Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 MAI THẾ QUỲNH NGHIỆM CƠ BẢN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ VI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 MAI THẾ QUỲNH NGHIỆM CƠ BẢN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ VI PHÂN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Huyện Sơn Dương, tỉnh Tuyên Quang, Phòng GD&ĐT Sơn Dương, đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Mai Thế Quỳnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Trần Văn Bằng. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Mai Thế Quỳnh Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Các kí hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2) . . . . . 4 1.2.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1) . . . . . . . 4 1.2.3 Hàm Bessel và hàm Hankel . . . . . . . . . . . 5 1.3 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.3 Hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.4 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.5 Đại số tích chập D  + . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính . . . . . 26 1.6.1 Toán tử tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.2 Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng . . . 28 1.6.3 Toán tử vi phân không dừng . . . . . . . . . . . 30 2 Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân phi tuyến 34 2.1 Toán tử tuyến tính với hệ số biến thiên . . . . . . . . 34 iii iv 2.1.1 Toán tử Fokker –Planck . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.2 Toán tử Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3 Phương trình điện báo . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.4 Toán tử Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 Toán tử p−Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2 Toán tử tựa Hyperbolic: . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo 42 v BẢNG KÍ HIỆU N Tập các số tự nhiên R Tập các số thực C Tập các số phức R + Tập các số thực không âm R d Không gian Eculidean d chiều A Bao đóng của tập A A  − lân cận của tập A B(x 0 , r) Hình cầu mở tâm x 0 bán kính r C p (Ω) Lớp hàm liên tục cùng với đạo hàm trên miền Ω đến cấp p C ∞ (Ω) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Ω C ∞ 0 (Ω) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên R d và có giá compact C p 0 (Ω) Tập của các hàm trong C p (Ω) và có giá compact D α Đạo hàm riêng cấp α D = D(R d ) Không gian các hàm thử trên R d D  = D  (R d ) Không gian của tất cả các hàm suy rộng trên R d D  + Lớp các hàm suy rộng trong D  (R 1 ) và triệt tiêu với t < 0 F Phép biến đổi Fourier F −1 Phép biến đổi Fourier ngược Γ(s) Hàm Gamma B(p, q) Hàm Beta H 1,2 v Hàm Hankel có bậc v I v Hàm Bessel điều chỉnh loại 1 bậc v J v Hàm Bessel loại 1 bậc v Y v Hàm Bessel loại 2 bậc v K v Hàm Bessel điều chỉnh loại 2 bậc v L(D) Toán tử vi phân tuyến tính L ∗ Toán tử liên hợp vi L Biến đổi Laplace Lf (t) = f (s) L −1 Biến đổi Laplace ngược L  D, ∂ ∂t  Toán tử vi phân không dừng P Hàm, P 1 x = d dx ln |x| S(x 0 , r) Mặt biên của hình cầu B(x 0 , r) S d (1) Diện tích mặt của hình cầu đơn vị trong R d S Không gian các hàm giảm nhanh trên R d S  (R d ) Tập các hàm suy rộng tăng chậm trên R d [f(x 0 )] Hàm bước nhảy f tại x 0 u ∗ (x, ξ) Nghiệm cơ bản Ψ(x o , α) spinor Γ Biên parabolic; Biên của miền Ω Γ ± Các nón quá khứ và tương lai δ(x, ξ) Hàm Delta Dirac Ω Miền trong R d χ A (x) Hàm đặc trưng của một tập A ∇ gradient (= grad =  i ∂ ∂x +  j ∂ ∂y +  k ∂ ∂z ) ∇ 2 Laplace, = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂z 2 ∇ 4 Toán tử song điều hòa (∇ 4 =  ∇ 2  2 )  Tích chập  c Toán tử sóng , = ∂ 2 ∂t 2 − c 2 ∇ 2  Toán tử sóng với c = 1, Kết thúc chứng minh vii 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm suy rộng (phân bố) có vai trò ngày càng quan trọng trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Năm 1975, F. E. Browder đã phát biểu “Khi xét các ứng dụng của giải tích hàm đối với phương trình đạo hàm riêng và giải tích chuỗi Fourier, lý thuyết hàm suy rộng đã nổi bật lên như một bước ngoặt đáng chú ý”. Những tiền đề cho sự phát triển của lý thuyết hàm suy rộng như: phép tính toán tử của Heaviside, đạo hàm suy rộng, nghiệm suy rộng của phương trình vi phân, biến đổi Fourier tổng quát, hàm delta Dirac và một số hàm đặc biệt khác, dòng de Rham,. . . đã được biết từ trước năm 1950, thời điểm cuốn sách chuyên khảo đầu tiên về lí thuyết các hàm suy rộng được xuất bản bởi L. Schawrtz. Từ đó các nhà toán học và các nhà vật lý bắt đầu sử dụng hàm suy rộng (các hàm tổng quát) trong việc nghiên cứu các bài toán của toán học ứng dụng và vật lý lí thuyết. Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng có ý nghĩa to lớn đối với việc nghiên cứu các bài toán của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Nó tạo ra một cơ sở toán học chặt chẽ, hệ thống, đầy đủ để xây dựng khái niệm nghiệm cơ bản, một kết nối quan trọng giữa khái niệm hàm delta Dirac và hàm Green. Sự tồn tại nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng bất kỳ đã được thiết lập bởi Malgrange-Ehrenpreis. Tuy nhiên việc tìm nghiệm cơ bản cụ thể đối với từng toán tử lại là vấn đề khác. Chúng ta biết rằng nghiệm cơ bản của các toán tử tuyến tính cấp hai cơ bản, bao gồm: toán tử Laplace, toán tử truyền nhiệt, toán tử truyền sóng đã được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương trình đạo hàm riêng. Với một số toán tử vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên, chúng ta có thể sử dụng các phép biến đổi thích hợp để đưa về toán tử tuyến tính cơ bản, sử dụng các công thức nghiệm cơ viii bản đã biết của các toán tử tuyến tính đó để nhận được nghiệm cơ bản cho chúng. Với một số toán tử phi tuyến thì cần có cách tiếp cận đặc biệt dựa trên cấu trúc của phương trình đó để tìm nghiệm dạng đặc biệt, từ đó xây dựng nghiệm cơ bản. Với các lý do như trên và mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về những thành tựu của các nhà toán học, các nhà vật lý về các hiện tượng tự nhiên, được sự định hướng và hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, chúng tôi đã chọn đề tài: “Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân phi tuyến” làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành Toán giải tích. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu những ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng trong việc xây dựng nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính và phi tuyến xuất hiện trong Vật lý như các toán tử: Fokker -Planck; Klein - Gordon. . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Các kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng; - Nghiệm cơ bản của một số toán tử tuyến tính; - Một số toán tử vi phân phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu -Các kết quả của lí thuyết hàm suy rộng; -Nghiệm cơ bản của các toán tử vi phân tuyến tính và phi tuyến. [...]... pháp biểu diễn nghiệm của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và các phương pháp cần thiết của giải tích hàm 6 Những đóng góp của luận văn -Trình bày một cách cơ bản, có hệ thống các kết quả của lí thuyết hàm suy rộng, nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính -Sử dụng các phép biến đổi để nghiên cứu nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên và phi tuyến thường gặp... |x − x0 | < r} là một hình cầu mở có tâm tại x0 ∈ Rn , bán kính r S(x0 , r) = {x||x − x0 | = r} là n biên của mặt cầu B(x0 , r) Sn (1) = 2π 2 Γ( n ) 2 n là diện tích mặt cầu đơn vị trong Rn ε - lân cận của tập A ⊂ R là: Aε = ∪ B(x, ε) x∈A n Ta gọi mỗi phần tử k = (k1 , k2 , , kn ) ∈ N là bộ n-chỉ số (hay đa chỉ số) với bậc |k| = k1 + k2 + · · · + kn Với mỗi đa chỉ số k, toán tử vi phân được xác định... rộng Dk δ(x), độc lập tuyến tính |k| < p, p = 0, 1, , là 12 ∞ (vi) ak δ (k) (x − k) hội tụ trong D với mọi giá trị của ak k=1 (vii) Nghiệm tổng quát của phương trình xn u(m) = 0, n > m trong D (R) là m−k−1 ck H(x)x u(x) = m−1 n−1 m−1 ck δ + (k−m) k=0 k=m k=0 dk xk , + với ck , dk là các hằng số bất kỳ (viii) (Dk f )(x + h) = Dk f (x + h) với mọi f ∈ D , h ∈ Rn Ví dụ 1.3.5 Hàm Heaviside xác định bởi:... (R1 ) nhưng 1 δ(x − n) = 1 0 khi n → ∞ trong D (R1 ) Tích chập của hai hàm suy rộng có một số tính chất sau: (i) Tính chất tuyến tính: (λf1 + µf2 ) g = λ(f1 g) + µ(f2 g), f1 , f2 ∈ D , với điều kiện là tích chập f1 g và f2 g tồn tại (ii) Tính chất giao hoán: Nếu tích chập f g tồn tại, thì g f cũng tồn tại và f g = g f (iii) Phép lấy vi phân: Nếu tích chập f f Dk g cũng tồn tại và Dk f g = Dk (f g tồn... D(Ω) 3 Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khi với mọi j ∈ N tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho |Λ(φ)| ≤ cj sup {|∂ α φ(x)| : |α| ≤ Nj } sup (1.3.2) x∈Kj φ∈DKj (Ω) Nếu tồn tại Nj không phụ thuộc j thì ta nói phiếm hàm Λ có cấp hữu hạn và số N nhỏ nhất thỏa mãn điều đó được gọi là cấp của Λ Định nghĩa 1.3.2 Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f : D(Ω) → C được gọi là một hàm... miền Ω giới hạn bởi một số hữu hạn mặt cong kín Trong trường hợp này tích phân mặt phải được lấy trên tất cả các mặt tạo thành biên Ω Nếu ta cho v = 1 trong (1.1.6), thì ∂u dS = ∂n ∂Ω 2 Ω udΩ (1.1.9) 4 Nếu ta lấy u = v trong(1.1.6), thì ∂u dS = (u 2 v + | u|2 )dΩ ∂n Ω ∂Ω 1.2 (1.1.10) Một số hàm đặc biệt Trong luận văn có sử dụng một số hàm đặc biệt sau đây 1.2.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2) Với... vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên và phi tuyến thường gặp trong Vật lý, như toán tử: Fokker-Planck; Klein-Gordon; Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu cơ bản Trong luận văn này ta ký hiệu N = {0, 1, 2, } là tập các số tự √ nhiên, R là tập các số thực, C là tập các số phức với đơn vị ảo −1 = i, R+ là tập các số thực không âm Nn = {k = (k1 , k2 , , kn )|kj ∈ N, j = 1, 2, } Rn = x = (x1 ,... ảnh Hiển nhiên biến đổi Laplace là tuyến tính và L{δ(t − τ )} = e−τ s với mọi s và τ ≥ 0 Ngoài ra ta có một số tính chất sau đây: (i) Đạo hàm của biến đổi Laplace: Nếu f ∈ D+ (c) thì ¯ L{(−t)m f (t)} = f (m) (s), σ > c, m = 0, 1, 2, · · · ; (ii) Biến đổi Laplace của đạo hàm: Nếu f ∈ D+ (c) thì ¯ L{f (m) (t)} = sm f (s), σ > c, m = 0, 1, 2, · · · ; (iii) Tịnh tiến của biến đổi Laplace: Nếu f ∈ D+ (c)... ∈ D+ , fn → 0 khi n → ∞ trong D (R) thì fn g → 0 khi n → ∞ trong D (R) Tích chập của hàm suy rộng trong D+ có tính chất kết hợp (và giao hoán): f1 (f2 f3 ) = (f1 f2 ) f3 = f2 (f1 f3 ) Như vậy, lớp D+ là một đại số kết hợp và giao hoán với phép nhân là tích chập Đại số đó được gọi là đại số tích chập, với hàm δ là phần tử đơn vị: δ f = f 1.4 Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.4.1 Cho f (x) là hàm giá trị... ∂xi Với các đạo hàm cấp thấp thì ta có thể vi t uxi , uxi xj Hơn nữa ta sẽ sử dụng xk = x1 k1 xn kn và k! = k1 ! kn ! Khi n = 2 hoặc n = 3 ta vi t x, y, z thay cho x1 , x2 , x3 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở khác rỗng Ta ký hiệu C p (Ω) là không gian tuyến tính tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp p trên Ω; C ∞ (Ω) là tập hợp những hàm khả vi vô hạn trên Ω Ta nói giá của hàm liên tục f : Ω → C, là tập hợp ký . Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính . . . . . 26 1.6.1 Toán tử tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.2 Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng . . . 28 1.6.3 Toán tử vi phân. nghiên cứu của luận văn là: - Các kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng; - Nghiệm cơ bản của một số toán tử tuyến tính; - Một số toán tử vi phân phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu -Các. QUỲNH NGHIỆM CƠ BẢN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ VI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 MAI THẾ QUỲNH NGHIỆM CƠ BẢN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ