Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI-2019 Luận án hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trần Thị Loan Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Phản biện 2: GS.TS Cung Thế Anh, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội Vào hồi ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Được nghiên cứu cách có hệ thống từ cơng trình A.M Lyapunov vào cuối kỉ XIX, trải qua lịch sử 100 năm, đến lý thuyết chủ đề nghiên cứu quan trọng, góp phần giải nhiều vấn đề đặt từ thực tiễn ứng dụng học, vật lý, hóa học, sinh thái học, trí tuệ nhân tạo v.v Nhiều mơ hình thực tiễn, từ kinh tế, môi trường đến mơ hình sinh thái học, vật lý, hóa học, học, điều khiển tự động v.v mô tả phương trình vi phân có trễ Sự xuất độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm ảnh hưởng đến tính ổn định hệ, đặc tính quan trọng có tính phổ dụng mơ hình ứng dụng Bên cạnh đó, cấu trúc vô hạn chiều không gian pha, việc nghiên cứu định tính hệ có trễ trở nên khó khăn phức tạp nhiều so với hệ phương trình vi phân thường tương ứng Vì vậy, chủ đề nghiên cứu tính ổn định ứng dụng mơ hình điều khiển hệ phương trình vi phân có trễ vấn đề nghiên cứu thu hút quan tâm giới toán học kỹ sư vài thập kỉ gần Mơ hình mạng nơron (neural networks) xuất sớm, vào khoảng cuối thập niên 1800, nhà khoa học muốn tìm hiểu chức ý thức não lồi người với mong muốn thiết kế máy tính hoạt động giống chức não bộ, có khả học thơng qua sở liệu, lưu trữ kinh nghiệm sử dụng tình phù hợp Ngày nay, khái niệm mạng nơron nhân tạo (artificial neural networks) biết đến cách rộng rãi nhiều ứng dụng công nghệ, đặc biệt lĩnh vực trí tuệ nhân tạo Trong việc mơ hình hóa tốn học, mạng nơron mơ tả phương trình trạng thái thơng qua hệ phương trình vi phân phi tuyến Mặc dù nhiều kết nghiên cứu, lý thuyết ứng dụng, mơ hình mạng nơron cơng bố khoảng hai thập kỉ gần đây, lĩnh vực nghiên cứu định tính dáng điệu nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ mơ tả mạng nơron mối quan tâm lớn giới toán học kỹ sư Nhiều vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu phát triển, với mơ hình có cấu trúc tổng quát sát với thực tiễn Đây lí động lực chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ số mơ hình mạng nơron luận án Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định mũ tồn cục mạng nơron Hopfield khơng ơ-tơ-nơm chứa trễ biến thiên không đồng tác động xung bất ổn định Trạng thái nhiều trình tự nhiên thường bị tác động yếu tố “nhiễu” thay đổi đột ngột số thời điểm mà ta gọi thời điểm xung trạng thái Các mơ hình mơ tả hệ phương trình vi phân chứa xung Ngồi đặc tính cấu trúc hệ, yếu tố cường độ (intensity), tức độ lớn bước nhảy giá trị thời điểm xung, tần suất thời điểm xung v.v ảnh hưởng lớn đến dáng điệu nghiệm hệ, chí thay đổi hồn tồn tính chất định tính nghiệm so với hệ khơng có xung tương ứng Các cơng trình cơng bố liên quan đến tính ổn định mạng nơron chứa xung chủ yếu đề cập đến mơ hình với trọng số kết nối số hàm kích hoạt khơng phụ thuộc tường minh vào thời gian (mơ hình ơ-tơ-nơm) Rất cơng trình cơng bố xét đến tính ổn định mạng nơron khơng ơ-tơ-nơm với trễ biến thiên không đồng hiệu ứng xung Trong Chương luận án, chúng tơi xét mơ hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ xung bất ổn định có dạng sau n x′i (t) = −di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n + j=1 ∆xi (tk ) bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), t > 0, t = tk , (1) − − xi (t+ k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N Dựa việc phát triển số kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi phân, chúng tơi thiết lập điều kiện thơng qua tính chất M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ tồn cục hệ (1) 2.2 Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn Trễ tỉ lệ loại trễ đặc biệt lớp trễ biến thiên không bị chặn, sử dụng nhiều việc mô hình hóa hệ động lực học lĩnh vực điều khiển hệ thống có cấu trúc mạng Do cấu trúc nhiều tầng (multi-layers), q trình xử lí truyền tín hiệu tầng thường mơ tả tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian Cụ thể hơn, mạng nơron với trễ tỉ lệ sử dụng để mơ tả mơ hình ứng dụng đó, động lực hệ thời điểm t xác định trạng thái x(t) x(qt), < q < số diễn tả tỉ số thời gian trạng thái trạng thái khứ Vì qt = t − τ (t) với τ (t) = (1 − q)t → ∞ t → ∞, hàm trễ τ (t) xác định số q gọi trễ tỉ lệ Gần đây, mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ nhận quan tâm nghiên cứu lớn tác giả nước Bên cạnh khó khăn tính biến thiên, khơng bị chặn, vấn đề nghiên cứu định tính hệ có trễ tỉ lệ thường khó xử lí lớp trễ khác nhiều cách tiếp cận truyền thống khơng áp dụng Với mơ hình ơ-tơ-nơm khơng có xung, cách tiếp cận phổ biến sử dụng phương pháp đổi biến kết hợp với phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii cách tiếp cận bất đẳng thức ma trận tuyến tính Tuy nhiên, phương pháp khó áp dụng cho hệ nơron với trễ tỉ lệ ảnh hưởng nhiễu xung trạng thái Nói cách khác, tốn phân tích tính ổn định mạng nơron với trễ tỉ lệ ảnh hưởng xung, đặc biệt xung khơng đồng nhất, đòi hỏi phải phát triển công cụ kĩ thuật đặc thù Có thể lí này, kết nghiên cứu chủ đề công bố Cũng Chương luận án, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa đối mơ hình mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ n n x′i (t) = −di xi (t) + bij gj (xj (qt)) + ui (t), t = tk , aij fj (xj (t)) + j=1 j=1 (2) − − ∆xi (tk ) = xi (t+ k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N, tác động đồng thời xung ổn định xung bất ổn định Một luật điều khiển phản hồi trạng thái dạng ui (t) = −ki xi (t), i ∈ [n], hệ số phản hồi ki , i ∈ [n], giới hạn khoảng xác định cho trước Dựa lý thuyết M-ma trận việc phát triển số kĩ thuật so sánh mới, đưa điều kiện ổn định dạng mũ suy rộng hệ (2) 2.3 Nghiệm dương tính ổn định mũ điểm cân dương mơ hình mạng nơron qn tính đa trễ biến thiên Khác với mơ hình mạng nơron cổ điển, động lực hệ xác định đạo hàm cấp trạng thái, mạng nơron qn tính (viết tắt INNs) mơ tả hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp hai Khái niệm có nguồn gốc từ tốn mơ hình dao động học Việc đưa số hạng qn tính vào mơ hình mạng INNs có tảng kỹ thuật sinh học Mặt khác, số hạng quán tính gây nhiều khó khăn cho tốn phân tích dáng điệu tiệm cận mơ hình INNs có trễ Vấn đề chủ đề thu hút quan tâm lớn cộng đồng nhà nghiên cứu nước vài năm gần Các hệ dương nói chung, mạng nơron dương (PNNs) nói riêng sử dụng để mô tả động lực nhiều lớp hệ tự nhiên kĩ thuật mà biến trạng thái ln khơng âm đặc tính tự nhiên chúng Rất kết nghiên cứu tính ổn định mạng nơron dương có trễ cơng bố Trong Chương 3, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định mũ tồn cục điểm cân dương mơ hình mạng nơron qn tính có trễ biến thiên d2 xi (t) dxi (t) = − a − bi xi (t) + i dt2 dt n cij fj (xj (t)) j=1 n + j=1 dij fj (xj (t − τj (t))) + Ii , t ≥ 0, i ∈ [n] (3) Dựa việc phát triển kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi phân sử dụng cho hệ dương, chúng tơi tìm mối liên hệ hệ số tắt dần, hệ số tự kích thích trọng số kết nối đảm bảo tính dương hệ (3) Dựa điều kiện đưa ra, sau chứng minh tồn điểm cân dương ổn định mũ mơ hình (3) 2.4 Nghiệm dương tính ổn định mũ mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên khơng đồng Mạng nơron mơ hình nhớ hai chiều kết hợp (BAM) giới thiệu vào năm 1987 Kosko Thuật ngữ “hai chiều” dùng để hai dòng thông tin theo chiều tiếp nhận xuôi (forward) truy xuất ngược (backward) trình tìm kiếm hai chiều liệu cặp Mơ hình mạng BAM có nhiều ứng dụng nhận dạng mẫu hay truyền tải liệu xử lí ảnh Tuy vậy, nghiên cứu mạng BAM dương có trễ nói chung, tồn tính ổn định điểm cân dương nói riêng biết đến Trong Chương chúng tơi nghiên cứu tồn tồn cục nghiệm dương tính ổn định điểm cân dương mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên sau m x′i (t) = −αi ϕi (xi (t)) + yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) + m aij fj (yj (t)) + j=1 n j=1 n cji gi (xi (t)) + i=1 i=1 bij fj (yj (t − σj (t))) + Ii , (4) dji gi (xi (t − τi (t))) + Jj (5) Trong mơ hình (4)-(5), tốc độ suy giảm trạng thái nơron hàm phi tuyến ϕi (xi ) ψj (xj ) Một cách tiếp cận có hệ thống thông qua bất đẳng thức vi phân kết hợp với định lí điểm bất động Brouwer lý thuyết M-ma trận, điều kiện LP đưa đảm bảo tồn điểm cân dương ổn định mũ hệ (4)-(5) Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng kết hợp công cụ giải tích, phương trình vi phân thường, giải tích ma trận, nguyên lí so sánh bất đẳng thức vi phân tích phân số cơng cụ nghiên cứu lý thuyết điều khiển tốn học Đặc biệt, luận án phát triển số kĩ thuật so sánh để thiết lập điều kiện ổn định thông qua lý thuyết M-ma trận Các điều kiện biểu diễn tốn LP giúp cho việc kiểm tra tính khả dụng nhiều cơng cụ tính tốn sẵn có cách hiệu Kết đạt luận án Luận án đạt kết sau Thiết lập điều kiện đủ thông qua tính chất phổ M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ tồn cục (theo nghĩa đồng hóa) mơ hình mạng nơron Hopfield khơng ơ-tơ-nơm với trễ biến thiên không đồng tác động xung bất ổn định Đưa đánh giá mũ suy rộng (dạng lũy thừa) mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ tác động đồng thời xung ổn định xung bất ổn định có cường độ phân phối kiểu tuần hồn Chứng minh tính dương đưa điều kiện cho tồn điểm cân dương ổn định mũ mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên Thiết lập điều kiện cho tồn điểm cân dương ổn định mũ lớp hệ dương phi tuyến mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng Các kết công bố 04 báo tạp chí quốc tế danh mục ISI/Scopus Cấu trúc luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục cơng trình cơng bố danh mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm chương • Chương giới thiệu sơ lịch sử mơ hình tốn học mạng nơron, tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân chứa xung, lý thuyết hệ dương số kết bổ trợ khác • Chương nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa dạng mũ hai lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield có trễ tác động dãy xung bất ổn định xung phân phối kiểu tuần hồn • Chương trình bày kết nghiên cứu tính dương tồn điểm cân dương ổn định mũ lớp phương trình vi phân mơ hình mạng nơron qn tính chứa trễ biến thiên bị chặn • Chương nghiên cứu tồn điểm cân dương ổn định mũ lớp hệ dương phi tuyến mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên khơng đồng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày mơ hình tốn học mạng nơron sinh học từ quan điểm hệ động lực; số kiến thức giải tích ma trận, phương trình vi phân thường, phương trình vi phân chứa xung, lý thuyết ổn định theo Lyapunov; sơ lược hệ dương số kết bổ trợ làm sở cho việc trình bày nội dung luận án chương sau 1.1 Mơ hình động lực học mạng nơron sinh học tổng quát Mục giới thiệu sơ lịch sử mơ hình tốn học mạng nơron từ quan điểm hệ động lực 1.2 Cở sở tốn học 1.2.1 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov Mục giới thiệu sơ lược hệ phương trình vi phân hàm, tồn nghiệm, số khái niệm ổn định theo Lyapunov Định lí Lyapunov-Krasovskii 1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung Mục trình bày sơ lược hệ phương trình vi phân hàm chứa xung, tồn nghiệm số định lí ổn định nghiệm 1.2.3 Hệ dương Mục trình bày sơ lược hệ tuyến tính dương kết tính ổn định hệ dương phi tuyến 1.2.4 Một số kết bổ trợ Mục giới thiệu số khái niệm, tính chất M-ma trận, đạo hàm Dini, trường vectơ bảo toàn thứ tự, ánh xạ đồng phôi số kết khác Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CÓ TRỄ VỚI XUNG BIẾN THIÊN Phần thứ chương trình bày kết nghiên cứu tính ổn định mạng nơron Hopfield khơng ô-tô-nôm (hệ số phụ thuộc thời gian) với trễ bị chặn dãy xung bất ổn định Trong phần sau chương, thiết lập đánh giá mũ suy rộng cho mơ hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ tác động đồng thời xung ổn định xung bất ổn định với cường độ xung phân phối kiểu tuần hồn 2.1 Ví dụ mở đầu 2.2 Mơ hình mạng nơron Hopfield khơng ơ-tơ-nơm chứa trễ xung bất ổn định Phương trình trạng thái n x′i (t) = −di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n + j=1 ∆xi (tk ) bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), − − xi (t+ k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), xi (t) = φi (t), t > 0, t = tk , (2.1) t = tk , k ∈ N, t ∈ [−τ, 0], i ∈ [n] (A2.1) Các ma trận D(t) = diag(d1 (t), , dn (t)), A(t) = (aij (t)), B(t) = (bij (t)) liên tục + khoảng (tk , tk+1 ) tồn số dˆi , a+ ij , bij thỏa mãn di (t) ≥ dˆi > 0, |aij (t)| ≤ a+ ij , |bij (t)| ≤ b+ ij , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n] (A2.2) Các hàm kích hoạt nơron fj , gj , j ∈ [n], thỏa mãn − ≤ ljf fj (a) − fj (b) + ≤ ljf , a−b − ljg ≤ − + − + ljf , ljf , ljg ljg số gj (a) − gj (b) + ≤ ljg , a−b ∀a, b ∈ R, a = b, (A2.3) Tồn dãy số dương (γk )k∈N cho − γk ≤ σik ≤ + γk , i ∈ [n], k ∈ N Chúng thiết kế luật điều khiển phản hồi trạng thái kiểu địa phương dạng (2.9) ui (t) = −ki xi (t), i ∈ [n], để ổn định hóa hệ (2.7), ki , i ∈ [n], hệ số điều khiển Hệ đóng (2.7) cho x′ (t) = −Dc x(t) + Af (x(t)) + Bg(x(qt)), t = tk , x(t+ k) = Jk x(t− k ), (2.10) k ∈ N, ma trận cho Dc = diag(di + ki ), A = (aij ), B = (bij ), Jk = diag(1 − σik ) hàm vectơ f (x(t)) = (fj (xj (t))), g(x(qt)) = (gj (xj (qt))) 2.4.1 Tính ổn định mũ suy rộng hệ đóng (2.10) Định nghĩa 2.4.1 Hệ (2.10) gọi ổn định mũ suy rộng tồn số dương κ hàm tăng σ(t) > 0, σ(t) → ∞ t → ∞, cho nghiệm x(t) = x(t; x0 ) hệ (2.10) thỏa mãn điều kiện x(t) ≤ κ x0 e−σ(t) , t ≥ t0 Chúng tơi kí hiệu ma trận Kc = diag(ki ), |A| = (|aij |), |B| = (|bij |) ⊤ M = −2Dc + sym(|A|Lf ) + θ−1 |B|Lg L⊤ g |B| , θ > Định lí 2.4.1 Với giả thiết (A2.2), (A2.3) (A2.5), giả sử tồn số dương α θ thỏa mãn (2.11a) M + αEn < 0, (2.11b) α > pθ, M i=1 p = M i=1 2rj −2qi N j=1 µj ρi ln(ρi ) + τis N j=1 ln(µj ) = 0, τju (2.11c) Khi đó, hệ (2.10) ổn định mũ suy rộng Cụ thể hơn, tồn số σ > cho nghiệm x(t) = x(t; x0 ) hệ (2.10) thỏa mãn x(t) ≤ √ p σ (1 + qt0 )σ x0 e− ln(1+t) , t ≥ t0 (2.12) Áp dụng bổ đề Schur, điều kiện (2.11a) (2.11b) viết lại dạng −2Dc + sym(|A|Lf ) + αEn |B|Lg Lg |B|⊤ −θEn 11 < 0, (2.13a) pθ − α < (2.13b) Xét trường hợp đặc biệt mơ hình (2.7) với hiệu ứng xung kiểu “luân phiên” x(t) ˙ = −Dx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(qt)), t = kTs , x(t+ k) = γk x(t− k ), (2.14) với Ts > chu kì xung Giả sử tồn số γ∗ , < |γ∗ | = 1, cho γ2k+1 = γ∗ γ2k+2 = γ∗−1 với k ∈ N0 Rõ ràng, giả thiết (A2.5) thỏa mãn với t > s ≥ t0 t−s t−s − ≤ Nγ∗ (t, s) ≤ + 1, 2Ts 2Ts t−s t−s − ≤ Nγ −1 (t, s) ≤ + ∗ 2Ts 2Ts Từ Định lí 2.4.1, chúng tơi có kết sau Định lí 2.4.2 Giả sử giả thiết (A2.2), (A2.3) (A2.5) thỏa mãn Khi đó, hệ (2.14) ổn định mũ suy rộng tồn θ > thỏa mãn điều kiện θ max γ∗2 , γ∗2 (2.15) + m < 0, ⊤ m = λmax −2D + sym(|A|Lf ) + θ−1 |B|Lg L⊤ g |B| 2.4.2 Điều kiện ổn định hóa hệ (2.7) Định lí 2.4.3 Giả sử giả thiết (A2.2), (A2.3), (A2.5) điều kiện (2.11c) thỏa mãn Khi đó, hệ (2.7) ổn định mũ suy rộng với điều khiển (2.9) tồn α > 0, θ > ma trận chéo Z = diag(zi ) ∈ Rn×n thỏa mãn LMIs sau −2D + sym(|A|Lf ) + αEn + Z |B|Lg < 0, (2.16a) Z + 2diag(kil ) ≤ 0, (2.16b) Lg |B|⊤ −θEn Z + 2diag(kiu ) ≥ 0, α > pθ (2.16c) Ma trận điều khiển cho Kc = − Z 12 (2.17) Chương NGHIỆM DƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG ĐỐI VỚI MƠ HÌNH MẠNG NƠRON QUÁN TÍNH ĐA TRỄ BIẾN THIÊN Chương nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân dương mạng nơron quán tính chứa trễ biến thiên d2 xi (t) dxi (t) = − − bi xi (t) + dt dt n cij fj (xj (t)) j=1 n + j=1 dij fj (xj (t − τj (t))) + Ii , t ≥ 0, i ∈ [n] (3.1) Chúng phát triển số kĩ thuật so sánh thông qua bất đẳng thức vi phân kết hợp với phương pháp sử dụng đồng phơi để thiết lập điều kiện đảm bảo tính dương tính ổn định mũ điểm cân dương hệ (3.1) 3.1 Thiết lập sơ Hệ (3.1) viết dạng vectơ x′′ (t) = −Ax′ (t) − Bx(t) + Cf (x(t)) + Df (xτ (t)) + I, (3.2) f (x(t)) = (fj (xj (t))) f (xτ (t)) = (fj (xj (t − τj (t)))) Điều kiện đầu xác định xi (s) = φi (s), x′i (s) = φˆi (s), s ∈ [−τ + , 0], i ∈ [n] (3.3) Sử dụng phép biến đổi trạng thái ηi yi (t) = dxi (t) + ξi xi (t), i ∈ [n], dt ηi = ξi , i ∈ [n] số, hệ (3.1) viết lại dạng  x′ (t) = −Dξ x(t) + Dη y(t), y ′(t) = −D y(t) + D x(t) + D−1 [Cf (x(t)) + Df (x (t)) + I] , α τ β η (3.4) (3.5) y(t) = (y1 (t), y2 (t), , yn (t))⊤ , Dξ = diag{ξ1 , , ξn }, Dη = diag{η1 , , ηn }, Dα = diag{α1 , , αn }, Dβ = diag{β1 , , βn } αi = − ξi , βi = ηi−1 (αi ξi − bi ) 13 3.1.1 Sự tồn nghiệm (A3) Các hàm fj (.), j ∈ [n] liên tục tồn số dương ljf , j ∈ [n], thỏa mãn điều kiện sau 0≤ fj (a) − fj (b) ≤ ljf , a = b a−b (3.6) Mệnh đề 3.1.1 Giả sử giả thiết (A3) thỏa mãn Khi đó, với điều kiện đầu xác định (3.3), hệ (3.1) có nghiệm xác định khoảng [0, ∞) 3.1.2 Nghiệm dương điểm cân Một nghiệm x(t) gọi dương quỹ đạo nằm nón dương với t ≥ t0 Định nghĩa 3.1.1 Hệ (3.1) gọi hệ dương với điều kiện đầu chấp nhận (không âm) đầu vào I = (Ii ) ∈ Rn+ , nghiệm tương ứng x(t) hệ nghiệm dương Định nghĩa 3.1.2 Với vectơ đầu vào không âm cho trước I ∈ Rn+ , vectơ x∗ ∈ Rn+ gọi điểm cân dương hệ (3.1) thỏa mãn phương trình −Bx∗ + Cf (x∗ ) + Df (x∗ ) + I = (3.7) Bổ đề 3.1.2 Giả sử Dη ≻ Dξ ≻ Khi đó, vectơ x∗ ∈ Rn+ điểm cân dương hệ (3.1) (x∗ , y∗ ) điểm cân dương hệ (3.5),  −Dξ x∗ + Dη y∗ = 0, (3.8) D (−D y + D x ) + Cf (x ) + Df (x ) + I = η α ∗ β ∗ ∗ ∗ Định nghĩa 3.1.3 Điểm cân dương x∗ hệ (3.1) gọi ổn định mũ toàn cục tồn số dương κ λ cho nghiệm x(t) (3.1) thỏa mãn bất đẳng thức sau x(t) − x∗ ∞ ≤ κ Φ∗ e−λt , t ≥ 0, (3.9) Φ∗ = sups∈[−τ +,0],i∈[n] {|φi (s) − xi∗ |, |φˆi(s)|} 3.2 Tính dương mạng nơron qn tính có trễ Bổ đề 3.2.1 Với hệ số > 0, bi > 0, tồn phép biến đổi (3.4) với ηi > ξi > 0, i ∈ [n], cho Dα ≻ Dβ ≻ a2i − 4bi > 0, i ∈ [n] 14 (3.10) Giả sử hệ số , bi , i ∈ [n], (3.1) thỏa mãn điều kiện (3.10) Xét phép biến đổi (3.4), hệ số ξi , ηi thỏa mãn  0 < ηi < ξi , với ξil = − √ a2i −4bi ξiu = + (3.11) ξ l < ξ < ξ u, i ∈ [n], i i i √ a2i −4bi Định lí 3.2.2 Giả sử giả thiết (A3), điều kiện (3.10) thỏa mãn C = (cij ) D = (dij ) 0, Khi đó, (3.1) hệ dương Cho A˜T tập AT xác định A˜T = {φ = (φi ) ∈ C ([−τ + , 0], Rn+ ) : φ′i (s) ≥ 0} Hệ 3.2.3 Giả sử hệ số > 0, bi > thỏa mãn a2i − 4bi > 0, i ∈ [n], C = (cij ) 0, D = (dij ) Khi đó, giả thiết (A3), hệ (3.1) hệ dương, (φi ) ∈ A˜T φˆi (.) = φ′i (.) 3.3 Sự tồn điểm cân Định lí 3.3.1 Giả sử giả thiết Định lí 3.2.2 thỏa mãn tồn vectơ χ0 ∈ R2n , χ0 ≻ 0, cho ⊤ −Dξ Dη Dαξ − B + (C + D)Lf −Dαη χ0 ≺ (3.12) Khi đó, với vectơ đầu vào I ∈ Rn , tồn điểm cân χ∗ = x∗ y∗ hệ (3.5) 3.4 Tính ổn định mũ điểm cân dương Định lí 3.4.1 Với giả thiết Định lí 3.2.2, giả sử tồn vectơ χˆ0 ∈ R2n , χˆ0 ≻ 0, thỏa mãn −Dξ Dη Dαξ − B + (C + D)Lf −Dαη χˆ0 ≺ (3.13) Khi đó, với vectơ đầu vào I ∈ Rn+ , hệ (3.5) có điểm cân dương χ∗ = x∗ y∗ + ∈ R2n + ổn định mũ toàn cục với trễ τj (t) ∈ [0, τ ] Kết sau tóm lược kết thu cho mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên (3.1) 15 Định lí 3.4.2 Xét lớp mạng nơron quán tính với trễ biến thiên dạng (3.1) Giả sử giả thiết (A3) điều kiện sau thỏa mãn (i) a2i − 4bi > 0, i ∈ [n]; (ii) C = (cij ) 0, D = (dij ) 0; (iii) Tồn vectơ v ∈ Rn , v ≻ 0, cho (3.14) −B + CLf + DLf v ≺ Khi đó, khẳng định sau (a) Hệ (3.1) hệ dương với điều kiện đầu thuộc AT (b) Với I ∈ Rn+ , tồn điểm cân dương ổn định mũ x∗ hệ (3.1) với trễ bị chặn τj (t) ∈ [0, τ + ] Hơn nữa, tồn λ∗ > cho nghiệm x(t) hệ (3.1), (3.3) thỏa mãn x(t) − x∗ σ0 = maxi∈[n] 21 + mini∈[n] vi , 12 (ai − ∞ ≤ (1 + σ0 )σ1 Φ∗ e−λ∗ t , t ≥ 0, σ2 a2i − 4bi , σ1 = maxi∈[n] vi , 12 (ai − a2i − 4bi )vi a2i − 4bi )vi (3.15) σ2 = 3.5 Ví dụ minh họa Mục trình bày số ví dụ mơ để minh họa cho kết lý thuyết đạt 16 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHI TUYẾN TRONG MƠ HÌNH MẠNG BAM ĐA TRỄ BIẾN THIÊN Chương nghiên cứu tính ổn định mũ mơ hình mạng BAM đa trễ biến thiên với hàm tốc độ phân rã (tự phản hồi) phi tuyến m m x′i (t) = −αi ϕi (xi (t)) + yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) + aij fj (yj (t)) + j=1 n j=1 n cji gi (xi (t)) + i=1 i=1 bij fj (yj (t − σj (t))) + Ii , (4.1) dji gi (xi (t − τi (t))) + Jj (4.2) Dựa số kĩ thuật so sánh hệ bất đẳng thức vi phân, chứng minh quỹ đạo trạng thái hệ xuất phát từ nón dương hàm ban đầu với trọng số đầu vào khơng âm ln khơng âm Sử dụng định lí điểm bất động Brouwer lý thuyết M-ma trận, thiết lập điều kiện đảm bảo tồn điểm cân dương ổn định mũ hệ (4.1)-(4.2) Một mở rộng cho mơ hình mạng nơron BAM với trễ tỉ lệ đưa phần cuối chương 4.1 Mơ tả mơ hình phân tích sơ Kí hiệu x(t) = (xi (t)) ∈ Rn , y(t) = (yj (t)) ∈ Rm , Dα = diag{α1 , α2 , , αn }, Dβ = diag{β1 , β2 , , βm }, A = (aij ) ∈ Rn×m , B = (bij ) ∈ Rn×m , C = (cji ) ∈ Rm×n , D = (dji ) ∈ Rm×n I = (Ii ) ∈ Rn , J = (Jj ) ∈ Rm Hệ (4.1)-(4.2) viết dạng vectơ  x′ (t) = −Dα Φ(x(t)) + Af (y(t)) + Bf (y(t − σ(t))) + I, (4.3) y ′(t) = −D Ψ(y(t)) + Cg(x(t)) + Dg(x(t − τ (t))) + J β 4.1.1 Sự tồn nghiệm Gọi D tập hàm liên tục ϕ : R → R thỏa mãn ϕ(0) = tồn số dương lϕ , ˜lϕ cho lϕ ≤ với a, b ∈ R, a = b ϕ(a) − ϕ(b) ˜ ≤ lϕ a−b (A4.1) Các hàm tốc độ phân rã ϕi , ψj , i ∈ [n], j ∈ [m], thuộc lớp D 17 (4.4) (A4.2) Các hàm kích hoạt nơron fj (.), gi (.), i ∈ [n], j ∈ [m], liên tục, fj (0) = 0, gi (0) = 0, tồn số dương Lfj , Lgi cho 0≤ fj (a) − fj (b) ≤ Lfj , a−b 0≤ gi (a) − gi (b) ≤ Lgi , a−b a = b (4.5) Nhận xét 4.1.1 Nếu hàm ϕi ψj liên tục Lipschitz có đạo hàm bị chặn γi = inf ϕ′i (a) > 0, µj = inf ψj′ (a) > 0, a∈R a∈R điều kiện (4.4) rõ ràng thỏa mãn, lϕi = γi lψj = µj Mặt khác, từ (4.4), hàm ϕ thuộc D hàm liên tục tăng ngặt Do đó, tồn hàm số ngược liên tục ϕ−1 ϕ Hơn nữa, ϕ−1 thuộc D với lϕ−1 = ˜lϕ−1 ˜l −1 = l−1 ϕ ϕ Mệnh đề 4.1.1 Giả sử giả thiết (A4.1) (A4.2) thỏa mãn Khi đó, với hàm ban đầu x0 ∈ C([−τ , 0], Rn ), y ∈ C([−σ, 0], Rm ), tồn nghiệm vec(x(t), y(t)) hệ (4.3) xác định khoảng [t0 , ∞) 4.1.2 Nghiệm dương điểm cân Cho χ(t) = vec(x(t), y(t)) nghiệm hệ (4.3) Nếu quỹ đạo χ(t) giới hạn nón dương, tức χ(t) ∈ Rn+m với t ≥ t0 , χ(t) gọi + nghiệm dương hệ (4.3) Tập chấp nhận điều kiện đầu hệ (4.3) xác định A= φ= x0 y0 ∈C([−τ , 0], Rn) × C([−σ, 0], Rm ) : x0 (ξ) 0, ∀ξ ∈ [−τ , 0], y (θ) 0, ∀θ ∈ [−σ, 0] (4.6) Định nghĩa 4.1.1 Hệ (4.3) gọi hệ dương với điều kiện đầu φ ∈ A vectơ đầu vào không âm vec(I, J) ∈ Rn+m , nghiệm tương ứng χ(t) = vec(x(t), y(t)) + hệ (4.3) nghiệm dương Định nghĩa 4.1.2 Cho trước vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m , vectơ χ∗ = vec(x∗ , y ∗ ), x∗ ∈ Rn , y ∗ ∈ Rm , gọi điểm cân hệ (4.3) thỏa mãn hệ phương trình đại số sau  −Dα Φ(x∗ ) + (A + B) f (y ∗) + I = −D Ψ(y ∗ ) + (C + D) g(x∗ ) + J = (4.7) β χ∗ điểm cân dương điểm cân χ∗ 18 Định nghĩa 4.1.3 Một điểm cân dương χ∗ = vec(x∗ , y ∗ ) hệ (4.3) gọi ổn định mũ toàn cục tồn số dương κ, γ cho nghiệm χ(t) = vec(x(t), y(t)) (4.3) thỏa mãn bất đẳng thức sau x(t) − x∗ + y(t) − y ∗ ≤ κ x0 − x∗ ∞ + y0 − y∗ ∞ e−γ(t−t0 ) , t ≥ t0 4.2 Nghiệm dương mô hình mạng BAM với trễ biến thiên Định lí 4.2.1 Với giả thiết (A4.1)-(A4.2), ma trận trọng số kết nối A, B , C , D không âm (tương đương M∗ = A B C ⊤ D⊤ 0) hệ (4.3) hệ dương 4.3 Sự tồn điểm cân Với vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m , vectơ χ∗ = vec(x∗ , y ∗ ) ∈ Rn+m điểm cân hệ (4.3) thỏa mãn hệ phương trình đại số sau  D−1 ((A + B)f (y ∗) + I) = Φ(x∗ ) α (4.8) D−1 ((C + D)g(x∗ ) + J) = Ψ(y ∗) β Dựa vào (4.8), định nghĩa ánh xạ H : Rn+m → Rn+m công thức   H(χ) =  Φ−1 Dα−1 ((A + B)f (y) + I) Ψ−1 Dβ−1 ((C + D)g(x) + J) , (4.9) χ = vec(x, y), x ∈ Rn y ∈ Rm Cụ thể hơn, ánh xạ H(χ) định nghĩa (4.9) viết sau ⊤ ˜ (x) · · · h ˜ m (x) H(χ) = h1 (y) · · · hn (y) h , với hi (y) = ϕ−1 i ˜ j (x) = ψ −1 h j αi βj m (aij + bij ) fj (yj ) + Ii , i ∈ [n], (cji + dji ) gi (xi ) + Jj , j ∈ [m], j=1 n i=1 −1 ϕ−1 i (.), ψj (.) tương ứng hàm nghịch đảo ϕi (.) ψj (.) Ta thấy rằng, từ (4.8) (4.9), vectơ χ∗ ∈ Rn+m điểm cân hệ (4.3) điểm bất động ánh xạ H(χ), tức là, H(χ∗ ) = χ∗ 19 Định lí 4.3.1 Với giả thiết (A4.1) (A4.2), giả sử ρ 0n×n K1 K2 0m×m (4.10) < 1, ) ∈ Rn×m , K = (k ) ∈ Rm×n K1 = (kij ji −1 lϕi (|aij | + |bij |) Lfj , αi (|cji | + |dji |) Lgi kji = lψ−1 βj j kij = Khi đó, hệ (4.3) có điểm cân Nhận xét 4.3.1 Trong chứng minh Định lí 4.3.1, ma trận trọng số kết nối A, B , C , D, vectơ đầu vào I, J khơng âm ui αi vj với x y βj m (aij + bij ) fj (yj ) + Ii ≥ 0, i ∈ [n], (cji + dji ) gi (xi ) + Jj ≥ 0, j ∈ [m], j=1 n i=1 ˜ j (x) = ψ −1 (vj ) ≥ với Vì vậy, hi (y) = ϕ−1 (ui ) ≥ h j i ∈ [n], j ∈ [m], χ = vec(x, y) ⊂ Rn+m Điều chứng tỏ Do đó, H Rn+m + + H : B+ → B+ , B+ = B ∩ Rn+m Hơn nữa, + B+ = χ ∈ Rn+m χ δ ̺ tập lồi compact Rn+m , theo định lí điểm bất động Brouwer, ánh xạ liên tục H có điểm bất động χ∗+ ∈ B+ điểm cân dương hệ (4.3) Hệ 4.3.2 Với giả thiết Định lí 4.3.1, ma trận trọng số kết nối A, B , C D khơng âm với vectơ đầu vào khơng âm J = vec(I, J), hệ (4.3) có điểm cân dương χ∗ ∈ Rn+m + ˜ ma trận khối cấp (n + m) × (n + m) dạng Nhận xét 4.3.2 Cho Ω ˜= Ω ˜ V˜ U ˜ Z˜ W ˜ ∈ Rm×n Z˜ ∈ Rm×m Nếu Z˜ ma trận khơng suy U˜ ∈ Rn×n , V˜ ∈ Rn×m , W biến ta có ˜ − V˜ Z˜ −1 W ˜ V˜ U U˜ V˜ = ˜ Z˜ 0m×n Z˜ W 20 En 0n×m ˜ −Z˜ −1 W Em Do đó, (4.11) ˜ = det(U˜ − V˜ Z˜ −1 W ˜ ) det(Z) ˜ det(Ω) Bằng cách sử dụng đẳng thức (4.11), với λ = 0, ta có det(λEn+m − K) = det λEn −K1 −K2 λEm = λm det λEn − K1 K2 λ = λm−n det(λ2 En − K1 K2 ) Đồng thức chứng tỏ λ ∈ σ(K) \ {0} µ = λ2 ∈ σ(K1 K2 ) \ {0} Do đó, ρ(K) < ⇐⇒ ρ(K1 K2 ) < Mệnh đề 4.3.3 Điều kiện (4.10) thỏa mãn hai điều kiện sau thỏa mãn ρ ρ −1 l αi ϕi −1 l βj ψj m j=1 n i=1 −1 l (|aij | + |bij |) |cjk | + |djk | Lfj Lgk βj ψj −1 l (|cji | + |dji |) (|aik | + |bik |) Lfk Lgi αi ϕi < 1, (4.12) < (4.13) n×n m×m Hệ 4.3.4 Với giả thiết (A4.1)-(A4.2), giả sử ma trận trọng số kết nối không âm ba điều kiện (4.10), (4.12) (4.13) thỏa mãn Khi đó, với vectơ đầu vào không âm J = vec(I, J) ∈ Rn+m , hệ (4.3) có + điểm cân dương χ∗ ∈ Rn+m + 4.4 Tính ổn định mũ điểm cân Định lí 4.4.1 Với giả thiết (A4.1) (A4.2), giả sử ma trận trọng số kết nối không âm ba điều kiện (4.10), (4.12), (4.13) thỏa mãn Khi đó, với vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m , hệ (4.3) có điểm + cân dương χ∗ ∈ Rn+m ổn định mũ tồn cục với hàm trễ τi (t) ∈ [0, τ ] + σj (t) ∈ [0, σ] Nhận xét 4.4.1 Theo giả thiết Định lí 4.4.1, ánh xạ F (y) = (A + B)f (y) G(x) = (C + D)g(x) trường vectơ bảo tồn thứ tự Do đó, với vectơ đầu vào I ∈ Rn+ , J ∈ Rm + cho I J không đồng thời không, điểm cân dương 21 χ∗ hệ (4.3) thỏa mãn  χ∗  Dα−1 I Dβ−1 J Φ−1 Ψ−1   đó, χ∗ ∈ Rn+m \ {0} Hơn nữa, I ≻ J ≻ χ∗ vectơ dương (tức là, + χ∗ ≻ 0) Nhận xét 4.4.2 Kết Định lí 4.4.1 đảm bảo rằng, với vectơ đầu vào dương I ≻ 0, J ≻ 0, quỹ đạo trạng thái hệ (4.3) dương chung Cụ thể hơn, cho χ(t) = vec(x(t), y(t)) nghiệm hệ (4.3) (với điều kiện đầu φ khơng thiết dương) Vì χ(t) hội tụ mũ đến điểm cân χ∗ dương ngặt nên tồn tf > t0 cho χ(t) ≻ với t ∈ [tf , ∞) 4.5 Mạng nơron BAM dương với đa trễ tỉ lệ Trong mục chúng tơi mở rộng kết Định lí 4.4.1 cho mạng BAM với trễ tỉ lệ m m x′i (t) = −αi ϕi (xi (t)) + yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) + aij fj (yj (t)) + bij fj (yj (qij t)) + Ii , (4.14) dji gi (xi (pji t)) + Jj , (4.15) j=1 n j=1 n cji gi (xi (t)) + i=1 i=1 với t ≥ t0 > 0, < pji < 1, < qij < 1, i ∈ [n], j ∈ [m], hệ số trễ tỉ lệ Các hệ số hàm số khác mô hình (4.14)-(4.15) mơ tả tương tự hệ (4.1)-(4.2) Điều kiện đầu hệ (4.14)-(4.15) xác định xi (ξ) = x0i (ξ), ξ ∈ [p∗ t0 , t0 ], (4.16) yj (θ) = yj0(θ), θ ∈ [q∗ t0 , t0 ], p∗ = mini,j pji , q∗ = mini,j qij x0i ∈ C([p∗ t0 , t0 ], R), yj0 ∈ C([q∗ t0 , t0 ], R) Tương tự Mệnh đề 4.1.1, giả thiết (A4.1) (A4.2), hệ (4.14)-(4.16) có nghiệm χ(t) = vec(x(t), y(t)) xác định [t0 , ∞) Hơn nữa, ma trận trọng số kết nối A, B , C , D không âm x0 (ξ) = (x0i (ξ)) ξ ∈ [p∗ t0 , t0 ], θ ∈ [q∗ t0 , t0 ] χ(t) 0, y (θ) = (yj0(θ)) với với t ≥ t0 Định lí 4.5.1 Giả sử giả thiết Định lí 4.4.1 thỏa mãn Khi đó, với vectơ , hệ (4.14)-(4.16) có điểm cân dương đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m + χ∗ ∈ Rn+m ổn định mũ toàn cục suy rộng Cụ thể hơn, tồn số dương κ + ̟ cho nghiệm χ(t) = vec(x(t), y(t)) hệ (4.14)-(4.15) thỏa mãn đánh giá x(t) − x∗ + y(t) − y ∗ ≤ κ x0 − x∗ ∞ + y0 − y∗ 22 −̟ ln ∞ e 1+t 1+t0 , t ≥ t0 (4.17) Một trường hợp đặc biệt khác hệ (4.14)-(4.15), ta xét mơ hình mạng nơron hồi quy với trễ tỉ lệ sau m m x′i (t) = −αi ϕi (xi (t)) + Với A = (aij ) aij fj (yj (t)) + j=1 j=1 B = (bij ) bij gj (yj (qij t)) + Ii , t ≥ t0 > (4.18) 0, điều kiện (4.10), (4.12) (4.13) quy điều kiện ρ −1 l αi ϕi n aij Lfj + bij Lgj < (4.19) n×n j=1 Tương tự Định lí 4.5.1, giả thiết (A4.1), (A4.2) điều kiện (4.19) thỏa mãn với vectơ đầu vào I = (Ii ) 0, mơ hình (4.18) có điểm cân dương χ∗ ∈ Rn+ ổn định mũ toàn cục suy rộng Hơn nữa, I ≻ χ∗ ≻ 4.6 Ví dụ minh họa Mục trình số ví dụ minh họa cho điều kiện lý thuyết trình bày Chương 23 KẾT LUẬN CHUNG Các kết đạt Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập điều kiện đủ thơng qua tính chất phổ M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ tồn cục (theo nghĩa đồng hóa) mạng nơron Hopfield khơng ơ-tơ-nơm với trễ biến thiên không đồng tác động xung bất ổn định (Định lí 2.3.1) Đưa đánh giá mũ suy rộng (dạng lũy thừa) mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với tác động đồng thời xung ổn định xung bất ổn định phân phối kiểu tuần hồn (Định lí 2.4.1) Chứng minh tính dương đưa điều kiện cho tồn điểm cân dương ổn định mũ mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên (Định lí 3.2.2-3.4.1) Thiết lập điều kiện cho tồn điểm cân dương ổn định mũ lớp hệ dương phi tuyến mơ hình mạng BAM với trễ biến thiên khơng đồng (Định lí 4.2.1-4.5.1) Một số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề liên quan cần tiếp tục nghiên cứu • Tính ổn định/đồng mạng nơron không ô-tô-nôm với dãy xung hỗn hợp phân phối tuần hồn Đối với mơ hình này, phương pháp truyền thống dựa hàm Lyapunov hay Razumikhin nói chung khơng khả dụng Hơn nữa, ý tưởng sử dụng tốc độ biến thiên tham số mơ hình để đưa điều kiện ổn định vấn đề thú vị đầy thách thức • Nghiên cứu số tốn quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống mơ hình mạng nơron dương có trễ tham số mơ hình khoảng 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [CT1] L.D Hai An, L.V Hien, T.T Loan, Exponential stability of non-autonomous neural networks with heterogeneous time-varying delays and destabilizing impulses, Vietnam Journal of Mathematics 45 (2017) 425–440 (ESCI/Scopus) [CT2] L.D Hai-An, L.V Hien, T.T Loan, On exponential stability of neural networks with proportional delays and periodic distribution impulsive effects, Differential Equations and Dynamical Systems (2019) DOI: 10.1007/s12591-019-00459-x (ESCI/Scopus) [CT3] L.V Hien, L.D Hai-An, Positive solutions and exponential stability of positive equilibrium of inertial neural networks with multiple time-varying delays, Neural Computing and Applications 31 (2019) 6933–6943 (SCIE) [CT4] L.V Hien, L.D Hai-An, Exponential stability of positive neural networks in bidirectional associative memory model with delays, Mathematical Methods in the Applied Sciences 42 (2019) 6339–6357 (SCIE) Các kết luận án báo cáo tại: • Xemina Phương trình vi phân tích phân, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội • Hội nghị khoa học nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Xemina Phòng Tối ưu Điều khiển, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam ... thuyết hệ dương số kết bổ trợ khác • Chương nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa dạng mũ hai lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield có trễ tác động dãy xung bất ổn định xung phân. .. phơi số kết khác Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CĨ TRỄ VỚI XUNG BIẾN THIÊN Phần thứ chương trình bày kết nghiên cứu tính ổn định. .. hệ phương trình vi phân hàm, tồn nghiệm, số khái niệm ổn định theo Lyapunov Định lí Lyapunov-Krasovskii 1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung Mục trình bày sơ lược hệ phương trình vi phân