Trong bài báo này tôi sẽ trình bày phương pháp chi tiết để giải một hệ phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp sử dụng phương trình đặc trưng. Phương pháp này ngoài những kiến thức cơ bản của phương trình vi phân chỉ cần các kiến thức cơ bản của Đại số tuyến tính về ma trận và hệ phương trình tuyến tính cùng những kiến thức đơn giản về Giải tích như khai triển MacLaurin. Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội tôi sử dụng một chút kiến thức về giải tích ma trận để giải. Từ khóa: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân thuần nhất, giải tích ma trận. ABSTRACT In this paper, I’ll present the detailed method to solve a system of linear differential equations by the method of using characteristic equation. For this method, beyond the basic knowledge of differential equation, we need only the basic knowledge of linear algebra about matrix and the system of linear equations together with simple knowledge of analysis such as MacLaurin expansion. In the case, the characteristic equation having a multiple root, I use a little of knowledge about matrix analysis to solve. Keyword: system of linear differential equations, characteristic equation, matrix analysis. ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ Soá 062012 60 trong đó: 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) n n n n n nn n x t a a a f t x t a a a f t X A F x t a a a f t = = = Bộ n hàm số khả vi thỏa mãn phương trình (1) được gọi là nghiệm của phương trình. Khi F=0 phương trình trở thành: X = AX (2) Phương trình (2) được gọi là phương trình thuần nhất. Rõ ràng X 0 là nghiệm và gọi là nghiệm tầm thường của phương trình (2), Ta đi tìm nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất (2). Ta đã biết phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc 1 y’=my có nghiệm là y = cemt. Từ đó đưa đến việc xét là 1 nghiệm của phương trình (2). Thay X = Celt vào phương trình (2) ta thu được: lCeλt = ACeλt Do eλt ≠ 0 ∀t ⇒ AC λC = 0 hay (A λI)C = 0 (3) Ở đây, I là ma trận đơn vị cấp n. Từ đây để tìm nghiệm của phương trình (2) ta chỉ cần tìm vector C ≠ 0 từ phương trình (3). Giá trị λ thỏa mãn phương trình (3) được gọi là gíá trị riêng của ma trận A. Vector C ≠ 0 tìm được gọi là vector riêng ứng với λ. Ta có lại các kết quả đã biết ở Đại số tuyến tính: i. Điều kiện cần và đủ để phương trình (A λI)C = 0 có nghiệm không tầm thường là det(A λI) = 0. ii. det(A λI) là một đa thức bậc n và phương trình det(A λI) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Giải phương trình đặc trưng của ma trận A ta tìm được các giá trị riêng , thay vào phương trình (3) ta tìm được các vector riêng tương ứng. ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ Soá 062012 61 Như vậy vấn đề phức tạp của hệ phương trình vi phân đã được đưa về vấn đề đơn giản của Đại số tuyến tính. Ta nhắc lại là tập nghiệm của phương trình (2) là một không gian vector n chiều. Do đó để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2) ta chỉ cần tìm n nghiệm riêng độc lập tuyến tính. n nghiệm riêng độc lập tuyến tính đó được gọi là tập nghiệm cơ bản của phương trình (2) và nghiệm tổng quát của phương trình (2) chính là tổ hợp tuyến tính của n nghiệm đó. Vấn đề bây giờ là phương trình đặc trưng có thể có các nghiệm thực phân biệt, cũng có thể có nghiệm bội hoặc không có nghiệm thực (có nghiệm phức). Ta sẽ giải quyết từng trường hợp cụ thể. 1. Phương trình đặc trưng có các nghiệm thực phân biệt Giả sử ma trận A có n giá trị riêng phân biệt, khi đó ta có kết quả sau đây: Nếu ma trận A của hệ phương trình vi phân thuần nhất X’=AX có n vector
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG ThS Nguyễn Hữu Học Phòng Khoa Học - Đại Học Đơng Á TĨM TẮT ABSTRACT Trong báo tơi trình bày phương In this paper, I’ll present the detailed method to pháp chi tiết để giải hệ phương trình vi solve a system of linear differential equations phân tuyến tính phương pháp sử dụng by the method of using characteristic equation phương trình đặc trưng Phương pháp For this method, beyond the basic knowledge kiến thức phương of differential equation, we need only the trình vi phân cần kiến thức basic knowledge of linear algebra about Đại số tuyến tính ma trận hệ phương matrix and the system of linear equations trình tuyến tính kiến thức đơn giản together with simple knowledge of analysis Giải tích khai triển MacLaurin Trong such as MacLaurin expansion In the case, trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm the characteristic equation having a multiple bội sử dụng chút kiến thức giải tích root, I use a little of knowledge about matrix ma trận để giải analysis to solve Từ khóa: hệ phương trình vi phân tuyến tính, Keyword: system of linear differential hệ phương trình vi phân nhất, giải tích equations, characteristic equation, matrix ma trận analysis I Hệ phương trình Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số có dạng: x1'= a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + f1 ( t ) ' x2= a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn + f ( t ) x '= a x + a x + + a x + f ( t ) n1 n2 nn n n n Hay viết dạng ma trận: = X ' AX + F (1) ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 59 đó: x1 (t ) x (t ) , A = X = xn (t ) a11 a 21 an1 a12 a22 an a1n a2 n = , F ann f1 (t ) f (t ) f n (t ) Bộ n hàm số khả vi thỏa mãn phương trình (1) gọi nghiệm phương trình Khi F=0 phương trình trở thành: X' = AX (2) Phương trình (2) gọi phương trình Rõ ràng X nghiệm gọi nghiệm tầm thường phương trình (2), Ta tìm nghiệm khơng tầm thường phương trình (2) Ta biết phương trình vi phân tuyến tính bậc y’=my có nghiệm y = cemt Từ đưa đến việc xét nghiệm phương trình (2) Thay X = Celt vào phương trình (2) ta thu được: lCeλt = ACeλt Do eλt ≠ ∀t ⇒ AC - λC = hay (A - λI)C = (3) Ở đây, I ma trận đơn vị cấp n Từ để tìm nghiệm phương trình (2) ta cần tìm vector C ≠ từ phương trình (3) Giá trị λ thỏa mãn phương trình (3) gọi gíá trị riêng ma trận A Vector C ≠ tìm gọi vector riêng ứng với λ Ta có lại kết biết Đại số tuyến tính: i Điều kiện cần đủ để phương trình (A - λI)C = có nghiệm khơng tầm thường det(A - λI) = ii det(A - λI) đa thức bậc n phương trình det(A - λI) = gọi phương trình đặc trưng ma trận A Giải phương trình đặc trưng ma trận A ta tìm giá trị riêng , thay vào phương trình (3) ta tìm vector riêng tương ứng 60 ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 Như vấn đề phức tạp hệ phương trình vi phân đưa vấn đề đơn giản Đại số tuyến tính Ta nhắc lại tập nghiệm phương trình (2) khơng gian vector n chiều Do để tìm nghiệm tổng quát phương trình (2) ta cần tìm n nghiệm riêng độc lập tuyến tính n nghiệm riêng độc lập tuyến tính gọi tập nghiệm phương trình (2) nghiệm tổng qt phương trình (2) tổ hợp tuyến tính n nghiệm Vấn đề phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt, có nghiệm bội khơng có nghiệm thực (có nghiệm phức) Ta giải trường hợp cụ thể Phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt Giả sử ma trận A có n giá trị riêng phân biệt, ta có kết sau đây: Nếu ma trận A hệ phương trình vi phân X’=AX có n vector riêng C1, C2, , Cn ứng với n giá trị riêng khác λ1, λ2, , λn nghiệm tổng quát phương trình (2) là: n X ( t ) = ∑Ci Xi (t ) i =1 Trong Xi(t)=Cieλt , (i=1,2, ) nghiệm phương trình X’=AX độc lập tuyến tính Ví dụ 1: Giải phương trình: −1 = X 1 −1 X −1 ' Giải: Ta có: − λ −1 det ( A − λ I ) = 1− λ −1 −1 =− ( λ + 1)( λ − 1)( λ − ) −λ ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 61 Từ ta có giá trị riêng λ = 2,1, -1 Với λ = ta có −1 −1 c1 ( A − λ I ) C= −1 −1 c2 = −1 c −1 Sử dụng phương pháp khử Gauss ta tìm nghiệm không tầm thường C = 1 −1 Từ X = e 2t nghiệm phương trình Hoàn toàn tương tự: 1 1 1 Với λ = ta tìm C = 1 từ X = 1 et 1 1 −1 −1 Với λ = -1 ta tìm C = từ X = e − t 5 5 Vì X1, X2, X3 độc lập tuyến tính nên −1 1 −1 2t t X = c1 X + c2 X + c3 X = c1 e + c2 1 e + c3 e − t 1 1 5 nghiệm tổng quát hệ Phương trình đặc trưng có nghiệm phức Trong phần ta xét trường hợp đơn giản phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt Bây ta xét trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức Nếu số phức a+bi nghiệm phương trình đặc trưng phương trình vi phân X’=AX nghiệm phương trình X’=AX có dạng cQe(a + bi)t Ở Q vector riêng phức, c số phức cố định tùy ý 62 ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 Khi ma trận A phương trình X’=AX ma trận thực điều kiện ban đầu số thực việc biểu diễn nghiệm theo số thực hay hàm thực cần thiết Tương tự trường hợp phương trình vi phân tuyến tính cấp cao ta tìm nghiệm thực cách tách phần thực phần ảo nghiệm phức tương ứng Giả sử A ma trận thực, λ = a + bi giá trị riêng phức C = C1 + iC2 (C1, C2 vector thực) vector riêng ứng với λ, thỏa mãn phương trình riêng: (A - λI)C = Lấy liên hợp ta ( A − λI )C= ( A − λ I )C= Điều chứng tỏ λ giá trị riêng ta thu vector riêng C tương ứng Như vậy, X1 = Ceλt, X2 = Ceλt nghiệm phương trình X’= AX hiển nhiên, tổ hợp tuyến tính nghiệm Do đó: λt ReCe = ReX = X1 + X = C1e at cos bt − C2 e at sin bt λt ImCe = ImX = X1 − X = C1e at sin bt − C2 e at cos bt nghiệm thực độc lập tuyến tính Ở đây, ReCeλt, ImCeλt phần thực phần ảo số phức Ceλt Ví dụ 2: Giải phương trình: −1 −1 = X −1 X −1 ' Giải: Ta có: − λ −1 −1 det ( A − λI )= − λ −1 = (2 − λ )(λ − 2λ + 2) −1 − λ ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 63 Từ ta thu giá trị riêng λ = 2, ± i 0 0 e 2t 2t Với λ = ta tính C = −1 từ có nghiệm riêng X = −1 e = − 1 1 e 2t 1 Với λ = 1+i ta tính C = −i Ta tìm phần thực phần ảo Ceλt 1 et cos t et sin t 1 1 1+i t Ceλt = −i e( ) = −i et ( cos t + i sin t ) = et sin t + i −et cos t 1 1 et cos t et sin t Từ nghiệm tổng qt phương trình cho là: et cos t et sin t X = c1 −e 2t + c2 et sin t + c3 −et cos t e 2t et cos t et sin t Phương trình đặc trưng có nghiệm bội Giả sử phương trình đặc trưng có nghiệm bội m Các nghiệm khác (nếu có) thực phức xét phần Bây ta cần tìm m nghiệm riêng cho với nghiệm riêng thu từ nghiệm đơn phức tạo thành tập nghiệm Tương tự với trường hợp y = ceat nghiệm phương trình y’=ay, ta xét X = eAtC với tư cách nghiệm phương trình X’=AX, với A ma trận vng cấp n C vector cố định Trước hết ta định nghĩa eAt Ta biết khai triển MacLaurin eat: e at = + at + (at )2 (at )3 + +… 2! 3! Từ đó, ta định nghĩa: e At = I + tA + 64 ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 t2 t3 A + A +… 2! 3! với giả thiết chuỗi vế phải hội tụ với ∀t Ta gọi khai triển hàm mũ ma trận A Ta có: d At t2 e = A + tA2 + A3 + …= Ae At 2! dt Định nghĩa ta nói X = eAtC nghiệm phương trình X’=AX Vấn đề đặt ta tính tốn eAtC nào? Ta sử dụng định nghĩa với tính tốn chuỗi vơ hạn, nhiên ta lợi dụng khai triển: Ce( A −λI ) t = C + t ( A − λI ) C + k t2 t3 tk ( A − λI )2 C + ( A − λI ) C + …+ ( A − λI ) C + … 2! 3! k! Ở đây, có k để (A - λI)kC = tất số hạng phía sau ta cần tính tốn với chuỗi hữu hạn Từ với λ giá trị riêng ứng với nghiệm bội m ta tìm C từ hệ phương trình: ( A − λI ) k C = k −1 ( A − λI ) C ≠ (2 ≤ k < m) Với C tìm ta tìm nghiệm riêng eAtC = eλte(A - λt)C từ khai triển Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: x '1 = x1 − x2 + x3 '2 x2 + x3 x= x ' = 4x Giải: Ta có 4−λ −1 det ( A − λI = ) − λ = (4 − λ)3 0 4−λ 1 Từ giá trị riêng λ = vector riêng C = ta tìm nghiệm riêng 0 1 e 4t 0 0 ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 65 A ma trận vng cấp nên để tìm nghiệm tổng quát phương trình ta cần tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính Trước hết, ta tìm C thỏa mãn: ( A − λI )2 C = ( A − λI ) C ≠ Ta có 0 −2 α = = §Ỉt C β ⇒ ( A − I ) C = 0⇒ γ = 0⇒ C ( A − I ) 0 = 0 0 γ Ta lại có (A-4I) C = ⇒ (A-4I) C ≠ ⇔ β ≠ 0 Do ta chọn α =0 ⇒ C 1 từ nghiệm riêng thứ là: β =1 0 1 − t Ce = e C + t ( A − I ) C = e At 4t 4t ( A − I )3 = Tiếp theo ta tìm C thỏa mãn ( A − I ) ≠ 0 Giải tương tự ta tìm C = nghiệm riêng thứ 3: 1 e At C= e t e( A− I )t t2 C= e t C + t ( A − I ) C + ( A − I ) C = 2! 2t − t −1 0 −2 t e 4t t e 4t + t 0 + 2! 0 = 0 0 66 ĐẠI HỌC ĐÔNG AÙ Soá 06-2012 α β 0 2t − t 1 1 − t 4t 4t 4t Do e , e , e 2t độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát hệ 0 cho là: 1 2t − t 1 − t X = e 4t c1 + c2 + c3 2t 0 II Hệ phương trình khơng Trước khảo sát phương trình khơng X’=AX+F, ta nhắc lại phương trình X’=AX A ma trận vuông cấp n, X1, X2, , Xn nghiệm độc lập tuyến tính phương trình X’=AX Khi đó: Φ = (X1X2 Xn) gọi ma trận sở (fundamental matrix) có tính chất sau: i detΦ = W(X1, X2, , Xn) (W: định thức Wronski) ii Φ' = AΦ iii c1X1 + c2X2 + + cnXn = Φ = ΦC Từ đó, nghiệm phương trình X’=AX ΦC sử dụng phương pháp hệ số biến thiên ta viết Φ(t) U(t) nghiệm phương trình X’=AX+F Do đạo hàm ma trận đạo hàm thành phần nên ta có: (ΦU)' = Φ'U + ΦU' Thay X = ΦU vào phương trình X’=AX+F ta thu được: Φ'U + ΦU' = AΦU + F Sử dụng tính chất ⇒ ΦU' = F Sử dụng cơng thức Cramer ta tính U’ từ tính U Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình là: ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 67 X = ΦC + ΦU Ví dụ 4: Giải phương trình: e 2t 3 2 = X' X + 2t 1 2 2e Giải: Ta có det(A - λI) = (λ - 4)(λ - 1) Từ đó, giá trị riêng là: λ = 4,1 ⇒ nghiệm riêng phương trình 2 1 X1 = e 4t , X1 = e t 1 −1 2e 4t Do ma trận sở: Φ = 4t e et − e t 2e 4t u Đặt U = ⇒ ΦU = F trở thành 4t u2 e e t u1' e2t = − e t u '2 2e2t Sử dụng công thức Cramer giải phương trình ta thu được: −2t −2t u1′ = e u1 = − e ⇒ t = − u ′ u = − e t Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: 2e 4t X = ΦC + ΦU = 4t e e t c1 2e 4t + − e t c2 e 4t e t − e −2t − e t t −e 2c1e 4t + c2 e t − 2e2t = 4t c1e − c2 e t + e2t Một số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân cấp cao ta đưa dạng hệ phương trình vi phân cấp cách đặt ẩn phụ thích hợp Ví dụ 5: 68 ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 Giải hệ phương trình: x1′′ − 2x1 − 3x = x1 + x 2′′ + 2x = Giải: u x= = u ′ x1′′ 1′ Đặt hệ cho viết thành: ⇒ = v x= 2′ v ′ x 2′′ x1 0 x 0 2 = u 2 v −1 0 −2 0 0 x 1 x 0 u 0 v 0 0 Phương trình đặc trưng ma trận A = 2 −1 0 −2 0 0 1 l4 - = từ ta tìm 0 0 giá trị riêng λ = ±1, ±i Từ ta tính vector riêng tương ứng (do ma trận A lớn ta sử dụng phần mềm tính tốn Maple hay Mathematica để trợ giúp): 3 −3 −i −1 1 i , , −3 −3 −1 1 1 1 Từ giá trị Ceλt là: 3e t −3e t −i (cos t + i sin t ) −e t e t i (cos t + i sin t ) −3e t −3e t −(cos t + i sin t ) cos t + i sin t et et Và từ ta có ma trận sở ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 69 3e ′ −3e ′ sin t −t −e t e − sin t Φ (t ) = t −t − cos t −3e −3e et t e cos t − cos t cos t sin t sin t Và nghiệm tổng quát là: 3e ′ −3e ′ sin t t − t −e e − sin t X = t −t − cos t −3e −3e et t e cos t − cos t c1 cos t c sin t c sin t c Từ giải theo x1, x2 ta được: x = c1 3e t − c 3e t + c sin t − c cos t x2 = −c1e t + c 2e t − c sin t + c cos t Kết luận Với việc sử dụng phương trình đặc trưng để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, ta giải trọn vẹn tốn Trong trường hợp phương trình đặc trưng có n nghiệm thực phân biệt việc giải khơng khác cách giải hệ phương trình tuyến tính đại số Trường hợp phương trình vi phân có nghiệm phức, với kỹ thuật tách phần ảo phần thực ta giải toán tương tự trường hợp phương trình vi phân tuyến tính hệ cấp cao hệ số Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm bội ta giải tương tự phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số Tuy nhiên đây, với việc đưa vào khái niệm hàm mũ ma trận thấy tự nhiên việc xác định nghiệm tiện lợi việc tính tốn nghiệm riêng Từ xây dựng bước tìm nghiệm phương trình cách đơn giản minh bạch hơn■ TÀI LIỆU THAM KHẢO Jean-Marie Monier, Giáo trình tốn-Tập 4, NXBGD, 2009 Jean-Marie Monier, Giáo trình tốn-Tập 5, NXBGD, 2009 Ishimura Ryuichi, Differential equation, Giáo trình Đại học ChiBa 70 ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 ... Một số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân cấp cao ta đưa dạng hệ phương trình vi phân cấp cách đặt ẩn phụ thích hợp Ví dụ 5: 68 ĐẠI HỌC ĐÔNG Á Số 06-2012 Giải hệ phương trình: ... tuyến tính hệ số hằng, ta giải trọn vẹn toán Trong trường hợp phương trình đặc trưng có n nghiệm thực phân biệt vi c giải khơng khác cách giải hệ phương trình tuyến tính đại số Trường hợp phương trình. .. hàm số khả vi thỏa mãn phương trình (1) gọi nghiệm phương trình Khi F=0 phương trình trở thành: X' = AX (2) Phương trình (2) gọi phương trình Rõ ràng X nghiệm gọi nghiệm tầm thường phương trình