Bài toán ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến tính

Bài toán ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến tính

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

2.1 Mục đích nghiên cứu 2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 4

1.1.Phương trình vi phân 4

1.2 Lý thuyết ổn định phương trình vi phân 6

1.3.Phương pháp hàm Lyapunov 13

1.4 Bài toán ổn định hóa 17

1.4.1 Ổn định hóa phản hồi trạng thái 17

1.4.2 Ổn định hóa phản hồi đầu ra 24

1.5 Một số bổ đề cơ bản 26

Chương 2: ỔN ĐỊNH HÓA PHẢN HỒI ĐẦU RA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27

2.1 Điều kiện cần và đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu ra bằng tiếp cận bất đẳng thức ma trận 27

2.2 Ổn định hóa phản hồi đầu ra và phản hồi trạng thái hệ tuyến tính có trễ 31

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

: không gian véc tơ tuyến tính thực n chiều với ký hiệu tích

vô hướng là , và chuẩn véc tơ là ;

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới xuất hiện và phát triển trong những thập kỷ gần đây Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lí thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý toán, kỹ thuật, kinh tế, Một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó Bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov, từ những năm 60 của thế kỉ XX, song song với sự phát triển của lý thuyết điều khiển và do nhu cầu nghiên cứu các tính chất chất định tính của hệ thống điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu các tính chất ổn định của hệ thống điều khiển hay còn gọi là ổn định hóa của

hệ Trải qua quá trình nghiên cứu và phát triển, đến nay lý thuyết ổn định, ổn định hóa các hệ phương trình vi phân đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc lập và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng, điều khiển kỹ thuật, kinh tế,

Trong thực tế, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đế các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng:

trong đó x  là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u  là biến điều khiển

mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống Các đối tượng điều khiển trong mô hình điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động ở

mức độ này hay mức độ khác có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống

Một trong những mục đích quan trọng của của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho hệ thống đầu ra có tính chất mong muốn Vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển là tìm các hàm điều khiển phản hồi (feedback controls) sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó trở thành hệ thống ổn định được tại trạng thái cân bằng

Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số điều kiện đảm bảo tính ổn định và ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến

tính và hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về bài toán ổn định hóa phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái và ổn định hóa phản hồi đầu ra

- Trình bày một số kết quả về ổn định hóa phản hồi đầu ra các hệ phương trình vi phân tuyến tính

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của lý thuyết điều khiển và lý thuyết ổn định

- Kế thừa phương pháp và kết quả của Lyapunov

4 Bố cục của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương và tài liệu tham khảo Cụ thể là: Chương 1: Cơ sở toán học

Chương 2: Ổn định hóa phản hồi đầu ra các hệ phương trình vi phân tuyến tính

Chương một trình bày một số kiến thức về phương trình vi phân, ổn định phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov và đặc biệt

là bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái và ổn định hóa phản hồi đầu ra

Trong chương hai chúng tôi xin giới thiệu và chứng minh một số định

lý cơ bản về điều kiện cần và đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu ra bằng phương thức tiếp cận bất đẳng thức ma trận, ổn định hóa phản hồi trạng thái

và ổn định hóa đầu ra cho hệ tuyến tính có trễ

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo GS TSKH Vũ Ngọc Phát, nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Viện Toán học và trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy em trong quá trình học cao học Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa sau đại học trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ tạo điều khiện cho tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè đồng nghiệp đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov, bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính có trễ dựa trên các tài liệu  1 ,  2 ,  4

ii, x t thỏa mãn phương trình vi phân   1.1 

Giả sử hàm f t x liên tục trên  ,  I D, khi đó nghiệm x t cho bởi  

 1  2 1 2

K  f t x  f t x K x x  t Khi đó với mỗi t x0, 0 I D sẽ tìm được số d 0sao cho 1.1 luôn 

có nghiệm duy nhất trên khoảng t0d t, 0d Hay nói cách khác, qua mỗi 

điểm t x0, 0 I D có một và chỉ một đường cong tích phân chạy qua

Định lý sau đây, với giả thiết nhẹ hơn, cho sự tồn tại nghiệm đối với một lớp các hệ phương trình vi phân tương đối phổ biến và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết điều khiển

1.1.2 Định lý (Định lý Caratheodory)

Giả sử f t x ,  là hàm đo được theo tI và liên tục theo  x D nếu

tồn tại hàm khả tích m t trên   t t0, 0b sao cho 

f t x ,  m t , t x,  I D .Khi đó hệ 1.1 có nghiệm trên khoảng  t t0, 0 nào đó

Định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không duy nhất

Bây giờ ta xét một số trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân:

 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ô tô nôm

Hệ phương trình vi phân tuyến tính ô tô nôm dạng:

 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô tô nôm

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô tô nôm dạng

t t I t

1.2 Lý thuyết ổn định phương trình vi phân

1.2.1 Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

của bài toán Cauchy hệ 1.5 với điều kiện ban đầu x t 0  x0, t0 luôn 0

có nghiệm Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức

suốt thời gian t t0

Giả sử x  là một nghiệm ổn định của 1.5 , xét phương trình 

 ,   , 

xx  f t x  f t x Đặt y x x thì phương trình trên trở thành

phương trình vi phân dạng yg t y ,  với giả thiết g t ,0 0

Giả sử x  là một nghiệm của 0 1.5 ta định nghĩa: 

Nghiệm x  của hệ 0 1.5 được gọi là ổn định nếu    0,  đều t0 0tồn tại   ,t0 sao cho mọi nghiệm x t t x , ,0 0 của hệ thỏa mãn

Nghiệm x 0 của hệ 1.5 gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và 

hơn nữa với mỗi t  tồn tại 0 0  t0  sao cho với mọi 0 x   thỏa mãn 0 n

Nghiệm x 0 của 1.5 là ổn định mũ nếu tồn tại các số  M 0,  0

sao cho mọi nghiệm của hệ 1.5 với  x t 0  x0 thỏa mãn

   0

0,

t t

x t Me    t t

Vậy khi nghiệm x  của hệ 0 1.5 ổn định mũ thì nó là ổn định tiệm cận và 

mọi nghiệm ổn định tiệm cận của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số

mũ Để ngắn gọn, từ sau đây từ sẽ nói hệ 1.5 ổn định thay cho nghiệm 

  0

x  của hệ là ổn định

trong đó A là n n  ma trận Nghiệm của hệ 1.7 xuất phát từ trạng thái 

ban đầu x t cho bởi  0

   0

0 A t t , 0

x t x e  t  t

1.2.2.1 Định lý (Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov)

Hệ 1.7 là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là:

Hệ 1.7 là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận  Y đối

xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác

định dương X

Chứng minh:

Giả sử LE có nghiệm là ma trận  X 0 với Y 0 Với x t là một  

nghiệm tùy ý của 1.7 với  x t 0 x t0, 0 , ta xét hàm số

 XA A X x t T     ,x t

Ta sẽ chứng minh rằng Re 0,    A Thật vậy, giả sử có một

số 0 A mà Re00, lấy x0 n ứng với giá trị riêng 0 này, thì nghiệm của hệ 1.7 sẽ cho bởi 

vì Re0, vô lý với điều kiện 1.8 

Ngược lại, giả sử Re0,    A Với bất kì ma trận Y đối xứng

xác định dương, xét phương trình ma trận sau đây

A I

i i

vào đó nó thỏa mãn điều kiện :

Vậy hàm V x y là hàm Lyapunov và thỏa mãn điều kiện  ,  iii trong định ,

nghĩa 1.3.1 nên hệ phương trình  1.12 ổn định đều 

 Xét hệ phi tuyến không ô tô nôm :

Hàm  , :n

V t x R gọi là hàm Lyapunov nếu :

i, V t x ,  là hàm xác định dương theo nghĩa

1.3.3 Định lý  4

Nếu hệ phi tuyến không ô tô nôm 1.13 có hàm Lyapunov thì hệ là ổn 

định Nếu có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm cận

1.4 Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân :

u thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn  0;t và lấy giá trị

trong m u  L2  0; ,t m,t 0 gọi là hàm điều khiển chấp nhận được của hệ 1.15 

1.4.1 Ổn định hóa phản hồi trạng thái

Trong trường hợp hệ 1.15 là hệ tuyến tính  x AxBu thì hệ là ổn

định hóa được nếu tồn tại ma trận K sao cho với điều khiển được phản hồi

trạng thái u Kx thì hệ x AxBKx là ổn định tiệm cận Điều đó tương

đương với tìm ma trận K sao cho ma trận ABK là ổn định, tức là,

Sau đây là một số tiêu chuẩn cơ sở để hệ là ổn định hóa được theo điều khiển trạng thái:

1.4.1.2 Định lý  2

Hệ x AxBu là điều khiển được hoàn toàn về 0 nếu

1, , , n

Giả sử 1.16 là điều khiển được hoàn toàn về 0  GNC , (không mất 

tính tổng quát ta giả sử t  ), khi đó sẽ có một số 0 0 T  sao cho ma trận 0

L e BB e dt

là không suy biến Lấy bất kì T1T và đặt



  T T

K T B L

Ta chứng tỏ rằng K chính là ma trận điều khiển ngược cần tìm Tức là với

điều khiển ngược

  T T

u t TB L x t

thì hệ 1.16 là ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận  ABK là ổn định Để làm được điều này, lấy hàm Lyapunov dạng

1,

T

T BB e BB C dt

Ta thấy hệ x Ax là ổn định, do đó hệ ổn định hóa được với K 0 Tuy nhiên hệ không GNC vì

có nghiệm xác định dương đều P t 0,Q 0 và P t bị chặn đều Điều  

khiển phản hồi trạng thái là

t t

Hãy xem xét các ma trận thực  m n và F m n sao cho   Tvà

F dòng có hạng đầy đủ F là trực giao bổ sung của F là (có thể không phải

duy nhất) được xác định là ma trận cột với bậc lớn nhất thỏa mãn FF  0

và FT F  Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương: 0

2 Có tồn tại một đại lượng vô hướng  sao cho   F F T 0;

3 Điều kiện sau đây có hiệu lực: FTF  0

x s Rx s ds x s ds R x s ds



ra đạt được mong muốn nhất định là một vấn đề khó khăn Một lý do để thông tin phản hồi đầu ra nhận được nhiều sự chú ý đó là nó đại diện cho các điều khiển khép kín đơn giản nhất mà có thể thực hiện trong thực tế Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các điều kiện cần và đủ tính ổn định hóa phản hồi đầu ra ổn định bằng cách tiếp cận bất đẳng thức ma trận

Ta biết rằng ngay cả một hệ tuyến tính đơn giản với một trễ duy nhất cũng đặt ra những khó khăn và hạn chế cho việc thiết kế một bộ điều khiển đầu ra ổn định Một câu hỏi là làm thế nào để thiết kế một thông tin phản hồi đầu ra tĩnh (SOF) hoặc một đầu ra động (DOF) để ổn định hệ thống với một trễ trạng thái/đầu vào chưa biết Trong mục 2.2 trình bày một phương pháp ổn định hóa phản hồi đầu ra cho hệ tuyến tính có trễ, dựa trên các bài báo

u   là vector điều khiển, y   là các m

vector đầu ra, n n , n m , l n

A B C là các ma trận hằng số Tất cả hệ thống xem xét ở đây được giả định là ổn định hóa phản hồi trạng thái Ổn

định hóa phản hồi đầu ra là vấn đề tìm thông tin phản hồi đầu ra

  m l

u Fy F sao cho các hệ thống khép kín c:xABFC x là ổn định tiệm cận

2.1.1 Định lý  6

Hệ 2.1 là ổn định hóa phản hồi đầu ra u Fy khi và chỉ khi:

i, Hệ 2.1 là ổn định hóa được và tồn tại ma trận  L n l sao cho ma trận ALC ổn định 

ii, Tồn tại ma trận thực F và G sao cho

Để chứng minh điều kiện cần, giả sử có ABFC là ổn định cho F

nào đó Khi ấy A B là ổn định hóa từ đó A,  BK là ổn định vì K FC và

A C là nhận ra từ đó A,  LC là ổn định vì ta chỉ cần lấy LBF

Bây giờ thử lại  i Vì , ABFC là ổn định, tồn tại duy nhất ma trận

đối xứng không âm P sao cho :

từ đó xác lập GFCB P T kéo theo  ii đã được chứng minh ,

Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử có  i và ,  ii ,Thay  ii vào , 2.2 ta thấy thỏa mãn Từ   i với , A C có thể nhận , 

thấy kéo theo ALC là ổn định với L nào đó Viết được:

tại P  sao cho: 0

ABFCT PP A BFC 0Rất dễ dàng tìm thấy một đại lượng vô hướng   sao cho: 0

rõ ràng phương trình 2.4 tương đương với 

2.2 Ổn định hóa phản hồi đầu ra và phản hồi trạng thái hệ tuyến tính có trễ

Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ sau:

d  là độ trễ hằng, khi t  d,0, hàm ban đầu  t là là hàm liên tục trên

Biểu diễn độ trễ d rh0, trong đó r được chọn là một số nguyên dương và h được chọn thể hiện một phân vùng trễ d với độ rộng tương

đương Xây dựng hàm Lyapunov - Krasovskii với ma trận P10,R0,0

rh t

t j h r

Đối với một số nguyên dương cố định r, hệ 2.7 là ổn định hóa với 

phản hồi đầu ra uKy nếu tồn tại các ma trận P10,P2 0, R0, Q  j 0

 j1, ,r và một vô hướng   thỏa mãn:

1

, , ;0

rd diag R R P