Với phương pháp này ta thay các đạo hàm bằng các tỷ sai phân để được hệ ba đường chéo.Tiếp theo ta đưa hệ ba đường chéo về hệ hai đường chéo nhờ một “bước thuận ”. Sau đó đưa hệ hai đường chéo về hệ đường chéo bằng “bước ngược”. Cụ thể như sau:
Xét bài toán biên
L(y(x)) ≡ y00 +p(x)y0 +q(x)y = f(x),a ≤x ≤ b
l0(y(a)) ≡ α0y(a) +α1y0(a) = A, l1(y(b)) ≡ β0y(b) + β1y0(b) =B
(2.19)
Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi = a+ih,(i = 0,1,2, ...n) h = b−a n
Thay phương trình và điều kiện biên (2.19) bởi các tỷ sai phân ta được: yi+2−2yi+1+yi h2 +piyi+1 −yi h +qiyi = fi(i = 0, n−2) α0y0 +α1y1 −y0 h = A, β0yn+ β1 yn−yn−1 h = B (2.20)
Phương pháp khử lặp giải hệ phương trình trên gồm những bước sau. Trước tiên viết n−1 phương trình của hệ trên về dạng
yi+2 +miyi+1 +kiyi = h2fi Trong đó
mi = −2 +hpi, ki = 1−hpi+h2qi,(i= 0,1,...,n−2) (2.21) Sau đó hệ trên được đưa về hệ
yi+1 = ci(di −yi+2)(i = 0,1,2, ..., n−2) (2.22) Các số ci, di lần lượt được tính theo công thức sau:
Với i = 0 c0 = α1 −α0h m0(α1 −α0h) +k0α1, d0 = k0Ah α1 −α0h +f0h 2; (2.23) Với i = 1,2, ..., n−2 ci = 1 mi −kici−1 , di = fih2 −kici−1di−1 (2.24) Việc tính toán được thực hiện như sau:
Quá trình thuận. Theo công thức (2.21) ta tính được mi, ki . Tiếp theo ta tìm c0, d0 và theo công thức truy hồi (2.22) tìm ci, di với
i = 1,2, ..., n−2 ;
Quá trình nghịch. Từ phương trình (2.22) với i = n−2 và với điều kiện biên của hệ (2.20) ta thu được
yn−1 = cn−2(dn−2 −yn), β0yn +β1yn −yn−1 h = B
32
Giải hệ này đối với yn , ta được
yn = β1cn−2dn−2 +Bh
β1(1 +cn−2) + β0h (2.25) Sử dụng các số cn−2, dn−2 đã biết ta tìm được yn . Sau đó, sử dụng công thức truy hồi (2.22) ta lần lượt tìm được
yn−1 = cn−2(dn−2 −yn)
yn−2 = cn−3(dn−3 −yn−1)
... y1 = c0(d0 −y2)
(2.26)
Giá trị y0 tìm được từ phương trình gần cuối của (2.20) y0 = α1y1 −Ah
α1 −α0h (2.27)
Như vậy, quá trình tính toán như bị dồn hai lần. Việc tính toán ở quá trình thuận trước tiên tính các số ci, di theo chiều tăng của các chỉ số i, trong đó trước tiên để tính c0, d0 phải sử dụng điều kiện biên ở đầu mút trái của đoạn lấy tích phân. Ở quá trình nghịch, trước tiên sử dụng điều kiện biên bên phải để tính yn, sau đó theo công thức truy hồi để tìm yi theo chiều giảm của chỉ số i.
Các tính toán theo phương pháp khử lặp được nêu lên trong bảng 2.1 i xi mi ki fi Quá trình thuận Quá trình nghịch
ci di yi 0 x0 m0 k0 f0 c0 ↓ d0 ↓ ↑y0 1 x1 m1 k1 f1 c1 ↓ d1 ↓ ↑y1 2 x2 m2 k2 f2 c2 ↓ d2 ↓ ↑y2 ... ... ... ... ... ...↓ ...↓ ↑... n−2 xn−2 mn−2 kn−2 fn−2 cn−2 dn−2 ↑ yn−2 n−1 xn−1 ↑ yn−1 n xn ↑ yn Bảng 2.1