Phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính

Một số phương pháp cụ thể giải bài toán biên đối với phương trình toán tử vi phân thường tuyến tính.. 43 3 Ứng dụng của một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp

đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quátrình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiềutrong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng GD – ĐT huyện Sóc Sơn,Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THCS Nam Sơncùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiệnthuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luậnvăn này

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Hàn Thị Mận

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Hàn Thị Mận

iii

tử vi phân thường tuyến tính 18

2.1 Phương trình vi phân thường tuyến tính cấp n 18

2.1.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân thường 18 2.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính 20

2.2 Một số phương pháp cụ thể giải bài toán biên đối với phương trình toán tử vi phân thường tuyến tính 26

2.2.1 Giải đúng bài toán biên 26

2.2.2 Phương pháp sai phân 29

2.2.3 Phương pháp khử lặp 30

2.2.4 Phương pháp bắn 33

2.2.5 Phương pháp Ritz (phương pháp biến phân) 34

2.2.6 Phương pháp Galerkin 43

3 Ứng dụng của một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường tuyến tính 45 3.1 Giải đúng bài toán biên 45

3.2 Ứng dụng của phương pháp sai phân giải bài toán biên 48 3.3 Ứng dụng của phương pháp khử lặp giải bài toán biên 50 3.4 Ứng dụng của phương pháp bắn giải bài toán biên 51

3.5 Ứng dụng của phương pháp Ritz giải bài toán biên 54 3.6 Ứng dụng của phương pháp Galerkin giải bài toán biên 59

iv

C[a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]

Cn[a;b] Không gian các hàm xác định và có đạo hàm liên tụcđến cấp n trên [a, b]

L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]

L2[0;1] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [0; 1]

Lp[a, b] Không gian các hàm bậc p khả tích trên [a; b]

L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình toán tử vi phân là một trong những lĩnh vực quantrọng của toán học hiện đại Rất nhiều vấn đề của toán học, vật lý, đềudẫn đến việc giải phương trình toán tử vi phân Từ thập kỷ 70, người

ta đã chú ý nhiều đến việc xây dựng lí thuyết về bài toán biên đối vớiphương trình toán tử vi phân Nhiều phương pháp khác nhau đã đượcđưa ra sử dụng trong vấn đề này.Thí dụ: lý thuyết toán tử Fredholm,phương pháp tham số nhỏ, phương pháp Tôpô, Từ quan điểm đươngthời, có thể nói rằng phương pháp giải tích hàm và phương pháp Tôpô

là những phương pháp hữu dụng nhất Qua những ứng dụng có tính hệthống của các phương pháp này, cơ sở lí thuyết về bài toán biên chomột lớp rộng phương trình toán tử vi phân đã được xây dựng Với mongmuốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán biên đối với phương trình toán tử viphân, trong điều kiện có hạn, ở luận văn này tôi xin trình bày:

“Phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình toán tử

vi phân tuyến tính”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về một số phương pháp giải bài toán biênđối với phương trình vi phân thường tuyến tính, ứng dụng giải một sốbài toán biên cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải đúng và giải xấp xỉ bài toánbiên đối với phương trình vi phân thường tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp giải đúng bài toán biên đối với phương trình vi phânthường tuyến tính

Phương pháp sai phân

6 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính,Giảitích hàm, Giải tích số

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hoá

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số không gian của giải tích hàm

Cho X là một tập hợp tùy ý và X 6= φ

Định nghĩa 1.1.1 Một metric trong X là một ánh xạ

d : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm {xn} trong không gian metric (X, d) đượcgọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim

Định lý 1.1.1 Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là khônggian metric đầy đủ

Chứng minh Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ(X, d) Giả sử {xn} là một dãy cơ bản trong F tức là

lim

m,n→∞d (xm, xn) = 0

Suy ra {xn} là một dãy cơ bản trong X

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn} hội tụ, tức là

∃x0 ∈ X : xn → x0, n → ∞Như vậy (xn) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞ Do F là tập đóng nên

x0 ∈ F

Vậy F là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.1.3 Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng

S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} , r ∈ R+

là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.5 Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với mộtphép toán hai ngôi kết hợp đã cho trong X

Một nửa nhóm có phần tử trung lập gọi là một vị nhóm

Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán

Định nghĩa 1.1.6 Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có các tính chấtsau :

1) Có phần tử trung lập e;

2) Với mọi x ∈ X, ∃x0 ∈ X sao cho x0x = xx0 = e

(phần tử x0 gọi là một phần tử đối xứng hay nghịch đảo của x)

- Như vậy, một nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử đều có nghịchđảo

- Nếu phép toán hai ngôi trong X là giao hoán thì ta có một nhóm giaohoán hay nhóm Abel

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử K là trường số thực hoặc phức, tập X 6= ∅cùng với hai phép tính cộng và nhân vô hướng:

+ Phép cộng:

X × X → X(x, y) 7→ x + y+ Phép nhân vô hướng:

K × X → X(λ, x) 7→ λ.x

Định nghĩa 1.1.8 Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = Rhoặc C) Một chuẩn trong X, ký hiệu k.k, là một ánh xạ từ X vào tập

số thực R thỏa mãn các tiên đề sau

1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) kαxk = |α| kxk ;

3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn ( hay độ dài)của véc tơ x

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong khônggian đó được gọi là không gian định chuẩn

Định lý 1.1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt

d (x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ XKhi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.9 Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X đượcgọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu

Định nghĩa 1.1.12 Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = Rhoặc C).Ta gọi là tích vô hướng trên X mọi ánh xạ đi từ X × X → K,

ký hiệu (.,.) thoả mãn các tiên đề sau với ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ K:

1)(x, y) = (y, x)

2)(x + y, z) = (x, z) + (y, z)

3)(λx, y) = λ(x, y)

4)∀x ∈ X thì (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ

( θ là ký hiệu phần tử không của không gian X)

Số (x, y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y

Định nghĩa 1.1.13 Ta gọi H 6= ∅ gồm các phần tử x,y,z, là khônggian Hilbert nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K

2) Hđược trang bị một tích vô hướng (.,.)

3) H là không gian Banach với chuẩn

Từ hai định nghĩa trên suy ra một số tính chất sau:

1) θ⊥x(∀x ∈ H) ( θ là kí hiệu phần tử không của không gian H).2) x ∈ H mà x⊥x thì x = θ

3) Nếu các phần tử x, yj ∈ H (j = 1, 2, , n) thoả mãn điều kiện

y ∈ H theo chuẩn (1.3) Nếu x⊥yn(∀n ∈ N∗) thì x⊥y.

5) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H Khi đó,nếu x ∈ H và x⊥A thì x = θ

Định nghĩa 1.1.16 Mọi không gian tuyến tính con đóng của khônggian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Định nghĩa 1.1.17 Cho không gian Hilbert H, một tập gồm hữu hạnhay đếm được các phần tử (en)n≥1 ⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn nếu

(ei, ei) = δij =

(

1 khi i = j i, j = 1, 2, , n)Nhận xét 1.1 Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính Ngược lại, giả

sử là một hệ độc lập tuyến tính ta có thể xây dựng một hệ trực chuẩn

từ hệ bằng quá trình trực giao hoá Hilbert – Schmidt như sau:

Đặt

e1 = x1

kx1k ⇒ ke1k = 1Đặt

Định nghĩa 1.1.18 Hệ trực chuẩn (en)n≥1 gọi là đầy đủ khi chỉ cóvector θ mới trực giao với tất cả các phần tử của hệ: x⊥en(n = 1, 2, ) ⇒

x = θ (θ là vector không trong không gian Hilbert )

• Cơ sở trực chuẩn – Đẳng thức Parseval

Định nghĩa 1.1.19 Hệ trực chuẩn (en)n≥1 trong không gian Hilbert Hđược gọi là một cơ sở trực chuẩn trong không gian H, nếu trong khônggian H không tồn tại vectơ khác không nào trực giao với hệ đó

Định lý 1.1.3 (Định lý về đẳng thức Parseval) Cho (en)n≥1 làmột hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Năm mệnh đề sau tươngđương:

1) Hệ (en)n≥1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H

2) ∀x ∈ H, x = P

n≥1

(x, en) en.3) ∀x, y ∈ H, (x, y) = P

n≥1

(x, en) (en, y) (đẳng thức Parseval).4) ∀x ∈ H, kxk2 = P

n≥1

|(x, en)|2 (phương trình đóng)

5) Bao tuyến tính của hệ (en)n≥1 trù mật khắp nơi trong không gian

H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳcác phần tử thuộc hệ (en)n≥1 trù mật khắp nơi trong không gian H)

1.2 Toán tử tuyến tính

• Toán tử tuyến tính liên tục, bị chặn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trêntrường K Một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếuthoả mãn :

1) A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), ∀x1, x2 ∈ X

Khi X = Y thì ta cũng nói A là một toán tử trong X.

Khi Y = K thì toán tử A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2 Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu

xn → x0(n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0(n → ∞)

Một toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm bao giờ cũng liên tục

Nhưng trong thực tế không gian định chuẩn bất kỳ thì toán tử tuyếntính không nhất thiết liên tục.Ở đây điều kiện liên tục tương đương vớitính bị chặn định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.3 Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (giới nội )nếu tồn tại hằng số M > 0 để cho

• Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định lý 1.2.3 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gianHilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

f (x) = (x, a) , x ∈ Htrong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

kf k = kakĐịnh lý 1.2.4 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian

Lp[a, b] (p > 1) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

(Ax, x) ≥ 0, ∀x ∈ HĐịnh nghĩa 1.2.5 Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dươngnếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

(Ax, x) ≥ γkxk2, ∀x ∈ H

• Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.2.6 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ khônggian Hilbert X vào không gian HilbertY Toán tử B ánh xạ không gian

Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu

(Ax, y) = (x, By) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y

Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A∗.

Định lý 1.2.5 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử A∗ liên hợpvới toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X

Định nghĩa 1.2.7 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gianHilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu

Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng

Định lý 1.2.6 Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbertvào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là sốthực đối với mọi x ∈ H

En ⊂ D(L) ⊂ E, Fn ⊂ F, (n = 1, 2, )Các toán tử chiếu tuyến tính pn từ F lên Fn nghĩa là thoả mãn điềukiện:

(pn)2 = pn, pnF = Fn, (n = 1, 2, )Phương trình (1.5) được thay thế gần đúng bởi phương trình

Tìm nghiệm un ∈ En sao cho pn(Lun− f ) ∈ Fn Ta giải phương trình(1.6) trong Fn và tìm nghiệm trong En

• Định lý hình chiếu lên không gian con

Định lý 1.2.7 Cho không gian Hilbert H và H0 là không gian con của

H Khi đó phần tử bất kỳ x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

c(v, v)v



=kzk2 − ¯c

(v, v)c −

c(v, v)c +¯

c.¯c(v, v)2(v, v) = kzk

điều này vô lý.

Do đó không tồn tại v 6= 0 thuộc H0 để (z, v) 6= 0 ⇒ z⊥H0

Vậy ∀x ∈ H luôn có biểu diễn: x = y + z, y ∈ H0, z⊥H0

Giả sử x = y0 + z0, y0 ∈ H0, z0⊥H0

⇒ y + z = y0 + z0 ⇔ y − y0 = z0 − z với y − y0 ∈ H0, z − z0⊥H0 ⇒

y − y0⊥H0 ⇔ y − y0 = θ ⇔ y = y0, z = z0

Vậy biểu diễn của x là duy nhất

Phần tử y trong biểu diễn (1.7) còn được gọi là phần tử của H0 gầnphần tử x nhất theo nghĩa

d(x, y) = kx − yk ≤ kx − uk = d(x, u), ∀u ∈ H0

Ta ký hiệu y = P x và nhận được toán tử tuyến tính liên tục P ánh xạ HlênH0, kP k = 1 Toán tử P thường được gọi là toán tử chiếu vuông góc(hay toán tử chiếu trực giao) không gian H lên không gian con H0 ⊂ H.Tính chất của toán tử chiếu

+) P là toán tử chiếu của H lên không gian con H0 thì P là toán tử tựliên hợp (P∗ = P ) nghĩa là ∀x, y ∈ H, (P x, y) = (x, P y)

Thật vậy, giả sử x = u + v, y = r + s với u, r ∈ H0, v, s⊥H0 ⇒ P x =

+) P là toán tử chiếu thì P là toán tử dương

Thật vậy P là toán tử tuyến tính bị chặn và ∀x ∈ H :

x = u + v, u ∈ H0, v⊥H0

n→∞kxn − xk = 0thì dãy điểm (xn) hội tụ yếu tới điểm x ∈ H

1.3 Sai phân và các tính chất

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và

h = const 6= 0 Ta gọi sai phân cấp 1 của f (x) là đại lượng ∆f (x) =

f (x + h) − f (x) Tỷ sai phân cấp 1 của f (x) là ∆f (x)

1) ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là:

∀α, β ∈ R;∀f, g ⇒ ∆ (αf + βg) = α∆f + β∆g2) Nếu c = const thì ∆c = 0.

2.1 Phương trình vi phân thường tuyến tính cấp n

Định nghĩa 2.1.1 Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàmcần tìm và các đạo hàm của nó

- Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phươngtrình vi phân thường

- Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phươngtrình đạo hàm riêng

- Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng:

F (x, y, y0, y00, , y(n)) = 0 (2.1)

18

trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm Nếu từ (2.1) ta giải ra đượcđạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình (2.1) có dạng

- Hàm y = ϕ(x, C), (C ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp nđược gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) nếu:

+) ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình ) ta có thể giải ra

C = ϕ(x, y)

+) Hàm y = ϕ(x, C), (C ∈ R)thoả mãn (2.2) khi (x, y) chạy khắp D.-Với mỗi C0 ta có một nghiệm ϕ(x, C0) và gọi là một nghiệm riêng.Nghiệm riêng của phương trình vi phân là nghiệm nhận từ nghiệm tổngquát khi cho hằng số C một giá trị cụ thể

Tuy nhiên có những nghiệm của phương trình không nhận được từ nghiệmtổng quát ta gọi là nghiệm kì dị

Định nghĩa 2.1.3 Khi giải phương trình (2.2) nhiều khi ta được nghiệmtổng quát dưới dạng ẩn:

Định nghĩa 2.1.4 Hàm f (x, y1, y2, yn) xác định trong miền D ⊂ Rn+1được gọi là thoả mãn điều kiện Lipsit theo các biến y1, y2, yn nếu tồntại hằng số L > 0 sao cho đối với hai điểm bất kì (x, y1, y2, yn) ∈

Giả sử trong miền D ⊂ Rn+1 hàm f (x, y1, y2, yn) liên tục và thoảmãn điều kiện Lipsit theo y1, y2, yn Khi đó với bất kì điểm trong(x, y0, y00, y0(n−1)) ∈ D tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phươngtrình (2.2) thoả mãn điều kiện ban đầu

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, ,y(n−1(x0) = y0(n−1)Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của điểm x0

Để nghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên đối với phươngtrình vi phân tuyến tính tiếp theo ta đi tìm hiểu một số vấn đề về phươngtrình vi phân tuyến tính

Các phương trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đối với ẩn

và đạo hàm của nó được gọi là phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa 2.1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng

P0(x)y(n)+ P1(x)y(n−1)+ P2(x)y(n−2)+ + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = F (x)

(2.4)Trong đó các hàm Pi(x), i = 0, 1, 2, và F (x) là các hàm liên tục trên(a, b)

+) Nếu thêm giả thiết P0(x) 6= 0 tại mỗi điểm của (a, b), đặt pi(x) =

Pi(x)

P0(x), f (x) =

F (x)

P0(x) thì phương trình (2.4) được viết lại dưới dạng

y(n)+ p1(x)y(n−1) + p2(x)y(n−2)+ + pn−1(x)y0+ pn(x)y = f (x) (2.5)+) Nếu f (x) = 0 ta có phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứngvới phương trình (2.5 ) là

y(n)+ p1(x)y(n−1)+ p2(x)y(n−2)+ + pn−1(x)y0 + pn(x)y = 0 (2.6)

Đặt Ln[y] = y(n)+p1(x)y(n−1)+p2(x)y(n−2)+ +pn−1(x)y0+pn(x)y.Phương trình (2.5) được viết dưới dạng Ln[y] = f (x)

Phương trình (2.6) được viết dưới dạng Ln[y] = 0

• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Phương trình (2.5) được viết dưới dạng

∂F

∂y(n−k)

= |−pk(x)| (k = 1, 2, )

Vì vậy ∀x ∈ [α, β] ⊂ (a, b) thì

∂F

∂y(n−k)

... luận văn cùngtìm hiểu phương pháp cụ thể giải toán biên

2.2 Một số phương pháp cụ thể giải tốn biên< /h3>

đối với phương trình tốn tử vi phân thường tuyến tính< /h3>

Trong... data-page="34">

2.2.2 Phương pháp sai phân< /p>

Ý tưởng phương pháp sai phân thay thànhphần vi phân phương trình thành phần sai phân tươngứng giải hệ phương trình thu Ta minh hoạ điều bằngmột toán biên cấp...

2) Thay toán biên (2.16) hệ phương trình đại số tuyến tínhnhư (2.18), ẩn số giá trị “gần” với giá trị củanghiệm nút lưới Hệ phương trình đại số tuyến tính gọi lược

đồ sai phân

3)