Luận văn sư phạm Các phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th L IC M ng N hoàn thành khoá lu n t t nghi p em nh n đ c s dìu d t, ch b o t o u ki n giúp đ c a th y khoa Tốn nói chung t Gi i tích nói riêng, đ c bi t s h ng d n, ch b o giúp đ h t s c t n tình c a th y giáo TS.Khu t V n Ninh Qua đây, em xin bày t l i c m n chân thành t i th y giáo TS.Khu t V n Ninh Em xin g i l i c m n sâu s c t i th y giáo t Gi i tích, th y giáo khoa Tốn, c m n gia đình, b n bè b n sinh viên quan tâm đóng góp ý ki n cho đ tài c a em Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng L I CAM OAN K t qu c a đ tài s n l c c g ng tìm tịi c a b n thân Em xin cam đoan k t qu nghiên c u c a em không trùng v i k t qu c a tác gi khác Hà N i ngày 18/5/2009 Sinh viên: Ph m Th Hoa Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng M CL C L IC M N L I CAM OAN L I NĨI U N I DUNG KHỐ LU N Ch ng 1: Ki n th c c s I Các khái ni m S g n Sai s Sai phân II Khái quát v ph ng trình vi phân M t s khái ni m Bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân th Bài tốn Cauchy đ i v i h ph ng c p ng trình vi phân th ng c p i u ki n Lipschitz Ch ong 2: Các ph ph I Các ph 10 10 ng pháp gi i g n toán Cauchy đ i v i ng trình vi phân th ng 11 ng pháp gi i tích 11 Ph ng pháp l p đ n 11 Ph ng pháp x p x liên ti p Picard 13 Ph ng pháp chu i s nguyên 15 ng pháp s 16 Ph ng pháp Euler 16 Ph ng pháp Euler Cauchy 18 Ph ng pháp Runge Kutta 20 Ph ng pháp Adams 25 II Các ph III ng d ng c a tin h c đ gi i ph ng trình vi phân th Ph m Th Hoa K31E-SPTốn ng 29 Khoá lu n t t nghi p: Các ph Ch ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng d ng c a ch ng trình MapleV ng d ng c a ngơn ng l p trình Pascal ng 3: Các t p ng d ng I Các t p ng d ng c a ph II Các t p ng d ng c a ph ng 29 30 38 ng pháp gi i tích ng pháp s 38 45 K T LU N 53 TÀI LI U THAM KH O 54 Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th L I NÓI ng U Th k XXI th k bùng n c a công ngh thông tin, ng d ng c a cơng ngh thơng tin có đóng góp to l n hi u qu m i m t c a đ i s ng Và c ng t r t lâu tin h c đ c ng d ng vào mơn Tốn Có nh ng s li u tính tốn q c ng k nh nh ng tốn ph c t p khơng th gi i b ng tay đ c nh ng n u dùng l p trình máy vi tính có k t qu r t nhanh g n xác Các b n sinh viên đ c h c mơn ph ng trình vi phân t kì II n m th ba, th b n r t quen thu c v i d ng tốn tìm nghi m c a toán Cauchy đ i v i ph tr ng trình vi phân th ng h p nghi m c a ph ng Th nh ng có nhi u ng trình vi phân khơng th tìm đ B i v y đ tìm nghi m c a chúng, ta ph i áp d ng ph khác m i ph c ng pháp g n ng pháp có th dùng l p trình Pascal hay s d ng thu t toán MapleV đ gi i toán V i mong mu n h c h i tích lu thêm cho nh ng k n ng kinh nghi m ti p c n v i ng d ng c a công ngh thông tin váo vi c gi i toán đ ng th i đ hi u sâu h n v ph là: “Các ph th ng trình vi phân em m nh d n ch n đ tài ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân ng” N i dung c a khoá lu n g m ch Ch Ch ng: ng 1: Ki n th c c s ng nh m trình bày khái ni m đ nh lý c b n nh t v v n đ có liên quan đ n n i dung ch ng s trình bày Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph Ch v i ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng pháp gi i g n bƠi toán Cauchy đ i ng 2: Các ph ng trình vi phơn th I Các ph ng ng pháp gi i tích Ph ng pháp l p đ n Ph ng pháp x p x liên ti p Picard Ph ng pháp chu i s nguyên II Các ph ng pháp s Ph ng pháp Euler Ph ng pháp Euler-Cauchy Ph ng pháp Runge-Kutta Ph ng pháp Adams ng d ng c a tin h c đ gi i ph III ng trình vi phân th ng d ng c a ch ng d ng c a ngôn ng l p trình Pascal Ch ng ng ng trình MapleV ng 3: Các t p ng d ng I Các t p ng d ng c a ph II Các t p ng d ng c a ph ng pháp gi i tích ng pháp s M c dù có nhi u c g ng song th i gian có h n u ki n nghiên c u h n ch đ ng th i ki n th c c a b n thân ng i làm khoá lu n cịn ch a v ng nên khố lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong nh n đ c s quan tâm góp ý c a th y cô giáo, b n sinh viên c ng nh b n đ c quan tâm đ n v n đ đ khố lu n đ c hồn thi n h n Hà N i 18/5/2009 Sinh viên: Ph m Th Hoa Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th CH ng NG KI N TH C C S I Các khái ni m: S g n Trong tính tốn, ta th đ il ng ph i vi c v i giá tr g n c a ng Ta nói a s g n c a a * , n u a không sai khác a * nhi u Sai s a) Sai s t đ i, sai s t ng đ i +) Sai s t đ i: ng  : a  a * g i sai s th t s c a a il Do không bi t a * nên ta c ng khơng bi t  Tuy nhiên ta có th tìm đ c a  , g i sai s t đ i c a a , tho mãn u ki n: a  a *  a hay a  a  a *  a  a +) Sai s t ng đ i: đ i l ng  a : a a b) Sai s thu g n: M t s th p phân a có d ng t ng quát nh sau: a     p10 p   p110 p1    ps10 ps  ≤  i ≤  i  p  s, , p  1 ;  p  nh ng s nguyên N u s  , a s th p phân vô h n Thu g n m t s a v t b m t s ch s bên ph i a đ đ c m t s a ng n g n h n g n nh t v i a c) Sai s tính tốn: Các s v n có sai s , cịn thêm sai s thu g n nên tính tốn s xu t hi n sai s tính tốn Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng Sai phân +) Sai phân: Gi s f : R  R m t hàm s h  const  Ta g i sai phân c p c a f  x cho tr c đ i l ng f  x  f  x  h   f ( x) +) T sai phân c p c a f  x f(x) h M t cách t ng quát n f ( x)    n1 f ( x)  ,  n  1 , 0 f ( x) : f ( x) II Khái quát v ph ng trình vi phân: M t s khái ni m: a) Ph Ph ng trình vi phân c p ng trình vi phân c p có d ng t ng quát: F ( x, y, y ')  (a) hàm F xác đ nh mi n D  ฀ N u mi n D , t ph (a) ta có th gi i đ c y ' : y '  f ( x, y) ta đ c ph ng trình ng trình vi phân c p gi i đ o hàm b) Ph Ph ng trình vi phân c p n: ng trình vi phân c p n có d ng t ng quát F ( x, y, y ', , y( n) )  (b) Hàm F xác đ nh m t mi n G đ y c a không gian ฀ n2 Trong ph ng trình (b) có th v ng m t s bi n x, y, y ', , y( n1) nh ng y( n ) nh t thi t ph i có m t N u t (b) ta gi i đ c đ o hàm c p cao nh t, t c ph trình (b) có d ng: y( n)  f ( x, y, y', , y( n1) ) thf ta đ c ph ng trình vi phân c p n gi i đ i v i đ o hàm c p cao nh t BƠi tốn Cauchy đ i v i ph ng trình vi phơn th Xét toán Ph m Th Hoa K31E-SPToán ng ng c p Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng t, x  R  0,T    x0  r , x0  r  Trong x(t ) hàm m t bi n xác đ nh  0,T  v i  0,T  cho tr ph c, hàm f (t , x) x0 cho tr ng trình vi phân th c đ c g i toán Cauchy đ i v i ng c p 1, u ki n (2) đ c g i u ki n Cauchy hay u ki n ban đ u a) nh lý 1(đ nh lý t n t i nghi m) Xét toán (1-2),  t , x  R  0,T    x0  r , x0  r  N u f (t , x) hàm liên t c hình ch nh t R(r  c đ nh) t n t i nh t m t nghi m x(t ) c a ph ng trình (1) th a mãn u ki n (2) t c x(t ) nghi m c a toán (1-2) b) nh lý 2(đ nh lý nh t nghi m) Xét toán (1-2) N u f (t , x) hàm liên t c hình ch nh t R(r  c đ nh) f (t , x) tho mãn u ki n Lipschitz tho bi n x hình ch nh t R t c là: Trong N h ng s (g i h ng s Lipschitz) nghi m c a toán (1-2) xác đ nh nh t c) nh lý (đ nh lý t n t i nh t nghi m) Xét toán (1-2),  t , x  R  0,T    x0  r , x0  r  Hàm f (t , x) xác đ nh R(r  c đ nh) tho mãn u ki n : a f (t , x) liên t c R R đóng i M  max f (t , x)  t , xR Ph m Th Hoa K31E-SPToán b ch n Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 10 ng b f (t , x) tho mãn u ki n Lipchitz h ng s t n t i nh t nghi m x(t ) c a toán (1-2) xác đ nh [0,T] BƠi toán Cauchy v i h hai ph ng trình vi phân: i u ki n Lipschitz Ta nói r ng mi n G hàm f ( x, y) tho mãn u ki n Lipschitz   theo bi n y n u t n t i h ng s L > cho đ i v i hai di m x, y  G,  x, y  G b t kì, ta có b t đ ng th c Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph H a) y’= ; y(0)=0 40 ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng ng d n (1.5) xác đ nh liên t c toàn m t ph ng (x,y) nên Hàm f(x,y)= a, b có th ch n tu ý t b=ka Khi    ak ak   b  h =  a ,  =  a , = a ,   2   M  a (1  k )   a (1  k )  N u k c đ nh GTLN c a h đ t đ h= c =>a= k  k2 k  k2 Khi k thay đ i ta th y giá tr h s d t c c d i v i k=1 =>h= V y trình xáp x liên ti p đ tìm nghi m c a (1.5) h i t nh t đo n Lipschitz k V i dây đ L= max , ta c ng có c đánh giá nh sau: = , = Áp d ng (1.2) ta có: (x) =0 = = Ph m Th Hoa K31E-SPTốn (vì k=1) H ng s Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th = = = = V i giá tr g n C th : 11 15  2  2 y3  y2       < 0,000022 2079   59535   Vì v y có th l y nghi m g n đúng: (x)= y(x) N u áp d ng công th c sai s (1.4) ta d = b)…t ng t ta tính đ = c: 0,03 c: x x t2 dt y3 ( x)  y0 ( x)   f (t , y2 (t ))dt    t3  0  ln t ln  t3  t3   ln   1 =y; 3  t3   e y  t dt  e ydy ; t=0y=0; Ph m Th Hoa K31E-SPToán 41 ng Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th  x3  t= x y=ln   1  y3 ( x)     x x 0 ln(1  x3 ) 42 ng ey dy 1 y c) y1 ( x)  y    t  y1 y2 dt     t  y1 y2 dt ; (0) x x y2 ( x)  y    t  y dt    t  y12 dt (0) 2 0 L y y1(0)  1; y2(0)  r i áp d ng liên ti p công th c: x yn ( x)  y0   f  t , yn1 (t ) dt Cho y1 ( x) y2 ( x) ta nh n đ c dãy nghi m g n sau: x x2 y    tdt   (1) x x3 y    t  1 dt   x  (1) 2   t  t   x4 x6    t  1    t   dt       24 36  0 x (2) y   t  x5   t  1  t    dt   x   20  0 x (2) y   t t  t  x6 x8 x10 x12    t  1    t    dt      24 36 20 720 288 4500 8640    0 x (3) y Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 43 ng d) y’=y2+2 x ; y(0)=0; f ( x, y)  y  x toàn m t ph ng tho mãn Ta th y r ng hàm s u ki n Lipschitz theo bi n y yo(x)=y(0)=0; x y1( x )=yo+  2tdt  x2 ;  t  x x5 y2( x )=yo+   2t  t dt    t    x2 ; 5 0 x  t10 2t  x11 x8 x5 y3( x )=yo+   2t    t dt     x2 25 275 20  0 x Bài B ng ph ng pháp chu i s nguyên gi i g n ph sau a) y’= ; y(0)=0 b)y’=x-y; y(0)=1 c)y”+xy’+y=0; y(0)=0; y’(0)=1 H a) y’= ; y(0)=0 ng d n y’(0)=0; y”(x)=2x+2yy’; y”’= 2+2yy”+ ; Ph m Th Hoa K31E-SPTốn ng trình Khố lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th … Th x=0 vào bi u th c ta đ c: y”(0)=0, y”’(0)=2, = 80 Ta th y r ng t y(n)(0)= ,n ≥8 V y y(x)= b) y '  x  y; y(0)  Ta có: y’(0)  1 ; y”   y '  y”(0)=2; y’”   y"  y”’(0)  2 … y(n)(0)  (1)n n V y y( x ) =  k 0 y( k ) (0) k x3 (1)n n x   x  x2    x k! n! c)y”+xy’+y=0; y(0)=0, y’(0)=1 Ta có: y”   xy ' y  y”(0)=0; Ph m Th Hoa K31E-SPToán 44 ng Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 45 ng y’”  2 y ' xy"  y’”(0)  2; y(4)  3 y '' xy"'  y(4)(0)=0; y(5)  4y(3)  xy(4)  y(5)(0)=8 y(6)  5y(4)  xy(5)  y(6)(0)=0; y(7)  6y(5)  xy(6)  y(7)(0)  48; … y(2m)(0)=0; y(2m+1)(0)  (1)m (2m)!!; m1 x3 x V y y( x)  x     (1)m  2m!! x 15 (2m  1)! II Các bƠi t p ng d ng c a ph Bài B ng ph ng pháp s ng pháp Euler gi i toán Cauchy sau: a) y’=y+(1+x) b) y’= , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  H Thay d li u t ng d n ng ng v i m i ph n vào l p trình ta có b ng sau: Ph m Th Hoa K31E-SPToán m c III ch ng Khoá lu n t t nghi p: Các ph a) y’=y+(1+x) ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 46 ng , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 b) y’= ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  Bài B ng ph ng pháp Euler c i ti n tìm nghiêm g n c a tốn sau: a) y’=y+(1+x) b)y’= , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  H ng d n Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph Thay d li u t ch ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th ng ng v i m i ph n vào l p trình ng ta có b ng sau: a) y’=y+(1+x) b) y’= , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05 c) y '  x2  y  2; y(1)  3; h  0,1; a  1; b  Ph m Th Hoa K31E-SPToán 47 ng m c III Khoá lu n t t nghi p: Các ph Bài B ng ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 48 ng ng pháp Runge-Cutta tìm nghi m g n c a toán sau a)y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] b)y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 c)y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 d)y’=y+(1+x) , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5 e)y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1, a=0, b=1 H Thay d li u t ng d n ng ng v i m i ph n vào l p trình ta có b ng sau: Ph m Th Hoa K31E-SPToán m c III ch ng Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 49 ng a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] Ch n n=10 K1 K2 b) y’= K3 K4 y y y y y y , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 Ch n n=10 K1 c) y’= K2 K3 K4 , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 Ch n n=7 K1 K2 K3 K4 Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph d) y’=y+(1+x) ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 50 ng , y(1)  1 , h=0,1, a=1, b=1,5 Ch n n=5 K1 K2 K3 K4 y y y y d) y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1 Ch n n=10 K1 K2 Bài B ng ph K3 K4 ng pháp Adams tìm nghi m g n c a toán sau a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] b) y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5 c) y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 d) y’=y+(1+x) , y(0)   1, h=0,1, a=1; b=1,5 e) y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1 Ph m Th Hoa K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th H Thay d li u t ng d n ng ng v i m i ph n vào l p trình ng ta có b ng sau: ch a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1] Ch n n=10 x y b) y’= y* , y(1)=0, h=0,1, a=1, b=1,5 Ch n n=10 x c) y’= y y* , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3 Ch n n=10 x y 51 ng y* Ph m Th Hoa K31E-SPToán m c III Khoá lu n t t nghi p: Các ph d) y’=y+(1+x) ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th , y(0)   1, h=0,1, a=1; b=1,5 Ch n n=10 x y y* e) y’   ycosx+sinxcosx; y(0)  1 , h=0,1 Ch n n=10 x y y* Ph m Th Hoa K31E-SPToán 52 ng Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 53 ng K T LU N Gi i g n toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân th ng d ng toán ph c t p, vi c nghiên c u tìm hi u m t cách sâu s c không h đ n gi n Do nh ng u ki n nghiên c u h n ch nên khố lu n khơng đ a đ v i ph ng trình vi phân th tốn ch a đ đ c t t c ph c ph ng pháp đ gi i toán Cauchy đ i ng vi c đ a ng d ng c a tin h c vào gi i c hoàn thi n Song n i dung khoá lu n v n đ a ng pháp c b n quan tr ng nh t dùng ngôn ng Pascal đ l p trình k t h p v i ch ng trình MapleV đ gi i toán Do ki n th c c a b n thân ng i làm khố lu n cịn h n ch đ ng th i ch a có kinh nghi m nghiên c u đ tài khoa h c nên không tránh kh i nh ng thi u sót Em hy v ng s nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a th y cô giáo b n sinh viên đ nâng cao thêm ch t l Em mong r ng đ tài s ti p t c đ c m i ng h n Em xin chân thành c m n! Ph m Th Hoa K31E-SPToán ng c a khố lu n i quan tâm hồn thi n Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th 54 ng TÀI LI U THAM KH O Ph m K Anh(2005), “Gi i tích s ”, NXB HQG Hà N i(Tái b n l n th 7) Nguy n Minh Ch Tu n-Nguy n T Ph m Huy ng-Nguy n V n Kh i-Khu t V n Ninh-Nguy n v n ng(2001), “Gi i tích s ”, NXB Giáo D c i n(2002), “Tính tốn, l p trình gi ng d y tốn h c Maple”, NXB Khoa H c K Thu t Nguy n Th Hoàn-Ph m Phu, “C s ph ng trình vi phân lý thuy t n đ nh”, NXB Giáo D c Ph m Th Hoa K31E-SPToán ... s I Các khái ni m S g n Sai s Sai phân II Khái quát v ph ng trình vi phân M t s khái ni m Bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân th Bài tốn Cauchy đ i v i h ph ng c p ng trình vi phân th... K31E-SPToán Khoá lu n t t nghi p: Các ph ng pháp gi i toán Cauchy đ i v i ptvp th CH 11 ng NG NG PHÁP GI I G N ÚNG BÀI TOÁN CAUCHY CÁC PH V I PH Các ph NG NG TRÌNH VI PHÂN TH ng pháp gi i ph ng trình. .. tìm ngh m c a ph ng trình vi phân ph c v cho t p gi i ph b ng ph ong pháp Euler ph ng pháp Euler -Cauchy d Dùng thu t toán MapleV gi i ph ng trình vi phân i đây) ng trình vi phân sau: 1.y’ = y+(1+x)y2,