đại số tuyến tính lê xuân đại 7 anh xa tuyến tính sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 C o e on hV ie Ánh xạ tuyến tính: nhân ảnh Ma trận ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, sở số chiều nhân ảnh ánh xạ tuyến tính nZ in m Nội dung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 C o Ánh xạ Định nghĩa nZ on e Cho tập hợp tùy ý E , F = ∅ Ánh xạ f tập E , F quy tắc cho với x ∈ E tồn y ∈ F cho y = f (x) Định nghĩa hV ie Ánh xạ f gọi đơn ánh từ x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2) Ánh xạ f gọi toàn ánh ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x) Ánh xạ f gọi song ánh f đơn ánh toàn ánh in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 C o Ánh xạ tuyến tính nZ on e Định nghĩa Cho E F K -kgv Một ánh xạ f : E → F gọi tuyến tính (hay đồng cấu) ie f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E hV Ta ký hiệu tập hợp ánh xạ tuyến tính từ E vào F L(E , F ) in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 C o Ví dụ e Ví dụ on Ánh xạ f : R2 → R3 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) ánh xạ tuyến tính hV ie nZ ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y) in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 C o Ví dụ on e ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) nZ Ví dụ hV ie Ánh xạ f : R2 → R2 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x12 − x2, x2) không ánh xạ tuyến tính Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x12 − λx2, λx2) = λ(2x12 − x2, x2), λ = in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 e C o Ví dụ hV ie nZ on Định nghĩa Cho E K -kgv Một ánh xạ f : E → E gọi tự đồng cấu E f ánh xạ tuyến tính in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 C o Nhân ảnh e Định nghĩa Cho K -kgv E F , f ∈ L(E , F ), Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) nhân ánh xạ f Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) ảnh ánh xạ f on ie nZ hV Định lý Cho K -kgv E F , f ∈ L(E , F ), Im(f ) không gian véctơ F Ker (f ) https://fb.com/sinhvienzonevn không gian véctơ E in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 ie nZ on e C o Nhân ảnh hV in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 67 on e C o Nhân ảnh hV ie nZ Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) hạng ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) dim(Ker (f )) số khuyết f in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 10 / 67 C o Ví dụ hV ie nZ on e Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định f (x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2, 2x1 + x2) Trong R2 xét sở B = {e1 = (1, 2), e2 = (3, 4)}, B = {e1 = (1, 3), e2 = (2, 5)}, R3 xét sở C = {f1 = (1, 0, 1), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 1, 1)}, C = {f1 = (1, 1, 2), f2 = (1, 2, 1), f3 = (1, 1, 1)} Tìm ma trận ánh xạ f cặp sở B C in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 53 / 67 C o Ví dụ on S= e Ma trận chuyển sở từ B sang B − 21 − 12 hV ie nZ Ma trận chuyển sở từ C sang C   1 P =0 1 0 in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 54 / 67 C o Ví dụ cặp sở B, C  −1 −2  10 on e Ma trận AXTT f  −1 A= nZ Ma trận AXTT f cặp sở B , C −1   1 −1 −1 A = P −1 AS =    −2  0 10   = 13  23 − 15 https://fb.com/sinhvienzonevn −2 − 12 − 12 hV ie  in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 55 / 67 = C o Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác hV ie nZ on e Xét trường hợp f : E → E , f ∈ L(E ) với E K -kgv Giả sử B = {e1, e2, , en }, B = {e1, e2, , en } sở E A = MatB (f ), A = MatB (f ) Giả sử S = Pass(B, B ) ma trận chuyển sở từ B sang B Khi ta có A = S −1AS in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 56 / 67 C o Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác on e Định nghĩa Hai ma trận A A gọi ma trận đồng dạng A = S −1AS hV ie nZ Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E A ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B A ma trận ánh xạ tuyến tính sở B Khi A, A đồng dạng với in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 57 / 67 C o Ví dụ ie nZ on e Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận ánh xạ tuyến tính f sở −3 B = {(1, 0), (1, 1)} A = Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B = {(0, 1), (2, 1)} hV Áp dụng cơng thức, ta có ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B A = S −1AS S ma trậnhttps://fb.com/sinhvienzonevn chuyển từ sở B vào B in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 58 / 67 C o Ví dụ nZ on e Tìm S (0, 1) = s11(1, 0) + s21(1, 1) ⇒ (2, 1) = s12(1, 0) + s22(1, 1) s11 = −1; s21 = s21 = 1; s22 = −1 − 12 −1 Vậy S = ⇒S = 1 Từ A = S −1 AS = 1 2 ie hV −2 2 in m Ma trận ánh xạ tuyến tính −3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −1 1 = − 12 https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 59 / 67 C o Định lý hạng ma trận ánh xạ tuyến tính Định lý hạng ma trận ánh xạ tuyến tính hV ie nZ on e Định lý Cho K -kgv E F , f : E → F ánh xạ tuyến tính Giả sử A ∈ Mm×n (K ) ma trận f cặp sở B = {e1, e2, , en } ⊂ E C = {f1, f2, , fm } ⊂ F tức A = MatBC (f ) Khi ta có Im(f ) =< f (e1), f (e2), , f (en ) >, in m Ma trận ánh xạ tuyến tính rank(f ) = rank(AT ) = rank(A) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 60 / 67 e C o Định lý hạng ma trận ánh xạ tuyến tính hV ie nZ on Chứng minh Im(f ) =< f (B) >=< f (e1), f (e2), , f (en ) > ⇒ rank(f ) = dim(Im(f )) = = rank([f (e1)]TC , [f (e2)]TC , , [f (en )]TC ) = rank(A1∗, A2∗, , An∗) = rank(AT ) = rank(A) Vậy rank(f ) = dim(Im(f )) = rank(A) in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 61 / 67 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 xác định f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − 2x2 + x3 − x4, x1 + 2x2 + x3 + x4, 2x1 + 2x3) Tìm sở, số chiều Im(f ) hV ie Chọn sở tắc B = {e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)} C = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1)} in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 62 / 67 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ  −2 −1 A = MatBC (f ) =  1  2 Imf =< f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) > không gian sinh hàng ma trận AT     1 1      −2  0 1 T A = →   1 2 0 0 −1 0 0 hV ie nZ on e C o  in Vậy sở Im(f ) (1, 1, 2), (0, 1, 1) im (Im(f )) = 2https://fb.com/sinhvienzonevn m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 63 / 67 C o Định lý nhân ánh xạ tuyến tính ie nZ on e Định lý Cho K -kgv E F , f : E → F ánh xạ tuyến tính Giả sử A ∈ Mm×n (K ) ma trận f cặp sở B = {e1, e2, , en } ⊂ E C = {f1, f2, , fm } ⊂ F tức A = MatBC (f ) Khi tọa độ x ∈ Ker (f ) sở B nghiệm hệ phương trình A[x]B = hV x ∈ E , x ∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = ⇔ [f (x)]C = ⇔ A[x]B = Vậy tọa độ x ∈ Ker (f ) sở B nghiệm củahttps://fb.com/sinhvienzonevn hệ phương trình A[x]B = in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 64 / 67 C o Ví dụ hV ie nZ on e Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết ma trận f sở B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 1)}   AB =   Tìm sở, số chiều Ker (f ) in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 65 / 67 C o Ví dụ nZ on e x ∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = ⇔ [f (x)]B = ⇔ AB [x]B = Giả sử [x]B = (x1, x2, x3)T Khi        x1 x1 α    x2  = ⇔  x2  =  −2α  x3 x3 α hV ie ⇒ x = x1e1 + x2e2 + x3e3 = = α(1, 0, 0) − 2α(1, 0, 1) + α(1, 1, 1) = = (0, α, −α) = α(0, 1, −1) Vậy (0, 1, −1) sở Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 66 / 67 on e C o Ví dụ hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 67 / 67 ... thuộc tuyến tính f (M) phụ thuộc tuyến tính Nếu f (M) độc lập tuyến tính M độc lập tuyến tính ie hV in m Khái niệm tổng quát TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH... xạ tuyến tính: nhân ảnh Ma trận ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, sở số chiều nhân ảnh ánh xạ tuyến tính nZ in m Nội dung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH... m Ma trận ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 32 / 67 C o Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính nZ on e Giả