GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

Trong bài báo này tôi sẽ trình bày phương pháp chi tiết để giải một hệ phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp sử dụng phương trình đặc trưng. Phương pháp này ngoài những kiến thức cơ bản của phương trình vi phân chỉ cần các kiến thức cơ bản của Đại số tuyến tính về ma trận và hệ phương trình tuyến tính cùng những kiến thức đơn giản về Giải tích như khai triển MacLaurin. Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội tôi sử dụng một chút kiến thức về giải tích ma trận để giải. Từ khóa: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân thuần nhất, giải tích ma trận. ABSTRACT In this paper, I’ll present the detailed method to solve a system of linear differential equations by the method of using characteristic equation. For this method, beyond the basic knowledge of differential equation, we need only the basic knowledge of linear algebra about matrix and the system of linear equations together with simple knowledge of analysis such as MacLaurin expansion. In the case, the characteristic equation having a multiple root, I use a little of knowledge about matrix analysis to solve. Keyword: system of linear differential equations, characteristic equation, matrix analysis. ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ Soá 062012 60 trong đó: 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) n n n n n nn n x t a a a f t x t a a a f t X A F x t a a a f t             =   =   =                              Bộ n hàm số khả vi thỏa mãn phương trình (1) được gọi là nghiệm của phương trình. Khi F=0 phương trình trở thành: X = AX (2) Phương trình (2) được gọi là phương trình thuần nhất. Rõ ràng X 0 là nghiệm và gọi là nghiệm tầm thường của phương trình (2), Ta đi tìm nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất (2). Ta đã biết phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc 1 y’=my có nghiệm là y = cemt. Từ đó đưa đến việc xét là 1 nghiệm của phương trình (2). Thay X = Celt vào phương trình (2) ta thu được: lCeλt = ACeλt Do eλt ≠ 0 ∀t ⇒ AC λC = 0 hay (A λI)C = 0 (3) Ở đây, I là ma trận đơn vị cấp n. Từ đây để tìm nghiệm của phương trình (2) ta chỉ cần tìm vector C ≠ 0 từ phương trình (3). Giá trị λ thỏa mãn phương trình (3) được gọi là gíá trị riêng của ma trận A. Vector C ≠ 0 tìm được gọi là vector riêng ứng với λ. Ta có lại các kết quả đã biết ở Đại số tuyến tính: i. Điều kiện cần và đủ để phương trình (A λI)C = 0 có nghiệm không tầm thường là det(A λI) = 0. ii. det(A λI) là một đa thức bậc n và phương trình det(A λI) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Giải phương trình đặc trưng của ma trận A ta tìm được các giá trị riêng , thay vào phương trình (3) ta tìm được các vector riêng tương ứng. ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ Soá 062012 61 Như vậy vấn đề phức tạp của hệ phương trình vi phân đã được đưa về vấn đề đơn giản của Đại số tuyến tính. Ta nhắc lại là tập nghiệm của phương trình (2) là một không gian vector n chiều. Do đó để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2) ta chỉ cần tìm n nghiệm riêng độc lập tuyến tính. n nghiệm riêng độc lập tuyến tính đó được gọi là tập nghiệm cơ bản của phương trình (2) và nghiệm tổng quát của phương trình (2) chính là tổ hợp tuyến tính của n nghiệm đó. Vấn đề bây giờ là phương trình đặc trưng có thể có các nghiệm thực phân biệt, cũng có thể có nghiệm bội hoặc không có nghiệm thực (có nghiệm phức). Ta sẽ giải quyết từng trường hợp cụ thể. 1. Phương trình đặc trưng có các nghiệm thực phân biệt Giả sử ma trận A có n giá trị riêng phân biệt, khi đó ta có kết quả sau đây: Nếu ma trận A của hệ phương trình vi phân thuần nhất X’=AX có n vector

I Hệ phương trình thuần nhất.

Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng:

( ) ( ) ( )

'

'

'

1 1 2 2

n n

n n

















Hay viết dưới dạng ma trận: X' =AX F+ (1)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

ThS Nguyễn Hữu Học

Phòng Khoa Học - Đại Học Đông Á

TÓM TẮT

Trong bài báo này tôi sẽ trình bày phương

pháp chi tiết để giải một hệ phương trình vi

phân tuyến tính bằng phương pháp sử dụng

phương trình đặc trưng Phương pháp này

ngoài những kiến thức cơ bản của phương

trình vi phân chỉ cần các kiến thức cơ bản của

Đại số tuyến tính về ma trận và hệ phương

trình tuyến tính cùng những kiến thức đơn giản

về Giải tích như khai triển MacLaurin Trong

trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm

bội tôi sử dụng một chút kiến thức về giải tích

ma trận để giải

Từ khóa: hệ phương trình vi phân tuyến tính,

hệ phương trình vi phân thuần nhất, giải tích

ma trận.

ABSTRACT

In this paper, I’ll present the detailed method to solve a system of linear differential equations

by the method of using characteristic equation For this method, beyond the basic knowledge

of differential equation, we need only the basic knowledge of linear algebra about matrix and the system of linear equations together with simple knowledge of analysis such as MacLaurin expansion In the case, the characteristic equation having a multiple root, I use a little of knowledge about matrix analysis to solve.

Keyword: system of linear differential

equations, characteristic equation, matrix analysis.

trong đó:

n n







Bộ n hàm số khả vi thỏa mãn phương trình (1) được gọi là nghiệm của phương trình Khi F=0 phương trình trở thành:

Phương trình (2) được gọi là phương trình thuần nhất Rõ ràng X 0 là nghiệm và

gọi là nghiệm tầm thường của phương trình (2), Ta đi tìm nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất (2)

Ta đã biết phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc 1 y’=my có nghiệm là

y = ce mt Từ đó đưa đến việc xét là 1 nghiệm của phương trình (2) Thay X = Celt vào phương trình (2) ta thu được:

lCelt = ACelt

Do elt ≠ 0 ∀t ⇒ AC - lC = 0 hay

(A - lI)C = 0 (3)

Ở đây, I là ma trận đơn vị cấp n.

Từ đây để tìm nghiệm của phương trình (2) ta chỉ cần tìm vector C ≠ 0 từ phương

trình (3) Giá trị l thỏa mãn phương trình (3) được gọi là gíá trị riêng của ma trận A

Vector C ≠ 0 tìm được gọi là vector riêng ứng với l

Ta có lại các kết quả đã biết ở Đại số tuyến tính:

i Điều kiện cần và đủ để phương trình (A - lI)C = 0 có nghiệm không tầm thường

là det(A - lI) = 0

ii det(A - lI) là một đa thức bậc n và phương trình det(A - lI) = 0 được gọi là

phương trình đặc trưng của ma trận A.

Giải phương trình đặc trưng của ma trận A ta tìm được các giá trị riêng , thay vào

phương trình (3) ta tìm được các vector riêng tương ứng

Như vậy vấn đề phức tạp của hệ phương trình vi phân đã được đưa về vấn đề đơn giản của Đại số tuyến tính

Ta nhắc lại là tập nghiệm của phương trình (2) là một không gian vector n chiều

Do đó để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2) ta chỉ cần tìm n nghiệm riêng độc

lập tuyến tính n nghiệm riêng độc lập tuyến tính đó được gọi là tập nghiệm cơ bản của

phương trình (2) và nghiệm tổng quát của phương trình (2) chính là tổ hợp tuyến tính

của n nghiệm đó.

Vấn đề bây giờ là phương trình đặc trưng có thể có các nghiệm thực phân biệt, cũng

có thể có nghiệm bội hoặc không có nghiệm thực (có nghiệm phức) Ta sẽ giải quyết từng trường hợp cụ thể

1 Phương trình đặc trưng có các nghiệm thực phân biệt

Giả sử ma trận A có n giá trị riêng phân biệt, khi đó ta có kết quả sau đây:

Nếu ma trận A của hệ phương trình vi phân thuần nhất X’=AX có n vector riêng

C1, C2, , Cn ứng với n giá trị riêng khác nhau l1, l2, , ln thì nghiệm tổng quát của phương trình (2) là:

( )

1

( )

n

i i i

=

Trong đó X i (t)=C i e lt , (i=1,2, ) là nghiệm của phương trình X’=AX và độc lập

tuyến tính

Ví dụ 1:

Giải phương trình:

'

−

Giải:

Ta có:

λ

λ

Từ đó ta có các giá trị riêng là l = 2,1, -1.

Với l = 2 ta có

3

c

c

λ

 

Sử dụng phương pháp khử Gauss ta tìm được nghiệm không tầm thường

1 0 1

C

−

 

 

=  

 

 

1

1 0 1

t

−

 

 

=  

 

 

là một nghiệm của phương trình Hoàn toàn tương tự:

Với ta tìm được

1 1 1

C

 

 

=   

 

từ đó 2

1 1 1

t

 

 

=   

 

Với

ta tìm được

1 3 5

C

−

 

 

=   

 

từ đó 3

1 3 5

t

−

 

 

=   

 

Vì X 1 , X 2 , X 3 độc lập tuyến tính nên

2

là nghiệm tổng quát của hệ

2 Phương trình đặc trưng có nghiệm phức

Trong phần 1 ta đã xét trường hợp đơn giản khi phương trình đặc trưng có các nghiệm thực phân biệt Bây giờ ta sẽ xét trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức Nếu

số phức a+bi là nghiệm của phương trình đặc trưng của phương trình vi phân X’=AX thì nghiệm của phương trình X’=AX sẽ có dạng cQe(a + bi)t Ở đây Q là vector riêng phức, c

là số phức cố định tùy ý

l = 1

l = -1

Khi ma trận A của phương trình X’=AX là ma trận thực và nhất là khi điều kiện ban

đầu là số thực thì việc biểu diễn nghiệm theo số thực hay hàm thực là cần thiết Tương

tự như trường hợp phương trình vi phân tuyến tính cấp cao ta có thể tìm các nghiệm thực bằng cách tách phần thực và phần ảo của nghiệm phức tương ứng

Giả sử A là ma trận thực, l = a + bi là giá trị riêng phức C = C1 + iC2 (C1, C2 là các vector thực) là vector riêng ứng với l, thỏa mãn phương trình riêng:

(A - lI)C = 0

Lấy liên hợp ta được

Điều này chứng tỏ λ cũng là giá trị riêng và ta thu được vector riêng C tương ứng

Như vậy, X1 = Celt, X2=Ceλt đều là nghiệm của phương trình X’= AX và hiển

nhiên, tổ hợp tuyến tính của cũng là nghiệm Do đó:

1 2

2

1 2

2

là các nghiệm thực độc lập tuyến tính Ở đây, ReCelt, ImCelt lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức Celt

Ví dụ 2:

Giải phương trình:

'

Giải:

Ta có:

Từ đó ta thu được các giá trị riêng l = 2, 1 ± i.

Với ta tính được

0 1 1

C

 

 

= − 

 

 

từ đó có nghiệm riêng 2 2

1

2

1 1

t

e

= −  = − 

Với ta tính được

1 1

 

 

= − 

 

 

Ta tìm phần thực và phần ảo của Celt

i t

t

Từ đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

2

2

t

3 Phương trình đặc trưng có nghiệm bội

Giả sử phương trình đặc trưng có nghiệm bội m Các nghiệm khác (nếu có) là thực

hoặc phức đã xét ở phần trên Bây giờ ta cần tìm ra m nghiệm riêng sao cho cùng với các nghiệm riêng thu được từ các nghiệm đơn hoặc phức tạo thành một tập nghiệm cơ bản Tương tự với trường hợp y = ceat là nghiệm của phương trình y’=ay, ta xét X = eAtC

với tư cách là nghiệm của phương trình X’=AX, với A là ma trận vuông cấp n và C là

vector cố định Trước hết ta định nghĩa eAt

Ta đã biết khai triển MacLaurin của eat:

1

at at at

Từ đó, ta định nghĩa:

l = 2

l = 1+i

với giả thiết chuỗi ở vế phải hội tụ với ∀t Ta gọi khai triển này là hàm mũ ma trận của

A Ta có:

2

2!

Định nghĩa như vậy ta có thể nói X = e At C là nghiệm của phương trình X’=AX Vấn

đề đặt ra ở đây là ta sẽ tính toán e At C như thế nào? Ta có thể sử dụng định nghĩa cùng với

tính toán chuỗi vô hạn, tuy nhiên ta có thể lợi dụng khai triển:

k

k

k

Ở đây, nếu có k để (A - lI)kC = 0 thì tất cả các số hạng phía sau đều bằng 0 và khi đó ta chỉ cần tính toán với chuỗi hữu hạn

Từ đó với l là giá trị riêng ứng với nghiệm bội m ta tìm C từ hệ phương trình:

0 2 0

k

k

k m





Với C tìm được ta tìm được nghiệm riêng e At C = e lt e (A - lt) C từ khai triển trên.

Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình:





Giải:

Ta có

− λ

Từ đó giá trị riêng vector riêng

1 0 0

C

 

 

=   

 

và ta tìm được nghiệm riêng 4

1 0 0

t

e

 

 

 

 

 

l = 4

A là ma trận vuông cấp 3 nên để tìm nghiệm tổng quát của phương trình ta cần tìm 3

nghiệm riêng độc lập tuyến tính

Trước hết, ta tìm C thỏa mãn:

2

0





Ta có

( )2 0 0 2 2

0

0

−

 

⇒



= ⇒

α β γ

γ

α β

§Æt

Ta lại có

Do đó ta có thể chọn 0 01

 

⇒

   từ đó nghiệm riêng thứ 2 là:

1

0

t

Tiếp theo ta tìm C thỏa mãn ( 4 )32 0





Giải tương tự ta tìm được

0 0 1

C

 

 

=   

 

nghiệm riêng thứ 3:

2!

A I t

2 2

2!

t t t

(A-4I) C = ⇒ (A-4I) C ≠ 0 ⇔ β ≠ 0

2

độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của hệ

đã cho là:

2 4

t

II Hệ phương trình không thuần nhất

Trước khi khảo sát phương trình không thuần nhất X’=AX+F, ta nhắc lại về phương trình thuần nhất X’=AX

A là ma trận vuông cấp n, X1, X2, , Xn là các nghiệm độc lập tuyến tính của

phương trình X’=AX Khi đó:

Φ = (X1X2 Xn)

được gọi là ma trận cơ sở (fundamental matrix) có các tính chất sau:

i detΦ = W(X1, X2, , Xn)(W: định thức Wronski)

ii Φ' = AΦ

iii c1X1 + c2X2 + + cnXn = Φ = ΦC

Từ đó, nghiệm của phương trình thuần nhất X’=AX là ΦC sử dụng phương pháp hệ

số biến thiên ta có thể viết Φ(t) U(t) như là nghiệm của phương trình X’=AX+F Do đạo

hàm của ma trận chính là đạo hàm của các thành phần nên ta có:

(ΦU)' = Φ'U + ΦU'

Thay X = ΦU vào phương trình X’=AX+F ta thu được:

Φ'U + ΦU' = AΦU + F

Sử dụng tính chất 2 ⇒ ΦU' = F Sử dụng công thức Cramer ta có thể tính ra U’ và

từ đó tính được U Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình sẽ là:

X = ΦC + ΦU

Ví dụ 4:

Giải phương trình:

2 '

2

3 2

t t

e

e

Giải:

Ta có det(A - lI) = (l - 4)(l - 1) Từ đó, các giá trị riêng là: l = 4,1 ⇒ các nghiệm riêng của phương trình thuần nhất là

4t 1

2

1

 

1

1

1

 

=   − 

Do đó ma trận cơ sở: 2e4t4t ett

Φ =  − 

2

u U

u

 

=    ⇒ ΦU = F trở thành

'

1 '

2

u

u

 

=

 

Sử dụng công thức Cramer giải phương trình trên ta thu được:

2t 2t

1 1

t

t 2

2

1

u e

2

−

−

 ′ =  = −

′

 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

2t

1

t 2

1

c

2c e c e 2e

1

c e c e e

2

−

=

Một số phương trình vi phân cấp cao hoặc hệ phương trình vi phân cấp cao ta có thể đưa về dạng hệ phương trình vi phân cấp 1 bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp

Ví dụ 5:

Giải hệ phương trình:

′′



 + +′′ =



Giải:

 = ′  ′= ′′

 = ′  ′= ′′

 thì hệ đã cho có thể viết thành:

1 2 0 0

Phương trình đặc trưng của ma trận

1 2 0 0

A

=

làl4 - 1 = 0từ đó ta tìm

được các giá trị riêng là l = ±1, ±i Từ đó ta tính được các vector riêng tương ứng (do ma

trận A khá lớn ta có thể sử dụng các phần mềm tính toán như Maple hay Mathematica

để trợ giúp):

i i

   −   − 

     −

     

     

     

Từ đó các giá trị Celt là:

(cos sin )

(cos sin ) (cos sin )

cos sin

t t

t t

t t

t t

i t i t

i t i t

t i t

t i t

Và từ đây ta có ma trận cơ sở

3 3 sin cos

sin cos ( )

cos sin

t t

t t

t t

t

−

−

Và do đó nghiệm tổng quát là:

1 2 3 3

sin cos

cos sin

t t

t t

t t

c

c

X

c

c

−

−

 

 

 

=

 

Từ đây giải theo x1, x2 ta được:

sin cos

t t

t t

x c e c e c t c t

x c e c e c t c t

Kết luận

Với việc sử dụng phương trình đặc trưng để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính

hệ số hằng, ta có thể giải quyết trọn vẹn bài toán Trong trường hợp đầu tiên khi phương trình đặc trưng có n nghiệm thực phân biệt việc giải quyết không khác gì cách giải hệ phương trình tuyến tính trong đại số Trường hợp phương trình vi phân có nghiệm phức, với kỹ thuật tách phần ảo và phần thực ta có thể giải quyết bài toán tương tự trường hợp phương trình vi phân tuyến tính hệ cấp cao hệ số hằng Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội ta vẫn có thể giải quyết tương tự như đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng Tuy nhiên ở đây, với việc đưa vào khái niệm hàm mũ ma trận chúng ta có thể thấy sự tự nhiên trong việc xác định nghiệm cũng như sự tiện lợi trong việc tính toán các nghiệm riêng Từ đó xây dựng được các bước tìm nghiệm của phương trình một cách đơn giản và minh bạch hơn■

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Jean-Marie Monier, Giáo trình toán-Tập 4, NXBGD, 2009

2. Jean-Marie Monier, Giáo trình toán-Tập 5, NXBGD, 2009

3. Ishimura Ryuichi, Differential equation, Giáo trình Đại học ChiBa.