WM giải tích 1 lê xuân đại 8 hệ phương trình vi phân tuyến tính sinhvienzone com

Lê Xuân Đại BK TPHCM HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP...

Trang 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Trang 2

Sự phân rã của chất

Ví dụ

Một số chất A sẽ phân rã thành 2 chất P và Q.Tốc độ hình thành của mỗi chất P và Q tỉ lệ vớikhối lượng chất không bị phân rã Cho x , y lầnlượt là khối lượng chất P và Q được hình thànhtại thời điểm t Hãy xác định quy luật phân rãchất A biết rằng tại thời điểm ban đầu t = 0 thì

1

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 2 / 41

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Trang 3

Tại thời điểm t tốc độ hình thành chất P và Q sẽ

Trang 4

Tìm C1, C2 dựa vào điều kiện đầu khi t = 0 thì

SinhVienZone.Com

Trang 5

Vậy quy luật phân rã chất A thành 2 chất P, Qvới số lượng x , y được xác định như sau:

Trang 6

Hệ thuần nhất với hệ số hằng-Phương pháp Euler

Xét hệ

dX

với những phần tử aij của ma trận A là những hằng số Nội dung phương pháp Euler như sau: Tìm nghiệm của (1) ở dạng X (t) = eλtP, với P là véc-tơ hằng Thế X (t) vào (1) ta được λeλtP = APeλt ⇔ AP = λP Vậy hàm véc-tơ X (t) = eλtP là nghiệm của hệ (1) khi và chỉ khi λ

là trị riêng và P là véc-tơ riêng của ma trận A.

SinhVienZone.Com

Trang 7

SinhVienZone.Com

Trang 8

Định lý

X (t) = C1eλ1 tP1 + C2eλ2 tP2 + + Cneλn tPn

Chú ý Định lý không đòi hỏi các trị riêng phảiphân biệt, nhưng các véc-tơ riêng phải độc lậptuyến tính

SinhVienZone.Com

Trang 9

Trường hợp: các trị riêng phân biệt

Nếu A có n trị riêng phân biệt thì n véc-tơ riêng

quả sau:

Hệ quả

Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt

Trang 10

Trường hợp: trị riêng thực bội m

P1(t)eλ0 t, x2 = P2(t)eλ0 t, , xm = Pm(t)eλ0 t, ở

Trang 11

SinhVienZone.Com

Trang 12

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm thực độc lậptuyến tính

và là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất Vậy

Trang 13

Trang 14

Ứng với λ1 = 1 ta xét hệ 6p1 + 3p2 = 0

1

SinhVienZone.Com

Trang 16

6 − λ −12 −1

1 −3 − λ −1

−4 12 3 − λ

Trang 20

Trang 35

SinhVienZone.Com

Trang 36

Nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất là

1

,

2

.Vậy nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất

Trang 37

Nghiệm của hệ không thuần nhất có dạng

x = C1(t)et + 3C2(t)e2t

y = C1(t)et + 2C2(t)e2t

⇒ x 0 = C10(t)et + C 1 (t)et + 3C20(t)e2t + 6C 2 (t)e2t

y0 = C10(t)et + C 1 (t)et + 2C20(t)e2t + 4C 2 (t)e2tThay vào hệ phương trình đã cho ta được

(1) ⇒ C10(t)et + C 1 (t)et + 3C20(t)e2t + 6C 2 (t)e2t = 4(C 1 (t)et + 3C 2 (t)e2t) − 3(C 1 (t)et + 2C 2 (t)e2t) + e−t

⇒ C10(t)et + 3C20(t)e2t = e−t (3) (2) ⇒ C10(t)et + C1(t)et + 2C20(t)e2t + 4C2(t)e2t = 2(C1(t)et + 3C2(t)e2t) − (C1(t)et + 2C2(t)e2t)

⇒ C10(t)et + 2C20(t)e2t = 0 (4)

SinhVienZone.Com

Trang 39

Nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Trang 40

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình thuần nhất

Trang 41

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình không thuần nhất

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2 013 35 / 41< /small>

SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn

SinhVienZone. Com< /h3>... Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2 013 28 / 41< /small>

SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn

SinhVienZone. Com< /h3>

Phương pháp biến thiên số

bản hệ (1) ta ký hiệu

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2 013 32 / 41< /small>

SinhVienZone. com

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	386,09 KB