Phương pháp giải bài toán cauchy đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính

C[a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b] L X, Y Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y... Mộ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp

đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luậnvăn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cậnmột vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắcnhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo,đồng nghiệp trường trung học phổ thông Minh Phú cùng gia đình, ngườithân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giảhoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hiền

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hiền

iii

thuyết 362.1.3 Phương trình vi phân với toán tử Volterra, L2 - lý

thuyết 392.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình

giả parabolic 432.2.1 Phương trình giả parabolic, C - lý thuyết 432.2.2 Phương trình giả parabolic, L2 - lý thuyết 472.3 Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán Cauchy 50

3.1 Phương trình vi phân tuyến tính 533.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 583.2.1 Hệ thuần nhất 583.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

với hệ số hằng số 593.3 Một số ví dụ giải gần đúng 64

iv

v

C[a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]

L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]

L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình toán tử được nhiều nhà khoa học nghiêncứu và có nhiều kết quả trong toán học hiện đại Một trong các vấn đềcủa toán học hiện đại là nghiên cứu phương pháp giải bài toán Cauchy.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn bài toán Cauchy và đối với phươngtrình toán tử vi phân, trong luận văn này tôi trình bày đề tài:

“ Phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình toán

tử vi phân tuyến tính ”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp giải bài toán Cauchy đối vớiphương trình toán tử vi phân tuyến tính, ứng dụng vào giải một sốphương trình cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải bài toán bài toán Cauchy đối vớiphương trình toán tử vi phân tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Cauchy đối với phương trình toán

tử vi phân tuyến tính

Phạm vi nghiên cứu: Bài toán Cauchy đối với phương trình toán

tử vi phân tuyến tính trong không gian Banach và không gian Hilbert

6 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính, Giảitích hàm, Giải tích số

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số không gian của giải tích hàm

Cho X là một tập hợp tùy ý và X 6= φ

Định nghĩa 1.1.1 Một metric trong X là một ánh xạ

d : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau:

3

Ví dụ 1.1.2 Ta ký hiệu C[a;b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xácđịnh và liên tục trên [a; b], (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm số bất kỳ

Ánh xạ (1.2) thoả mãn các tiên đề về metric Không gian metrictương ứng vẫn ký hiệu là C[a;b]

Định nghĩa 1.1.2 Cho dãy các phần tử xn ∈ X, ∀n ∈ N∗ và phần tử

x∗ ∈ X Khi đó x∗ được gọi là giới hạn của dãy {xn}n∈N∗ nếu lim

n→∞d (xn,x∗) = 0

và ký hiệu lim

n→∞xn = x∗.Dãy điểm {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N0 saocho ∀n, m > N0 thì d (xn, xm) < ε

Định nghĩa 1.1.3 Một dãy điểm {xn} , n = 1, 2, trong không gianmetric (X, d) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu:

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn} hội tụ, tức là

∃x0 ∈ X : xn → x0, n → ∞Như vậy (xn) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞ Do F là tập đóng nên

x0 ∈ F

Vậy F là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.1.3 Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng

S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} , r ∈ R+

là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian metric tùy ý (X, d1) và (Y, d2).Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) saocho ∀x1, x2 ∈ X ta đều có d2(A(x1), A(x2)) ≤ αd1(x1, x2) α gọi là hệ

số co của ánh xạ co A

Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh

xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có một điểm bấtđộng duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x∗ ∈ X thỏa mãn

Ax∗ = x∗, x∗ là giới hạn của dãy (xn) , xn = A (xn−1) , x0 ∈ X tùy ý và

Vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.

Nhận xét 1.1 Nếu A là ánh xạ co từ không gian metric đầy (X, d) vàochính nó S (x0, r) ⊂ X, nếu thêm giả thiết d (Ax0, x0) ≤ (1 − α) r thì Acũng là ánh xạ co từ hình cầu đóng S (x0, r) ⊂ X vào chính nó, α là hệ

số co của A

Chứng minh i, Theo định lý 1.1.1 thì S (x0, r) là không gian metric đầy

ii, Giả sử A là ánh xạ co với hệ số co α

d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ X

⇒ d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ S (x0, r)

iii, Ta chứng minh A S (x0, r)
⊂ S (x0, r) tức là với ∀y ∈ S (x0, r) taphải chứng minh d (Ay, x0) ≤ r Thật vậy

d (Ay, x0) ≤ d (Ay, Ax0) + d (Ax0, x0)

≤ αd (y, x0) + d (Ax0, x0) ≤ α.r + d (Ax0, x0)Nếu giả thiết d (Ax0, x0) ≤ (1 − α) r thì d (Ay, x0) ≤ α.r + (1 − α) r = r

⇒ Ay ∈ S (x0, r) ⇒ A S (x0, r)
⊂ S (x0, r)

Như vậy nguyên lý Banach về ánh xạ co có thể áp dụng trên hìnhcầu đóng của không gian metric đầy đủ

1.1.2 Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử K là trường số thực hoặc phức, tập X 6= φcùng với hai phép tính cộng và nhân vô hướng:

+) Phép cộng:

X × X → X(x, y) 7→ x + y+) Phép nhân vô hướng:

K × X → X(λ, x) 7→ λ.x

X gọi là không gian tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1 ∀x, y ∈ X : x + y = y + x;

2 ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z) ;

3 ∀x ∈ X, ∃θ ∈ X : x + θ = x;

4 ∀x ∈ X, ∃(−x) ∈ X : x + (−x) = θ; (θ là ký hiệu phần tử khôngcủa không gian X)

5 ∀λ ∈ K; ∀x, y ∈ X : λ (x + y) = λx + λy;

6 ∀λ, µ ∈ K; ∀x ∈ X : (λ + µ) x = λx + µx;

Định nghĩa 1.1.7 Cho X là một không gian vectơ trên trường K (

K = R hoặc C) Một chuẩn trong X, ký hiệu k.k, là một ánh xạ từ Xvào tập số thực R thỏa mãn các tiên đề sau

i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) kαxk = |α| kxk ;

iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn (hay độ dài) của véc tơ x

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong khônggian đó được gọi là không gian định chuẩn

Định lý 1.1.3 Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt

d (x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ XKhi đó, d là một metric trên X.

Định nghĩa 1.1.8 Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X đượcgọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu

Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R1

R1 là không gian Banach

Ví dụ 1.1.6 Rn - Không gian vectơ Euclide n - chiều là không gianBanach với chuẩn

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.11 Cho không gian vectơ X trên trường K (K = Rhoặc C) Ta gọi là tích vô hướng trên X mọi ánh xạ đi từ X × X → K,

ký hiệu (., ) thoả mãn các tiên đề sau với ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ K

1 (x, y) = (y, x)

2 (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

3 (λx, y) = λ (x, y)

4 ∀x ∈ X thì (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ

( θ là ký hiệu phần tử không của không gian X)

Số (x, y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y

Định nghĩa 1.1.12 Ta gọi H 6= φ gồm các phần tử x, y, z, là khônggian Hilbert nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1 H là không gian tuyến tính trên trường K

2 H được trang bị một tích vô hướng (., )

3 H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), ∀x ∈ H.Nếu K = R hoặc C thì không gian Hilbert tương ứng là không gianHilbert thực hoặc phức

Ví dụ 1.1.7 Không gian R là không gian Hilbert với

1.2 Toán tử tuyến tính

1.2.1 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn

Toán tử tuyến tính liên tục, bị chặn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trêntrường K Một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếuthoả mãn:

a) A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), ∀x1, x2 ∈ X

b) A(αx) = αA(x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ K

Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với

x trong toán tử A Dễ thấy hai điều kiện a) và b) tương đương vớiA(α1x1 + α2x2 + + αnxn) = α1A(x1) + α2A(x2) + + αnA(xn),

∀x1, x2, xn ∈ X, ∀α1, α2, , αn ∈ K

Nếu X = Y thì ta cũng nói A là một toán tử trong X

Ví dụ 1.2.1 Cho X = Rk, Y = Rm, A(ξ1; ξ2; ; ξk) = (η1; η2; ; ηm),Với

Gọi là ma trận của toán tử A

Dễ thấy rằng (1.3) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính

từ Rk vào Rm

Thật vậy, cho A là một toán tử tuyến tính bất kỳ từ Rk vào Rm.Gọi {e1; e2; ; ek} và {f1; f2; ; fm} là các cơ sở của Rk

và Rm sao cho

P

j=1

ξj(Aej).Vậy đặt Ax = {η1; η2; ; ηm} , Aej = (a1j; a2j; ; amj) ta có (1.3)

a ≤ t, s ≤ b

Toán tử này gọi là một toán tử tích phân với hạch là K(t, s).Định nghĩa 1.2.2 Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu

xn → x0(n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0(n → ∞)

Một toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm bao giờ cũng liên tục

Thật vậy, như trên đã thấy một toán tử như thế có dạng (1.3).Nếu xn = (ξ1(n); ξ2(n); ; ξk(n)) → x0 = (ξ1(0); ξ2(0); ; ξk(0)) thì do

sự hội tụ trong Rk là hội tụ theo toạ độ, ta có ξj(n) → ξj(0)(j = 1, 2, , k)

Định nghĩa 1.2.3 Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (hay giớinội) nếu tồn tại hằng số M > 0 để cho:

Số M nhỏ nhất thoả mãn hệ thức (1.4) gọi là chuẩn của toán tử A,

ký hiệu kAk

Khi đó kAk = inf {M > 0 : kAxk ≤ M kxk , ∀x ∈ X}

Định lý 1.2.1 Một toán tử A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bịchặn

Định lý 1.2.2 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn Xvào không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn thì

kAxk ≥ α kxk (∀x ∈ X)

Khi đó A−1 ≤ 1

α.Nguyên lý đồ thị đóng Banach

Định nghĩa 1.2.4 Cho hai không gian định chuẩn X, Y và ánh xạ A

từ không gian X vào không gian Y Ta gọi đồ thị của toán tử A, ký hiệu

Định lý 1.2.4 Cho toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian Banach Xvào không gian Banach Y Toán tử A liên tục khi và chỉ khi A là toán

tử đóng

Định nghĩa 1.2.5 Cho họ (At)t∈T gồm các toán tử tuyến tính At ánh

xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T

là tập chỉ số có lực lượng nào đấy Họ (At)t∈T gọi là bị chặn từng điểmnếu với mỗi x ∈ X tập (At)t∈T bị chặn Họ (At)t∈T gọi là bị chặn đềunếu tập (kAtk)t∈T bị chặn

Định lý 1.2.5 Nếu họ (At)t∈T các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạkhông gian Banach X vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểmthì họ đó bị chặn đều

1.2.2 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

• Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định lý 1.2.6 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gianHilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Định nghĩa 1.2.6 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ khônggian Hilbert X vào không gian Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vàokhông gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu

Toán tử liên hợp B thường được ký hiệu là A∗

Định lý 1.2.8 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợpvới toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X

Định nghĩa 1.2.7 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gianHilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu

Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng

Định lý 1.2.9 Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbertvào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là sốthực đối với mọi x ∈ H

• Sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.2.8 Cho không gian Hilbert H Dãy điểm {xn} ⊂ H gọi

là hội tụ yếu tới điểm x ∈ H, ký hiệu xn * x, nếu với mọi điểm y ∈ Hlim

1.3 Phương trình vi phân tuyến tính

1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Định nghĩa 1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phươngtrình có dạng:

trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục cho trước

Nếu q (x) ≡ 0 thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyếntính cấp một thuần nhất

Nếu q (x) 6= 0 thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyếntính cấp một không thuần nhất

Cách giải:

Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân hai vế của (1.10) với thừa số eR p(x)dx

0

= q(x)eR p(x)dxLấy tích phân hai vế ta được:

y.eR p(x)dx = R q(x)eR p(x)dxdx + CVậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) có dạng:

Ví dụ 1.3.1 Giải phương trình:

y0 + 2x.y = 4x

Nhân hai vế của phương trình với thừa số eR 2xdx = ex2

Ta được: y0ex2 + 2xyex2 = 4xex2

Hay:

ddx



yex2



= 4x.ex2Lấy tích phân hai vế ta được:

yex2 = 4R xex 2

dx + C = 2ex2 + CVậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

y = 2 + C.e−x2

Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạngtích của hai hàm số Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dướidạng tích:

Muốn vậy ta chọn u (x) sao cho: u0 + p (x) u = 0 (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u (x) thoả mãn (**) vì (**) chính làphương trình tách biến Khi đó:

y = e−R p(x)dx

h

R q(x).eR p(x)dxdx + C

i

Cách 3: Phương pháp Larrange (pp hằng số biến thiên)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng y = u(x).v(x) với

u (x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyếntính thuần nhất cấp một

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp một

ta tìm được: u(x) = Ce−R p(x)dx

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) lại là:

y = e−R p(x)dx.v(x) chỉ sai khác so với u (x) ở chỗ thế hằng số C bằnghàm cần tìm v (x)

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuầnnhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v (x) sẽ giải được bàitoán

Vậy:

Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp một liên kết vớiphương trình (1.10):

y0 + p(x).y = 0

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

Suy ra: v0 = q(x).eR p(x)dx Từ đó tìm được v (x)

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Định nghĩa 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phươngtrình có dạng:

y00 + p(x).y0 + q(x).y = f (x), a ≤ x ≤ b (1.11)trong đó p(x), q(x), f (x) xác định trên [a; b]

+) f (x) = 0 : phương trình tuyến tính thuần nhất (đồng bậc) liên kếtvới pt (1.11)

+) f (x) 6= 0 : phương trình tuyến tính không thuần nhất

Định lý 1.3.1 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)

Nếu các hàm số p(x), q(x), f (x) liên tục trên khoảng (a; b) thì vớimọi x0 ∈ (a; b) và với mọi giá trị y0, y00 phương trình (1.11) có nghiệmduy nhất thỏa mãn điều kiện đầu:

y(x0) = y0, y0(x0) = y00 (1.12)

Định lý 1.3.2 Nếu y1, y2 là hai nghiệm của phương trình tuyến tínhthuần nhất cấp hai (pttt thuần nhất):

y1(x) y2(x)

y01(x) y02(x)

được gọi là định thức Wronski của cáchàm y1(x), y2(x)

Định lý 1.3.3 Nếu hai hàm số y1, y2 phụ thuộc tuyến tính và có đạohàm trong khoảng (a; b) thì định thức Wronski W (x) = 0, ∀x ∈ (a; b).Chứng minh Giả sử tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho W (x) 6= 0 và:

α1y1(x) + α2y2(x) = 0, ∀x ∈ (a; b) (a)Lấy đạo hàm ta được:

α1y10(x) + α2y20(x) = 0, ∀x ∈ (a; b) (b)Thế x = x0 vào (a), (b) ta được hệ phương trình:

(

α1y1(x0) + α2y2(x0) = 0

α1y01(x0) + α2y02(x0) = 0

Hệ phương trình trên là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có

W (x0) 6= 0 nên có duy nhất nghiệm tầm thường: α1 = α2 = 0

Do đó y1(x), y2(x) là độc lập tuyến tính (!) (mâu thuẫn với giảthiết)

Vậy W (x0) = 0, ∀x0 ∈ (a; b)

Định lý 1.3.4 Nếu định thức Wronski của hai nghiệm y1, y2 (của ptvptuyến tính thuần nhất cấp hai) khác không tại một giá trị x = x0 trên[a; b], trên đó p (x) , q (x) liên tục thì W (x) = [y1; y2] 6= 0, ∀x ∈ [a; b].Chứng minh Do y1, y2 là 2 nghiệm của phương trình (1.13), nên:

W0 = y10y20 + y1y200− y10y02 − y2y10 − y2y100 = y1y200 − y2y100

Do đó, từ (1.16) ta có:

W0 + p(x).W = 0(phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp một)

Suy ra: dW

W = −p(x)dx ⇒ ln |W | = −R p(x)dx + ln |C|

Hay:

Định lý 1.3.5 (cấu trúc nghiệm của ptvp thuần nhất cấp hai)

Giả sử y1(x), y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính trong (a; b)của phương trình thuần nhất cấp hai (1.13) Khi đó, nghiệm tổng quátcủa phương trình (1.11) có dạng:

y = C1y1(x) + C2y2(x)

Chứng minh Hiển nhiên y là nghiệm của pt (1.13) với mọi hằng số C1, C2

(theo kết quả của định lý 1.3.6)

Ngược lại, giả sử u = u(x) là nghiệm của bài toán (1.11) với điềukiện (1.12) Ta cần chứng minh rằng, khi đó tồn tại duy nhất một cặp

số C10, C20 sao cho:

u = C10y1(x) + C20y2(x) (1.19)thoả mãn

u (x0) = u0; u0(x0) =u00 (1.20)

Ta xét hệ phương trình:

(

u = C10y1(x) + C20y2(x)u(x0) = u0; u0(x0) = u00 (1.21)

Vì hai nghiệm y1, y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính nên

W (x) 6= 0, ∀x ∈ [a; b]

Do đó, hệ phương trình (1.21) có ma trận hệ số:

y (x0) y2(x0)

y01(x0) y02(x0)

... data-page="33">

Phương pháp giải toán Cauchy phương trình tốn tử vi< /h3>

phân< /h3>

Các kết cho phương trình vi phân tổngqt

2.1 Phương trình tốn tử vi phân thường... 31

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Định nghĩa 1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng:

P0(x)y(n)+...

và y∗ nghiệm riêng phương trình (1.11) y = y + y∗ 1nghiệm tổng quát phương trình (1.11)

Nhận xét 1.4 Để giải phương trình vi phân tuyến tính khơng nhấtcấp hai, ta cần