đó, J (z) v J (z) l đc lắp vúi cna giái pháp vói ν khơng so ngun Neu ν m®t so ngun, có the chí J−n(z) = n Jn(z) (−1) Các ket khác cna phương trình Bessel có the tìm thay tù (2.24) búi viắc sỳ dung chu tuyen cú mđt iem ket thúc tai goc Bói điem kỳ d% cot yeu có, can có cho sn lna chon chu tuyen bói v¾y dan tói goc toa đ® phan π |arg(pz)| , tích phân se bang khơng doc đưòng Điem kỳ d% < cot yeu đưoc loai bó bang cách thay the p = et, xét hàm so ¸ ez sinh t−νtdt, Zν (z) = A (2.34) C cho phù hop vói chu tuyen C Bang cách l¾p lai l¾p lu¾n dan đen (2.28) (2.29), có the chúng tó chúng thóa mãn quan h¾ truy hoi r (2.35) 2Z (z) = Z (z) − ν 2ν ν−1 Zν+1(z), Zν (z) = Zν−1(z) + Zν+1(z) z Van đe chon đưàng cong Hàm dưói dau tích phân (2.34) m®t hàm ngun cna t; đó, chu tuyen khép kín mang lai hàm tam thưòng Zν ≡ Hơn nua, bieu thúc dưói dau tích phân khơng có so khơng, bói v¾y cá hai đau chu tuyen phái ti¾m c¾n vơ cnc mà Re(zsinht) → −∞ Neu han che sn ý cna vào Re(z) > 0, nhung xem xét tao han che (i) Re(t) → ∞, Im(t) → (2n + 1)π (ii) Re(t) → −∞, Im(t) → 2nπ Chúng ta ý rang neu hai chu tuyen có quan h¾ bói t%nh tien t → t + 2πin, sau hàm so mà chúng đưoc xác đ%nh đong nhat vói trù h¾ so nhân vói e−2πinν Chúng ta xem xét bon dang chu tuyen hình (2.3); bat kỳ sn lna chon khác se cho sn to hop tuyen tính cna hàm mà ta có đưoc Hàm J±ν (z) Chí can thay oi mđt cỏch n giỏn cỏc ký hiắu ta cú the chí (2.16) quy ve sn tong quát cna tích phân Bessel (2.32) neu chon chu tuyen C vói sn chuan hóa A = 2πi ¸ Jν (z) = 2πi Do đó, ez sinh t−νt dt; Re(z) > C3 (2.36) Hình 2.3: Chu tuyen cho bon hàm tru Tiep theo xem xét đưòng C4 Phép đoi bien t = iπ − s ánh xa đưòng cong C4 vào C3, thay đoi hàm dưói dau tích phân thành ez sinh s+νs−iπν Do iπν −e đó, bang phép chon A = , ta đưoc 2πi − J−ν (z) = eiπν dt; Re(z) > e ¸ (2.37) z sinh t−νt 2πi C4 Các hàm Hankel Các hàm loai thú ba đưoc đ¾t tên sau Hankel thu đưoc sú dung chu tuyen C1 C2 M®t cách rõ ràng, chúng đưoc xác đ%nh bói ¸  H (1) ν (z) = πi e H (2) ν (z) = − z sinh t−νt C ¸1 πiC2  dt, z sinh t−νt e Re(z) >  dt  Tù (2.36) (2.38) ta có: , (1 ) (2.38) (2) , (2.39) Hν (z) + Hν (z) Hơn nua, neu d%ch chuyen chu tuyen C2 bói sn thay the t → t + 2πi, Jν (z) = ta có đưoc tù (2.37) (2.38) ν ν J (z) = ,e −ν iπ ν (1) H (z) + e− iπ ν H (2) (z), (2.40) Các thúc đưoc chúng minh vói đieu ki¾n Re(z) > Tuy nhiên ta tiep tuc phân tích: neu đưa vào truc âm m®t nhánh cat, sau (2.39) (2.40) có giá tr% m¾t phang nguyên Đ%nh thNc Wronskian Đ%nh thúc cna hai hàm Hankel đưoc đánh giá thu¾n ti¾n bang cách thay vào công thúc (2.33) Đieu đưa sin π ν (2) (1) W [Jν , J−ν ] = 2i W Hν , Hν sau thay the giá tr% cna W [Jν , J−ν ], (1) (2) W H ν , 4i (z), Hν (z) = − π z Như v¾y, hai hm Hankel tao thnh mđt cắp đc lắp tuyen tính cho tat cá ν Hàm Weber Các hàm loai thú hai đưoc đ¾t tên sau Weber đ%nh nghĩa bói Yν (z) = 2i (1) (2) Hν (z) − Hν (z) Goc gan điem nhánh, thưòng đưoc quy ưóc đưoc sú dung trờn truc õm nh l mđt nhỏnh cat Cắp hm so l đc lắp tuyen tớnh vúi , có the thay đưoc nhò tính đ%nh thúc Wronskian De thay, W [J (z), Y (z)] = ν πz Các tính chat khác cna hàm Weber đưoc đưa m®t so tốn Bieu dien tích phân khác Chúng ta suy ket lu¾n tù bieu dien tích phân cho hàm Hankel, se chúng tó huu ích phan tiep sau Chúng ta bat đau bang vi¾c thay the t → s ± iπ (2.38) đe Hình 2.4: Chu tuyen cho (18.41) H ν e−iπ iz cosh s−νs ¸ (z) = ν H  (1) (2) (z) = −  Γ1 ¸e ν ds, e πiiπ ν iz cosh s−νs Re(z) > (2.41)  ds  πi Γ e Trong chu tuyen Γ1 Γ2 đưoc chí hình (2.4) Neu han che (1) z bói Im(z) > đoi vói νH Chúng ta có the làm bien dang chu tuyen m¾t phang phúc sang mắt phang thnc Do ú, H (1) e−iπ iz cosh s−νs ∞ H (z) = ν e πi (2) ds; Im(z) > 0, −∞ iπ e ∞ ¸ ν iz cosh s−νs ν (z) = − (2.42) ds; Im(z) < 0, πi e− −∞ ó loai bó đieu ki¾n Re (z) > 0, ke tù công thúc đat đưoc sn mó r®ng cna (2.38) 2.5 Dang tương tN cúa hàm Bessel Phương trình vi phân f tt + z + t f − ν2 f = 0, (2.43) z2 có moi liên h¾ gan gũi vói phương trình Bessel, thưòng xáy khai trien Ve nguyên tac, có the giái quyet bang cách thay the z = ±it, mà bien thành phương trình Bessel, thưòng xuyên xáy Cái mang lai sn đ¾c bi¾t bói thnc te hàm Bessel đưoc xác đ%nh m¾t cat, goc điem nhánh ν Dang tương tN cúa hàm Bessel thN nhat Hàm so e±iπ Jν (∓iz) nghi¾m cna (2.43) huu han z → neu Re(ν) ≥ 0, đong nhat neu Re(z) > Tù có the xây dnng m®t cách giái cna (2.43) mien −π < arg(z) < π bói  ν (2.44)  −iπ (iz) −π < arg(z) 2 e Iν (z) = J  ν iπ ν e 2J ν ; (−iz) ; < π , − π < arg(z) < π Hàm Iν (z) đưoc xác đ%nh thưòng đưoc goi bien đoi hàm Bessel dang m®t Vói so thnc ν z, mang lai giá tr% thnc Hàm Macdonald Vói cách giái thú hai cna (2.43), thưòng thu¾n ti¾n cho hàm so tró nên nhó z so thnc lón M®t hàm so khơng the có đưoc bang cách thay the Jν bói Yν Tuy nhiên đưoc xác đ%nh bói hàm so ν πi iπ e 2 ν (iz), ν (1) π i −i H (2) π Hν (−iz), − e cá hai ket cna (2.43) vói Re(z) > Do đó, thơng thưòng đe xác đ%nh ket q thú hai cna (2.43) ta dùng hàm Kν (z), đưoc goi hàm Macdonald,  sau πi iπ ν (1) π   e Hν (iz); −π < arg(z) < , Kν (z) =  − πi iπ ν e− (2) Hν (−iz); − π 2 (2.45) < arg(z) < π Các h¾ thNc Các moi quan h¾ tương úng (2.35) de dàng suy tù đ%nh nghĩa bán cna Iν (z), Kν (z) (2.35) Chúng 2It ν (z) = Iν−1(z) + Iν+1(z), −2Ktν (z) = Kν−1(z) + Kν+1(z), 2ν Iν (z) = Iν−1(z) − Iν+1(z), 2νz − Kν (z) = Kν−1(z) − K+1(z) z Ket luắn Luắn giỏi quyet mđt so van đe sau Trình bày m®t so kien thúc bán ve giái tích phúc như: Hàm bien phúc, tích phân phúc, tích phân vòng, lý thuyet thắng d, hm giai thựa, hm zeta-Riemann mđt so tớnh chat cna chúng Trình bày ý tưóng cna phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưòng vói h¾ so đa thúc: Sau thay bieu dien nghi¾m cna phương pháp Laplce vào phương trình đau, chon m®t chu tuyen thích hop cho tích phân ta xây dnng oc cụng thỳc nghiắm mđt cỏch cu the theo cỏc bieu thúc cna h¾ so Úng dung tìm nghi¾m cna m®t so phương trình: Bessel, Hermite Tù đưa m®t so ket ve hai hàm 43 Tài li¾u tham kháo [1] B Davies (2001), Integral Transforms and Their Applications, SpringgerVerlag [2] B P Palka (1991), An Introduction to Complex Funtion Theory, SpringgerVerlag [3] F Oberhettingger (1972), Table of Bessel Transforms, Springger-Verlag [4] J L Schiff (1999), The Laplace Transform: Theory and Application, Springger-Verlag 44 ... cúu phương pháp ti¾m c¾n cna Laplace vi c giái phương trình vi phân thưòng vói h¾ so đa thúc Đoi tưang pham vi nghiên cNu Phương pháp tong quan cna Laplace giái phương trình vi phân vói h¾ so đa. .. tài: Phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưàng vái h¾ so đa thNc” Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu ve phương pháp Laplace giái phương trình vi phân thưòng vói h¾ so đa thúc... M®t phương pháp có the giái quyet đieu phương pháp Laplace, cho ta bieu dien nghi¾m cna phương trình dưói dang tích phân Vói phương trình vi phân n (ak + bkx) y(k)(x) = 0, (1) k=0 sau sú dung phương