Ứng dụng của hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn MỤC LỤC I Lời mở đầu II Đa thức đặc trưng - đa thức cực tiểu ma trận 1.1 Phép cộng phép nhân đa thức ma trận 1.2 Phép chia phải phép chia trái đa thức ma trận 1.3 Định lí Bezout tổng quát 1.4 Đa thức đặc trưng Ma trận liên hợp 1.5 Đa thức cực tiểu ma trận 16 III Hàm ma trận 23 2.1 Định nghĩa hàm ma trận 23 2.2 Đa thức nội suy Lagrange-Sylvester 29 2.3 Các thành phần ma trận A 32 2.4 Biểu diễn hàm ma trận chuỗi 39 2.5 Ứng dụng hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 44 III Kết luận 58 IV Tài liệu tham khảo 59 SVTH: Thái Thị Bảo An Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn LỜI MỞ ĐẦU Giải tích ma trận ngày ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn học, khí, lý thuyết vật lý… Hiện có tài liệu trình bày tập lý thuyết ma trận ứng dụng chúng Với lí tơi chọn luận văn “Ứng dụng hàm ma trận vào việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng” Phương pháp giải luận văn kiến thức phương trình vi phân cần kiến thức đại số tuyến tính ma trận, hệ phương trình tuyến tính kiến thức giải tích khai triển MacLaurin Trong trường hợp đa thức cực tiểu có nghiệm bội sử dụng kiến thức giải tích ma trận để giải Luận văn gồm chương Trong chương 1, giới thiệu đa thức đặc trưng, đa thức cực tiểu ma trận liên hợp ma trận vuông Trong chương 2, đề cập đến hàm ma trận, tính chất liên quan Ứng dụng hàm ma trận để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số Em chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn Thầy Phan Anh Tuấn giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn em suốt trình thực đề tài Đồng thời,em gởi lời cám ơn đến Thầy Cơ, bạn bè khoa Tốn trường Đại học sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn Đà Nẵng ngày 27/05/2013 Sinh viên Thái Thị Bảo An SVTH: Thái Thị Bảo An Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn CHƯƠNG ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG VÀ ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA MỘT MA TRẬN Hai đa thức liên quan đến ma trận vuông đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu Những đa thức đóng vai trị quan trọng nhiều tốn khác lý thuyết ma trận Ví dụ khái niệm hàm ma trận giới thiệu chương sau, dựa hoàn toàn vào khái niệm đa thức cực tiểu.Trong chương tính chất đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu ma trận nghiên cứu Điều kiện tiên cho việc nghiên cứu phải nắm kiến thức đa thức mà hệ số chúng ma trận phép toán chúng 1.1 Phép cộng phép nhân đa thức ma trận Xét ma trận đa thức vuông tức ma trận vuông A( ) có phần tử đa thức theo  với hệ số trường F cho trước A( )   aik ( )1  aik(0)  m  aik(1) m1   aikm  n n (1) Ma trận A(  ) biểu diễn dạng đa thức với hệ số ma trận xếp tương ứng với lũy thừa  A( )  A0 m  A1 m1   Am n với Ai   aik( j )  ( j  0,1, , m) (2) (3) Số m gọi bậc đa thức với điều kiện A0  Kí hiệu m  deg( A( )) Số n gọi cấp đa thức Đa thức (1) gọi quy | A0 | Một đa thức với hệ số ma trận gọi đa thức ma trận Trái với đa thức ma trận đa thức thông thường với hệ số vô hướng gọi đa thức vô hướng Bây ta định nghĩa phép toán đa thức ma trận SVTH: Thái Thị Bảo An Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn Cho đa thức ma trận A(  ) B(  ) có cấp Ta biểu thị bậc cao đa thức ma trận m Những đa thức viết dạng: A( )  A0 m  A1 m1   Am B( )  B0 m  B1 m1   Bm Khi A( )  B( )  ( A0  B0 ) m  ( A1  B1 ) m1   ( Am  Bm ) Nghĩa tổng đa thức ma trận cấp biểu diễn dạng đa thức ma trận Đa thức ma trận có bậc bé bậc cao đa thức cho Cho đa thức ma trận A(  ) B(  ) có cấp có bậc tương ứng m p A( )  A0 m  A1 m1   Am ( Ao  0) B( )  B0 p  B1 p1   Bp ( B0  0) Khi A( ) B( )  A0 B0 m p  ( A0 B1  A1B0 ) m p1   Am Bp (4) Nếu nhân B(  ) với A(  ) ta nhận đa thức ma trận khác Phép nhân đa thức ma trận có tính chất đặc riêng biệt Ngược với tích đa thức vơ hướng, tích đa thức ma trận (4) có bậc nhỏ m+p (nghĩa nhỏ tổng bậc thừa số) Vì (4) tích A0 B0 ma trận O A0  0; B0  Tuy nhiên, ma trận A0 B0 khơng suy biến, từ A0  0; B0  ta có A0 B0  Thật vậy, chẳng hạn A0 không suy biến tức A0  Giả sử A0 B0  với B0  b1; b2 ; ; bn  (bi ; i  1; n cột thứ i B0 ) Từ A0 B0  tương đương với A0bi  (i  1, n) Do A0  nên phương trình A0bi  có nghiệm bi  0, i  1, n Suy B0  (vô lý) SVTH: Thái Thị Bảo An Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn Do tích đa thức ma trận đa thức có bậc nhỏ tổng bậc thừa số Nếu thừa số quy bậc tích ln ln tổng bậc thừa số 1.2 Phép chia phải phép chia trái đa thức ma trận Cho đa thức ma trận A(  ) B(  ) cấp có bậc tương ứng m p Đa thức ma trận B(  ) quy A( )  A0 m  A1 m1   Am ( Ao  0) B( )  B0 p  B1 p1   Bp ( B0  0) Ta nói đa thức ma trận Q(  ) R(  ) đa thức thương phải đa thức dư phải tương ứng phép chia A(  ) cho B(  ) A( )  Q( ) B( )  R( ) (5) bậc R(  ) nhỏ bậc B(  )   Tương tự ta gọi đa thức Q( ) R( ) đa thức thương trái đa thức dư trái phép chia A (  ) cho B(  )   A( )  B( ) Q( )  R( ) (6)  bậc R( ) nhỏ bậc B(  ) Người đọc nên ý phép chia phải (nghĩa ta tìm đa thức thương phải đa thức dư phải) đa thức chia B(  ) nhân với đa thức thương phải Q(  ) bên phải Phép chia trái đa thức chia B( ) nhân với đa thức  thương Q( ) bên trái   Thông thường đa thức Q( ) R( ) không trùng với Q( ) R( ) Cả hai phép chia phải phép chia trái đa thức ma trận cấp luôn tồn nhất, với điều kiện đa thức chia đa thức quy Xét phép chia phải A(  ) cho B(  ) A( )  A0 m  A1 m1   Am ( Ao  0) B( )  B0 p  B1 p1   Bp ( B0  0) SVTH: Thái Thị Bảo An Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn Nếu m  p xem Q(  )=0 R(  )=A(  ) Nếu m  p áp dụng kỹ thuật thông thường phép chia đa thức cho đa thức để tìm đa thức thương Q(  ) đa thức dư R(  ) Chia số hạng cao A0 m đa thức bị chia cho số hạng cao B0 p đa thức chia ta thu số hạng cao đa thức thương A0 B01 m p Nhân đa thức chia B(  ) với số hạng vào bên phải, lấy A(  ) trừ tích nhận được, từ tìm số dư A(1) ( ) A( )  A0 B01 m p B( )  A(1) ( ) (7 ) Bậc m(1) A(1) ( ) nhỏ m A(1) ( )  A0(1) m  ( A0(1)  0, m(1)  m) (1) (8) Nếu m(1)  p lặp lại trình thu A(1) ( )  A0(1) B01 A ( )  A  (2) (2) m( ) B( )  A(2) ( )    (m(2)  m(1) )  m(1)  p (9) Vì bậc A(  ); A(1) ( ) , A(2) ( ) … giảm dần, bước ta thu đa thức dư R(  ) có bậc nhỏ p Từ (7) đến (9) ta có A( )  Q( ) B( )  R( ) Với Q( )  A0 B01 m p  A0( 1) B01 m (1) p  (10) Cần chứng tỏ tính phép chia phải Giả sử ta có đồng thời A( )  Q( ) B( )  R( ) (11) A( )  Q* ( ) B( )  R* ( ) (12) Ở bậc R(  ) R* ( ) nhỏ bậc B(  ) (nghĩa nhỏ p) Lấy (12) trừ (11) vế theo vế ta Q( )  Q* ( )  B( )  R* ( )  R( ) SVTH: Thái Thị Bảo An (13) Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Phan Anh Tuấn Nếu ta có Q( )  Q* ( )  khơng đồng O bậc vế trái (13) tổng bậc B(  ) Q( )  Q* ( )  Vì | B0 | bậc vế trái p, bậc vế phải