1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

WM giải tích 1 lê xuân đại 4 tích phân suy rộng sinhvienzone com

69 65 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 69
Dung lượng 1,01 MB

Nội dung

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m TÍCH PHÂN SUY RỘNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx nZ on e Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định ∀x a khả tích đoạn [a, b] Khi [a, +∞) xác b định hàm số Φ(b) = a f (x)dx Giới hạn b I = lim Φ(b) = lim b→+∞ ie b→+∞ f (x)dx a hV gọi tích phân suy rộng loại hàm số +∞ f (x) [a, +∞) ký hiệu in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx a https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o on b e Định nghĩa Nếu giới hạn I = lim f (x)dx tồn hữu nZ b→+∞ a hV ie hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I không tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ in m Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Ý nghĩa hình học hV ie nZ on e Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn gới hạn x = a, trục Ox đồ thị hàm f (x) in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Ý nghĩa hình học e Chú ý nZ on Từ ý nghĩa hình học tích phân suy rộng, ta tồn giới hạn hữu hạn khác lim f (x) = A = x→+∞ hV ie f (x) khả tích đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) +∞ f (x)dx phân kỳ tích phân suy rộng in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o b Định nghĩa tích phân dạng −∞ f (x)dx nZ on e Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định ∀x b khả tích đoạn [a, b] Khi (−∞, b] xác b định hàm số Ψ(a) = a f (x)dx Giới hạn b I = lim Ψ(a) = lim a→−∞ ie a→−∞ f (x)dx a hV gọi tích phân suy rộng loại hàm số b f (x) (−∞, b] ký hiệu in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx −∞ https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o on b e Định nghĩa Nếu giới hạn I = lim f (x)dx tồn hữu nZ a→−∞ a hV ie hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I không tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ in m b Định nghĩa tích phân dạng −∞ f (x)dx Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Ý nghĩa hình học hV ie nZ on e Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ (−∞, b], giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn gới hạn x = b, trục Ox đồ thị hàm f (x) in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o +∞ Định nghĩa tích phân −∞ nZ on e Định nghĩa Nếu hàm số f (x) xác định R khả tích đoạn [a, b] ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại hàm f (x) (−∞, +∞) xác định +∞ c −∞ ie f (x)dx = +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx c hV Tích phân suy rộng gọi hội tụ hai tích phân vế phải hội tụ không phụ thuộc lẫn nhau.https://fb.com/sinhvienzonevn in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Công thức Newton-Leibnitz on e Công thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) [a, +∞) khả tích đoạn [a, b] Tích +∞ f (x)dx hội tụ nZ phân suy rộng loại a ie tồn giới hạn hữu hạn lim F (b) = F (+∞) Khi hV b→+∞ +∞ a f (x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)|+∞ a in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 10 / 64 C o Công thức Newton-Leibnitz nZ on e Công thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) khơng bị chặn x → c có ngun hàm F (x) đoạn [a, c] nguyên hàm G (x) đoạn (c, b] f (x) khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, c) [ξ, b] ⊂ (c, b] Ngoài ra, tồn giới hạn hữu hạn lim F (η) = F (c − 0) η→c − ie lim G (ξ) = G (c + 0) Khi b hV ξ→c + f (x)dx = F (c − 0) − F (a) + G (b) − G (c + 0) in m Tích phân suy rộng loại a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 55 / 64 C o Ví dụ Tính tích phân I = dx x on e Ví dụ nZ = +∞ nên x = điểm kỳ dị x→0+ x Ta thấy lim hV ie I = ln |x||10 = ln − lim ln |a| = +∞ a→0+ Như vậy, tích phân I phân kỳ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 56 / 64 Ví dụ C o Tích phân suy rộng loại Ví dụ Tính tích phân I = on −1 arccos x √ dx 1−x e 1 ie arccos xd(arccos x) = − (arccos2 x) −1 −1 hV I =− nZ arccos x Ta thấy lim √ = +∞ nên x = −1 điểm kỳ x→−1+ − x2 arccos x = dị Còn x = lim √ x→1− − x2 in π2 = − (arccos2 − lim arccos2 x) = a→−1+ 2 I hội tụ mhư vậy, tích phân https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 57 / 64 C o Ví dụ Ví dụ I = lim ε→0 a b−ε a = 1 lim ε−α+1 + (b − a)−α+1 α − ε→0 −α + hV = dx = − lim (b − x)−α+1 α ε→0 (b − x) −α + ie b−ε nZ a dx , (a < b) (b − x)α e Tính tích phân I = on b Nếu α < lim ε−α+1 = ε→0 Nếu α > lim ε−α+1 = ∞ in m Tích phân suy rộng loại ε→0https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 58 / 64 C o Ví dụ on e Nếu α = b−ε dx I = lim = − lim ln |b − x||ab−ε = ε→0 a b − x ε→0 − lim ln |ε| + ln(b − a) = ∞ nZ ε→0 Nếu α < tích phân I hội tụ Nếu α tích phân I phân kỳ hV ie Vậy in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 59 / 64 Hội tụ tuyệt đối hội tụ có điều kiện C o Tích phân suy rộng loại b on e Định lý Cho hàm f (x) |f (x)| khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, b) không bị chặn x → b − Nếu |f (x)|dx hội tụ tích phân tích phân suy rộng nZ a b ie f (x)dx hội tụ hV a in Tương tự trường hợp hàm f (x) |f (x)| khả tích đoạn [ξ, b] ⊂ (a, b] không bị + hặnkhi x → ahttps://fb.com/sinhvienzonevn m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 60 / 64 C o Hội tụ tuyệt đối hội tụ có điều kiện Định nghĩa b e |f (x)|dx hội tụ tích phân suy Nếu tích phân on a b f (x)dx gọi hội tụ tuyệt đối rộng nZ a ie Định nghĩa b b hV Nếu tích phân a f (x)dx hội tụ tích phân b a |f (x)|dx phân kỳ tích phân suy rộng f (x)dx gọi hội tụ có điều kiện in m Tích phân suy rộng loại a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 61 / 64 C o Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại e Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại 0, ∀x ∈ [a, b) (hoặc ta đưa hàm on Ta xét hàm f (x) (a, b]) trường hợp f (x) −f (x) nZ b b f (x)dx − f (x)dx hội a a hV ie tụ phân kỳ Nếu hàm f (x) có dấu thay đổi [a, b) (hoặc (a, b]) ta xét hội tụ hàm |f (x)| in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 62 / 64 C o Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại nZ on e Định lý Cho hàm số f (x) g (x) khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, b) không bị chặn x → b − Ngồi ra, với x ∈ [a, b) ln có f (x) g (x) b hV ie Khi tích phân suy rộng a g (x)dx hội tụ b tích phân a f (x)dx hội tụ, tích phân b b f (x)dx phân kỳ tích phân a a g (x)dx phân kỳ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 63 / 64 C o Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại Định lý on e Cho hàm số f (x) g (x) khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, b) không bị chặn x → b − Ngoài ra, với f (x) x ∈ [a, b) ln có f (x), g (x), lim− =λ x→b g (x) b Nếu λ = a b Nếu λ > a f (x)dx hội tụ a b g (x)dx ie b g (x)dx hội tụ nZ f (x)dx hội tụ a hV phân kỳ b kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) b g (x)dx phân kỳ Nếu λ = +∞ in m Tích phân suy rộng loại a f (x)dx phân a https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 64 / 64 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân cos2 x dx I = √ − x hV ie cos2 x cos2 x √ lim− √ = lim =∞ x→1 − x x→1− + x (1 − x)1/3 nên x = điểm kỳ dị cos2 x cos2 x cos2 1 √ √ √ = ∼ , 3 + x (1 − x)1/3 (1 − x)1/3 − x2 x → 1− Ta cóhttps://fb.com/sinhvienzonevn α = < nên I hội tụ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 65 / 64 Ví dụ Ví dụ Khảo sát hội tụ I = √ ln(1 + x) dx e sin x − e C o Tích phân suy rộng loại on in hV ie nZ √ ln(1 + x) x 1/3 lim = lim = lim =∞ x→0+ x x→0+ x 2/3 x→0+ e sin x − nên x = điểm kỳ dị √ ln(1 + x) x 1/3 ∼ = e sin x − x x 2/3 α = 23 < nên I hội tụ x → 0+ Vậy hi m https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 66 / 64 + x3 − cos e x dx hV dx dx e x −1 dx tan x − x √ on √ +∞ nZ dx x2 +∞ x arctan x ie +∞ e −x C o Bài tập Khảo sát hội tụ tích phân in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 67 / 64 C o Bài tập − cos x dx xα √ e + x − e cos x dx xα on π ie cos2 2x − e −4x dx x α tan x √ π/2 α cos x e − + cos x √ dx cos5 x √ ln + 2x − xe −x dx − cosα x hV nZ π/2 e Tìm α để tích phân sau hội tụ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 68 / 64 on e C o Bài tập hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 69 / 64 ... nên tích phân suy rộng I phân kỳ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2 013 13 / 64 C o Ví dụ e Ví dụ 1 on Tính tích phân. .. tụ tích phân suy rộng ích phân m Ví dụ C o Tích phân suy rộng loại x→+∞ x α 1 x α 1 − aα 1 a1−α = nên I = α 1 I hộihttps://fb .com/ sinhvienzonevn tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG... +∞ dx I = phân kỳ α x a hV in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2 013 18 / 64 C o Tính chất tích phân suy rộng loại

Ngày đăng: 30/01/2020, 21:47

TỪ KHÓA LIÊN QUAN