Cho phương trình
Tìm nghiệm của (2.9) thoả mãn điều kiện αy0(x0) +βy(x0) =A;
γy0(x1) + δy(x1) = B. (2.10) Bài toán (2.9) – (2.10) được gọi là bài toán biên. Điều kiện (2.10) gọi là điều kiện biên.
Để tìm nghiệm của bài toán biên ta thay điều kiện biên (2.10) vào biểu thức của nghiệm tổng quát rồi xác định giá trị cụ thể của hằng số bất kì (nếu điều này có thể ) trong biểu thức của nghiệm tổng quát.
Trong khi giải bài toán biên, người ta thường dựa vào hàm số G(x, s) có các tính chất sau:
G(x, s) xác định trong hình vuông x0 ≤ x ≤ x1, x0 ≤ s ≤ x1, và với s cố định s ∈ (x0, x1) thoả mãn các điều kiện:
1) Là nghiệm của phương trình
P0(x)y00 +p1(x)y0+p2(x)y = 0 (2.11) 2) G(x, s) thoả mãn điều kiện biên (2.10) tại x = x0 và x = x1; 3) Tại x = s, G(x, s) liên tục theo x nhưng đạo hàm của nó theo x có bước nhảy bằng 1 p0(s), nghĩa là G(s+ 0, s) =G(s−0, s), G0(s+ 0, s) =G00(s−0, s) + p1 0(s) (2.12) Hàm G(x, s) có các tính chất trên được gọi là hàm Grin của bài toán biên (2.9) –(2.10). Muốn xây dựng hàm Grin của bài toán biên (2.9) – (2.10),trước hết tìm hai nghiệm không tầm thường y1(x), y2(x) của phương trình (2.11) thoả mãn tương ứng các điều kiện biên thứ nhất và thứ hai của (2.10). Nếu y1(x) không đồng thời thoả mãn cả hai điều kiện biên thì hàm Grin tồn tại và có thể tìm dưới dạng
G(x, s) =
(
ay1(x) (x0 ≤ x ≤s),
28
Các hàm số a, b là hàm của biến s và được xác định sao cho (2.13) thoả mãn điều kiện (2.12), nghĩa là
by2(s) =ay1(s), by20(s) = ay10(s) + 1
p0(s)
Nếu hàm GrinG(x, s) tồn tại thì nghiệm của bài toán biên (2.9) – (2.10) được biểu thị bằng công thức
y(x) =
x1
R x0
G(x, s)f(s)ds. Ví dụ 2.2.1. Giải bài toán biên
y00 + 4y = 0 y(0) = −2; y(π 2) = 10 (2.14) Phương trình đặc trưng λ2 + 4 = 0 ⇒λ = ±2i Nghiêm riêng của phương trình (2.14) là
y1 = cos2x,y2 = sin 2x Nghiệm tổng quát của phương trình (2.14) là
y(x) =c1cos2x+c2sin 2x (2.15) Thay điều kiện biên vào (2.15) ta được
y(0) = c1cos0 +c2sin 0 = −2 y(π 2) = c1cos π 2 +c2sin π 2 = 10 ⇔ ( c1 = −2 c2 = 10
Vậy nghiệm bài toán biên (2.14) là y(x) =−2cos2x+ 10 sin 2x
Nhưng một số lớn các bài toán biên chúng ta không giải chính xác được. Vì vậy chúng ta đưa vào các phương pháp giải gần đúng bài toán biên.