Phương pháp giải bài toán cauchy đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phịng Sau đại học, thầy giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp trường trung học phổ thơng Minh Phú gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hiền Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khơng gian giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Khơng gian tuyến tính 1.1.3 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.1.4 Không gian Hilbert 11 1.2 Tốn tử tuyến tính 12 1.2.1 Toán tử tuyến tính khơng gian định chuẩn 12 1.2.2 Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 15 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính 17 1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 17 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 20 iii 1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 25 1.4 Sai phân tính chất 25 Phương pháp giải tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân 27 2.1 Phương trình tốn tử vi phân thường 27 2.1.1 Phương trình vi phân với họ tốn tử G = {G (t)} 28 2.1.2 Phương trình vi phân với toán tử Volterra, C - lý thuyết 36 2.1.3 Phương trình vi phân với tốn tử Volterra, L2 - lý thuyết 39 2.2 Định lý tồn nghiệm phương trình giả parabolic 43 2.2.1 Phương trình giả parabolic, C - lý thuyết 43 2.2.2 Phương trình giả parabolic, L2 - lý thuyết 47 2.3 Phương pháp sai phân giải gần tốn Cauchy 50 Một số ví dụ áp dụng 52 3.1 Phương trình vi phân tuyến tính 53 3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 58 3.2.1 Hệ 58 3.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số 59 3.3 Một số ví dụ giải gần 64 Kết luận 68 iv Tài liệu tham khảo 69 v BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R+ Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực phức Rn Không gian Euclide n - chiều C[a;b] Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a; b] L2 [a;b] Không gian hàm bình phương khả tích [a; b] L (X, Y ) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình toán tử nhiều nhà khoa học nghiên cứu có nhiều kết tốn học đại Một vấn đề toán học đại nghiên cứu phương pháp giải toán Cauchy Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân, luận văn tơi trình bày đề tài: “ Phương pháp giải tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính ” Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp giải toán Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính, ứng dụng vào giải số phương trình cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng sở lý thuyết để giải toán toán Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Bài tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính không gian Banach không gian Hilbert Dự kiến đóng góp Đề tài nghiên cứu cách có hệ thống số phương pháp giải tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính Đưa vài ví dụ giải gần toán Cauchy dùng phương pháp sai phân Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức, phương pháp Đại số tuyến tính, Giải tích hàm, Giải tích số Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan Suy luận logic, phân tích, tổng hợp hệ thống hóa Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khơng gian giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Cho X tập hợp tùy ý X = φ Định nghĩa 1.1.1 Một metric X ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau: i) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d (x, y) = ⇔ x = y; ii) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X; iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X metric X gọi không gian metric, ký hiệu (X, d) Số d (x, y) gọi khoảng cách điểm x y Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R ta đặt: d (x, y) = |x − y| (1.1) Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối tập số thực R ta dễ dàng kiểm tra (1.1) xác định metric R, không gian tương ứng ký hiệu R1 Ta gọi metric (1.1) metric tự nhiên Ví dụ 1.1.2 Ta ký hiệu C[a;b] tập tất hàm số giá trị thực xác định liên tục [a; b], (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm số x (t) , y (t) ∈ C[a;b] ta đặt: d (x, y) = max |x(t) − y(t)| (1.2) a≤t≤b Vì hàm số x (t) , y (t) liên tục [a; b], nên hàm số |x(t) − y(t)| liên tục [a; b] Hệ thức (1.2) xác định ánh xạ từ C[a;b] ×C[a;b] vào tập số thực R Ánh xạ (1.2) thoả mãn tiên đề metric Không gian metric tương ứng ký hiệu C[a;b] Định nghĩa 1.1.2 Cho dãy phần tử xn ∈ X, ∀n ∈ N∗ phần tử x∗ ∈ X Khi x∗ gọi giới hạn dãy {xn }n∈N∗ lim d (xn, x∗ ) = n→∞ ∗ ký hiệu lim xn = x n→∞ Dãy điểm {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N0 cho ∀n, m > N0 d (xn , xm ) < ε Định nghĩa 1.1.3 Một dãy điểm {xn } , n = 1, 2, không gian metric (X, d) gọi dãy (hay dãy Cauchy) nếu: lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Định lý 1.1.1 Mọi tập đóng khơng gian metric đầy đủ khơng gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử F tập đóng khơng gian metric đầy đủ (X, d) Giả sử {xn } dãy F tức lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Suy {xn } dãy X 56 y + y = x2 + 3; y (0) = −1 x+2 Bài làm Xét phương trình: y + y =0 x+2 dy dx C =− ⇒y= y x+2 x+2 C (x) C (x) C (x) Coi C = C (x) y = ⇒y = − x+2 x+2 (x + 2)2 Thay vào phương trình ban đầu ta có: C (x) C (x) C (x) 2 + =x +3 x+2 − (x + 2) (x + 2) ⇒ C (x) = (x + 2) x2 + ⇒ ⇒ C (x) = x3 + 2x2 + 3x + ⇒ C (x) = x4 2x3 3x2 + + + 6x + C1 x + 2x + 3x + dx = 3 Do đó: y= x4 2x3 3x2 + + + 6x + C1 Vì y (0) = −1 nên : (x + 2) C1 = −1 ⇒ C1 = −2 Vậy y= x4 2x3 3x2 6x + + + − (x + 2) (x + 2) (x + 2) x + x + Ví dụ 3.1.4 Giải phương trình: y + y = ; y (1) = x x Bài làm Xét phương trình: y + y=0 x 57 dy y dy dx = −3 ⇒ = −3 ⇒ y = Cx−3 dx x y x Coi C = C (x) ta có: y = C (x) x−3 ⇒ y = −3x−2 C (x) + x−3 C (x) Thay vào phương trình ban đầu ta có: −3x−2 C (x) + x−3 C (x) + x−3 C (x) = x x x−3 C (x) = ⇒ C (x) = ⇒ C (x) = 2x + C1 x Do đó: y = (2x + C1 ) x−3 Vì y (1) = nên C1 + = ⇒ C1 = −1 Vậy y = (2x − 1) x−3 = − + x x Ví dụ 3.1.5 Giải phương trình: xy = x + 2y; y (0) = Bài làm Xét phương trình: xy − 2y = 2y dy dx ⇒ =2 ⇒ y = Cx2 x y x Coi C = C (x) y = C (x) x ⇒ y = C (x) x2 + 2xC (x) Với x = ta có: y = Thay vào phương trình ban đầu ta được: x C (x) x2 + 2xC (x) = x + 2C (x) x2 ⇒ C (x) x2 = ⇒ C (x) = Do đó: 1 ⇒ C (x) = − + C1 x2 x 58 y = x2 − + C1 x = −x + x2 C1 Ta thấy y (0) = với ∀C1 Vậy y = −x + x2 C1 3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 3.2.1 Hệ Hệ phương trình vi phân tuyến tính có dạng   dy1 = a11 (x) y1 + a12 (x) y2 + + a1n (x) yn + f1 (x)  dx    dy2  = a (x) y + a (x) y + + a (x) y + f (x) dx      dyn  dx 21 22 2n n (3.12) = an1 (x) y1 + an2 (x) y2 + + ann (x) yn + fn (x) Ta giả thiết hàm số aij (x) , fi (x) (i, j = 1, , n) liên tục (a; b) Với giả thiết x0 ∈ (a; b) giá trị tuỳ 0 ý y1 , y2 , , y0 hệ có nghiệm y1 (x) , y2 (x) , ,yn (x) thoả mãn n 0 điều kiện ban đầu y1 (x0 ) = y1 , y2 (x0 ) = y2 , ,yn (x0 ) = yn Ta   đặt:    y dy1    dx y       dY  , Ax = [aij (x)] , F (x) =  Y = = ,  n×n    dx  dyn    dx yn hệ viết dạng: dY dx = Ax.Y + F (x) f1 (x)   f2 (x)      fn (x) 59 Nếu hệ (3.11) hàm fi (x) = (i = 1, n) nghĩa có dạng dY = Ax.Y (3.13) dx (3.12) gọi hệ phương trình vi phân tuyến tính 3.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số hệ phương trình có dạng:   dy1 = a11 y1 + a12 y2 + + a1n yn  dx    dy2  = a y + a y + + a y 21 dx      dyn  dx 22 2n n = an1 y1 + an2 y2 + + ann yn aij , i, j = 1, 2, n số Ví dụ 3.2.1 Giải hệ phương trình: dy dx dz dx = 2y + z = y + 2z biết y (0) = z (0) = Bài làm Phương trình đặc trưng: 2−k 1 2−k Với k = 1, xét hệ = ⇔ k − 4k + = ⇔ k = 1; k = (2 − 1) α1 + α2 = α1 + (2 − 1) α2 = chọn α1 = ⇒ α2 = −1 Ta Y1 = Với k = 3, xét hệ ex −ex (3 − 1) α1 + α2 = α1 + (3 − 1) α2 = ⇔ α1 + α2 = 60 ⇔ 2α1 + α2 = ⇒ α1 − α2 = α1 + 2α2 = chọn α1 = ⇒ α2 = Ta Y2 = Do nghiệm tổng quát: y = Y = C1 Y1 + C2 Y2 = C1 z ⇒ Vì e3x e3x ex + C2 −ex e3x e3x y = C1 ex + C2 e3x z = −C1 ex + C2 e3x y (0) = z (0) = nên C1 + C2 = −C1 + C2 = ⇔ C1 = − C2 = Vậy y = − ex + e3x z = ex + e3x Ví dụ 3.2.2 Giải hệ phương trình: dy dx dz dx = 2y − z = y + 2z biết y (0) = z (0) = π Bài làm Phương trình đặc trưng: 2−k −1 = ⇔ (2 − k)2 + = ⇔ k1,2 = ± i 2−k Với k = + i thay vào hệ ta được: [2 − (2 + i)] α1 − α2 = −iα1 − α2 = ⇔ ⇔ α1 − iα2 = α1 + [2 − (2 + i)] α2 = α1 − iα2 = chọn α2 = ⇒ α1 = i Ta ie(2+i)x ie2x eix e2x i (cos x + isinx) Y = = = e(2+i)x e2x eix e2x (cos x + i sin x) = e2x (−sinx + i cos x) e2x (cos x + i sin x) 61 = −e2x sinx +i e2x cos x Đặt: U = e2x cos x e2x sinx −e2x sinx e2x cos x ;V = e2x cos x e2x sinx Nghiệm tổng quát: y −e2x sinx = Y = C1 U + C V = C1 + C2 z e2x cos x ⇒ Vì e2x cos x e2x sinx y = −C1 e2x sinx + C2 e2x cos x z = C1 e2x cos x + C2 e2x sinx y (0) = z (0) = π nên C2 = C1 = π Vậy y = − π e2x sinx + e2x cos x z = π e2x cos x + e2x sinx Ví dụ 3.2.3 Giải hệ phương trình: dy dx dz dx =y−z = y + 3z biết y (0) = z (0) = Bài làm Phương trình đặc trưng: 1−k −1 = ⇔ (1 − k) (3 − k) + = 3−k ⇔ k − 4k + = k = (bội 2) y = (α1 + α2 x) e2x y = α2 e2x + (α1 + α2 x) e2x ⇒ ⇒ z = (α3 + α4 x) e2x z = α4 e2x + (α3 + α4 x) e2x ⇒ y = (2α1 + α2 + 2α2 x) e2x z = (2α3 + α4 + 2α4 x) e2x Thay vào hệ cho ta (2α1 + α2 + 2α2 x) e2x = (α1 + α2 x) e2x − (α3 + α4 x) e2x ⇒ (2α3 + α4 + 2α4 x) e2x = (α1 + α2 x) e2x + (α3 + α4 x) e2x 62 ⇒ 2α1 + α2 + 2α2 x = α1 + α2 x − α3 − α4 x 2α + α4 + 2α4 x = α1 + α2 x + 3α3 + 3α4 x    α1 + α2 + α3 =  2α1 + α2 = α1 − α3          α +α =0  2α = α − α 2 ⇔ ⇒  α1 + α3 − α4 =  2α3 + α4 = α1 + 3α3          α +α =0  2α = α + 3α 4 ⇔ α1 + α2 = −α3 α2 = −α4 chọn α3 = C1 , α4 = C2 ⇒ ⇒ Vì α1 = C − C α2 = −C2 y = (C2 − C1 − C2 x) e2x z = (C1 + C2 x) e2x y (0) = z (0) = nên C2 − C1 = C1 = C1 = ⇒ C2 = Vậy y = (2 − 5x) e2x z = (3 + 5x) e2x Ví dụ 3.2.4 Giải hệ phương trình sau: dy dx dz dx = y + z − x2 + x − = −2y + 4z + 2x2 − 4x − biết y (0) = z (0) = Bài làm Xét hệ phương trình tương ứng: dy dx dz dx =y+z = −2y + 4z Phương trình đặc trưng: 1−k = ⇔ (1 − k) (4 − k) + = −2 4−k 63 ⇔ k − 5k + = ⇔ Với k = 2, xét hệ k=2 k=3 (1 − 2) α1 + α2 = −2α1 + (4 − 2) α2 = chọn α1 = ⇒ α2 = ⇒ Y1 = Với k = 3, xét hệ ⇒ ⇒ y e2x e2x (1 − 3) α1 + α2 = −2α1 + (4 − 3) α2 = chọn α1 = ⇒ α2 = ⇒ Y2 = ⇔ −α1 + α2 = ⇒ −2α1 + α2 = e3x 2e3x = Y = C1 Y1 + C2 Y2 z y = C1 e2x + C2 e3x z = C1 e2x + 2C2 e3x Coi C1 = C1 (x) , C2 = C2 (x) ⇒ y = C1 (x) e2x + C2 (x) e3x z = C1 (x) e2x + 2C2 (x) e3x y = C (x) e2x + 2C1 (x) e2x + C (x) e3x + 3C2 (x) e3x z = C (x) e2x + 2C1 (x) e2x + 2C (x) e3x + 6C2 (x) e3x Thay  hệ ban đầu ta được: vào  C (x) e2x + 2C1 (x) e2x + C (x) e3x + 3C2 (x) e3x =      = 2C (x) e2x + 3C (x) e3x − x2 + x − 2  C (x) e2x + 2C1 (x) e2x + 2C (x) e3x + 6C2 (x) e3x =      = 2C (x) e2x + 6C (x) e2x + 2x2 − 4x − ⇒ ⇒ ⇒ C (x) e2x + C (x) e3x = −x2 + x − C (x) e2x + 2C (x) e3x = 2x2 − 4x − C (x) e3x = −4x2 + 6x + C (x) e2x = 3x2 − 5x − C (x) = −4x2 + 6x + e−2x C (x) = 3x2 − 5x − e−3x 64 ⇒ C1 (x) = 2x2 − x − e−2x + D1 C2 (x) = −x2 + x + e−3x + D2 Do đó: y = C1 (x) e2x + C2 (x) e3x = x2 + D1 e2x + D2 e3x z = C1 (x) e2x + 2C2 (x) e3x = x + + D1 e2x + 2D2 e3x Vì y (0) = z (0) = Vậy nên D1 + D2 = D1 + 2D2 + = y = x2 z =x+2 3.3 ⇒ D1 = D2 = Một số ví dụ giải gần Ở trang 28 ta trình bày lý thuyết tổng quát cho trường hợp G tốn tử phi tuyến sau ta xét ví dụ Ví dụ 3.3.1 Tìm ba nghiệm xấp xỉ liên tiếp toán sau phương pháp xấp xỉ liên tiếp y = x2 + y , y (0) = Bài làm Bài toán phương trình vi phân phi tuyến, ta dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải gần Thay toán phương trình tích phân x x2 + y dx y (x) = Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ y0 (x) ≡ 65 x x x + y1 (x) = y0 (x) x x x2 + x2 + y2 (x) dx = y3 (x) = x3 x6 x6 x x + x7 63 + 2x11 2079 + x3 x2 + x2 + y1 (x) dx = y2 (x) = = x2 dx = dx = dx = + 2x10 189 x3 + + x7 63 x14 3969 dx x15 59535 Ví dụ 3.3.2 Giải gần phương trình y + 3x2 y + 5y = x3 [0; 1] biết y (0) = 0; y (0) = Bài làm Chia [0; 1] thành phần điểm chia = x1 < x2 = 0, < x3 = 0, < x4 = 0, < x5 = 0, < x6 = 1; h = 0, Tại nút thứ i ta có cơng thức gần y (xi ) ≈ y (xi ) ≈ yi+2 −2yi+1 +yi ∆2 yi = 25yi+2 h2 = h2 ∆yi h = 5yi+1 − 5yi ; i = 1, − 50yi+1 + 25yi ; i = 1, Do ta có hệ phương trình sai phân   y1 =      y2 − y1 = 0,      25y − 50y + 25y + 5y = 1  25y4 − 50y3 + 25y2 + 0, 12 (5y3 − 5y2 ) + 5y2 = 0, 08      25y − 50y + 25y + 0, 48 (5y − 5y ) + 5y = 0, 064  4 3     25y − 50y + 25y + 1, 08 (5y − 5y ) + 5y = 0, 216 5  4  y1 =  y1 =          y2 = 0,  y2 = 0,          25y − 50y + 30y =  y = 0, 3 ⇔ ⇔  25y4 − 49, 6y3 + 29, 4y2 = 0, 08  y4 = 0, 5616          25y − 47, 6y + 27, 6y = 0, 064  y = 0, 6302464   5        25y − 44, 6y + 24, 6y = 0, 216  y ≈ 0, 5803851776 6 1 Ví dụ 3.3.3 Giải gần phương trình: y − y + y = [1; 2] x x 66 biết y (1) = 2; y (1) = Bài làm Chia đoạn [1; 2] thành đoạn nhỏ điểm chia = x1 < x2 = 1, 125 < x3 = 1, 25 < x4 = 1, 375 < x5 = 1, < < x6 = 1, 625 < x7 = 1, 75 < x8 = 1, 875 < x9 = 2; h = 0, 125 y (1) = ⇒ y1 = 2; y (1) = ⇒ y2 −y1 = ⇒ y2 = 2, 0,125 Tại nút thứ i ta có cơng thức gần y (xi ) ≈ y (xi ) ≈ yi+2 −2yi+1 +yi ∆2 yi = 64yi+2 − 128yi+1 h2 = h2 yi+1 −yi ∆yi = 8yi+1 − 8yi ; i = 1, h = h + 64yi ; i = 1, Do ta có hệ phương trình sai phân   y1 = 2; y2 = 2,      64y − 128y + 64y − (8y − 8y ) + y =   2 1     64y4 − 128y3 + 64y2 − (8y3 − 8y2 ) + 64 y2 =   81    64y − 128y + 64y − 0, (8y − 8y ) + 0, 64y = 4 3  64y6 − 128y5 + 64y4 − (8y5 − 8y4 ) + 64 y4 =  11 121     64y − 128y + 64y − (8y − 8y ) + y =  6     64y − 128y + 64y − (8y − 8y ) + 64 y =   7 13 169    16  64y9 − 128y8 + 64y7 − (8y8 − 8y7 ) + y7 = 49    y1 =   y1 = 2; y2 = 2,       y2 = 2,      64y − 136y + 73y =       y = 3, 046875     1216 5824   64y4 − y3 + 81 y2 =    y ≈ 3, 639274691       64y − 134, 4y + 71, 04y =  ⇔ ⇔ y ≈ 4, 260445602  64y6 − 1472 y5 + 8512 y4 =    11 121   y ≈ 4, 923634945      64y − 400 y + 628 y =       y7 ≈ 5, 628128639     64y − 1728 y + 11712 y =      13 169  y ≈ 6, 373305221        64y9 − 928 y8 + 3376 y7 =   49 y9 ≈ 7, 15861876 Ví dụ 3.3.4 Giải gần phương trình y + xy + (x − 1) y + y = 2x [0; 1] biết y (0) = 0; y (0) = 1; y (0) = 67 Bài làm Chia [0; 1] thành phần điểm chia = x1 < x2 = 0, < x3 = 0, < x4 = 0, < x5 = 0, < x6 = 1; h = 0, Tại nút thứ i ta có cơng thức gần y y ∆3 yi h3 yi+3 −3yi+2 +3yi+1 −yi = 125yi+3 − 35yi+2 + 375yi+1 h3 (xi ) ≈ ∆ 2yi = yi+2 −2y2i+1 +yi = 25yi+2 − 50yi+1 + 25yi h h ∆yi (xi ) ≈ h = 5yi+1 − 5yi ; i = 1, y (xi ) ≈ = − 125yi Do ta có hệ phương trình sai phân   y1 =     y =5       y3 = 35      125y − 375y + 375y − 125y − (5y − 5y ) + y = 2 1  125y5 − 375y4 + 375y3 − 125y2 + 0, (25y4 − 50y3 + 25y2 ) −      −0, (5y − 5y ) + y = 0,  2     125y − 375y + 375y − 125y + 0, (25y − 50y + 25y ) −   5     −0, (5y4 − 5y3 ) + y3 = 0,    y1 =  y1 =          y2 =  y2 =          y = 35  y = 35 3 ⇔ ⇔  y4 = 90,  125y4 − 375y3 + 370y2 − 119y1 =          y = 170, 5125  125y − 370y + 361y − 115y = 0,          y = 274, 987584  125y − 365y + 352y − 111y = 0, 6 68 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hệ thống phương pháp giải tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính Giải xác số phương trình vi phân cụ thể số ví dụ giải gần Với khả thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn góp ý để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2009) Bài tập phương trình vi phân, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2006) Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định nghiệm, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [6] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001) Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [7] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [8] H Gajewski, K Greger, K Zacharias (1978), Nonlinear operator equations and operator differential equations, Publishing World Moscow 69 70 [9] S G Krein (1967), Linear diferential equations in Banach spaces, Moscow, Nauka, Main Editorial Board, for Literature on Physics and Mathematic [10] V K Ivanov, I V Melnikova, A I Filinkov (1994), Differential operator equations and ill - posed problems, Moscow, Nauka, Main Editorial Board, for Literature on Physics and Mathematics ... Chương Phương pháp giải toán Cauchy phương trình tốn tử vi phân Các kết cho phương trình vi phân tổng qt 2.1 Phương trình tốn tử vi phân thường Như biết giáo trình phương trình vi phân thường xét toán. .. để giải tốn tốn Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Cauchy phương trình tốn tử vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Bài. .. 25 Phương pháp giải toán Cauchy phương trình tốn tử vi phân 27 2.1 Phương trình tốn tử vi phân thường 27 2.1.1 Phương trình vi phân với họ tốn tử G = {G (t)} 28 2.1.2 Phương trình vi