Hàm mũ ma trận và ứng dụng với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Lan Anh HÀM MŨ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Lan Anh HÀM MŨ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Văn Bằng Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Trần Văn Bằng - Người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin trân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Trong khuôn khổ khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận đóng góp thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Lan Anh i Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em đạt trình học tập nghiên cứu, dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy em Trong nghiên cứu, hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Hàm mũ ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Lan Anh Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức ma trận 1.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K) 1.3 Hệ phương trình vi phân cấp 1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 11 Hàm mũ ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 16 2.1 Hàm mũ ma trận 16 2.2 Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 22 Ví dụ áp dụng 27 Tài liệu tham khảo 35 2.3 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh Lời mở đầu Phương trình vi phân chuyên ngành toán học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học công nghệ, coi cầu nối lí thuyết ứng dụng Trong lí thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một lí thuyết quan trọng lí thuyết phương trình vi phân Việc giải hệ phương trình vi phân dù tuyến tính nói chung không đơn giản Trong khóa luận muốn tìm hiểu phương pháp hàm mũ ma trận để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính Đây phương pháp cho ta công thức biểu diễn nghiệm hệ gọn đẹp Xuất phát từ nhận thức lòng ham mê môn học với hướng dẫn tận tình thầy giáo T.S Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn đề tài: "Hàm mũ ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một" để thực khóa luân tốt nghiệp Nội dung khóa luận bao gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Hàm mũ ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp Do lần thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp, ý kiến thầy cô bạn để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức ma trận, hội tụ không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K), hệ phương trình vi phân cấp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp nhằm thuận tiện trình bày mục sau 1.1 Kiến thức ma trận Giả sử A = (aij ) ma trận vuông cấp n aij ∈ C Ta xác định chuẩn ma trận A sau n |aij |2 A = i,j=1 Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh Nếu x = (x1 , , xn ) vectơ n chiều ta xem x ma trận n hàng, cột n |xi |2 x = i=1 Dễ dàng thấy chuẩn ma trận có tính chất sau: (i) A + B ≤ A + B (ii) AB ≤ A B (iii) Ax ≤ A x Ma trận đơn vị n chiều kí hiệu In (hay đơn giản I không sợ nhầm lẫn) Đa thức det(Iλ − A) bậc n λ gọi đa thức đặc trưng ma trận A, nghiệm gọi giá trị riêng ma trận A kí hiệu λ1 , , λn Ta có n det(λI − A) = (λ − λi ) i=1 Hai ma trận vuông cấp n A B gọi đồng dạng tồn ma trận vuông cấp n không suy biến P cho B = P AP −1 Nếu A B đồng dạng chúng có chung đa thức đặc trưng det(λI−B) = det(P (λI−A)P −1 ) = detP det(λI−A)detP −1 = det(λI−A) Đặc biệt hệ số lũy thừa λ đa thức det(λI − A) bất biến phép biến đổi đồng dạng Hai bất biết quan trọng phép đồng dạng detA trace(A) (tức định thức vết ma Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh trận A) Giả sử cho f phép biến đổi tuyến tính không gian n chiều Rn trường C vào f : Rn → Rn Giả sử h = {h1 , , hn } sở không gian Rn Khi n ajk hj , ajk ∈ C f (hk ) = j=1 Ma trận A = (ajk ) gọi ma trận phép biến đổi f (đối với cở sở h cho) Chú ý ajk = (f (hk ))j n ξk hk vectơ tùy ý thuộc Rn Nếu x = k=1 n n ηj hj với ηj = y = f (x) = j=1 ajk ξk k=1 Định lý 1.1 (xem [3], trang 227) Đối với phép biến đổi tuyến tính f Rn tồn sở cho ma trận A phép biến đổi f có dạng  K    K2 A=    Kp     ,    Ki (i = 1, 2, , p) ma trận có dạng Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh        Ki =       λi λi 0 0            λi (tức phần tử thuộc đường chéo λi phần tử kề 1, phần tử khác Cấp ma trận ta kí hiệu ni ) Dạng gọi dạng tắc Jordan ma trận A Do (i) Với ma trận vuông B tồn ma trận vuông không suy biến P cho P BP −1 = A A ma trận dạng tắc Jordan (ii) Giả sử A ma trận phức λ1 , λ2 , , λk giá trị riêng (phức) phân biệt A với bội tương ứng m1 , , mk Khi A đồng dạng với ma trận J :  J    J2 J =    0 Jk Footer Page 10 of 161     ,    Header Page 26 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh (iii) Do A −A giao hoán nên eA e−A = e(A−A) = I Vây e−A = (eA )−1 (vi) Ta xét tương ứng   a −b b a   ←→ a + ib Tương ứng giữ nguyên tổng, tích phép nhân với số thực Dễ thấy giữ nguyên giới hạn, eA ←→ ea eib eib số phức ∞ k=0 (ib) k! k Dùng i2 = −1 ta tìm phần ib thực e tổng chuỗi Taylor cosb tương tự phần ảo sinb Điều chứng minh (vi)  Ví dụ 2.1.4 Cho A =   Ta có A =  a   + a a  .Hãy tính eA   = A1 + A2 a 0    (theo Mệnh đề 2.1), mà eA1 = ea    1  (kết ví dụ 2.1.2) eA2 =       1 1   = ea   Nên eA = eA1 eA2 = ea  1 Footer Page 26 of 161 21 Header Page 27 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh Nhận xét 2.1 Với ma trận thực A cấp × Ta tính eA Thật vậy, từ kết đại số tuyến tính ta biết tồn ma trận thực không suy biến P cho ma trận B = P −1 AP có dạng sau:  1)  λ 0 µ    ; 2)  λ λ   ; 3)  Khi ta dễ dàng tính eB = eP BP 2.2  −1 a −b b a   = P eB P −1 Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số x(t) = Ax + f (t), (2.3) hệ tương ứng x(t) = Ax Định lý 2.1 (xem [1], trang 50) Ma trận ∞ e tA := k=0 (tA)k k! ma trận hệ (2.4)và đo hàm x(t) = e(t−t0 )A x0 Footer Page 27 of 161 22 (2.4) Header Page 28 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh nghiệm hệ (2.4) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 Chứng minh Ta có e(t+h)A − etA d tA e = lim h→0 dt h tA hA e e − etA = lim h→0 h hA e −I = etA lim h→0 h = etA A = AetA Do etA ma trận nghiệm (2.4) Bởi đinh lí Liouville ta có det(etA ) = ettrace(A) = nên etA ma trận (2.4) Tiếp theo, nghiên cứu cấu trúc ma trận nghiệm etA Giả sử A ma trận phức λ1 , , λk giá trị riêng (phức) phân biệt A với bội tương ứng m1 , m2 , , mk Khi tồn ma trận (nói chung phức) không suy biến P cho A = P JP −1 , Footer Page 28 of 161 23 Header Page 29 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh J ma trận Jordan  J1   J =    ,   Jk với Js ma trận vuông cấp ms có dạng   λs      Js =       0   λs 0       0 λs    0 λs Ta có etA = etP JP với  e tJ −1 = P etJ P −1 tJ1 e   =  etJk Để tính etJs , ta ý Js = λs Ims + Z Footer Page 29 of 161 24      Header Page 30 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học với Nguyễn Thị Lan Anh        Z=      0   0 0       0    0 0 nên m m j Cm (tλs Ims )j (tZ)m−j m (tJs ) = (tλs Ims + tZ) = j=0 sử dụng tính lũy linh ma trận Z(Z ms = 0), ta  etJs      = etλs       t 2! t t ··· ms −1 t (ms −1)! ms −2 t (m−2)! 0 t 0             Từ ta có định lí sau: Định lý 2.2 (xem [1], trang 88) Giả sử A ma trận cỡ n×n giả sử λ1 , λ2 , , λk giá trị riêng phân biệt A với bội đại số m1 , m2 , , mk Khi với j = 1, , k tồn mj nghiệm độc lập tuyến tính hệ (2.4) có dạng xj,s (t) = eλj t Pj,s−1 (t), t ∈ R, ≤ s ≤ mj, Pj,v (t) đa thức t với hệ số Cn có bậc không Footer Page 30 of 161 25 Header Page 31 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh v Tập hợp nghiệm lập thành hệ nghiệm (2.4) Nếu A nửa đơn (tức chéo hóa được) (2.4) có hệ nghiệm có dạng {eλj t yj,s , ≤ s ≤ mj , ≤ j ≤ k} yj,s ∈ Cn vectơ độc lập tuyến tính Từ định lí nên suy thành phần nghiệm (2.4) tổ hợp tuyến tính hàm có dạng tj eλt , λ ∈ σ(A), với σ(A) tập giá trị riêng A gọi phổ ma trận A, j < m(λ) với m(λ) bội đại số λ Chú ý λ = α + iω (α, ω ∈ R) eλt = eαt [cos(ωt) + isin(ωt)] Từ ta có định lí sau Định lý 2.3 (xem [1], trang 89) Giả sử A ma trận cỡ n × n x(t) nghiệm hệ (2.4) Rn Khi x(t) tổ hợp tuyến tính hàm dạng atk eαt cos(ωt), btl eαt sin(ωt), a, b ∈ Rn ; λ = α + iω chạy khắp giá trị riêng A với ω ≥ Footer Page 31 of 161 26 Header Page 32 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh k, l ≤ m(λ) − (m(λ) bội đại số giá trị riêng λ A) Chú ý 2.2 (i) Nếu λ ∈ σ(A) ta gọi dim[ker(λI − A)] bội hình học giá trị riêng λ Rõ ràng bội hình học bé hay bội đại số A nửa đơn hai bội trùng với λ ∈ σ(A) (ii) Nếu A nửa đơn sở thích hợp, A có dạng A = diag[λ1 , , λ1 , λ2 , , λ2 , , λk , , λk ], λj xuất mj lần Áp dụng công thức biến thiên số, ta suy nghiệm toán giá trị ban đầu phương trình không x = Ax + f(t), x(t0 ) = x0 , cho t e(t−s)A f (s)ds x(t) = e(t−t0 )A x0 + t0 2.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.3.1 Giải hệ phương trình sau   x = 2x + y , (x, y) ∈ R2  y = 3x Footer Page 32 of 161 27 Header Page 33 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh Giải  Đây hệ phương trình tuyến tính với ma trận A =    Phương trình đặc trưng det(λI − A) = 2−λ −λ = λ2 − 2λ − có hai nghiệm λ1 = −1, λ2 = Ta có  etA = P etJ P −1 = P  −t e e3t   P −1 , P ma trận có cột vectơ riêng p1 , p2 tương ứng với giá trị riêng λ2 , bây  ta  tìm p1 , p2  λ1 , a a11  , p2 =  21  Ta có Ap1 = λ1 p1 Giả sử p1 =  a22 a21  ⇔   p11 p21    = (−1)  p11 p21  Chọn p11 = 1, p21 = −3 Suy p1 =   Tương tự, ta tìm p2 =  Footer Page 33 of 161 1   28   3p11 + p21 = ⇔  3p + p = 11 21  −3   Header Page 34 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh     (1)  x    =  e−t     y (1) −3     Hệ nghiệm   x(2)      e3t   =   y (2) Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình vi phân cho   x(t) = C1 e−t + C2 e3t  y(t) = −3C e−t + C e3t Ví dụ 2.3.2 Giải hệ phương trình sau   x = 4x − y , (x, y) ∈ R2  y = 5x + 2y Giải  Đây hệ phương trình tuyến tính với ma trận A =  −1   Phương trình đặc trưng det(λI − A) = λ−4 −1 λ−2 = λ2 − 6λ + 13 có hai nghiệm phức λ1 = + 2i, λ2 = − 2i Ta có  etA = P etJ P −1 = P  e (3+2i)t 0 e(3−2i)t   P −1 , P ma trận có cột vectơ riêng p1 , p2 tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 Bây ta tìm p1 , p2 Footer Page 34 of 161 29 Header Page 35 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học  Giả sử p1 =   ⇔ −1 p11 p21   Nguyễn Thị Lan Anh    , p2 =  p11 p21 p21 p22   Ta có Ap1 = λ1 p1    = (3+2i)  p11 p21   (1 − 2i)p11 − p21 = ⇔  5p − (1 + 2i)p = 11 21   Chọn p21 = − 2i, p11 = Suy p1 =   − 2i   Tương tự, ta tìm p2 =    + 2i      (1)  x    e(3+2i)t     =    − 2i y (1)     Hệ nghiệm  (2)  x     e(3−2i)t    =   + 2i y (2) Tuy nhiên ta cần tìm nghiệm thực, ta cần lập vectơ  (1) ∼ x =  y∼(1) =  (2) ∼ x =  y∼(2) = x(1) +x(2) = e3t cos2t y (1) +y (2) = e3t (cos2t + 2sin2t) x(1) −x(2) 2i = e3t sin 3t y (1) −y (2) 2i = e3t (sin 2t − cos 2t) Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình vi phân cho   x(t) = e3t (C1 cos 2t + C2 sin 2t)  y(t) = e3t [(C −2C ) cos 2t + (2C +C ) sin 2t] 2 Footer Page 35 of 161 30 Header Page 36 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lan Anh Ví dụ 2.3.3 Giải hệ phương trình sau   x = 2x + y , (x, y) ∈ R2  y = −x + 4y Giải  Đây hệ phương trình tuyến tính với ma trận A =  −1   Phương trình đặc trưng det(λI − A) = 2−λ −1 4−λ = (λ − 3)2 có nghiệm bội λ1 = λ2 = Giải hệ Ap1 = λ1 p1 tìm vectơ p1 , ta có   −1   p11 p21    = 3 p11 p21   ⇔ p11 = p12 Từ suy có nhiều vectơ riêng độc lập tuyến tính,   chẳng hạn ta chọn p1 =   Điều chứng tỏ A có dạng chuẩn tắc Jordan với ô Jordan có kích cỡ lớn Để tìm sở riêng A có dạng Jordan ta phải tìm thêm vectơ p2 độc lập tuyến tính với p1từ phương trình Ap1 = λ1 p2 + p1 Giải phương trình ta  p2 =   Do hệ nghiệm Footer Page 36 of 161 31 Header Page 37 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học   x(1)        y (1)    x(2)       y (2)    = e3t  Nguyễn Thị Lan Anh        = te3t   + e3t  , 1  nghiệm tổng quát hệ phương trình vi phân cho   x(t) = C1 e3t + C2 te3t  y(t) = (C + C )e3t + C te3t 2 Ví dụ 2.3.4 Giải hệ phương trình sau  x=y , (x, y) ∈ R2 , x0 (0) = 1, y0 (0) =  y = −x + t Giải Đây toán ban đầu phương trình tuyến tính không nhất,  A= −1  Theo Mệnh đề 2.1, ta có etA =     , f (t) =  cost sint −sint cost t     Theo x0 (0) = 1, y0 (0) = nên áp dụng công thức với t0 = t x(t) = e(t−t0 )A x0 + e(t−s)A f (s)ds t0 Footer Page 37 of 161 32 Header Page 38 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học  Ta có e(t−t0 )A x0 =  Nguyễn Thị Lan Anh cos x sin x −sinx cos x   1   = cos t sin t −sint cos t   Vậy nghiệm toán là:   x(t) y(t)   =  =  = Footer Page 38 of 161 cos t + sin t − sin t + cos t cos t + sin t − sin t + cos t cos t + sin t − sin t + cos t  t +     +     + 33 cos(t − s) + sin(t − s)   − sin(t − s) + cos(t − s) s  t s sin(t − s)ds   t  s cos(t − s)ds    t − sin cos t + t =  −cost + − sin t +   ds Header Page 39 of 161 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Hàm mũ ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một" Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng hàm mũ ma trận ứng dụng để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên nội dung mẻ thời gian nghiên cứu hạn chế, phần lần thực nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo TS Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page 39 of 161 34 Header Page 40 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, NXB Đại Học Sư phạm, Hà Nội [2] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (1970), Phương trình vi phân (tập II), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Hoàng Hữu Đường (1975), Lí thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2012), Đại số tuyến tính, NXB Đại Học Sư phạm, Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Footer Page 40 of 161 35 ... Chương Hàm mũ ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp Chương trình bày khái niệm hàm mũ ma trận tính chất mệnh đề từ đưa cấu trúc nghiệm để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp. .. thuyết phương trình vi phân Vi c giải hệ phương trình vi phân dù tuyến tính nói chung không đơn giản Trong khóa luận muốn tìm hiểu phương pháp hàm mũ ma trận để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính. .. ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 16 2.1 Hàm mũ ma trận 16 2.2 Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 22 Ví dụ áp dụng